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河南省天一大联考2017届高三上学期期末考试数学理试题


天一大联考 2016—2017 学年高三年级上学期期末考试

数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一 项符合题目要求.
n 1.已知集合 A ? ?0, 2, 4, 6? , B ? x ? N | 2 ? 33 ,则集合 A ? B 的子集个数为

?

?

A.8

B.

7

C. 6

D. 4

2.设 i 为虚数单位,复数 A. -1 B. 1

a ? 2i 为纯虚数,则实数 a 的值为 1? i
-2 D. 2

C.

3.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 1 ,则数列 ?log 2 an ? 的前 10 项和等于 A. 1023 B. 55 C. 45 D. 35 4.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了股股定理的 绝妙证明。下面是赵爽的弦图和注文,弦图是一个以勾股形之弦为 边的正方形,其面积称为弦实。图中包含四个全等的勾股形及一个 小正方形,分别涂成红(朱)色及黄色,其面积称为朱实、黄实, 2 利用 2 ? 勾 ? 股+(股-勾) =4 ? 朱实+黄实=弦实,化简得:

勾2 +股2 =弦2 .设勾股形中勾股比为 1: 3 ,若向弦图内随机抛掷
1000 颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉数大约为 A. 866 B. 500 C. 300 D. 134
2 5.已知圆 ? x ? 1? ? y ? 2

x2 y 2 3 的一条切线 y ? kx 与双曲线 C : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 有两个交点, 则 4 a b

双曲线 C 的离心率的取值范围是 A.

?1, 3 ?

B. ?1, 2 ?

C.

?

3, ??

?

D. ? 2, ???

?2 x ? y ? 4 ? 0 ? 6.已知点 M 的坐标 ? x, y ? 满足不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 ,N 为直线 y ? ?2 x ? 2 上任一点,则 MN 的 ?y ?3 ? 0 ?
最小值是 A.

5 5

B.

2 5 5

C. 1

D.

17 2
·1·

7.已知 a ? 0 且 a ? 1 ,如图所示的程序框图的输出值

y ??4, ??? ,则实数 a 的取值范围是
A. ?1, 2? B. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

C.

?1, 2?

D.

?2, ???

8.函数 f ? x ? ?

cos

x 2 的图象大致是 1 x? x

?

9.如图,已知长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的体积为 6, ?C1BC 的正切值为,当 AB ? AD ? AA 1 的值 最小时,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 外接球的表面积为 A. 10? B. 12? C.

14?

D. 16?

10.已知函数 f ? x ? ? A sin ? 2 x ? ? ? ?

1? ?? ? A ? 0, 0 ? ? ? ? 的图象 2? 2?

在 y 轴上的截距为 1,且关于直线 x ? 实数 m 的取值范围是 A. ?1, ? ? 2?

?
12

对称,若对任意的 x ? ?0,

? ?? 2 ,都有 m ? 3m ? f ? x ? ,则 ? ? 2?

? 3?

B. ?1, 2?

C. ? , 2 ? ?2 ?

?3

?

D. ?

? 3 ? 13 3 ? 13 ? , ? 2 ? ? 2

11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 12.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 4 ? x ? ? f ? x ? ,且 x ? ? ?2, 2?

?1 ? 1 1? ? ? x ? ? x ? ? ,0 ? x ? 2 x x? 时, f ? x ? ? ? 2 ? ,则函数 ?? x 2 ? 2 x , ?2 ? x ? 0 ? ? ?
g ? x ? ? f ? x ? ? log 4 x 的零点个数是
A. 4 B. 7 C. 8 D.9
·2·

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

共 90 分)
? ?

13.已知平面向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ? ?2, m ? ,且 a ? b ? a ? b ,则 a ? 2b ? .

?

?

? ?

? ?

