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程伟巅峰数学---《独孤九剑》--2014高考数学秒杀特训--讲义《一》(学生版)


程伟巅峰数学 ChengWeiFantasyMaths

中国高考与考研数学创新教学第一人

程伟巅峰数学
ChengWeiFantasyMaths 妙至毫颠的技巧演绎,酣畅淋漓的激情教学。

★★★程伟巅峰数学★★★ 《2014 新课标高考备战特训课程》 《十秒终结》

专用课程讲义 -独

孤九剑第 1、2、3、4、5 式 第一辑 第一辑---独孤九剑第

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中国高考与考研数学创新教学第一人

“独孤九剑”出自金庸小说《神雕侠侣》与《笑傲江湖》,为剑魔独孤求败所创,以无招胜 有招,杀尽仇寇奸人,败尽英雄豪杰,打遍天下无敌手。生平欲求一对手让自己回守一招而 不可得,最后埋剑空谷,茕茕了此一生。后被奇侠令狐冲掌握。分破剑式、破刀式、破枪式、 破鞭式、破索式、破掌式、破箭式、破气式、总决式共九式。

“六脉神剑”出自金庸小说《天龙八部》 ,乃大理段氏的最高武学,由大理开国皇帝段思平 所创。所谓六脉神剑,有质无形,是一套将剑意转化为剑气的高深武学。出剑时剑气急如电 闪,迅猛绝伦,以气走剑杀人于无形,堪称剑中无敌。分少商剑、商阳剑、中冲剑、关冲 剑、少冲剑、少泽剑共六剑。

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《程伟巅峰数学》 。 “天下武功,无坚不破,唯快不破 天下武功,无坚不破,唯快不破。 ”

“独孤九剑 ”--第一剑:破剑式 独孤九剑” ---第一剑:破剑式

专题一:空间垂直与平行命题的判定

☆☆典例精析☆☆
【典例一】设 a 、 b 是两条不同的直线, α 、 β 是两个不同的平面,则下列四个命题: ①若 a ⊥ b , a ⊥ α , b ? α ,则 b ∥ α ;②若 a ∥ α , a ⊥ β ,则 α ⊥ β ; ③若 a ⊥ β , α ⊥ β ,则 a ∥ α 或 a ? α ;④若 a ⊥ b , a ⊥ α , b ⊥ β ,则 α ⊥ β . 其中正确命题的个数为( )

A. 1 C. 3

B. 2 D. 4

【典例二】已知 α 、 β 是两个互相垂直的平面, m 、 n 是一对异面直线,下列四个结论: ① m ∥ α , n ? β ;② m ⊥ α , n ∥ β ;③ m ⊥ α , n ⊥ β ;④ m ∥ α , n ∥ β ,且 m 与

α 的距离等于 n 与 β 的距离.
其中是 m ⊥ n 的充分条件的为( )

A.① C.③

B.② D.④

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【典例三】设 α 、 β 、 γ 是三个互不重合的平面, m 、 n 是两条不重合的直线,则下列命 题中正确的是( ) 若α ∥ β , m ? β , m ∥α , 则m ∥β B.

A.若 α ⊥ β , β ⊥ γ ,则 α ⊥ γ C.若 α ⊥ β , m ⊥ α ,则 m ∥ β

D.若 m ∥ α , n ∥ β , α ⊥ β ,则 m ⊥ n

【典例四】已知 m 、 n 是两条不重合的直线, α 、 β 是两个不重合的平面,给出下列四个 命题: ①若 m ⊥ α , m ⊥ β ,则 α ∥ β ; ②若 m, n ? α , n ∥ β , m ∥ β ,则 α ∥ β ; ③若 m ∥ n , m ⊥ α ,则 n ⊥ α ; ④若 m ⊥ α , m ? β ,则 α ⊥ β . 其中正确命题的个数为( )

A. 1个 C. 3 个

B. 2 个 D. 4 个

【典例五】已知 a 、 b 、 c 是三条不同的直线,命题“ a ∥ b 且 a ⊥ c ? b ⊥ c ”是正确的, 如果把 a 、 b 、 c 中的两个或三个换成平面,在所得的命题中,真命题有( )

A. 1个 C. 3 个

B. 2 个 D. 4 个

【典例六】设 m 、 n 是两条不同的直线, α 、 β 、 γ 是三个不同的平面,给出下列命题: ①若 m ? β , α ⊥ β ,则 m ⊥ α ; ②若 m ∥ α , m ⊥ β ,则 α ⊥ β ; ③若 α ⊥ β , α ⊥ γ ,则 β ⊥ γ ; ④若 α ∩ γ = m , β ∩ γ = n , m ∥ n ,则 α ∥ β . 其中真命题的序号是__________________(写出所有真命题的序号).

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【典例七】已知两条不同的直线 m 、 n ,两个不同的平面 α 、 β ,则下列命题中正确的是 ( )

A.若 m ⊥ α , n ⊥ β , α ⊥ β ,则 m ⊥ n B.若 m ⊥ α , n ∥ β , α ⊥ β ,则 m ⊥ n C.若 m ∥ α , n ∥ β , α ∥ β ,则 m ∥ n D.若 m ∥ α , n ⊥ β , α ⊥ β ,则 m ∥ n

【典例八】关于直线 l 、 m 及平面 α 、 β ,下列命题中正确的是(



A.若 l ∥ α , α ∩ β = m ,则 l ∥ m C.若 l ⊥ α , l ∥ β ,则 α ⊥ β

B.若 l ∥ α , m ∥ α ,则 l ∥ m D.若 l ∥ α , m ⊥ l ,则 m ⊥ α

【典例九】设 α 、 β 、 γ 是三个不重合的平面, m 、 n 是不重合的直线,下列判断正确的 是( )

A.若 α ⊥ β , β ⊥ γ ,则 α ∥ γ C.若 m ∥ α , n ∥ α ,则 m ∥ n

B.若 α ⊥ β , l ∥ β ,则 l ⊥ α D.若 m ⊥ α , n ⊥ α ,则 m ∥ n

【典例十】已知 m 、 n 是两条不同的直线, α 、 β 、 γ 是三个不同的平面,则下列命题正 确的是( )

A.若 α ⊥ γ , α ⊥ β ,则 γ ∥ β C.若 m ∥ n , m ∥ α ,则 n ∥ α

B.若 m ∥ n , m ? α , n ? β ,则 α ∥ β D.若 n ⊥ α , n ⊥ β ,则 α ∥ β

【典例十一】 (2013 年广东省高考题理)设 m 、 n 是两条不同的直线, α 、 β 是两个不同 的平面.下列命题中正确的是( )

A.若 α ⊥ β , m ? α , n ? β ,则 m ⊥ n B.若 α ∥ β , m ? α , n ? β ,则 m ∥ n C.若 m ⊥ n , m ? α , n ? β ,则 α ⊥ β D.若 m ⊥ α , m ∥ n , n ∥ β ,则 α ⊥ β
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【典例十二】 (2013 年广东省高考题文)设 l 为直线, α 、 β 是两个不同的平面.下列命题 中正确的是( )

A.若 l ∥ α , l ∥ β ,则 α ∥ β C.若 l ⊥ α , l ∥ β ,则 α ∥ β

B.若 l ⊥ α , l ⊥ β ,则 α ∥ β D.若 α ⊥ β , l ∥ α ,则 l ⊥ β

【典例十三】 (2013 年浙江省高考题)设 m 、 n 是两条不同的直线, α 、 β 是两个不同的 平面.则( )

