当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

物理奥赛培训-力学(下)


Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

3.质点系的动量定理 3.1 质点系的动量

? ? ? p ? ? mi vi ? MvC
i

3.2 质点系

的动量定理

? I ? Mv

?

?
C

? ? MvC 0

1.柯尼希定理 质点系动能等于质心动能与体系相对于质心的动能 之和。此结论称为柯尼希定理。

1 1 1 2 Ek ? ? mi vi 2 ? MvC ? ? mi vi?2 2 i 2 i 2
特别地:两质点构成的质点系统的总动能为

Ek ?

1 1 mm 2 MvC ? ? vr2 (? ? 1 2 ——折合质量) m1 ? m2 2 2
m1 m2
C

2.质心参照系
固定在质心的参考系称为质心参考系或质心系。 ? 在讨论孤立质点系的运动时,采用质心系是方便的。在 质心系里,体系的动量恒为零,且孤立体系的质心系是惯 性系,动能定理、功能定理和机械能守恒定律都能适用。 ? 即使讨论非孤立体系的运动,有时采用质心系也是方便 的。可以证明,当质心系为非惯性参考系时,动能定理、 功能定理和机械能守恒定律也仍然正确。(这是因为在质 心参照系中,作用在各质点上的惯性力所做的总功为零。)

证明:

? ? ? ? ? ?Ai ? FIi ? ?ri? ? ?mi aC ? ? (ri ? rC ) ? ? ? ? ?aC ? ? (mi ri ? mi rC ) ? ? ? ?A ? ? [ ?aC ? ?( mi ri ? mi rC )]

y

F Ii
C

ri?

? ? ? ? ?aC ? ? ? (mi ri ? mi rC )
? ? ? ? ? ? ?aC ? ? ? ? mi ri ? MrC ? ? i ? ?0
?
i

i

ri rC
O

x

? W ? ? ? E? ? ? E ? ?W ? ? ?W ? ? ? E ? ? ? E ? ? E? ? ? E? ( ?W ? ? 0, ?W ?
k k0 外 非保内 0

0



非保内

? 0)
? rC ?

以上各量均为在质心参照系中测得。

?m r
i

i i

M

2

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

3.质心参照系中的碰撞 3.1 质心参照系中的正碰
m v ? m2v2 vC ? 1 1 m1 ? m2 m (v ? v ) u1 ? v1 ? vC ? 2 1 2 m1 ? m2 m (v ? v ) u2 ? v2 ? vC ? 1 2 1 m1 ? m2
m1 v 1 m2 v 2 m1 v? 1 m2 v? 2

3.2 质心参照系中的斜碰
? ? m1v1 vC ? m1 ? m2 ? m2 v1 ? ? ? u1 ? v1 ? vC ? m1 ? m2 ? m1v1 ? ? u 2 ? ? vC ? ? m1 ? m2 ? ? m1u1 ? m2 u2 ? 0 (1) ? ? ? ? 0 (2) m1u1? ? m2 u2

m1 v1

v2 ? 0 m2

m1 m2

v1?

? ?
? v2

(a) 实验室参照系

(a) 实验室参照系

vC
m1 u1 u2 m2

vC
u1 u2 u1? ? u2

? u1 m1 ? m2 u? 2

(b) 质心参照系

? ? m u? ? m u? ? 0 2 2 ? 11 ? ? u1 ? ? u2 ? e?
u1 ? u2

m1u1 ? m2 u2 ? 0

?u? ? ?eu1 ?? 1 ? ? ?eu2 ? u2

?u? ? ?u1 1) e ? 1 ? ? 1 ? ? ?u 2 ?u2 ?u1? ? 0 2) e ? 0 ? ? ? ?0 ?u 2

完全弹性碰撞 :

(b) 质心参照系

1 1 1 1 2 ?2 ? m2 u2 ?2 ? m1u12 ? m2 u2 m1u1 2 2 2 2

(3)

(1) ~ (3) ? ?

?u1 ? ? u1 ? ? ? u2 ? ?u2

偏向角:
题 5.1 质量为 m1的粒子 A以初速 v1运动,与质量为 m2的静止粒 子 B发生完全弹性碰撞碰撞。求碰撞后粒子 A的最大偏向角。

1) m1 ? m2 ? vC ? u1?

? v1

0 ?? ? ?

? vC

? u1

?

m1 m2

v1?

? ? m1v1 vC ? m1 ? m2

? max ? ?
2) m1 ? m2 ? vC ? u1?
? v1
? u1 vC

? ?
? v2

m1 v1

v2 ? 0 m2

m1 m2

v1?

(a) 实验室参照系

? m2 v1 ? ? ? u1 ? v1 ? vC ? m1 ? m2
u1? ? u1 ?

——大小、方向确定

? ?
? v2

(a) 实验室参照系

sin ? max ?

? m2 u1 ? vC m1

?

?
m1 ?

vC
? u1 m2

m2 v1 m1 ? m2

vC
m1 u1

3) m1 ? m2 ? vC ? u1?
? u1

——大小确定,方向不定

u2

m2

? ? ? v1? ? u1? ? vC

m1 ? m2 ? u2

? max ?

?
2

? v1

? ?? ?

?
2

?
?

? u1 vC

?
u? 2

u? 2
(b) 质心参照系

(b) 质心参照系

? ? ? ? ? vC v1? ? u1

? ? m1v1 vC ? m1 ? m2

? ? u1

m2 v1 m1 ? m2

题 5.2 如图所示,在水平桌面上有一座质量为 M,高为 H, 底部长为 L 的“山” ,它可以自由地沿桌面面滑动。一辆质 量为 m 的小车以速度 v 驶向这座“山” 。设车在“山”上逗 留的时间为 T,问:当小车离开“山”时“山”滑动多远?
v

H L

3

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

解:
分两种情况:
第一种情况:小车初速 v 较小,无法越过“山峰” ;
第二种情况:小车初速 v 较大,能够越过“山峰” 。
v? H L v H L

两种情况的临界速度 v0: mv ? mv1 ? Mv2 ? 0 ?1 2 1 2 1 2 ? mv0 ? mv1 ? Mv2 ? mgH 2 2 ?2 ? v1 ? v2
2 MgH v0 ? m?M

v0

H L v1 v2 H L

末态 I
H L v?

