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命题与简易逻辑知识总结 (1)


《命题与简易逻辑知识总结》
一、知识总结:
1.命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句. 假命题:判断为假的语句. 2. “若 p ,则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件, q 称为命题的结论. 3.原命题: “若 p ,则 q ”逆命题: “若 q ,则 p ” 否命题: “若 ? p ,则 ? q ”逆否命题: “若 ? q ,则 ? p ” 4.四种命题的真假性之间的关系: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 5.若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件. 若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件(充分必要条件) . 利用集合间的包含关系:例如:若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件; 6.逻辑联结词:⑴且(and) :命题形式 p ? q ;⑵或(or) :命题形式 p ? q ; ⑶非(not) :命题形式 ? p .

7.⑴全称量词—“所有的”“任意一个”等,用“ ? ”表示; 、 全称命题 p : ? x ? M , p ( x ) ;全称命题 p 的否定 ? p : ? x ? M , ? p ( x ) . ⑵存在量词—“存在一个”“至少有一个”等,用“ ? ”表示; 、 特称命题 p : ? x ? M , p ( x ) ;特称命题 p 的否定 ? p : ? x ? M , ? p ( x ) ;

二、专项训练
1.命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是( A.简单命题 B.非 p 形式的命题 )

C.p 或 q 形式的命题 D.p 且 q 的命题 答案:D 解析: “垂直平分”的含义是“垂直且平分” .所以是 D. 2.如果命题 p 是假命题,命题 q 是真命题,则下列错误的是( ) A. 且 q”是假命题 “p B. 或 q”是真命题 “p C. “非 p”是真命题 D. “非 q”是真命题 答案:D 解析: 且 q”型命题的真假是一假必假, 或 q”型命题的真假是一真必真, “p “p “非 p”型 命题和命题 p 的真假相反.所以答案是 D. 3.已知命题 p 、 q ,如果 ? p 是 ? q 的充分而不必要条件,那么 q 是 p 的( A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要 答案:B 解析:因为互为逆否命题的命题真假相同,所以 q 是 p 充分不必要条件,答案是 B.
0 4.命题“若 ? C ? 90 ,则 ? ABC 是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四



个命题中,真命题的个数是( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案:C 解析:原命题是真,则逆否命题为真,逆命题为假,所以否命题为假,即有两个真命题,答 案是 C. 5.下列命题中为全称命题的是( ) A 有些圆内接三角形是等腰三角形 ; B 存在一个实数与它的相反数的和不为 0; C 所有矩形都有外接圆 ; D 过 直线外一点有一条直线和已知直线平行. 答案:C 解析: “所有的”“任意一个”等属于全称量词, 、 “存在一个”“至少有一个”等属于存在量 、 词,因此全称命题是 C ,答案为 C. 6.下列全称命题中真命题的个数是( ) ①末位是 0 的整数,可以被 3 整除;
2 ②对 ? x ? Z , 2 x ? 1 为奇数.

③角平分线上的任意一点到这 个角的两边的距离相等;

A 0 B 1 C 2 D 3 答案:C 解析:①比如 10,末位是 0,但不能被 3 整除,所以是假命题;②③是真命题.答案是 C. 7.下列特称命题中假命题的个数是( ) ① ?x ? R , x ? 0 ; ②有的菱形是正方形; ③至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数. A 0 B 1 C 2 D 3 答案:A 解析:①比如-1, ;②正方形都是菱形③1 既不是合数也不是素数.答案是 A. 8.命题“存在一个三角形,内角和不等于 180 ”的否定为( A 存在一个三角形,内角和等于 180 B 所有三角形,内角和都等于 180
? ? ?



C 所有三角形,内角和都不等于 180
?

?