A.若 m ∥ α , n ∥ α ,则 m ∥ n C.若 m ∥ n , m ⊥ α ,则 n ⊥ α

B.若 m ∥ α , m ∥ β ,则 α ∥ β D.若 m ∥ α , α ⊥ β ,则 m ⊥ β

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专题二:各类空间几何体外接球的半径、体积、表面积

☆☆典例精析☆☆
【典例一】 (2013 年天津市高考题)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积 为

9π ,则正方体的棱长为________. 2

【典例二】 在三棱锥 A ? BCD 中, 侧棱 AB 、 AC 、 AD 两两垂直, ?ABC 、 ?ACD 、 ?ADB 的面积分别为

2 3 6 、 、 ,则三棱锥 A ? BCD 的外接球的体积为( 2 2 2 B. 2 6π D. 4 6π



A. 6π C. 3 6π

【典例三】半径为 2 的球面上有 A 、 B 、 C 、 D 四点,且 AB 、 AC 、 AD 两两垂直, 则三个三角形面积之和 S ?ABC + S ?ACD + S ?ADB 的最大值为( )

A. 4 C. 16

B. 8 D. 32

【典例四】在三棱锥 S ? ABC 中,侧棱 SC ⊥ 平面 SAB , SA ⊥ BC ,侧面 ?SAB ,

3 ?SBC , ?SAC 的面积分别为1 , , 3 ,则此三棱锥的外接球的表面积为( 2 A. 14π C. B. D.



π 4
2π 3

π 3

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【典例五】已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, SA ⊥ 平面 ABC ,

SA = 2 3 , AB = 1 , AC = 2 , ∠BAC = 600 ,则球 O 的表面积为(
A. 4π C. 16π B. 12π D. 64π



【典例六】设三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱垂直于底面, AB = AC = 2 , ∠BAC = 900 ,

AA′ = 2 ,且三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是(
A. 4π C. 16π B. 8π D. 12π



【典例七】(2013 年辽宁省高考题)已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球 面上.若 AB = 3 , AC = 4 , AB ⊥ AC , AA1 = 12 ,则球 O 的半径为( )

A. C.

3 17 2 13 2

B. 2 10 D. 3 10

【典例八】 已知点 P 、 A 、 B 、 C 、 D 是球 O 表面上的点, PA ⊥ 平面 ABCD , 四边形 ABCD 是边长为 2 3 的正方形.若 PA = 2 6 ,则 ? OAB 的面积为___________.

【典例九】已知三棱锥 S ? ABC 的底面 ABC 是边长为 1 的正三角形,且 SA ⊥ 面 ABC ,

SA = 2 ,则该三棱锥的外接球的体积为__________.

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【典例十】点 A 、 B 、 C 、 D 均在同一球面上,其中 ?ABC 是正三角形, AD ⊥ 平面

ABC , AD = 2 AB = 6 ,则该球的体积为_________.

【典例十一】四面体 A ? BCD 中, AB = CD = 4 , BC = AC = AD = BD = 5 ,则此四面 体外接球的表面积为_________.

【典例十二】 已知正三棱锥 P ? ABC , 点 P 、 A 、 B 、 C 都在半径为 3 的球面上,若 PA 、

PB 、 PC 两两互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为____________.

【典例十三】一个四棱锥的底面是正方形,其顶点在底面的射影为正方形的中心.已知该 四棱锥的各顶点都在同一个球面上,且该四棱锥的高为 3 ,体积为 6 ,则这个球的表面积是 ( )

A. 10π C. 12π

B. 16π D. 18π

【典例十四】球 O 与底面边长为 3 的正三棱柱各侧面均相切,则球 O 的表面积为________.

【典例十五】已知 A 、 B 、 C 是球 O 的球面上三点,三棱锥 O ? ABC 的高为 2 2 ,且

∠ABC = 600 , AB = 2 , BC = 4 ,则球 O 的表面积为( A. 24π C. 48π B. 32π D. 192π



【典例十六】 (2013 年新课标高考题)已知正四棱锥 O ? ABCD 的体积为 为 3 ,则以 O 为球心, OA 为半径的球的表面积为_________.

3 2 ,底面边长 2

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【典例十七】点 A 、 B 、 C 、 D 在同一个球的球面上, AB = BC = 面体 ABCD 体积的最大值为

2 , AC = 2 ,若四

2 ,则这个球的表面积为( 3 B. 8π D. 25π 16



A. C.

125π 6 25π 4

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专题三:与三角形有关的三视图

☆☆典例精析☆☆
【典例一】已知某三棱锥的三视图(单位: cm )如图所示,则该三棱锥的体积是( )

A. 1cm3 C. 3cm3

B. 2cm3 D. 4cm3

【典例二】 已知某三棱锥的三视图 (单位: cm ) 如图所示, 则该三棱锥的体积等于_____ cm3 .

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【典例三】如图,某几何体的正视图(主视图) ,侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三 角形,等腰三角形和菱形,则该几何体体积为( )

A. 4 3 C. 2 3

B. 4 D. 2

【典例四】已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位: cm ) ,可得这个 几何体的体积是( )

A.

4000 3 cm 3

B.

8000 3 cm 3

C. 2000cm3

D. 4000cm3

【典例五】如图,一个空间几何体的三视图如图所示,其中,主视图中 ?ABC 是边长为 2 的 正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的体积为( )

A. 3 C. 3

B. D.

3 2 3 2

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【典例六】一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为(



A. C.

(8 + π )
6

3

B. D.

( 8 + 2π )
6

3

(6 + π )
6

3

( 9 + 2π )
6

3

【典例七】一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于(



A. 4 C. 8

B. 6 D. 12

【典例八】 设某几何体的三视图如下 (尺寸的长度单位为 m ) . 则该几何体的体积为 (



m3 .
A. 3 C. 5 B. 4 D. 6

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【典例九】某空间几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积(



A.有最大值 2 C.有最大值 6

B.有最大值 4 D.有最小值 2

【典例十】某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 ( )

3 ,则正视图中的 x 的值是 2

A. 2 C. 3 2

B.

9 2

D. 3

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《程伟巅峰数学》 。 “天下武功,无坚不破,唯快不破 天下武功,无坚不破,唯快不破。 ”

”--第二剑:破刀式 “独孤九剑 独孤九剑” ---第二剑:破刀式

专题一:等差数列、等比数列

☆☆典例精析☆☆ ☆☆等差数列☆☆
【典例一】等差数列 {an } 中, a1 + a5 = 10 , a4 = 7 ,则数列 {an } 的公差为( )

A. 1 C. 3

B. 2 D. 4

【典例二】在等差数列 {an } 中,已知 a4 + a8 = 16 ,则该数列前 11 项和 S11 = (



A. 58 C. 143

B. 88 D. 176

【典例三】 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a5 = 5 , S5 = 15 , 则数列 ? 项和为( )

? 1 ? ? 的前 100 ? an an +1 ?

A. C.

100 101 99 100

B. D.

99 101 101 100

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【典例四】在等差数列 {an } 中, a2 = 1 , a4 = 5 ,则 {an } 的前 5 项和 S5 = (



A. 7 C. 20

B. 15 D. 25

2 【典例五】已知递增的等差数列 {an } 满足 a1 = 1 , a3 = a2 ? 4 ,则

an = ___________.

【典例六】已知 {an } 为等差数列, Sn 为其前 n 项和.若 a1 =

1 , S 2 = a3 ,则 2

a2 = ___________, an = ___________.