初态

末态 II

第二种情况: v>v0 第一种情况: v<v0 “山 ”移动的距离等于系统质心 移动的距离。 系统质心移动的距离:
v H L v H L

m sC ? vCT ? vT (1) m?M
另一方面,设山运动的距离为 s,则质心移动的距离:
H L

初态
H v?

mv ? ( m ? M )vC
vC ? mv m?M
s

初态
v?

m s ? sC ? vCT ? vT m? M

m( s ? L) ? Ms sC ? m?M
联立( 1)、( 2)得:

( 2)

s

L

末态 II

末态 I

s?

m (vT ? L ) m?M

题 5.3 (课后练习)如图所示,质量分别为m1和m2 的两物块用橡皮绳相连放在水平台面上,橡皮绳 原长度为 l0,当它伸长时,如同一弹性系数为 k的 弹簧。物块和台面间的摩擦系数为 ? ?。今将两物 块拉开至相距为l (l>l0)处后静止释放。求两物块相 碰时的相对速度大小。(假设两物块运动过程中 相对台面的速度始终不为零)。
m1

解 1: 在质心参照系中分析: 相对速度与参照系无关。 1 1 1 2 m1v12 ? m2v2 ? k (l ? l0 ) 2 ? ? ? m1 gl1 ? ? m2 gl2 2 2 ?2 m1 m2 ? l1 ? l2 ? l C

? ? m1l1 ? m2l2 ?m v ? m v
1 1

l1

l2 v1 v2
m2

2 2

1 v1 ? ? m [k (l ? l0 ) 2 ? 4 ??m gl ] m1
v2 ? 1 m2

m1

橡皮绳

m2

?m [ k (l ? l0 ) 2 ? 4 ??m gl ]
k (l ? l0 ) 2 ? 4? gl ] ? m1m2 ? ? ?m ? ? m 1 ? m2 ? ?

vr ? v1 ? v2 ?

?m

4

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

解 2:
(1) ? m1a1 ? k ( x2 ? x1 ? l0 ) ? ? m1 g ? ? m2 a2 ? ? k ( x2 ? x1 ? l0 ) ? ? m2 g (2)
? ?k ? 0, x2 ? x1 ? l0 ? ?? ? ? ?k ? 0, x2 ? x1 ? l0 ?

Fr ? ?m ar ? ?k ( xr ? l0 ) ? 2 ?? m g
m1

m2 x2

O

x1

xr : l ? 0 :

——一个质量为 ? m 的物体在弹性力 ? k ( xr ? l0 ) ( xr ? l0 ? l0 ) 和摩擦力 2 ??m g 作用下的运动。 ?k ( xr ? l0 ) 2??m g ?m
O

(2) ? m1 ? (1) ? m2 : m1m2 (a2 ? a1 ) ? ?k ( m1 ? m2 )( x2 ? x1 ? l0 ) ? 2 ? m1m2 g

1 1 ?m vr2 ? k (l ? l0 ) 2 ? 2??m gl 2 2
vr ? k (l ? l0 ) 2 ? 4 ? gl
k

l0

l

xr

令:ar ? a2 ? a1, xr ? x2 ? x1 , ?m ?
ar ? ? k

m1m2 m1 ? m2

?m

? m1m2 ? ? ?m ? ? m 1 ? m2 ? ?

?m

( xr ? l0 ) ? 2 ? g
ar ? ?

?m

( xr ? l0 ) ? 2? g

题 5.4 质量均为 m 的小球 1 和 2 由一质量可忽略、长 度为 l 的刚性轻杆连接,竖直地靠在墙角,小球 1 在 杆上端,如图所示. 假设墙和地面都是光滑的. 初始时 给小球 2 一个微小的的向右初速度. 问在系统运动过 程中,当杆与竖直墙面之间的夹角为何值时,小球 1 开始离开竖直墙面?
1 m

解:
滑到任意位置 ? 两球的速度:

1 m
l

1 2 1 2 ? 2 mv1 ? 2 mv2 ? mgl cos ? ? mgl ? ? v1 cos ? ? v 2 sin ?
v2 ? 2 gl (1 ? cos? ) cos?
质心的速度:
vCx ? 1 v2 2

m
2 1
v1 ?

C vCx
vCy

m
2

2 vCx ?

1 2 1 v2 ? gl (1 ? cos ? ) cos2 ? 4 2

v2

2

小球 1开始离开竖直墙面时:

1

N1 ? 0 ? aCx ? 0
2 此时 vCx 有极值,即 vCx 有极值。

N1

v1 ?

题 5.5 如图所示,在光滑的水平地面上有一长为 L=1m的箱 子,箱内有一物块(可视为质点 ),物块的质量是箱子质量的 2 倍。初始时箱子静止,物块自箱底中央位置以初速度 v0=5m/s向右运动,物块和箱底间的摩擦系数为?=1/15。假设

C vCx

2 vCx ?

1 gl (2 ? 2cos ? ) cos ? cos ? 4

vCy
2

v2

物块与箱的左右两壁的碰撞都是弹性碰撞,试问 (1)经过时间t=6s物块与箱壁发生多少次碰撞? (2)在上述时间内箱子在水平地面上的位移是多少?

2 vCx 有极值的条件:

2 ? 2 cos ? ? cos ? ? cos ?

cos ? ?
2 vCx ?

2 3
( abc)1/ 3 ? a?b?c 3

2m

m v0
L

1 gl (1 ? cos? ) cos 2 ? 2

5

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

解:
(1)以箱子为参照系,考察物块相对于箱子的运动: 物块与箱子发生弹性前后,物块的速度大小不变。 物块相对于箱子作匀减速率运动,其加速度大小: ? mg ? mg 3 2m m v a? ? ? ? ?g 0 m 2m 2 从初始到物块在箱内停止的时间: 2v v 0 ? v0 ? a?t1 ? t1 ? 0 ? 0 ? 5s ? t ? 6s a? 3 ? g t1 时间内物块经过的路程: v2 v s? ? 0 t1 ? 0 ? 12.5m 3? g 2 物块与箱壁发生碰撞的次数为: 12次。 最后物块停止在箱内紧靠右壁处。
L

(2) 物块和箱子系统的质心 C 作匀速直线运动,其速度:
vC ? mv0 1 5 ? v ? (m / s) 3m 3 0 3
2m
m v0

t =6s内质心 C 的位移:
?xC ? vC t ? 10m

?xC ?x C

t =6s内箱子的位移:
?xC ? 2m?x ? m ( ?x ? L / 2) 3m 1 ?x ? ?xC ? L ? 9.83m 6

L/ 2

题 5.6 不光滑水平地面上有一质量为 m 的刚性柱体, 柱体与地面之间的摩擦因数为 μ。柱体正视图如图所 示,正视图上部为一半径为 R 的半圆形,下部为一高 度为 h 的矩形。柱体上表面静置一质量同为 m 的均匀 柔软的链条, 链条两端距地 面的高度均为 h/2,链条和 R 柱体表面始终光滑接触。 链 条受到微小扰动而沿柱体 h/2 h/2 右侧面下滑。 问: 为使在链 h 条开始下滑至其右端接触 地面的过程中, 柱体在地面 上保持不动, 题中所给参数 要满足什么条件?

