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2013届人教A版文科数学课时试题及解析(45)直线的倾斜角与斜率、直线的方程


课时作业(四十五) [第 45 讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程] [时间:35 分钟 分值:80 分] 基础热身 π 1.直线 xtan +y+2=0 的倾斜角 α 是( ) 3 π π 2π π A. B. C. D.- 3 6 3 3 2.下列说法中,正确的是( ) ①y+1=k(x-2)表示经过点(2,-1)的所有直线; ②y+1=k(x-2)表示经过点(2,-1)的无数条直线; ③直线 y+1=k(x-2)恒过定点; ④直线 y+1=k(x-2)不可能垂直于 x 轴.( ) A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 3.设直线 l 与 x 轴的交点是 P,且倾斜角为 α,若将此直线绕点 P 按逆时针方向旋转 45° ,得到直线的倾斜角为 α+45° ,则( ) A.0° ≤α<180° B.0° ≤α<135° C.0° <α≤135° D.0° <α<135° 4.已知△ABC 的三个顶点 A(3,-1)、B(5,-5)、C(6,1),则 AB 边上的中线所在的直 线方程为________. 能力提升 5.过点 P(1,2)且在两坐标轴上截距相等的直线的条数是( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 6.直线 l 经过 A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)两点,则直线 l 的倾斜角 α 的范围是( ) π π A.0≤α≤ B. <α<π 4 2 π π π 3π C. ≤α< D. <α≤ 4 2 2 4 1 7.已知直线 l 的倾斜角 α 满足条件 sinα+cosα= ,则 l 的斜率为( ) 5 4 3 A. B. 3 4 4 3 C.- D.- 3 4 1 8. 已知函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1), x>0 时, 当 f(x)<1, 方程 y=ax+ 表示的直线是( ) a

图 K45-1 9. 直线 l1: 3x-y+1=0,2: l x+5=0, 则直线 l1 与 l2 的相交所成的锐角为________. 10. 直线 2x+my=1 的倾斜角为 α,若 m∈(-∞,-2 3)∪[2,+∞),则 α 的取值 范围是________. 11. 在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中 正确的是________(写出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y=kx+b 不经过任何整点; ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点; ④直线 y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是:k 与 b 都是有理数; ⑤存在恰经过一个整点的直线. 12.(13 分)已知直线 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积为 3,分别求满足下列条件的
1

1 直线 l 的方程:(1)斜率为 ;(2)过定点 P(-3,4). 2

难点突破 π 2π 13.(12 分)(1)直线 l 经过点 A(1,2),B(m,3),若倾斜角 α∈?4, 3 ?,求实数 m 的取值范 ? ? 围; (2)过点 P(-1,-2)的直线分别交 x 轴、y 轴的负半轴于 A,B 两点,当|PA|· |PB|最小时, 求直线 l 的方程.

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课时作业(四十五) 【基础热身】 π 2π 1.C [解析] 由已知可得 tanα=-tan =- 3,因为 α∈[0,π),所以 α= .故选 C. 3 3 2.B [解析] y+1=k(x-2)表示的直线的斜率一定存在,且恒过点(2,-1),所以,它 不能表示垂直于 x 轴的直线,故①错误,其余三个都对.故选 B. 3.D [解析] 因为直线倾斜角的取值范围是[0° ,180° ),且直线 l 与 x 轴相交,其倾斜 角不能为 0° ,所以 45° <α+45° <180° ,得 0° <α<135° ,故选 D. 4.2x-y-11=0 [解析] 易知 AB 边的中点坐标为 D(4,-3),因为 AB 边上的中线所 y-1 x-6 在的直线经过点 C、D,由两点式得, = ,化简得 2x-y-11=0. -3-1 4-6 【能力提升】 5.B [解析] 注意到直线过原点时截距相等,都等于 0 和不过原点时倾斜角为 135° 两 种情况,所以这样的直线有 2 条.故选 B. 1+m2 π π 6.C [解析] 直线 l 的斜率 k=tanα= =m2+1≥1,所以 ≤α< . 4 2 2-1 7.C [解析] α 必为钝角,且 sinα 的绝对值大,故选 C. 8.C [解析] 由已知可得 a∈(0,1),从而斜率 k∈(0,1),且在 x 轴上的截距的绝对值大 于在 y 轴上的截距,故选 C. 9.30° [解析] 直线 l1 的斜率为 3,所以倾斜角为 60° ,而直线 l2 的倾斜角为 90° ,所 以两直线的夹角为 30° . π 3π 2 10.?0,6?∪? 4 ,π? [解析] 依题意 tanα=- ,因为 m∈(-∞,-2 3)∪[2,+∞), ? ? ? ? m π 3π 3 所以 0<tanα< 或-1≤tanα<0,所以 α∈?0,6?∪? 4 ,π?. ? ? ? ? 3 11.①③⑤ [解析] ①正确,比如直线 y= 2x+ 3,不与坐标轴平行,且当 x 取整 数时,y 始终是一个无理数,即不经过任何整点;②错,直线 y= 3x- 3中 k 与 b 都是无 理数,但直线经过整点(1,0);③正确,当直线经过两个整点时,它经过无数多个整点;④错 1 1 误,当 k=0,b= 时,直线 y= 不通过任何整点;⑤正确,比如直线 y= 3x- 3只经过一 3 3 个整点(1,0). 1 12. [解答] (1)设直线的方程为 y= x+b, 直线 l 与 x 轴、 轴交于点 M、 则 M(-2b,0), y N, 2 N(0,b), 1 所以 S△MON= |-2b||b|=b2=3,所以 b=± 3, 2 1 所以直线 l 的方程为:y= x± 3, 2 即 x-2y+2 3=0 或 x-2y-2 3=0. 4+3k ? (2)设直线 l 方程为 y-4=k(x+3), 直线 l 与 x 轴、 轴交于点 M、 则 M?- y N, ,0 , k ? ? N(0,3k+4), 4+3k? 1 所以 S△MON= ?- |3k+4|=3, 2? k ? 即(3k+4)2=6|k|. 解方程(3k+4)2=6k(无实数解)与(3k+4)2=-6k, 2 8 得 k=- 或 k=- , 3 3 2 8 所以,所求直线 l 的方程为 y-4=- (x+3)或 y-4=- (x+3), 3 3 即 2x+3y-6=0 或 8x+3y+12=0. 【难点突破】
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π 2π 1 13.[解答] (1)由直线 l 经过点 A(1,2),B(m,3)得斜率 k= ,而倾斜角 α∈?4, 3 ?, ? ? m-1 1 1 所以 k≥1 或 k≤- 3,即 ≥1 或 ≤- 3, m-1 m-1 3 所以 0<m-1≤1 或- ≤m-1<0, 3 3 即 1<m≤2 或 1- ≤m<1. 3 3 所以实数 m 的取值范围是 1<m≤2 或 1- ≤m<1. 3 2 (2)设直线 l 的方程为 y+2=k(x+1),令 x=0,得 y=k-2,令 y=0,得 x= -1,所以 k 2 4 4 A?k-1,0?,B(0,k-2),所以|PA|· |PB|= +4· k2+1= 4k2+ 2+8≥4,当且仅当 k2 ? ? k2 k 1 = 2,即 k=± 时等号成立,但 k<0,故直线 l 的方程为:x+y+3=0. 1 k

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