【典例七】设数列 {an } 、 {bn } 都是等差数列,若 a1 + b1 = 7 , a3 + b3 = 21 ,则

a5 + b5 = __________.

【典例八】设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 = 1 ,公差 d = 2 , S k + 2 ? S k = 24 ,则 k 等于( )

A. 8 C. 6

B. 7 D. 5

【典例九】设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,且 a1 = 1 , a4 = 7 ,则 S5 = __________.

【典例十】在等差数列 {an } 中, a3 + a7 = 37 ,则 a2 + a4 + a6 + a8 = _____.

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【典例十一】如果等差数列 {an } 中, a3 + a4 + a5 = 12 ,那么 a1 + a2 + … + a7 = (



A. 14 C. 28

B. 21 D. 35

【典例十二】等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 = 6 , a3 = 4 ,则公差 d 等于(



A. 1 C. 2

B.

5 3

D. 3

【典例十三】记等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 =

1 , S4 = 20 ,则 S6 等于( 2



A. 16 C. 36

B. 24 D. 48

【典例十四】在等差数列 {an } 中, a3 = 7 , a5 = a2 + 6 ,则 a6 = _______.

【典例十五】设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 S9 = 72 ,则 a2 + a4 + a9 = __________.

【典例十六】设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a5 = 5a3 ,则

S9 = ____. S5

【典例十七】已知 {an } 为等差数列,若 a1 + a5 + a9 = π ,则 cos ( a2 + a8 ) 的值为(



A. ? C. 1 2

1 2

B. ? D.

3 2

3 2
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【典例十八】 已知数列 {an } 是等差数列, 且 a1 + a4 + a7 = 2π , 则 tan ( a3 + a5 ) 的值为 (



A. 3 C. 3 3

B. ? 3 D. ? 3 3

【典例十九】已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 小值为__________.

a4 1 = , S7 ? S 4 = 15 ,则 Sn 的最 S4 12

【典例二十】 (2013 年安徽省高考题) 设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和, S8 = 4a3 , a7 = ?2 , 则 a9 = ( )

A. ?6 C. ?2

B. ?4 D. 2

【典例二十一】 (2013 年广东省高考题理)在等差数列 {an } 中,已知 a3 + a8 = 10 ,则

3a5 + a7 = _________.

【典例二十二】 (2013 年重庆市高考题理)已知 {an } 是等差数列, a1 = 1 ,公差 d ≠ 0 , Sn 为其前 n 项和,若 a1 、 a2 、 a5 成等比数列,则 S8 = _________.

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☆☆等比数列☆☆
【典例二十三】公比为 2 的等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3 a11 = 16 ,则 log 2 a10 = ( )

A. 4 C. 6

B. 5 D. 7

【典例二十四】等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 + 3S 2 = 0 ,则公比 q = _________.

2 【典例二十五】已知等比数列 {an } 为递增数列,且 a5 = a10 , 2 ( an + an + 2 ) = 5an +1 ,则数

列 {an } 的通项公式 an = _________.

【典例二十六】已知等比数列 {an } 为递增数列.若 a1 > 0 ,且 2 ( an + an + 2 ) = 5an +1 ,则数列

{an } 的公比 q = _________.

【典例二十七】首项为 1 ,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S4 = ________.

【典例二十八】若等比数列 {an } 满足 a2 a4 =

1 2 ,则 a1a3 a5 = ________. 2

n 【典例二十九】若等比数列 {an } 满足 an an +1 = 16 ,则公比为(



A. 2 C. 8

B. 4 D. 16

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【典例三十】已知 {an } 是递增等比数列, a2 = 2 , a4 ? a3 = 4 ,则此数列的公比

q = ________.

【典例三十一】在等比数列 {an } 中,若 a1 =

1 , a4 = 4 ,则公比 q = ________. 2

【典例三十二】设 Sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 + a5 = 0 ,则

S5 等于( S2



A. 11 C. ?8

B. 5 D. ?11

【典例三十三】 在等比数列 {an } 中, a1 = 1 , 公比 q ≠ 1 .若 am = a1a2 a3 a4 a5 , 则 m =(



A. 9 C. 11

B. 10 D. 12

【典例三十四】设 {an } 是任意等比数列,它的前 n 项和、前 2 n 项和与前 3n 项和分别为 X 、

Y 、 Z ,则下列等式中恒成立的是(
A. X + Z = 2Y C. Y 2 = XZ



B. Y (Y ? X ) = Z ( Z ? X ) D. Y (Y ? X ) = X ( Z ? X )

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【典例三十五】已知 {an } 是首项为 1的等比数列, Sn 是 {an } 的前 n 项和,且 9S3 = S6 ,则 数列 ?

?1? ? 的前 5 项和为( ? an ?



A. C.

15 或5 8 31 16

B. D.

31 或5 16 15 8

【典例三十六】设 {an } 是由正数组成的等比数列, Sn 为其前 n 项和.已知 a2 a4 = 1 , S3 = 7 , 则 S5 等于( )

A. C.

15 2 33 4

B. D.

31 4 17 2

【典例三十七】等比数列 {an } 中, a1 = 1 , a5 = ?8a2 , a5 > a2 ,则 an 等于(



A. ( ?2 ) C. ( ?2 )

n ?1

B. ? ( ?2 )

n ?1

n

D. ? ( ?2 )

n

【典例三十八】在等比数列 {an } 中,若公比 q = 4 ,且前 3 项之和等于 21 ,则该数列的通项 公式是___________.

【典例三十九】等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若

S6 S = 3 ,则 9 等于( S3 S6
7 3



A. 2 C. 8 3

B.

D. 3
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【典例四十】设等比数列 {an } 的公比 q =

S4 1 = _______. ,前 n 项和为 Sn ,则 a4 2

【典例四十一】等比数列 {an } 的公比 q > 0 .已知 a2 = 1 , an +2 + an +1 = 6an ,则 {an } 的前 4 项和 S4 = _______.

【典例四十二】设等比数列 {an } 的公比 q = 2 ,前 n 项和为 Sn ,则

S4 等于( a2



A. 2 C. 15 2

B. 4 D. 17 2

【典例四十三】 已知数列 {an } 为等比数列, Sn 是它的前 n 项和.若 a3 a5 = 等差中项为 ,则 S5 的值为(

1 a1 , 且 a4 与 a7 的 4

9 8



A. 35 C. 31

B. 33 D. 29

【典例四十四】 (2013 年新课标高考题) 等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .已知 S3 = a2 + 10a1 ,

a5 = 9 ,则 a1 = (
A. C. 1 3 1 9



B. ? D. ?

1 3 1 9

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【典例四十五】 (2013 年广东省高考题文)设数列 {an } 是首项为 1,公比为 ?2 的等比数列, 则 a1 + a2 + a3 + a4 = _________.

【典例四十六】 (2013 年辽宁省高考题) 已知等比数列 {an } 是递增数列, Sn 是 {an } 的前 n 项 和.若 a1 、 a3 是方程 x 2 ? 5 x + 4 = 0 的两个根,则 S6 = _________.

【典例四十七】(2013 年北京市高考题理)若等比数列 {an } 满足: a2 + a4 = 20 ,

a3 + a5 = 40 ,则公比 q = ______;前 n 项和 S n = ___________.

【典例四十八】 (2013 年江苏省高考题)若正项等比数列 {an } 中, a5 = 满足 a1 + a2 + ? + an > a1a2 ? an 的最大正整数 n 的值为_______.