R
h/2 h/2 h

解:
链条的纵向速度大小 :
1 (? y) gy ? (? L)v2 2
2g v? y L
h

(? ?

m ) L

R
h/2 O

y

y
y

x

链条质心的加速度: 2 Ry (? y ) R ? (? y)(? R) xC ? xC 0 ? ? xC 0 ? ?L L y2 (? y )( y / 2) ? (? y )( ? y / 2) ? yC 0 ? yC ? yC 0 ? L ?L dxC dxC dy dxC 2 Ry 2 g vCx ? ? ?v ? dt dy dt dy L L vCy ?
aCx ?
aCy ?

链条对圆柱体的作用力:

Ni

?N
i

R
h/2

4 Ry mg L2 8 y2 mg ? ? N iy ? maCy ? 2 mg L i 8 y2 N iy ? (1 ? 2 )mg ? L i
ix

? maCx ?

C mg

h/2

y

dyC dyC dy dy 2 y2 ? ?v C ? L dt dy dt dy

2g L

y
h

O
y y

x

dvCx dvCx dy dv 4 Ry ? ? v Cx ? 2 g dt dy dt dy L
dvCy dt ? dvCy dy dvCy 8 y ?v ? 2 g dy dt dy L
2

4 Ry mg L2 8y2 N y ? ? N iy ? (1 ? 2 ) mg L i N x ? ? N ix ?
i

Nx
Ny

h

v?

2g y L

aCx ?

4 Ry 8y2 g , aCy ? 2 g L2 L

6

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

无滑动条件:
? f ? Nx ? 0 ? ? N 0 ? N y ? mg ? 0
f1 ( y ) ? y 2 ?

R L2 y? 2? 4
y

Nx

4 Ry f ? N x ? 2 mg L 4 y2 N 0 ? mg ? N y ? 2(1 ? 2 )mg L f ? ? N0 ?
4 Ry 4 y2 mg ? ? ? 2(1 ? 2 )mg L2 L
y2 ? R L2 y? ?0 2? 4

R
h

Ny
mg
f

上述不等式只要 y ? h / 2 时成立,则对 任意 y ? (0, h / 2) 也成立。
h R h (? R ? h) 2 ( )2 ? ? ?0 2 2? 2 4

h/2

N0

??

h ? (? R ? 2h)
h

R
h/2 O

y y

x

4 Ry 8 y2 N x ? 2 mg , N y ? (1 ? 2 )mg L L

y2 ?

R L2 y? ?0 2? 4

无转动条件:

Nx
R

?? ? mgR ? N y R ? N x h ? 0
8y 4 Ry mgR ? (1 ? 2 )mgR ? 2 mgh ? 0 L L y2 ? h L y? ?0 2 4
2 2

Ny
mg

h

N0
f

综上,为使在链条开始下滑至其右端接触地面的过 程中,柱体在地面上保持不动,题中所给参数要满 足:

N0
h L2 f2 ( y ) ? y ? y ? 2 4
2

上述不等式只要 y ? h / 2 时成立,则对 任意 y ? (0, h / 2) 也成立。
h h h (? R ? h)2 ( )2 ? ? ?0 2 22 4
R? 2 ?1

h/2

y

h ? ?? ? ? (? R ? 2h) ? ? ?R ? 2 ?1 h ? ? ?

?

h
Nx ?

4Ry 8y2 mg , N y ? (1 ? 2 )mg 2 L L

7

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

1.2 力对轴的力矩

1.力矩
1.1 力对点的力矩
?
M

力对转轴上某一参考点的力矩沿转轴方向的分量:

力 F 对参考点 O 的力矩:

M z ? F|| r sin ? ? F|| d
z F F|| O d r P

? ? ? M ? r?F

O d

M ? Fr sin ? ? Fd 大小: ? ? 方向: 沿r ? F 方向

r P

F

?

?

F?

2.2 质点对转轴的角动量 2.质点的角动量 2.1 质点对点的角动量 质点对参考点O的角动量:
L

质点对转轴上某一参考点的角动量沿转轴的分量:

Lz ? p||r sin ? ? p|| d
z p

? ? ? L?r?p

O d

r P

p

p|| O d r P

L ? rp sin ? ? pd 大小: ? ? 方向:沿r ? p方向

?
?

p?

3.质点的角动量定理和角动量守恒定律

若M ?0?

?

? ? dL M? dt ? ? t ? M d t ? L ? L0 ?
t0

m
r

F
O

m
r
O

F

? ? L ? L0
——质点的角动量守恒

? 角动量守恒,动量未必守恒

行星运动过程中角动量守恒,但动量不守恒

8

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

4.质点系的角动量定理和角动量守恒定律 m1 ? F3 ? d? L ? M ? dt m3 F1 ? ? ? t m2 ? ? M dt ? ? L ? ? L0
t0

5.对质心的角动量定理和角动量守恒定律

?M
?
t t0

?

F2

dt ? ? ? ? M C dt ? ? LC ? ? LC 0

C

?

? d? LC
m3 F3 C

F1 m1

? 若?M ? 0 ?

