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第一届 UPhO 试题
【题目 1】 经过长期的观测,人类又确定一颗距离地球 l=1520 光年的行星的存在,并将其所属恒星命 名为 CZ 星。这样遥远的恒星对于人类最精密的望远镜来说,也是模糊的一团,不能分辨内 部结构,但是通过对于光的强度和频率的仔细测量,人们还是能对推测出这样行星的存在, 并推测行星的属性。 【问题】 (1)假设恒星表面满足黑体辐射定律。已知太阳表

面温度约 TS=5.5×103K,太阳光辐射的 峰值波长约为λ S=550nm。CZ 星的星光辐射峰值波长约为λ C=400nm,由此估算 CZ 星表 面温度 TC 为多少? (2)不考虑星际尘埃的影响,测量得到该星光在太阳系内的能流密度平均值为 SC=5.17× 10?13Wm-2,斯特藩为σ =5.67×10?8Wm-2K-4,由此估算恒星的半径 rC 为多少? (3)当行星、CZ 星、地球位于一条直线上的时候,星光会被行星挡住一部分,从而变弱, 形成凌日现象,我们可以由此推断行星的存在。我们观测到的凌日现象时,光强大约变弱了 0.01%,由此推算行星半径和恒星半径的比值 rP/rC 为多少? (4)我们发现凌日现象的持续时间为 TL=10 小时,出现的周期为 TP=568 天。并发现星光 的频率随时间有周期性的波动,周期与 TP 相同。这种现象产生的原因是恒星受到行星的影 响,来回摆动,从而引起多普勒效应。观察到氢的谱线最高频率和最低频率相对差值为Δ ν /ν =6.9×10?10。我们由恒星的半径和温度估算得到恒星的质量为 MC=2.6×1030kg。由行 星半径可以知道这是一颗固态行星, 推测其密度为ρ =5.0×103kgm-3。 万有引力常数 G=6.67 ×10?11Nkg-2m2,计算行星运动的速度 vP 为多少? (5)计算行星运动的轨道半径 RP 为多少? (6)计算行星表面的重力加速度 gP; (7)假设行星表面对恒星光线的反射率为 r=0.1,而行星辐射在红外区域,其辐射可以近似 使用黑体辐射公式。估算行星表面温度 TO; (8)计算行星运动和黄道面和恒星到我们的连线之间的夹角θ (用弧度制表达) ; (9)假设宇宙中文明均匀的分布且非常多,则有可能看到 CZ 星星系中行星凌日现象的文 明占全体文明的比例η 为多少?

【题目 2】 宇宙这么大,于是我们想去看一看 1520 光年远的 CZ 星。鉴于曲率推进技术并不成熟,我 们决定使用反物质推进的方案, 即将正反物质湮灭为光子, 让光子沿着与航线相反方向发射, 利用光的动量推进飞船,或者沿着航线方向发射,用来减速。推进器和飞船自重为 m0。方 案一:让飞船携带总质量为 M=Zm0 的正反物质燃料(质量比为 1:1) 。方案二:只携带 M/2 的正物质,飞船一边收集反物质一边将其和正物质湮灭为光子推进。 【相关参数】 Z = 3.56×100 λ = 2.27×10?1 【问题】 (1)将全部燃料用于加速,飞船最终到达的速度 vmax/c 为多少? (2)假设在飞船参照中,推进器单位时间能消耗的燃料质量为α ,则当总消耗燃料质量达 到λ M 时(λ <1/2) ,在地面参照系中,方案一的速度 v1/c 为多少?

(3)方案二的速度 v2/c 为多少? (4)接(2)问,在地面系中方案一的飞船加速度为 a1,a1m0cα 为多少? (5)接(3)问,在地面系中方案二的飞船加速度为 a2,a2m0cα 为多少? 【题目 3】 如图在匀强磁场 B 中,有两个质量为 m 的点电荷 A、B,间距为 l,电量均为+q,初态静止。 考虑静电作用,静电常数为 K,不考虑相对论效应。 【相关参数】 B = 2.69×10?2 T l = 8.72×100 m m = 1.52×10?11 kg K = 8.98×109 Nm2C?2 B1 = 1.26×100 T 【问题】 (1)求此后两个粒子运动的最大间距; (2)将 B 的电量由+q 改为?q,要求两个粒子不要发生碰撞,则磁场最小值 B0 为多少? (3)若磁场 B1 大于上一问的最小值 B0,求出粒子之后运动中的最近距离 l0。 【题目 4】 如图,某人在练习理想凸透镜(即对于任意通 过透镜的光线都满足成像规律)成像作图,但 是由于年代久远,透镜和光心,以及部分物点 像点(透镜下方为实物,上方为虚物)已经模 糊不清了,只知道物点是一群分布在一条抛物 线上的点,这条抛物线顶点在原点,开口向 y 轴正方向。这些点的像点在另一条抛物线上, 这一条抛物线开口向 y 轴负方向, 且通过 A、 B 两个点。A、B 点坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2) 【相关参数】 x1 = ?3 cm y1 = 0 cm x2 = 10 cm y2 = ?294 cm 【问题】 (1)求出像点所在抛物线的顶点的 y 坐标 h; (2)求出透镜光心的纵坐标 p; (3)求出透镜的焦距 f。 【题目 5】 如图在足够长的间距为 l 的平行光滑金属导轨区 域内有匀强磁场 B。左端接入电容,大小为 C。 两根带有电感的棒子垂直于导轨放置在导轨上, 质量均为 m,电感均为 L。不记摩擦和电阻,不 记棒子之外的电感。初态电容电量为 Q0,初态右