1 , a6 + a7 = 3 .则 2

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求一般数列的通项公式、前 n 项和 专题二: 专题二:求一般数列的通项公式、前

☆☆典例精析☆☆
2 4 6 , , , …的一个通项公式为( 3 5 7 B. an = D. an =

【典例一】数列 0 ,



A. an = C. an =

n ?1 (n ∈ Z* ) n +1
2 ( n ? 1) (n ∈ Z* ) 2n ? 1

n ?1 (n ∈ Z * ) 2n + 1
2n n∈Z* ) ( 2n + 1

【典例二】在数列 {an } 中, a1 = 1 ,

1 1 ? = n ,则数列 {an } 的通项公式为 an = ( an+1 an B. D. 2 n ?n+2
2



A. C.

2 n ?n
2

1 n ? 2n + 2
2

2 n ? 2n
2

【典例三】 已知数列 {an } 满足 a1 = 1 , 且 an = 的通项公式为 an = ( )

1 * ?1? 且 n∈ N ), 则数列 {an } an ?1 + ? ? ( n ≥ 2 , 2 ?2?

n

A.

2n n +1

B.

n +1 2n
n

C. n + 1

D. ( n + 1) 2

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【典例四】已知等比数列 {an } 的前三项依次为 a ? 2 , a + 2 , a + 8 ,则 an = (



? 3? A. 8 × ? ? ? 2? ?3? C. 8 × ? ? ?2?

n

?2? B. 8 × ? ? ?3?

n

n ?1

?2? D. 8 × ? ? ?3?

n ?1

【典例五】已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 = 1 , S n = 2an+1 ,则 S n = (



A. 2

n ?1

? 3? B. ? ? ? 2?
n ?1

n ?1

? 2? C. ? ? ? 3?

D.

1 2n?1

【典例六】数列 1, 为( )

1 1 1 1 , , , …, , …的前 n 项和 1+ 2 1+ 2 + 3 1 + 2 + 3 + 4 1+ 2 + 3 +… + n

A. C.

2n 2n + 1 2+n n +1

B. D.

2n n +1 3n 2n + 1

【典例七】已知 {an } 是等比数列, a3 = 1 , a6 =
?n A. 16 (1 ? 4 )

1 ,则 a1a2 + … + an an +1 = ( 8



?n B. 16 (1 ? 2 )

C.

32 (1 ? 4? n ) 3

D.

32 (1 ? 2? n ) 3

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【典例八】 (2013 年新课标高考题) 设首项为 1 , 公比为 则( )

2 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 3

A. Sn = 2an ? 1 C. S n = 4 ? 3an

B. Sn = 3an ? 2 D. Sn = 3 ? 2an

【典例九】已知数列 {an } 、 {bn } 满足 a1 = b1 = 1 , an +1 ? an = 列 {bn } 的前10 项和为( )

bn+1 = 2 , n ∈ N ? ,则数 bn

A. C.

1 10 ( 4 ? 1) 3 1 9 ( 4 ? 1) 3

B. D.

4 10 ( 4 ? 1) 3 4 9 ( 4 ? 1) 3

【典例十】 (2013 年全国高考题)已知数列 {an } 满足 3an +1 + an = 0 , a2 = ? 前 10 项和等于( )
?10

4 ,则 {an } 的 3

A. ?6 (1 ? 3

)

B.

1 (1 ? 310 ) 9

?10 C. 3 (1 ? 3 )

?10 D. 3 (1 + 3 )

n * 【典例十一】已知数列 {an } 满足 a1 = 1 , an +1 ? an = 2 n ∈ N , Sn 是数列 {an } 的前 n 项

(

)

和,则 S2012 = (



A. 2 2012 ? 1 C. 3 × 21006 ? 1

B. 3 × 21006 ? 3 D. 3 × 21005 ? 2

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【典例十二】数列 {an } 的通项公式 an = n cos

nπ ,其前 n 项和为 Sn .则 S2012 等于( 2
B. 2012 D. 0



A. 1006 C. 503

【典例十三】数列 {an } 满足 an +1 + ( ?1) an = 2n ? 1 ,则 {an } 的前 60 项和为(

n



A. 3690 C. 1845

B. 3660 D. 1830

【典例十四】已知每项均大于零的数列 {an } 中,首项 a1 = 1 且前 n 项和 Sn 满足

S n S n ?1 ? S n ?1 S n = 2 S n S n ?1 ( n ∈ N + 且 n ≥ 2 ) ,则 a81 = (



A. 720 C. 640

B. 700 D. 600

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《程伟巅峰数学》 。 “天下武功,无坚不破,唯快不破 天下武功,无坚不破,唯快不破。 ”

“独孤九剑 ”--第三剑:破枪式 独孤九剑” ---第三剑:破枪式

专题一:函数的定义域与值域

☆☆典例精析☆☆

【函数的定义域】
【典例一】若

f ( x) =

1 log 1 ( 2 x + 1) ,则 f ( x ) 的定义域为(
2



? 1 ? A. ? ? , 0 ? ? 2 ?
? 1 ? C. ? ? , +∞ ? ? 2 ?

? 1 ? B. ? ? , 0 ? ? 2 ? D. ( 0, +∞ )

x 【典例二】 (2013 年山东省高考题)函数 f ( x ) = 1 ? 2 +

1 的定义域为( x+3



A. ( ?3, 0 ] C. ( ?∞, ?3) ∪ ( ?3, 0 ]

B. ( ?3,1] D. ( ?∞, ?3) ∪ ( ?3,1]

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【典例三】若函数 f ( x ) =

x?4 的定义域为 R ,则实数 m 的取值范围是( mx + 4mx + 3
2



A. ( ?∞, +∞ )
?3 ? C. ? , +∞ ? ?4 ?

? 3? B. ? 0, ? ? 4? ? 3? D. ?0, ? ? 4?

【函数的值域】
【典例四】函数 f ( x ) =

x2 + 2 x + 2 的值域是( x +1



A. ( ?∞, ?2] ∪ [ 2, +∞ ) C. [ ?2, 2]

B. ( ?∞, ?2 ) ∪ ( 2, +∞ ) D. ? ? 2 2, +∞

)

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专题二:解二次不等式、分式不等式、绝对值不等式

☆☆典例精析☆☆
【典例一】不等式

x ?1 ≤ 0 的解集为( 2x +1



? 1 ? A. ? ? ,1? ? 2 ? 1? ? C. ? ?∞, ? ? ∪ [1, +∞ ) 2? ?

? 1 ? B. ? ? ,1? ? 2 ? 1? ? D. ? ?∞, ? ? ∪ [1, +∞ ) 2? ?

【典例二】不等式

x ?1 < 0 的解集为( x+2



A. (1, +∞ ) C. ( ?2,1)

B. ( ?∞, ?2 ) D. ( ?∞, ?2 ) ∪ (1, +∞ )

【典例三】不等式 2 x 2 ? x ? 1 > 0 的解集是(



? 1 ? A. ? ? ,1? ? 2 ? C. ( ?∞,1) ∪ ( 2, +∞ )

B. (1, +∞ )
1? ? D. ? ?∞, ? ? ∪ (1, +∞ ) 2? ?

【典例四】不等式 x ? 5 + x + 3 ≥ 10 的解集是(



A. [ ?5, 7 ] C. ( ?∞, ?5] ∪ [ 7, +∞ )

B. [ ?4, 6 ] D. ( ?∞, ?4] ∪ [ 6, +∞ )

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【典例五】不等式

x2 ? x ? 6 > 0 的解集为( x ?1



A. { x x < ?2 或 x > 3} C. { x ?2 < x < 1 或 x > 3}

B. { x x < ?2 或 1 < x < 3} D. { x ?2 < x < 1 或 1 < x < 3}

【典例六】不等式

x?2 x?2 > 的解集是( x x



A. ( 0, 2 ) C. ( 2, +∞ )

B. ( ?∞, 0 ) D. ( ?∞, 0 ) ∪ ( 0, +∞ )

【典例七】不等式

x+5

( x ? 1)

2

≥ 2 的解集是(



? 1? A. ? ?3, ? ? 2? ?1 ? C. ? ,1? ∪ (1,3] ?2 ?