O F1 m1 F3 m3 m2 O F2

m2 F1

F2

? ? ? L ? ? L0
——质点系的角动量守恒 ? 内力不改变系统的总角动量

? 若?M C ? 0 ?
? ? ? LC ? ? LC 0
m3 F3 C

m1

m2

F2

? 惯性力产生的对质心的合力矩为零。

证明:
? ? ? ? ? ? M Ci ? ri?? FIi ? ( ri ? rC ) ? (? mi aC ) ? ? ? ? ?( mi ri ? mi rC ) ? aC ? ? ? ? M C ? ?[ ?(mi ri ? mi rC ) ? aC ]
i

y

FIi
C

ri?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ( mi ri ? mi rC ) ? ? aC ? i ? ? ? ?? ? ? ? ? ? mi ri ? MrC ? ? aC ? i ?
?0
? rC ? ?

ri
rC
O

x

?m r
i

i i

M

题6.1 在光滑的水平桌面上,有一质量为m的质点系 于一根原长为 a 的轻橡皮绳的一端,橡皮绳的另一 端系于桌面上一固定点 O。橡皮绳拉伸时的劲度系 数为k。若质点在开始时被拉至距O点距离为2a处, 并给质点在垂直于橡皮绳方向以初速度V。 (1)为使橡皮绳不松弛,V的最小值Vm为多大? ( 2 )当 0<V<Vm 时,质点在运动中距 O 点的最小距 离rm为多大?
O
2a

解:
(1) mVm (2a) ? mva

? ?1 1 1 2 ? mVm ? ka 2 ? mv 2 2 2 2

Vm

a
O
v

2a

m

Vm ? a

k 3m

(2) mV (2 a ) ? mvrm

V m

橡皮绳

? ?1 1 1 ? mV 2 ? ka 2 ? mv 2 2 2 2 2a rm ? ka 2 1? mV 2

a v
rm

2a

V
m

O

9

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

题 6.2 如图所示,粗糙水平面上有两根同样的薄壁长管 1、2,两管轴平行。2 管静止,1 管以速度(指轴心的 速度) v0 向 2 管无滑动滚去,与 2 管发生完全弹性碰撞 (碰撞时两管之间的摩擦可忽略) 。设两管与地面之间 的摩擦因子为 ? 。求碰撞后两管之间可能的最大距离 (忽略两管的半径) 。
1 2

解: 碰撞后两管的轴心(质心)交换速度,两管绕轴心转动的 角速度保持不变。 碰撞后的运动过程: 1管轴心作加速运动,绕轴心作减速转动; 2管轴心作减速运动,绕轴心作加速转动。
aC1 ? f ? ?g m

aC 2 ? ? ? g

1 ? 0

2

v0

vC 1 ? aC1t ? ? gt vC 2 ? v0 ? aC 2t ? v0 ? ? gt

碰撞前
1 ? 0 2

v0

vC 1 t ? t ? vC 2 t ? t ? t0 ? 0 0

v0 2? g

v0
f f

碰撞后

0→t0时间内 1、2两管轴心的位移:
x1 ? 1 v aC 1t02 ? 2 8? g
2 0

1 ? 0
f f

2
v0

t= t0时两管之间的距离是否为碰撞后两管之间的最大距离 ? v 1 ? 2 t ? t0 ? 0 时: 0 v0 2? g f f v0 vC 1 ? vC 2 ? 2 1 ? 2 ? M 1 ? ? fr ? ?? mgr
1 2

3v 2 1 2 x 2 ? v 0t 0 ? a C 2 t 0 ? 0 2 8? g

M 2 ? ? mgr

vC1
2

vC 2

t = t0时刻两管之间的距离:
?s ? x2 ? x1 ?
2 v0 4? g

M1t0 ? mr ?1 ? mr ?0
M 2t0 ? mr 2?2

2

?1 ? ?0 ?
v0 2? g

M 1t 0 v0 ? mgr v0 v ? 0 ? ? mr 2 r mr 2 2? g 2 r

aC1 ? ? g , aC 2 ? ? ? g , t0 ?

?2 ?

v0 2r

t= t0时两管与地面接触点的速度:
v1 ? vC1 ? ?1r ? 0
v2 ? 0

1 ? 1

2

?2
vC 2

题 6.3 一半径为 R 、内侧光滑的半球面固定在地面上, 开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿 球面的水平速度,其大小为 v0 ? 4 gR ( g 为重力加速度) 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率.
v0

vC1

t >t0时,两管作匀速滚动,管距保持不变。 t=t0时两管之间的距离即为碰撞后两管之间的最大距离。

R

vC1 ? vC 2 ?

v0 v , ?1 ? ?2 ? 0 2 2r

10

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

解: 当 ? ? ? max 时,滑块达到最大速率.
? ? ? 在任意位置: v = v? + v? ? 当 v? ? 0 时, ? ? ? max .
滑块下滑过程中:

v0
m O
R ? ?

? ? v2 sin ? max ? sin 2 ? max ? 0 sin ? max ? 1 ? ? 0 2 gR ? ?

v?
A
O

sin ? max ? (
v?

2 v0 v2 )2 ? 1 ? 0 ? 2 ?1 4 gR 4 gR

?v

0

? 4 gR

?

1)机械能守恒;
2)对 OA 轴角动量守恒.
?

vmax = v?

R

? ?? max

?

v0 ? 2( 2 ? 1) gR cos ?max

?2 m v0 ? ?mgR sin ? ? 2 m v? ? 2 mv? ? ?mv0 R ? mv? R cos ? ? ?v? ? ?? ? 0
max

1

2

1

2

1

2

m
v?
1 2 1 ?1 2 2 ? 2 mv0 ? ?mgR sin ? ? 2 mv? ? 2 mv? ? ? mv0 R ? mv? R cos ? ? ? v? ? ??max ? 0 ?

题 6.4 一长为 2l 的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上,杆可 绕通过其一端 A 的竖直固定转轴无摩擦地转动,杆的另一端 B 固定一质量为 m 的小物块(可视为质点)。 一原长为 l,劲度系 数为 k 的轻质弹簧,其一端与细杆的 A 端相连,另一端与一质量 为 m 的小环相连;小环套在细杆上,并可沿杆无摩擦滑动. 起初 杆和小环都处于静止状态,弹簧无形变. 今有一质量为 m 的小滑 块在桌面上以垂直于杆的速度 v0 飞向杆的 B 端,并与固定在该 端的小物块发生完全弹性正碰,碰撞时间极短. 1. 求碰撞过程中转轴受到的作用力的冲量; 2. 为使在碰撞后的运动过程中小环不脱离细杆,弹簧的劲度系数 k 应满足什么条件?
A
l
m

解:
( 1)碰撞过程中: 1)机械能守恒; 2)对转轴的角动量守恒; 3)满足动量定理 .
1 2 1 2 2 ? 1 mv12 ? 1 m v2 ? mv3 ? m v0 2 2 2 ?2 ? mv1l ? mv2 2l ? mv3 2l ? mv0 2l ? ? v2 ? 2 v1 v1 ?
I
A
l

