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数学课件:3-1-3 二倍角的正弦、余弦、正切公式


第三章
三角恒等变换

第三章
3. 1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第三章
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

课前自主预习

课堂典例讲练

课后强化作业

课前自主预习

温故知新 1.cos(α± β)=________;sin(α± β)=________;tan(α± β) =________.
[答案] tanα± tanβ 1?tanαtanβ cosαcosβ?sinαsinβ sinαcosβ± cosαsinβ

2.sin21° cos39° +cos21° sin39° 等于( 2 A. 2 3 C. 2 1 B.2 D.1

)

[答案] C

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第三章

3.1 3.1.3

3.已知tanα+tanβ=2,tan(α+β)=4,则tanαtanβ等于 ( ) A.2 1 C.2 B.1 D.4

[答案] C

1 7 4.若α、β是同一象限的角,且sinα=-3,cosβ= 4 . 则sin(α-β)=________.
6 2- 7 [答案] 12

新课引入 新兴家具厂有一批半径为R的圆木,现在要把它们截成长 方体形,如何截取才能使废料最少?我们设截面圆心为O,截 面上长方形ABCD的面积为S,∠AOB=α,则AB=Rsinα,OB =cosα,S=2R2sinαcosα,要使废料最少,就当应使S最大,本 节我们研究求S最大值的方法.

自主预习 阅读教材P132-135回答下列问题. 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表

三角函数 正弦

公式 sin2α= 2sinαcosα cos2α=cos2α-sin2α
2 2cos α-1 =

简记 S(α+β) S2 α

余弦

C(α+β)

C2 α

2 1 - 2sin α =

正切

2tanα 2 1 - tan α tan2α=

T(α+β)

T2α

[总结]对倍角公式的理解: ①成立的条件:在公式S2α,C2α中,角α可以为任意角, kπ π T2α则只有当α≠ + (k∈Z)时才成立. 2 4 ②倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式,其他如4α是2α的 α 3α 二倍、α是 的二倍、3α是 的二倍等等都是适用的. 2 2

3 4 已知sinα=5,cosα=5,则sin2α等于( 7 A.5 12 C.25 12 B. 5 24 D.25

)

[答案] D
24 [解析] sin2α=2sinαcosα=25.

1 已知cosα=3,则cos2α等于( 1 A.3 7 C.- 9 2 B.3 7 D. 9

)

[答案] C
[解析] 2 7 cos2α=2cos α-1=9-1=-9.
2

10 (2013· 浙江理)已知α∈R,sinα+2cosα= 2 ,则tan2α= ( ) 4 A.3 3 C.- 4 3 B.4 4 D.- 3

[答案] C

[解析]

本题考查三角函数同角间的基本关系.

10 将sinα+2cosα= 2 两边平方可得 5 sin α+4sinαcosα+4cos α=2.
2 2

将左边分子分母同除以cos2α得, 3+4tanα 3 = ,解得tanα=3, 1+tan2α 2 2tanα 6 3 ∴tan2α= = =-4. 1-tan2α 1-9

[拓展]倍角公式的变形公式 剖析:(1)公式的逆用: 1 2sinαcosα=sin2α;sinαcosα= sin2α; 2 sin2α cosα=2sinα; cos2α-sin2α=cos2α; 2tanα 2 =tan2α. 1-tan α

(2)公式的有关变形: 1± sin2α=sin2α+cos2α± 2sinαcosα =(sinα± cosα)2; 1+cos2α=2cos2α;1-cos2α=2sin2α; 1+cos2α 1-cos2α 2 cos α= ;sin α= . 2 2
2

(3)升幂和降幂公式
? α α ?2 升幂公式:1+sinα=?sin2+cos2? ; ? ? ? α α ?2 1-sinα=?sin2-cos2? ; ? ?

1+cosα=2cos ;1-cosα=2sin . 2 2 降幂公式: 1+cos2α 1-cos2α 2 cos α= ;sin α= . 2 2
2





函数y=sin2x的最大正周期为( A.2π C.3π B.π D.4π

)

[答案] B

[解析]

1-cos2x 1 1 y=sin x= = - cos2x 2 2 2
2

2π T= =π. 2

课堂典例讲练

思路方法技巧
命题方向1 用倍角公式化简
化简三角函数式: 2cos8+2-2 sin8+1. [分析] 算. 将根号下的式子化为完全平方式,再开出来运

[解析]

原式= 4cos24-2 1+2sin4cos4

=2|cos4|-2|sin4+cos4|, 3π ∵π<4< , 2 ∴cos4<0,sin4+cos4<0. ∴原式=-2cos4+2(sin4+cos4)=2sin4.

3π 若 2 <α<2π,化简:

1 1 2+2

1 1 2+2cos2α.

[解析]

3π 3π α 因为 <α<2π,所以 < <π. 2 4 2 1 1 2+2 1+cos2α 2 1 1 + cosα 2 2


所以原式= = =

1 1 + cos2α= 2 2 1+cosα 2 =

α cos 2=-cos2.