? 3 3 14.已知 n ? ? ? 2 x ? 1? dx ,则 ? ? 0 ? x
3

? x ? 的展开式中 x 2 的系数为. ?
y 2 x2 ? ? 1? b ? 0 ? 的一个焦点,点 4 b2

n

15.已知抛物线 C1 : y ? ax

2

? a ? 0? 的焦点 F 也是椭圆 C2 :

?3 ? M , P ? ,1? 分别为曲线 C1 , C2 上的点,则 MP ? MF 的最小值为. ?2 ?
n ? 16.已知数列 ?bn ? 是首项为-34,公差为 1 的等差数列,数列 ?an ? 满足 an ?1 ? an ? 2 n ? N ,且

?

?

?b ? a1 ? b37 ,则数列 ? n ? 的最大值为. ? an ?
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17.(本题满分 12 分) 如图,在圆内接四边形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1, 3BC ? 3BD cos ? ? CD sin ? . (1)求角 ? 的大小; (2)求四边形 ABCD 周长的取值范围.

18.(本题满分 12 分) 如图,已知四边形 ABCD 和 ABEG 均为平行四边形,点 E 在平面

ABCD 内的射影恰好为点 A ,以 BD 为直径的圆经过点 A, C , AG 的中
点为 F , CD 的中点为 P ,且 AD ? AB ? AE. (1)求证:平面 EFP ? 平面 BCE ; (2)求二面角 P ? EF ? B 的余弦值.
·3·

19.(本题满分 12 分) 2016 年是红军长征胜利 80 周年,某市电视台举办纪念红军长征胜利 80 周年知识问答,宣传 长征精神,首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.

然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取 10 名幸运之星回答问题,从 10 个关于长征的 问题中随机抽取 4 个问题让幸运之星回答,全部答对的幸运之星获得一份纪念品. (1)求此活动中各公园幸运之星的人数; (2)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为

2 ,求恰好 2 位幸运之星获得纪念品的 2

概率; (3)若幸运之星小李对其中 8 个问题能答对,而另外 2 个问题答不对,记小李答对的问题数为 X , 求 X 的分布列和数学期望 E ? X ? . 20.(本题满分 12 分) 已知椭圆 C :

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的上下两个焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F1 与 y 轴垂直的直线交椭 a 2 b2
3 . 2

圆 C 于 M,N 两点, ?MNF2 的面积为 3 ,椭圆 C 的离心率为 (1)求椭圆 C 的标准方程;

(2)已知 O 为坐标原点,直线 l : y ? kx ? m 与 y 轴交于点 P,与椭圆 C 交于 A,B 两个不同的点, 若存在实数 ? ,使得 OA ? ? OB ? 4OP ,求 m 的取值范围.

??? ?

??? ?

??? ?

21.(本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? a ln x 与 g ? x ? ? 3 ?

b 的图象在点 ?1,1? 处有相同的切线. x

(1)若函数 y ? 2 ? x ? m? 与 y ? f ? x ? 的图象有两个交点,求实数 m 的取值范围;
x (2)设函数 H ? x ? ? f ? x ? ? ln e ? 1 , x ? ? 0, m ? ,求证: H ? x ? ?

?

?

m . 2

·4·

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果两题都做,则按照所做的第一题给分; 作答时,请用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
22.(本题满分 10 分)选修 4-4:参数方程与极坐标系 已知极坐标系的极点为直角坐标系 xoy 的原点,极轴为 x 轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相 同,圆 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ,直线 l 的参数方程为 ? 射线 OM 的极坐标方程为 ? ?

? x ? ?1 ? t ( t 为参数), ?y ? t

3? . 4

(1)求圆 C 和直线 l 的极坐标方程; (2)已知射线 OM 与圆 C 的交点为 O,P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长.

23.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 3 ? x ? 2 . (1)若 ?x ? R, f ? x ? ? 6a ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围;
2

(2)求函数 y ? f ? x ? 的图象与直线 y ? 9 围成的封闭图形的面积.

·5·

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