A

l

m

l

m

B

v0
m

v1
m
l

v2
m
B

v3
m

l

m

B

4 8 1 v0 , v2 ? v0 , v3 ? ? v0 9 9 9

v0
m

I = m v1 ? m v2 ? m v3 ? m v0 =

2 mv0 9

( 2) 碰撞后的运动过程中: 1)机械能守恒; 2)对转轴的角动量守恒;
1 1 1 1 1
A

v1
l
m

v2
l

题 6.5 如图,质量可忽 略不计的刚性细杆可绕 通过其中点 O 的光滑水 平轴在竖直面内自由转 动。 两质量分别为 2m 和 m 的小球 1 和 2 (可视为 质点)串在细杆上,它 们与细杆之间的静摩擦

B

m

B

? v2 ?? v1
m
l?x

2 B m

? ? 0 时, v1|| x ? l. 小环不脱离细杆条件:
? ? kx ? 2 mv1 ? 2 mv2 ? 2 mv1?? ? 2 mv2 2 ? mv l ? mv 2l ? mv? (l ? x) ? mv? 2l 1 2 1 ? 2 ? ? v1?? = v?2 ? l ? x 2l
2 2 2 2 2

? v1||
l?x

m B

l

O

l

1 A 2m

A

A

系数为 ? ? 5 3 / 6 。开始时细杆静止在水平位置,小球 1 和 2 分
2 10 mv0 27 l 2

k?

80 ( x ? 2l ) mv 81 x( x 2 ? 2lx ? 5l 2 )

2 0

别位于紧靠细杆两端点 A 和 B 的位置。系统自水平位置以零初速 下摆。问小球 1 和 2 分别在什么位置脱离细杆?(分别求出小球 1 和 2 脱离细杆时细杆与水平线的夹角) 。

x?l ?k ?

4 8 1 v1 ? v0 , v2 ? v0 , v3 ? v0 9 9 9

11

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

解:
机械能守恒 :
1 1 0 ? mgl sin ? ? 2mgl sin ? ? (2m )(l? ) 2 ? m(l? ) 2 2 2 2 g sin ? B ?? 3l

对小球 1:

? ?2mg cos? ? N1 ? 2ma1t ? 2ml ? ? 2 ? ? f1 ? 2mg sin ? ? 2ma1n ? 2ml?
4 ? N ? mg cos ? ? ? 1 3 ? ? f ? 10 mg sin ? 1 ? 3 ? 同理对小球 2:
f2 2 mg l O N2

角动量定理: 2 ?L B m 2mgl cos ? ? mgl cos ? ? ?t ? ?L ? 2m(l? )l ? m(l? )l ? 3ml 2? ? ? ?L ?? ? 3ml 2 ? 3ml 2 ? ? ?t ?t

l

O

l

1

?

A 2m

A

4 ? N ? mg cos ? ? ? 2 3 ? ? f ? 1 mg sin ? 2 ? 3 ?

?
f1 l 1 2mg N1

??

g cos ? 3l

??

2 g sin ? g cos ? ,? ? 3l 3l

小球 1 与杆之间的摩擦力先达到最大静摩擦力, 故小球 1 先滑动. 设球 1 开始滑动时, 细杆与水平线夹角为 ?1 , 则
f1 (?1 ) ? ? N1 (?1 )
10 4 mg sin ?1 ? ? mg cos ?1 3 3
2 3 tan ?1 ? ? ? 5 3
.

因轻杆没有质量,球 1 一旦脱离轻杆,球 2 与轻杆间的相互作用 立即消失,此后球 2 只受重力作用而作斜抛运动。

f2 2 mg

N2

初速度:
y

l O

3gl 2 g sin ?1 v0 ? l ? 3l 3

v0
2

?0
l

抛射角:
?
f1 l 1 2mg N1

?0 ?

?
2

? ?1 ?

?
3

mg

O

?1 ?

?
6

任意 t 时刻球 2的位置:

?1 l ( x, y ) ?

x

由于球 1 的初始位置紧靠轻杆末端,因此球 1 脱离 细杆时细杆与水平线夹角也为

?1 ?

?
6

3 gl 3 l? t 2 6 gl 1 1 1 y ? l sin ?1 ? v 0 sin ? 0t ? gt 2 ? l ? t ? gt 2 2 2 2 2

x ? ?l cos ?1 ? v 0 cos ?0t ?

球 2脱离细杆时, l 2 ? x2 ? y 2
t 2 (t 2 ? 2 l 2 l t? )?0 g 3g
2 mg

y

题 6.6 (课后练习) 如图所示, 两根刚性轻杆 AB 和 BC 在 B 端 牢固粘接在一起, AB 延长线与 BC 的夹角 ? 为锐角,杆 BC 长为 l ,杆 AB 长为 l cos ? 。在杆的 A 、 B 和 C 三个点各固连 一质量均为 m 的小球,构成一刚性系统,整个系统放在光滑 水平桌面上,桌面上有一固定的光滑竖直挡板。杆 AB 延长
x

v0

?0
l

15 l ) t ? (1 ? 3 g
? 2 3? 5 l ?x ? ? ? 6 ? ? y ? ? 2 ? 15 l ? 6 ?

?2
O

?1 l ( x, y ) ?

2 3? 5 cos ? 2 ? ? l 6

x

? 2 ? 78.2?

? ?x ? ? ? ? y? ? ?

3gl 3 l? t 2 6 gl 1 1 l? t ? gt 2 2 2 2

线与挡板垂直,现使该系统以大小为 v0 、方向沿 AB 的速度 向挡板平动。在某时刻,小球 C 与挡板 碰撞,碰撞结束时球 C 在垂直于挡板方 A B O 向的分速度为零,且球 C 与挡板不粘 ? 连。 (1)求挡板作用于小球 C 的冲量大小。 C ( 2)若使 C 碰撞后,球 B 先于球 A 与 挡板相碰,求夹角 ? 应满足什么条件。

12

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

解:
(1)

碰撞后系统绕质心转动的角速度: 力矩的冲量: J ? I (l sin ? ? 1 l sin ? ) ? 2 Il sin ?
3 3
2 2 2 ? m? lBP ? m? lCP 角动量:L ? m? lAP