命题方向2

用倍角公式求值

求值:sin50° (1+ 3tan10° ). [分析] (1)“切”化“弦”,(2)异角化同角.

[解析]

3sin10° 原式=sin50° (1+ cos10° )

cos10° + 3sin10° =sin50° · cos10° 1 3 2?2cos10° + 2 sin10° ? =sin50° · cos10° 2?sin30° cos10° +cos30° sin10° ? =sin50° · cos10° 2sin40° 2cos40° sin40° =sin50° · = cos10° cos10° sin80° cos10° =cos10° =cos10° =1.

求值:tan70° cos10° · ( 3tan20° -1).

[解析]

sin70° 3sin20° 原式= · cos10° ( -1) cos70° cos20°

sin70° = 3cos10° -cos10° · cos70° cos10° · cos20° = 3cos10° -2sin10° · cos10° 3sin20° -cos20° = 2sin10° sin20° · cos30° -cos20° · sin30° = sin10° sin?20° -30° ? = sin10° =-1.

命题方向3

用倍角公式证明三角恒等式
1+sin4θ-cos4θ 1+sin4θ+cos4θ 求证: = . 2tanθ 1-tan2θ

[分析]

特证式子两边都较复杂,且角出现四倍角和单

2tanθ 角,若直接证明较复杂,可将要证式子变形,发现 1-tan2θ =tan2θ,所以只要证明式子1+sin4θ-cos4θ=tan2θ(1+sin4θ +cos4θ)即可.

[证明] cos4θ),①

原式变形为1+sin4θ-cos4θ=tan2θ(1+sin4θ+

而①式右边=tan2θ(1+cos4θ+sin4θ) sin2θ =cos2θ(2cos22θ+2sin2θcos2θ)=2sin2θcos2θ+2sin22θ =sin4θ+1-cos4θ=左边, ∴①式成立,即原式得证.

1+sin2θ-cos2θ 求证:(1) =tanθ; 1+sin2θ+cos2θ sin2θ+sinθ (2) =tanθ. 2 2cos2θ+2sin θ+cosθ

[证明]

1+2sinθcosθ-?1-2sin2θ? (1)左边= 1+2sinθcosθ+?2cos2θ-1?

2sinθ?cosθ+sinθ? sinθ = = =tanθ=右边, 2cosθ?sinθ+cosθ? cosθ 所以原式成立. 2sinθcosθ+sinθ (2)左边= 2?cos2θ-sin2θ?+2sin2θ+cosθ sinθ?2cosθ+1? sinθ = = =tanθ=右边, cosθ?2cosθ+1? cosθ 所以原式成立.

探索延拓创新
命题方向4 二倍角公式与向量、函数的综合问题

已知向量a=(1+sin2x,sinx-cosx),b=(1,sinx+ cosx),函数f(x)=a· b. (1)求f(x)的最大值及相应的x值; 8 π (2)若f(θ)=5,求cos2(4-2θ)的值. [分析] 解. 用向量数量积表示出f(x)转化成三角函数问题求

[解析] +cosx),

(1)因为a=(1+sin2x,sinx-cosx),b=(1,sinx

所以f(x)=1+sin2x+sin2x-cos2x=1+sin2x-cos2x= π sin(2x-4)+1. π π 因此,当2x-4=2kπ+2, 3π 即x=kπ+ 8 (k∈Z)时,f(x)取得最大值 2+1.

2

8 3 (2)由f(θ)=1+sin2θ-cos2θ及f(θ)= 得sin2θ-cos2θ= , 5 5 9 16 两边平方得1-sin4θ=25,即sin4θ=25. π π 16 因此,cos2(4-2θ)=cos(2-4θ)=sin4θ=25.

2 已知向量m=(cosα- ,-1),n=(sinα,1),m与n为共 3 π 线向量,且α∈[-2,0]. (1)求sinα+cosα的值; sin2α (2)求 的值. sinα-cosα

[解析]

(1)∵m与n为共线向量,

2 ∴(cosα- 3 )×1-(-1)×sinα=0, 2 即sinα+cosα= 3 . 2 (2)∵1+sin2α=(sinα+cosα) =9,
2

7 ∴sin2α=- , 9 ∵(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2,

2 2 16 ∴(sinα-cosα) =2-( ) = . 3 9
2

π 又∵α∈[-2,0], 4 ∴sinα-cosα<0,sinα-cosα=- . 3 sin2α 7 因此, = . sinα-cosα 12

名师辨误作答
忽略角的范围致错 化简 2- 2+ 2+2cosα(3π<α<4π).

[错解] 原式= = = = = 2- 2-

2-

2+

4cos



2

α 2+2cos 2 4cos


4

α 2-2cos4 α 4sin 8=2sin8.


= =

α 2+2cos4 α 4cos 8=2cos8.



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