? 1 ? B. ? ? ,3? ? 2 ? ? 1 ? D. ? ? ,1? ∪ (1,3] ? 2 ?

2 2 【典例八】已知 a ? 1 x ? ( a ? 1) x ? 1 < 0 的解集是 R ,则实数 a 的取值范围是(

(

)



3 A. a < ? 或 a > 1 5 3 C. ? < a ≤ 1 或 a = ?1 5

3 B. ? < a < 1 5 3 D. ? < a ≤ 1 5

3 【典例九】设偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ) = x ? 8 ( x ≥ 0 ) ,则 x f ( x ? 2 ) > 0 等于(

{

}



A. { x x < ?2 或 x > 4} C. { x x < 0 或 x > 6}

B. { x x < 0 或 x > 4} D. { x x < ?2 或 x > 2}
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2 【典例十】 (2013 年全国高考题)不等式 x ? 2 < 2 的解集是(



A. ( ?1,1) C. ( ?1, 0 ) ∪ ( 0,1)

B. ( ?2, 2 ) D. ( ?2, 0 ) ∪ ( 0, 2 )

【典例十一】 (2013 年江西省高考题)下列选项中,使不等式 x < 围是( )

1 < x 2 成立的 x 的取值范 x

A. ( ?∞, ?1) C. ( 0,1)

B. ( ?1, 0 ) D. (1, +∞ )

【典例十二】 (2013 年安徽省高考题)已知一元二次不等式 f ( x) < 0 的解集为 x x < ?1 或

{

1? x > ? ,则 f (10 x ) > 0 的解集为( 2?



A. { x x < ?1 或 x > ? lg 2} C. { x x > ? lg 2}

B. { x ?1 < x < ? lg 2} D. { x x < ? lg 2}

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专题三:解分段函数不等式与抽象函数不等式

☆☆典例精析☆☆
? 21? x , x ≤ 1 【典例一】设函数 f ( x ) = ? ,则满足 f ( x ) ≤ 2 的 x 的取值范围是( ?1 ? log 2 x, x > 1


A. [ ?1, 2] C. [1, +∞ )

B. [ 0, 2 ] D. [ 0, +∞ )

?log 2 x, x > 0 ? 【典例二】设函数 f ( x ) = ?log ( ? x ) , x < 0 .若 f ( a ) > f ( ?a ) ,则实数 a 的取值范围是 1 ? ? 2
( )

A. ( ?1, 0 ) ∪ ( 0,1) C. ( ?1, 0 ) ∪ (1, +∞ )

B. ( ?∞, ?1) ∪ (1, +∞ ) D. ( ?∞, ?1) ∪ ( 0,1)

2 ? ? x + 4 x, x ≥ 0 2 f x = 【典例三】已知函数 ( ) ? ,若 f ( 2 ? a ) > f ( a ) ,则实数 a 的取值范围 2 ? ?4 x ? x , x < 0

是(



A. ( ?∞, ?1) ∪ ( 2, +∞ ) C. ( ?2,1)

B. ( ?1, 2 ) D. ( ?∞, ?2 ) ∪ (1, +∞ )

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【典例四】函数 f ( x ) = ?

? x2 , x ≤ 0 ?4sin x, 0 < x ≤ π

,则集合 x f ( x ) > 2 = (

{

}



? π 5π ? A. ?∞, ? 2 ∪ ? , ? ?6 6 ?

(

)

?π ? B. ?∞, ? 2 ∪ ? , π ? ?6 ?

(

)

?π ? C. ?∞, ? 2 ∪ ? , +∞ ? ?6 ?

(

)

? π 5π ? D. ( ?∞, ?2 ) ∪ ? , ? ?6 6 ?

【典例五】已知函数 f ( x ) = ? ( )

? ? x + 1, ( x < 0 ) ,则不等式 x + ( x + 1) f ( x ? 1) ≤ 3 的解集是 ? ? ? x ? 1, ( x ≥ 0 )

A. { x x ≥ ?3} C. { x ?3 ≤ x ≤ 1}

B. { x x ≥ 1} D. { x x ≥ 1 或 x ≤ ?3}

? 1 In , x > 0 ? ? x 【典例六】已知 f ( x ) = ? ,则 f ′ ( x ) > ?1 的解集为( 1 ? ,x< 0 ? ?x



A. ( ?∞, ?1) ∪ (1, +∞ ) C. ( ?1, 0 ) ∪ (1, +∞ )

B. ( ?∞, ?1) ∪ ( 0,1) D. ( ?1, 0 ) ∪ ( 0,1)

【典例七】已知偶函数 f ( x ) 在区间 [ 0, +∞ ) 上单调递增,则满足 f ( 2 x ? 1) < f ? ? 的 x 的 取值范围是( )

?1? ? 3?

?1 2? A. ? , ? ?3 3? ?1 2? C. ? , ? ? 2 3?

?1 2 ? B. ? , ? ?3 3 ? ?1 2 ? D. ? , ? ?2 3?

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【典例八】已知函数 g ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x < 0 时, g ( x ) = ? In (1 ? x ) ,
3 ? ?x ( x < 0) 2 函数 f ( x ) = ? ,若 f ( 2 ? x ) > f ( x ) ,则实数 x 的取值范围是( ? ? g ( x )( x > 0 )



A. ( ?2,1) C. ( ?1, 2 )

B. ( ?∞, ?2 ) ∪ 1, 2 ∪ D. ?2, ?

(

) ( 2, +∞ ) 2 ) ∪ ( ? 2, 0 ) ∪ ( 0,1)

(

【典例九】 二次函数 f ( x ) 的二次项系数为正数, 且对任意的 x ∈ R 都有 f ( x ) = f ( 4 ? x ) 成
2 2 立,若 f 1 ? 2 x < f 1 + 2 x ? x ,则实数 x 的取值范围是(

(

)

(

)



A. x > 2 C. ? 2 < x < 0

B. x < ?2 或 0 < x < 2 D. x < ?2 或 x > 0

【典例十】偶函数 f ( x )( x ∈ R ) 满足: f ( ?4 ) = f (1) = 0 ,且在区间 [ 0,3] 与 [ 3, +∞ ) 上分
3 别递减和递增,则不等式 x f ( x ) < 0 的解集为(



A. ( ?∞, ?4 ) ∪ ( 4, +∞ ) C. ( ?∞, ?4 ) ∪ ( ?1, 0 )

B. ( ?4, ?1) ∪ (1, 4 ) D. ( ?∞, ?4 ) ∪ ( ?1, 0 ) ∪ (1, 4 )

?x ? , ( x ≥ 0) 【典例十一】已知函数 f ( x ) = ? 2 ,则 f ? ? f ( x )? ? ≥ 1的充要条件是( ? x2 , ( x < 0) ? A. x ∈ ?∞, ? 2 ? ? C. x ∈ ( ?∞, ?1] ∪ ? ? 4 2, +∞



(

B. x ∈ ? ? 4 2, +∞

)

)

D. x ∈ ?∞, ? 2 ? ? ∪ [ 4, +∞ )

(

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2? x ? 2 + In , ?2 < x ≤ 1 ? ?x+3 2+ x f x = f x ? 2, 2 【典例十二】已知 ( ) 的定义域为 ( ,如 ) ,且 ( ) ? ? ?4 x 2 ? 5 x + 2 ,1 < x < 2 ? 3 ?
果f ? ? x ( x + 1) ? ? < 3 ,那么 x 的取值范围是(

2



A. ?2 < x < ?1 或 0 < x < 1 C. ?2 < x < ? 5 4

B. x < ?1 或 x > 1 D. ?1 < x < 0

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专题四:函数与不等式体系内的求参数取值范围问题

☆☆典例精析☆☆
【典例一】对实数 a 和 b ,定义运算“ ? ” : a ?b = ?