质心的位置:
xP ? ? m ? 2l cos ? ? m ? l cos ? ? ?l cos ? 3m ? m ? l sin ? 1 ? ? l sin ? yP ? 3m 3
A B y

y

碰撞后质心的速度:
? I ? 3mvPx ? 3mv0
vPx ? 3m v0 ? I 3m vPy ? 0

x ? D P ( xP , y P ) I C

O

1 2 2 ?2 2 2 ?lAP ? l cos ? ? 9 l sin ? A B O ? x 1 2 2 ? ?2 ? l ? l sin D ? BP P ( x , y ) 9 P P ? ?2 4 2 2 2 2 xP ? ?l cos ? ?lCP ? l cos ? ? 9 l sin ? 1 I C ? yP ? ? l sin ? 3 2 2 2 L ? ml ? (1 ? 2 cos ? ) 3 I sin ? 2 2 Il sin ? ? ml 2? (1 ? 2 cos 2 ? ) ? ? ? 3 3 ml (1 ? 2 cos 2 ? )

碰撞后小球C的速度:
? ? ? vC ? vCP ? vP vCx ? vCPx ? vPx
y

(2)
碰撞后质心作以速度 v Px 沿 x 方向作匀速运动, A 同时系统绕质心 C 以角速度 ? 作匀速转动。
B O

2 vCPx ? ??lCP sin ? ? ?? (l sin ? ? | yP |) ? ? ? l sin ? 3 2 I sin 2 ? ?? A B 3 m(1 ? 2 cos 2 ? ) O x ? vCx ? 0 D P ? 3m v0 ? I x ? ?l cos ? I sin 2 ? 2 P 0?? ? 3 m (1 ? 2 cos 2 ? ) 3m 1 yP ? ? l sin ? vCP C 3 2 I ? m v0 (1 ? 2 cos ? )
vPx ? 3mv0 ? J J sin ? , vPy ? 0, ? ? 3m ml (1 ? 2cos2 ? )

2 v0 sin 2 ? 3 系统转过 ? / 2 角所需时间: ? /2 ?l Δt ? ? ? 2 v0 sin ? vPx ?
1 ΔxP ? vPx Δt = ? l sin ? 3

v sin ? ?? 0 l

?
P D

xP ? ?l cos ? 1 yP ? ? l sin ? 3

C

在此时间内质心沿 x 方向向右移动的距离:

A

ΔxP P
?
C

B

则球 B 先于球 A 与挡板碰撞的条件为:

yP ? ΔxP ? xP ? tan ? ?
vPx ?

3 1? ?

D O

I sin ? 3mv0 ? I , ?? , I ? m v0 (1 ? 2 cos2 ? ) ml (1 ? 2 cos2 ? ) 3m

万有引力与天体运动

基本知识

13

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

1.开普勒三定律
第一定律:行星围绕太阳运动的轨道为椭圆,太 阳在椭圆轨道的一个焦点上。 第二定律:行星与太阳的连线在相等的时间内扫 过相等的面积:

?S 1 2 ?? ? r ? 常量 ?t 2 ?t ?t ?0 第三定律:各行星绕太阳运动的周期平方与轨道 半长轴立方之比值相等:

T 2 4? 2 ? a3 GM

2.万有引力与引力势能
2.1 万有引力

? mM ? F ? ?G 2 er r
2.2 引力势能

E p ? ?G

mM r

1.天体运动解题技巧 1.1 联立角动量守恒和机械能守恒
?mvr sin ? ? mv1 (a ? c) ? mv2 (a ? c) ? ? 1 2 GmM 1 2 GmM 1 2 GmM mv ? ? mv1 ? ? mv2 ? ? ?2 r 2 a?c 2 a?c

1.2 利用行星运动机械能的表达式 题7.1 行星和太阳的质量分别为m和M ,行星绕太阳 作椭圆运动,轨道的半长轴为a,证明行星-太阳系 统的 机械能为:

1. 已知轨道(即已知 a、b、c),可求其他各量: 2. 已知发射位置( r0,?0)和速度( v0,?0),可求其他各量。 y v2 a b c M P ? r v m v1 x

E ??

GmM 2a
b m

?

a

O

M

14

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

解: 考察 A→B,根据角动量守恒和机械能守恒得:

1.3 利用开普勒第三定律

? ?mvA (a ? c) ? mvB ( a ? c) ?v A ? ? ? ? 1 2 GmM 1 2 GmM ? ? ? 2 mvA ? a ? c ? 2 mvB ? a ? c ?v ? ? B ? ? 1 2 GmM GmM E ? mvA ? ?? 2 a ?c 2a

a ? c GM a ?c a a ? c GM a ?c a

T2 4? 2 ? 常量= a3 GM
已知长轴a和恒星质量M,可计算周期T; 已知长轴比a1/a2,可比较周期T1/T2; 常量记忆:利用圆周运动:

vA
b B a O c M

G
A m

mM 4? 2 ? mR? 2 ? mR 2 2 R T

vB

T 2 4? 2 ? R 3 GM

2.第一宇宙速度与人造卫星
2.1 牛顿的草图
( 1)物体沿椭圆轨道运动。发射点 为远地点或近地点。 ( 2) v0较小时,发射点为远地点, 近地点到地心距离小于地球半径, 物体沿抛物线落地(曲线1、 2)。 ( 3)随着 v0增大,近地点到地心的 距离增大,当近地点到地心距离等于 远地点到地心距离时,物体沿园轨道 绕地球运动(曲线3)

m

v0
1

2.2 发射速度
2

O

m
3 6 4 5

R

1 2 GMm GMm E ? mv0 ? ?? 2 r0 2a
v0 ?
?

v0

r0
M
c

?

m
r

r GM GM a?c (2 ? 0 ) ? (2 ? ) r0 a r0 a
GM (1 ? e) r0

b
a

( 4) v0继续增大,轨道又变为椭圆,此时发射点为近地点(曲线 4、 5) 。 ( 5) v0进一步增大,椭圆的远地点增到无限大,轨道为抛物线。物体将 沿抛物线轨道离开地球(曲线6) 。

x

m

2.3 第一宇宙速度 在相同高度发射卫星,园轨道( e=0) 所需的发射速度 v0最小。最小速度:
r0
M
c

v0

?

m
r
b

3.第二宇宙速度与行星际航行 3.1 第二宇宙速度
为实现行星际航,飞行器首先要摆脱地球引力的束缚,进 入与地球同步绕太阳运行的轨道,这种情况下所需要的发 射速度为第二宇宙速度。

GM v0 ? r0
若在地面发射,则

a

GM ? gR 2

x

GM v0 ? ? gR ? 7.9km/s ——第一宇宙速度。 R
第一宇宙速度的两种物理意义: 1)近地卫星的最小发射速度(同一发射高度,不同轨道); 2)卫星绕地球作圆周运动的最大速度(不同发射高度,园轨道)。
v0 ? GM (1 ? e) r0

1 2 GmM mv ? ?0 2 R GM ? gR 2
v? 2GM ? 2 gR ? 11.2km/s R

v?