边棒子向左的速度为 v0,并且满足:v0=Q0Blm,初始回路中电流为零,不考虑两根棒子相 碰的情况。 【相关参数】 Q0 = 9.74×101 C B = 7.86×10?1 T l = 2.30×100 m m = 6.00×10?3 kg C = 9.37×10?4 F t1 = 1.50×101 s t2 = 4.65×101 s L = 2.03×10?4 H 【问题】 (1)求当时间为 t1 的时刻,两根棒子的质心相对于初态的位移 xC(向右为正) ; (2)求当时间为 t2 的时刻,左边棒子相对于初态的位移 x1(向右为正) 。 【题目 6】 在 CZ 星附近的行星上有稠密的大气,其中生活着一种气球状生物,当有人向它们询问牛顿 第二定律的时候,它们会回复嘟嘟嘟的响声,我们暂且将这些生 物命名为气球。气球的半 径和质量基本稳定,它们通过调节自身气囊内的气体温度,从而改变密度,用来调节自身的 飞行高度。这些生物白天由于日照, 温度上升,飞行在空中捕食,夜晚温度下降,停落在 地面上休息。[详情请阅读《乡村教师》 ,作者刘慈欣]。 气球的质量为 m0,半径为 r,地面气温为 T0,压强为 p0,密度为ρ 0。取绝热大气模型, 即大气不同地方 pρ ?γ 为常数,其中γ =75,大气的定体摩尔热容量为 CV=2.5R。在高度 h 变化不大的范围内,可以认为大气的温度、密度和压强随高度线性变化。重力加速度为 g。 各参数取值如下: m0=202kg , T0=300K, ρ 0=1.174kg/m3 , r=10m, g=10.6m/s2 , p0=1.01 ×105Pa, κ =43.0Jm?2K?1s?1,λ =2040Jm?2s?1。 【相关参数】 h = 2.00×102 m 【问题】 (1)气球在休息的时候,体内的气体和大气自由交换。清晨它向外深深吐一口气,将体内 压降减少到 p0?Δ p,于是恰好起飞,能稳定在 h 高度飞行。这个过程很短,热量来不及交 换。求Δ p 为多少? (2)飞行了一段时间后,由于日照和气球自身的特殊生理结构能输运热量,气球的压强上 升到和周围一样。 (于是它舒服的不用忍受压强差了)求此时气球内温度为多少? (3)气球皮内外温差为Δ T 时,单位时间内单位面积上的的散热本领为κ =Δ QΔ SΔ TΔ t, 阳光正入射的时候,单位时间内单位面积提供的热量为λ =Δ QΔ SΔ t。则气球为了舒服, 单位时间需要搬运给内部气体多少热量,q=Δ QΔ t? (4)考虑热力学第二定律,气球为了搬运这些热量,单位时间内至少应当做功 W 为多少? 【题目 7】 如图, 将一个质量为 m, 长度为 l 的均匀无弹性不可伸长的绳子放在摩擦系数为μ 的地面上, 重力加速度为 g。绳子摆成一个圆心角为θ 0 的圆弧,用外力 F 沿着绳子的切线拉绳子。逐 渐增大外力 F,直到绳子滑动为止。已知∫dxa2?x2√=arcsin(xa)+C

【相关参数】 μ = 1.47×10?1 m = 2.22×100 kg g = 1.00×101 ms?2 θ 0 = 1.15×100 rad 【问题】 (1)求让绳子滑动需要的最小外力 F; (2)若绳子摆成的圆弧对应的圆心角为θ 1=2π /3,求出绳子上滑动部分和不滑动部分的临 界点与有外力的端点之间的弧的角度θ m(结果用角度制) 。 【题目 8】 如图 A0~A6 是 7 个点,之间连接了 14 个阻值为 1Ω 的电阻。Ai、Aj 之间的等效电阻记为 Rij。计算下面的电阻。 【问题】 (1)R01 Ω (2)R02 Ω (3)R03 Ω


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