?a, a ? b ≤ 1 .设函数 ?b, a ? b > 1

f ( x ) = ( x 2 ? 2 ) ? ( x ? x 2 ) , x ∈ R .若函数 y = f ( x ) ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共
点,则实数 c 的取值范围是( )

3? ? A. ( ?∞, ?2] ∪ ? ?1, ? 2? ? 1? ?1 ? ? C. ? ?1, ? ∪ ? , +∞ ? 4? ? 4 ? ?

3? ? B. ( ?∞, ?2] ∪ ? ?1, ? ? 4? ? 3 ? ?1 ? ? D. ? ?1, ? ? ∪ ? , +∞ ? 4? ?4 ? ?

【典例二】 f ( x ) = ?

? ?log 2 x, 0 < x ≤ 2 ,若方程 f ( x ) = ax ? 1 有三个不同的实数根,则实数 ? ? x ?3 , x > 2


a 的取值范围是(

?1 ? A. ? ,1? ?3 ? 1? ? C. ? ?∞, ? ∪ [1, +∞ ) 3? ?

1? ? B. ? ?∞, ? ∪ (1, +∞ ) 3? ? ?1 ? D. ? ,1? ?3 ?

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【典例三】设 f ( x ) 与 g ( x ) 是定义在同一区间 [ a , b ] 上的两个函数,若函数

y = f ( x ) ? g ( x ) 在 x ∈ [ a, b] 上有两个不同的零点,则称 f ( x ) 和 g ( x ) 在 [ a, b ] 上是“关
2 联函数” ,区间 [ a , b ] 称为“关联区间”.若 f ( x ) = x ? 3 x + 4 与 g ( x ) = 2 x + m 在 [ 0,3] 上

是“关联函数” ,则 m 的取值范围是(



? 9 ? A. ? ? , ?2 ? ? 4 ? C. ( ?∞, ?2]

B. [ ?1, 0] ? 9 ? D. ? ? , +∞ ? ? 4 ?

? 7x ? 3 ?1 ? ? 2 x + 2 , x ∈ ? 2 ,1? ? ? ? 【典例四】已知函数 f ( x ) = ? ,函数 1 1 1 ? ? ?? x + , x ∈ 0, ? ? 6 ? 2? ? ? 3 ?π g ( x ) = a sin ? ?6 ? x ? ? 2a + 2 ( a > 0 ) ,若存在 x1 , x2 ∈ [ 0,1] ,使得 f ( x1 ) = g ( x2 ) 成立,则 ?


实数 a 的取值范围是(

?1 4? A. ? , ? ? 2 3? ? 2 4? C. ? , ? ? 3 3?

? 1? B. ? 0, ? ? 2? ?1 ? D. ? ,1? ?2 ?

2 【典例五】 已知函数 f ( x ) = 2 mx ? 2 ( 4 ? m ) x + 1 , g ( x ) = mx , 若对于任一实数 x , f ( x )

与 g ( x ) 的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是(



A. ( 0, 2 ) C. ( 2,8 )

B. ( 0,8 ) D. ( ?∞, 0 )

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2 【典例六】不等式 x + 3 ? x ? 1 ≤ a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为





A. ( ?∞, ?1] ∪ [ 4, +∞ ) C. [1, 2]

B. ( ?∞, ?2] ∪ [ 5, +∞ ) D. ( ?∞,1] ∪ [ 2, +∞ )

2 【典例七】 (2013 年全国高考题理)若函数 f ( x ) = x + ax +

1 ?1 ? 在 ? , +∞ ? 是增函数,则 a x ?2 ?

的取值范围是(



A. [ ?1, 0] C. [ 0,3]

B. [ ?1, +∞ ] D. [3, +∞ ]

【典例八】 (2013 年新课标高考题)若存在正数 x 使 2 ( )

x

( x ? a ) < 1 成立,则 a 的取值范围是

A. ( ?∞, +∞ ) C. ( 0, +∞ )

B. ( ?2, +∞ ) D. ( ?1, +∞ )

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专题五:《差异取值验证法》的深度拓展

☆☆典例精析☆☆ 【简易逻辑】
2 【典例一】设 p : 4 x ? 3 ≤ 1 , q : x ? ( 2 a + 1) x + a ( a + 1) ≤ 0 ,若非 p 是非 q 的必要不

充分条件,则实数 a 的取值范围是(



? 1? A. ?0, ? ? 2?
?1 ? C. ( ?∞, 0] ∪ ? , +∞ ? ?2 ?

? 1? B. ? 0, ? ? 2?
?1 ? D. ( ?∞, 0 ) ∪ ? , +∞ ? ?2 ?

【函数的基本性质】
?a x , ( x > 1) ? 【典例二】若 f ( x ) = ?? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围 a? ?? 4 ? 2 ? x + 2, ( x ≤ 1) ? ??
为( )

A. [ ?4,8] C. ( 4,8 )

B. [ 4,8 ) D. (1,8)

【典例三】 已知偶函数 f ( x ) 在区间 [ 0, +∞ ) 上单调递增, 则满足 f 取值范围是( )

(

x + 2 < f ( x) 的 x 的

)

A. ( 2, +∞ ) C. [ ?2, ?1) ∪ ( 2, +∞ )

B. ( ?∞, ?1) ∪ ( 2, +∞ ) D. ( ?1, 2 )

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【函数的图像与零点】
【典例四】直线 y = x 与函数 f ( x ) = ? 个公共点,则实数 m 的取值范围是(

?2, x > m
2 ? x + 4 x + 2, x ≤ m

的图象恰有三



A. [ ?1, 2 ) C. [ 2, +∞ )

B. [ ?1, 2] D. ( ?∞, ?1]

【三角函数】
【典例五】已知 ω > 0 ,函数 f ( x ) = sin ? ω x + 是( )

? ?

π ? ?π ? ? 在 ? , π ? 单调递减,则 ω 的取值范围 4? ?2 ?

?1 5? A. ? , ? ? 2 4? ? 1? C. ? 0, ? ? 2?

?1 3? B. ? , ? ? 2 4?

D. ( 0, 2 ]

【典例六】函数 f ( x ) = sin x ? cos ? x +

? ?

π? ? 的值域为( 6?



A. [ ?2, 2] C. [ ?1,1]

? B. ? ? ? 3, 3 ?

? 3 3? , ? D. ? ? 2 2 ? ?

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【典例七】如果 sin 3 θ ? cos 3 θ > cos θ ? sin θ ,且 θ ∈ ( 0, 2π ) ,那么角 θ 的取值范围是 ( )

? π? A. ? 0, ? ? 4?

? π 3π ? B. ? , ? ?2 4 ?

? π 5π ? C. ? , ? ?4 4 ?