GM (1 ? e) R 2GM R

e ?1 ??? v?

? 11.2km/s

——第二宇宙速度。

15

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

火星航行:

3.2 行星际航行的速度
最佳航线: 在飞行器从地球航行到某 行星中,如果沿相切于地球和行星轨 道 的椭圆飞行 ,所需的发射 速度最 小,这种轨道称为最佳航线。 行星际航行的速度:
GmM S 1 2 GmM S mv ? ?? 2 R 2a
v? GM S R (2 ? ) R a
a
MS

11 M S ? 1.99 ? 1030 kg R ? Re ? 1.49 ? 10 m a ?

R ? RM ? 1.89 ?1011 m 2

v?

GM S R (2 ? ) ? 32.8km/s R a

飞行器逃脱地球引力后,具有与地球 绕太阳公转的速度: 29.8km/s,所以飞
v

a
MS

R
m

行器进入最佳航线所需要的转移速度 (相对于地心的速度):
v? ? 32.8 ? 29.8 ? 3.00km/s

R
m v

地球轨道 行星轨道 最佳轨道

设飞行器在地面发射时所需的速度 (相当于地心) v0,则
1 2 GmM 1 mv0 ? ? mv?2 2 R 2 2GM 2 ? v0 ? ? v?2 ? 11.22 ? 3.00 2 ? 11.6km/s R

地球轨道 行星轨道 最佳轨道

3.4 行星际航行的出发日期 3.3 行星际航行的飞行时间
a

Te2 T 2 ? R 3 a3 a T ? Te ( )3/ 2 R T T a t ? ? e ( )3/ 2 2 2 R
火星航行时间:

题 7.2 从地球表面向火星发射火星探测器,当探测器脱离地 球并沿地球公转轨道稳定运行之后,在某年 3 月 1日零时测 得探测器与火星之间的角距离为 60?,如图所示。设火星的 运行的周期为 686天。问应在何年何月点燃探测器上的火箭
v

MS

R

m

发动机方能使得探测器恰好沿最佳航线落在火星表面(忽 略火箭加速探测器的时间,时间计算精确到日)。

地球轨道 行星轨道 最佳轨道

t?

365 1.89 ?10 3/ 2 ( ) ? 261天 2 1.49 ?1011

11

600 探测器 火星

解: 要使探测器恰好沿最佳航线与火星在 A点相会,探测器 变轨时,火星 M相对与探测器 D的角位置:

1800 ? ? TD ? 360 / TM 2 3600 TD 0 ? ? 180 ? TM 2 3600 ? 1800 ? ? 261 ? 43.00 686
设点燃探测器上火箭发动机的时间为 3 月 1日零时后第 t天,则

A

600

?
D

M 火星

探测器

360 360 t? t ? 600 ? ? Te TM

t?

600 ? ? 1 1 ?1 ( ? ) ? 37天 3600 Te TM

16

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

题7.3 地球和太阳的质量分别为m和M,地球绕太阳 作椭圆运动,轨道的半长轴为a,半短轴为b ,如图 所示。试求地球在椭圆顶点 A 、B 、C 三点的运动速 度大小及轨迹在A、B、C 三点的曲率半径。
C m b B a O M A

解:
1 2 GmM GmM mvA ? ?? 2 a ?c 2a
vC m b B vB a O c C a M A vA

a ? c GM ? vA ? b a
同理:

vB ?

a ? c GM b a

GM vC ? a

?c ?

a 2 ? b2

?

m

2 vA

?A
2 vB

?

GmM b2 ? ?A ? 2 ( a ? c) a

题 7.4 从地球表面沿着与水平线成 ? 角发射一抛体,其初速 度为 v0 ? k GM e / Re ,其中 G 为引力常数, M e 和 Re 分别为 地球的质量和半径, k 为正的常数。忽略空气阻力和地球自 转的影响。求物体能上升多高?
v0

GmM b2 m ? ? ?B ? ? B ( a ? c) 2 a GmM GmM b a2 m ? cos ? ? ? ?C ? a2 a2 a ?C b
vC m b B vB a O C
2 vC

m

?
H

vA a M c A

?

Re
O

解:

讨论:
?
v0

? mv0 Re sin( 2 ? ? ) ? mvm rm ?1 ? mv 2 ? GmM e ? 1 mv2 ? GmM e m ?2 0 Re 2 rm ? GM e ? ? v0 ? k
Re
(2 ? k ) r ? 2 Re rm ? k R cos ? ? 0
2 2 m 2 2 e 2

1) k ?? 1
H

v0
m
2 2

m
Re
O

?
rm vm

1 ? (2 ? k 2 )k 2 cos 2 ?

?
H

? 1 ? 2k cos ? ? 1 ? k cos ?
k 2 sin 2 ? k 2 sin 2 ? H? Re ? Re 2 ? k2 2
v 2 sin 2 ? ? 0 2GM e Re2
? GM e ? ? ? v0 ? k R ? ? e ? ?

2

2

Re
O

rm

vm

rm ?

1 ? 1 ? (2 ? k 2 )k 2 cos2 ? Re 2 ? k2
k ? 1 ? 1 ? (2 ? k )k cos ? Re 2 ? k2
2 2 2 2

?

2 sin 2 ? v0 2g

? GM e ? ?g ? 2 ? Re ? ?
k 2 ? 1 ? 1 ? (2 ? k 2 )k 2 cos 2 ? Re 2 ? k2

H ? rm ? Re ?

H?

17

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

题 7.5 太空中有一飞行器靠其自身动力维持在地球赤道的正上方

v0
2) k ? 2
v0 ? 2GM e Re

L ? ? Re ( Re 为地球半径, ? 为常数)处,相对于赤道上的地面物

m

?
H

资供应站保持静止. 设想从供应站到飞行器有一根用于运送物资的 刚性、管壁匀质、质量为 m p 的竖直输送管,输送管下端固定在地 面上,并设法保持输送管与地面始终垂直. 推送物资时,把物资放 进输送管下端的平底托盘上,沿管壁向上推进,并保持托盘运行速 度不致过大. 设每次所推送物资和托盘的总质量为 m ,地球的质量 为 M e ,自转角速度为 ? ,引力常数为 G . 忽略托盘与管壁之间的 摩擦力,考虑地球自转,但不考虑地球公转. (1)在物资从供应站送到飞行器的过程中,地球引力和惯性离心 力做的功分别是多少? (2)在物资从供应站送到飞行器的过程中,外推力至少需做多少

H ??
3) k ? 1, ? ? 0 v0 ?
H ?0

Re
O

rm

vm

GM e Re

k 2 ? 1 ? 1 ? (2 ? k 2 )k 2 cos 2 ? H? Re 2 ? k2

正功?