D 很多三角形,内角和不等于 180 . 答案:B 解析:存在命题的否定是全称命题: “所有三角形,内角和都等于 180 ” .答案是 B. 9.命题“a、b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是 __________ . 答案:若 a+b 不是偶数,则 a、b 不都是偶数. 解析: “是”的否定是“不是”“都是”的否定是“不都是” , . 10. (1)如 果命题“p 或 q”和“非 p”都是真命题,则命题 q 的真假是_________. (2)如果命题“p 且 q”和“非 p”都是假命题,则命题 q 的真假是_________. 答案: (1)真; (2)假 解析: “p 或 q”型命题一真则真, (1) “非 p”型命题和命题 p 真假相反.所以“非 p”为真 则 p 为假,又因为“p 或 q”为真,所以 q 为真. (2) 且 q”型命题一假必假, “p “非 p”型命题和命题 p 真假相反.所以“非 p”为假则 p 为真,又因为“p 且 q”为假,所以 q 为假. 11.填空:指出下列复合命题的真假. (1)5 和 7 是 30 的约数. ) ( (2)菱形的对角线互相垂直平分. ( ) (3)8x-5<2 无自然数解. ( )
?

答案: (1)真; (2)真; (3)假 解析:(1) “p 或 q”的形式.其中 p:5 是 30 的约数;q:7 是 30 的约数,为真命题. (2) “p 且 q” .其中 p:菱形的对角线互相垂直;q:菱形的对角线互相平分;为真命题. (3)是“┐p”的形式.其中 p:8x-5<2 有自然数解.∵p:8x-5<2 有自然数解.如 x=0, 则为真命题.故“┐p”为假命题. 12.填空:判断下列命题真假: (1)10≤8( ) (2)π 为无理数且为实数( ) (3)2+2=5 或 3>2( ) (4)若 A∩B= ? ,则 A= ? 或 B= ? ( ) . 答案: (1)假命题; (2)真命题; (3)真命题. (4)假命题. 解析: (1)10>8; (2)π 为无限不循环小数,所以是无理数且是实数; “p 或 q”型命 (3) 题一真则真,3>2 为真,所以命题为真; (4)若 A={有理数},B={无理数},则 A∩B= ? . 13.求关于 x 的一元二次不等式 ax
2

? 1 ? ax 对于一切实数 x 都成立的充要条件.

解析:求一个问 题的充要条件,就是把这个问题进行等价转化 由题可知等价于
?a ? 0 ? a ? 0 或 ?a ? 0 ? a ? 0 或 0 ? a ? 4 ? 0 ? a ? 4 ?? ? 0 ?

14.证明:对于 x , y ? R , xy

?0

是x

2

? y ?0
2

的必要不充分条件.

解析:要证明必要不充分条件,就是要证明两个,一个是必要条件,另一个是不充分条件 必要性:对于 x , y ? R ,如果 x 则x
?0
2

? y ?0
2

,y

?0

即 xy
2

?0

故 xy

?0

是x

2

? y ?0

的必要条件
?0

不充分性:对于 x , y ? R ,如果 xy 故 xy
?0

,如 x

?0

,y

?1

,此时 x

2

? y ? 0
2

是x

2

? y ?0
2

的不充分条件
?0

综上所述:对于 x , y ? R , xy 15. p : ? 2 ?
x ? 10

是x

2

? y ?0
2

的必要不充分条件. .若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实

;q :

1 ? m ? x ? 1 ? m ?m ? 0?

数 m 的取值范围. 解析:由于 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,则 p 是 q 的充分不必要条件 于是有

?1 ? m ? ? 2 ? ?1 0 ? 1 ? m ? m ? 9

16.已知 p :方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负实根,q :方程 4 x ? 4 ( m ? 2 ) x ? 1 ? 0
2

2

无实根,若 p 或 q 为真, p 且 q 为假,求 m 的取值范围. 解析:由 p 命题可 解得 m ? 2 ,由 q 命题可解得 1 ? m ? 3 ; 由命题 p 或 q 为真, p 且 q 为假,所以命题 p 或 q 中有一个是真,另一个是假
?m ? 2 ? (1)若命题 p 真而 q 为假则有 ? m ? 1, 或 m ? 3 ? m ? 3 ?m ? 2 ? (2)若命题 p 真而 q 为假,则有 ? 1 ? m ? 3 ? 1 ? m ? 2

所以 m ? 3或 1 ? m ? 2 .


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