? 5π ? D. ? , 2π ? ? 4 ?

【平面向量】
【典例八】已知 i 与 j 为互相垂直的单位向量, a = i ? 2 j , b = i + λ j 且 a 与 b 的夹角为锐 角,则实数 λ 的取值范围是( )

?

?

?

?

1? ? A. ( ?∞, ?2 ) ∪ ? ?2, ? 2? ? 2? ? 2 ? ? C. ? ?2, ? ∪ ? , +∞ ? 3? ? 3 ? ?

?1 ? B. ? , +∞ ? ?2 ? 1? ? D. ? ?∞, ? 2? ?

【典例九】在 ? ABC 中,点 O 在线段 BC 的延长线上,且与点 C 不重合,若

???? ??? ? ???? AO = x AB + (1 ? x ) AC ,则实数 x 的取值范围是(



A. ( ?∞, 0 ) C. ( ?1, 0 )

B. ( 0, +∞ ) D. ( 0,1)

【解三角形】
【典例十】在锐角 ?ABC 中, BC = 1 , ∠B = 2 ∠A ,则 AC 的取值范围是( )

A. [ ?2, 2] C. ( 0, 2 ]

B. [ 0, 2 ] D.

(

2, 3

)
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【数列及其应用】
【典例十一】已知等比数列 {an } 中 a2 = 1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是( )

A. ( ?∞, ?1] C. [ 3, +∞ )

B. ( ?∞, 0 ) ∪ (1, +∞ ) D. ( ?∞, ?1] ∪ [ 3, +∞ )

【线性规划】
【典例十二】若实数 x , y 满足 ?

?x ? y +1 ≤ 0 y ,则 的取值范围是( x ?x > 0 B. ( 0,1] D. [1, +∞ )



A. ( 0,1) C. (1, +∞ )

?2 x ? y + 1 > 0 ? 【典例十三】(2013 年北京市高考题)设关于 x 、 y 的不等式组 ? x + m < 0 表示的平 ?y ? m > 0 ?
面区域内存在点 P ( x0 , y0 ) ,满足 x0 ? 2 y0 = 2 .求得 m 的取值范围是( )

4? ? A. ? ?∞, ? 3? ? 2? ? C. ? ?∞, ? ? 3? ?

1? ? B. ? ?∞, ? 3? ? 5? ? D. ? ?∞, ? ? 3? ?

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【平面解析几何】
【典例十四】若曲线 C1 : x 2 + y 2 ? 2 x = 0 与曲线 C2 : y ( y ? mx ? m ) = 0 有四个不同的交 点,则实数 m 的取值范围是( )

? 3 3? ? A. ? ? 3 , 3 ? ? ? ? ? 3 3? , ? C. ? ? ? 3 3 ?

? 3 ? ? 3? ? , 0 ∪ 0, B. ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 3 ?∞ , ? ∪ , +∞ D. ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 3 ?

【典例十五】若直线 y = kx + 2 与双曲线 x 2 ? y 2 = 6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范 围是( )

? 15 15 ? A. ? ?? 3 , 3 ? ? ? ? ? 15 ? C. ? ? ? 3 , 0? ? ? ?

? 15 ? B. ? ? 0, 3 ? ? ? ? ? 15 ? D. ? ? ? 3 , ?1? ? ? ?

【典例十六】若圆 ( x ? a ) + ( y ? a ) = 4 上,总存在不同两点到原点的距离等于 1 ,则实数

2

2

a 的取值范围是(



? 2 3 2? A. ? ? 2 , 2 ? ? ? ? ? 3 2 2? ? 2 3 2? ? , ? , C. ? ?∪? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2 ?

? 3 2 2? ? , ? B. ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 2 2? ? D. ? ? 2 , 2 ? ? ? ?

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”--第四剑:破鞭式 “独孤九剑 独孤九剑” ---第四剑:破鞭式
专题一:函数图像的变换

☆☆典例精析☆☆
【典例一】 把函数 y = cos 2 x + 1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变) , 然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移1 个单位长度,得到的图像是( )

A.

B.

C.

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D.

【典例二】要得到函数 y = ? sin 3 x 的图像,需把函数 y = ________的变化得到.( )

2 ( cos 3x ? sin 3x ) 按 2

A.沿 x 轴方向向右平移 C.沿 x 轴方向向右平移

π 个单位 4 π 个单位 12

B.沿 x 轴方向向左平移 D.沿 x 轴方向向左平移

π 个单位 4 π 个单位 12

【典例三】函数 f ( x ) = sin ( ω x + ? ) ? ω > 0, ? < 移

? ?

π? ? 的最小正周期为 π ,若其图像向左平 2?


π 个单位后得到的函数为奇函数,则函数 f ( x ) 的图象( 6
?π ? A.关于点 ? , 0 ? 对称 ? 12 ? C.关于直线 x = 5π 对称 12

? 5π ? B.关于点 ? , 0 ? 对称 ? 12 ? D.关于直线 x =

π 对称 12

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【典例四】要得到函数 y = 上所有的点的( )

π? ? 2 cos x 的图象,只需将函数 y = 2 sin ? 2 x + ? 的图象 4? ?

1 π ,再向左平行移动 个单位长度 A.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 2 8 1 π ,再向右平行移动 个单位长度 B.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 2 4
,再向左平行移动 C.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动 D.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)

π 个单位长度 4 π 个单位长度 8

【典例五】下图是函数 y = A sin (ω x + ? )( x ∈ R ) 在区间 ? ?

? π 5π ? , 上的图象.为了得到这 ? 6 6 ? ?


个函数的图象,只要将 y = sin x ( x ∈ R ) 的图象上所有的点(

A.向左平移 B.向左平移 C.向左平移 D.向左平移

π 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 3 2 π 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 π 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 6 2

π 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6

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【典例六】设 ω > 0 ,函数 y = sin ? ω x + 象重合,则 ω 的最小值是( )

? ?

π? 4π 个单位后与原图 ? + 2 的图象向右平移 3? 3
4 3

A. C.

2 3 3 2

B.

D. 3

【典例七】 (2013 年山东省高考题)将函数 y = sin ( 2 x + ? ) 的图像沿 x 轴向左平移 位后,得到一个偶函数的图像,则 ? 的一个可能取值为( )

π 个单 8

A.

3π 4

B.

π 4 π 4

C. 0

D. ?

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专题二:函数图象的识别与判定

☆☆典例精析☆☆
【典例一】函数 y = In cos x ? ?

π? ? π < x < ? 的图象是( 2? ? 2



A.

B.

C.

D.

【典例二】函数 y =

x ? 2sin x 的图象大致是( 2



A.

B.

C.

D.

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【典例三】已知函数 f ( x ) =

1 ,则 y = f ( x ) 的图像大致为( In ( x + 1) ? x



A.

B.

C.

D.

【典例四】函数 y = 2 x ? x 2 的图象大致是(



A.

B.

C.

D.

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3 2 【典例五】函数 f ( x ) = x ? x +

1 的图象大致是( 2



A.

B.

C.

D.

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专题三:线性规划

☆☆典例精析☆☆
?y ≤ 2 ? 【题型一】已知变量 x , y 满足约束条件 ? x + y ≥ 1,则 z = 3 x + y 的最大值为( ?x ? y ≤ 1 ? A. 12 C. 3 B. 11 D. ?1



?x + y ≤ 1 ? 【题型二】已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 1 ,则 z = x + 2 y 的最小值为( ?x +1 ≥ 0 ? A. 3 C. ?5 B. 1 D. ?6



?x ≥ 0 ? 【题型三】若 x , y 满足约束条件 ? x + 2 y ≥ 3 ,则 z = x ? y 的最小值是( ?2 x + y ≤ 3 ? A. ?3 C. 3 2 B. 0 D. 3



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【题型四】设变量 x , y 满足 x + y ≤ 1 ,则 x + 2 y 的最大值和最小值分别为(



A. 1, ?1 C. 1, ?2

B. 2 , ?2 D. 2 , ?1

? x ? y ≥ ?1 ?x + y ≤ 3 ? y 【题型五】设 x , 满足约束条件 ? ,则 z = x ? 2 y 的取值范围为_________. ?x ≥ 0 ? ?y ≥ 0

?x + 3y ? 3 ≥ 0 ? 【题型六】 若实数 x , y 满足不等式组 ?2 x ? y ? 3 ≤ 0 , 且 x + y 的最大值为 9 , 则实数 m 等 ? x ? my + 1 ≥ 0 ?
于( )

A. ?2 C. 1

B. ?1 D. 2

?2 x ? y + 2 ≥ 0 ? 【题型七】 设 x 、 y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ≤ 0 , 若目标函数 z = abx + y ( a > 0, b > 0 ) 的 ? x ≥ 0, y ≥ 0 ?
最大值为 8 ,则 a + b 的最小值为________.

?x ≥1 ? 【题型八】 (2013 年新课标高考题理)已知 a > 0 , x 、 y 满足约束条件 ? x + y ≤ 3 , 若 ? y ≥ a ( x ? 3) ?

z = 2 x + y 的最小值为 1,则 a = (
A. 1 4



B.

1 2

C. 1

D. 2
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?x ? y +1 ≥ 0 ? 【题型九】 (2013 年新课标高考题文) 设 x 、 y 满足约束条件 ? x + y ? 1 ≥ 0 , 则 z = 2x ? 3 y ?x ≤ 3 ?
的最小值是( )

A. ?7 C. ?5

B. ?6 D. ?3

? y ≤ 2x ? 【题型十】 (2013 年福建省高考题)若变量 x 、 y 满足约束条件 ? x + y ≤ 1,则 x + 2 y 的最 ? y ≥ ?1 ?
大值是( )

A. ? C. 5 3

5 2

B. 0 D. 5 2

?3x + y ? 6 ≥ 0 ? 【题型十一】 (2013 年天津市高考题)设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ≤ 0 ,则目标 ?y ?3 ≤ 0 ?
函数 z = y ? 2 x 的最小值为( )

A. ?7 C. 1

B. ?4 D. 2

?x + y ? 2 ≥ 0 ? 【题型十二】 (2013 年浙江省高考题)设 z = kx + y ,其中实数 x 、 y 满足 ? x ? 2 y + 4 ≥ 0 , ?2 x ? y ? 4 ≤ 0 ?
若 z 的最大值为 12 ,则实数 k = _______.

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?x ≥ 0 ? 【题型十三】 (2013 年全国高考题)若 x 、 y 满足约束条件 ? x + 3 y ≥ 4 ,则 z = ? x + y 的最 ?3 x + y ≤ 4 ?
小值为_______.

?x ? y + 3 ≥ 0 ? 【题型十四】 (2013 年广东省高考题)已知变量 x 、 y 满足约束条件 ??1 ≤ x ≤ 1 ,则 ?y ≥1 ?
z = x + y 的最大值是_________.

?x + y ≤ 8 ?2 y ? x ≤ 4 ? 【题型十五】 (2013 年四川省高考题) 若变量 x 、 y 满足约束条件 ? , 且 z = 5y ? x ?x ≥ 0 ? ?y ≥ 0
的最大值为 a ,最小值为 b ,则 a ? b 的值是( )

A. 48 C. 24

B. 30 D. 16

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”--第五剑:破索式 “独孤九剑 独孤九剑” ---第五剑:破索式
专题一:利用导数求函数的单调区间

☆☆典例精析☆☆
【典例一】函数 y =

1 2 x ? Inx 的单调递减区间为( 2



A. ( ?1,1] C. [1, +∞ )

B. ( 0,1] D. ( 0, +∞ )

【典例二】函数 f ( x ) = In 4 + 3x ? x

(

2

) 的单调递减区间为(
?3 ? B. ? , +∞ ? ?2 ?
?3 ? D. ? , 4 ? ?2 ?



3? ? A. ? ?∞, ? 2? ?
3? ? C. ? ?1, ? 2? ?

【典例三】函数 f ( x ) = sin ?

π? ?1 x + ? , x ∈ [ ?2π , 2π ] 的递增区间是( 3? ?2
? 5π π ? , ? B. ? ? ? 3 3? ? 5π ? D. ? , 2π ? 3 ? ?



5π ? ? A. ? ?2π , ? ? 3 ? ? ? π 5π ? C. ? , ? ?3 3 ?

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x x 【典例四】函数 f ( x ) = 2 ? 1 ? 2 的单调递减区间为(



A. ( ?∞, ?1) C. ( ?∞, 0 )

B. ( ?1, 0 ) D. ( ?1, +∞ )

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专题二:高次函数的单调区间、极值等相关问题

☆☆典例精析☆☆
【典例一】函数 f ( x ) =

1 3 x ? 2 x 2 + 3 x ? 1 的单调递减区间为__________. 3

【典例二】 若a > 0 ,b > 0, 且函数 f ( x ) = 4 x ? ax ? 2bx + 2 在 x = 1 处有极值, 则 ab 的 最大值等于( )

3

2

A. 2 C. 6

B. 3 D. 9

【典例三】若 f ( x ) = x + 3ax + 3 ( a + 2 ) x + 1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为 _____________.

3

2

3 2 【典例四】(2013 年新课标高考题)已知函数 f ( x ) = x + ax + bx + c ,下列结论中错误

的是(



A. ?x0 ∈ R , f ( x0 ) = 0 B.函数 y = f ( x ) 的图像是中心对称图形 C.若 x0 是 f ( x ) 的极小值点,则 f ( x ) 在区间 ( ?∞, x0 ) 单调递减 D.若 x0 是 f ( x ) 的极值点,则 f ′ ( x0 ) = 0

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专题三:利用基本不等式求最小值的应用

☆☆典例精析☆☆
【典例一】已知 a > 0 , b > 0 , a + b = 2 ,则 y =

1 4 + 的最小值是( a b



A. C.

7 2 9 2

B. 4 D. 5

【典例二】已知正项等比数列 {an } 满足: a7 = a6 + 2a5 ,若存在两项 am 、 an 使得

an am = 4a1 ,则
A. C. 3 2 25 6

1 4 + 的最小值为( m n



B.

5 3

D.不存在

?x ? y + 2 ≥ 0 ?3x ? y ? 2 ≤ 0 ? y x 【典例三】设 , 满足约束条件 ? ,若目标函数 z = ax + by ( a > 0, b > 0 ) 的 ?x ≥ 0 ? ?y ≥ 0
最大值为 6 ,则 log3 ?

?1 2? + ? 的最小值为( ?a b?



A. 1 C. 3

B. 2 D. 4

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x +3 【典例四】函数 y = a ? 2 ( a > 0, a ≠ 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线

x y + = ?1 上,且 m, n > 0 ,则 3m + n 的最小值为( m n A. 13 B. 16
C. 11 + 6 2 D. 28



【典例五】已知 P ( x, y ) 在经过点 A ( 3, 0 ) , B (1,1) 两点的直线上,则 2 x + 4 y 的最小值 为_____.

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