(2)F离 (r0 ) ? F引 (r0 ) ? m? 2 r0 ?

解:
Ep ( r ) ? ? (1) GmM e r

GmM e ? GmM e ? ? r0 ? ? ? 2 r02 ? ? ?

1/ 3

飞行器

a)若 r0 ? L ? Re ? (? ? 1) Re , 即? ? ?
F外 F离

? GM e ? 2 3 ? ? ? Re ?

1/ 3

F外 F离

?1
m

W引 ? ? ? ? Ep ( Re ? L) ? Ep (Re )? ?
??

输送管

Wmin ? ?(W引 ? W离 ) Re ? Re ? L

L r

m
物资供 应站

? GmM e 1 ? ? Re

L

r

F引
Re

F离 ( r ) ? m? 2 r

W离 ?

1 ? F ( Re ? L) ? F离 ( Re ) ? ?L 2? 离

Me

1 ? ? (? ? 2) m? 2 Re2 2 1/ 3 ? GM ? b)若 r0 ? L ? Re ,即 ? ? ? 2 e3 ? ? 1 ? ? Re ? Wmin ? ?(W引 ? W离 )Re ?r0 ? 1? ? Re

? GmM e

F引
Re

Me

O

O

1 ? ? (? ? 2) m? 2 Re2 2

? ? GmM e ? GmM e ? 1 ? ? ? ( r0 ? Re ) ? ? ? ? ? ?( ? ) ? (? )? ? ? m? 2 Re ? m? 2 r0 ? r0 Re ? 2 ? ? ? ? ? ?

?

GmM e 1 3 2/3 ? m? 2 Re2 ? m ? GM e? ? Re 2 2

有一装有太阳帆的航天器,其总质量为 m ? 100kg 。太阳帆未 展开时,航天器沿地球公转轨道绕太阳运行(已摆脱地球引 力) 。为向火星发射该航天器,在某一时刻打开太阳帆,通过 光压作用使航天器改变运行轨道并在火星表面着陆。设地球
题 7.6 太阳帆是利用太阳光的光压进行宇宙航行的一种航天设 备,其核心部分为装在航天器上的一面积很大,表面平整光滑的 薄膜帆板。太阳光照在帆板上而被帆板表面反射时,对帆板产生 光压。利用光压作为控制力和推动力,可以使航天器从低轨道升 到高轨道,实现星际航行。

和火星在同一平面内绕太阳做圆周运动,半径分别为
Re ? 1.5 ? 108 km 和 Rm ? 1.5Re , 太

阳的发光度(单位时间的总辐射 能 ) P ? 3.9 ? 1026 W , 光 速
c ? 3.0 ? 108 m/s , 航天器运行中帆
太阳

板始终保持与太阳光线垂直,且 入射到帆板表面的太阳光被完全 反射, 忽略其它行星引力的影响。

?
地球 航天器 火星

18

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

解: (1)
(1 )为使打开帆板后航天器的运行轨道与火星轨道相切, 如图所示,帆板的面积应为多大? 则? ( 2) 用 ? 表示打开帆板时火星相对于航天器的角位置, 为多大时航天器恰好沿上述轨道在火星表面着陆?
当帆板与太阳距离为 r 时, 单位时间入射到帆板表面的光能量:

ΔE PS ? Δt 4? r 2
单位时间入射到帆板表面的光动量:

太阳

Δp 1 ΔE PS ( E ? pc) ? ? Δt c Δt 4? cr 2
在全发射的情况下太阳光对帆板的作用力:

r

Fs

太阳

Fs ? 2

?
地球 航天器 火星

Δp PS ? Δt 2? cr 2

帆板

S

航天器受到的合力:

F?

GM s*m GM s m PS ? ? 2 2 r2 r 2? cr

? * ? PS )? ? M s ? M s (1 ? 2? cGM s m ? ?

太阳帆未展开时,航天器沿地球公转轨道绕太阳运行.

则 (2)设火星和航天器绕太阳运动的周期分别为 Tm 和 TH ,
2 Tm 4? 2 ? (2 Rm )3 GM s 2 H

GM s m v2 2? ? m e ? mRe ( ) 2 2 Re Re Te
* s * s

(1)
太阳 地球

Ms Re

打开帆板后航天器将沿椭圆轨道运动.

1 2 GM m GM m mve ? ?? 2 Re Re ? Rm
联立方程( 1) 、 (2)可得:

m

(2)

航天器

ve

? 4? ? T ?(R ? R ) ? GM ?M 1 R ? ? (1 ? )
3 e m * s e

Rm
* s

2

?

TH 1 R ? (1 ? e ) Tm 2 Rm

太阳

Ms

Re ?
航天器 火星

Ms

2

Rm

M s* 1 R PS ? (1 ? e ) ? 1 ? Ms 2 Rm 2? cGM s m 4? 3 Re3mc R (1 ? e ) ? 1.1 ?104 (m 2 ) S? PTe2 Rm
M s* ? M s (1 ? PS ) 2? cGM s m

Rm
太阳

要使航天器恰好沿上述轨道在火星表面着陆,打开帆板时火星相 对于航天器的角位置 ? 应满足:

m

M s* Re

航天器

ve

T R 180 0 ? ? TH ? ? ? 1800 (1 ? H ) ? 900 (1 ? e ) ? 300 ? Tm Rm 3600 / Tm 2
火星

M s* 1 R ? (1 ? e ) Ms 2 Rm

题 7.7 (课后练习)质量为 M 的宇航站和对接上的 质量为 m 的飞船沿圆形轨道绕地球运动着,其轨道 半径是地球半径的n倍(n=1.25)。某一瞬时,飞 船从宇航站沿原运动方向射出后沿椭圆轨道运动, 其最远点到地心的距离为8nR,求质量 m/M 为何值 时,飞船绕地球运行一周后正好与宇航站相遇?
m M+m M M0

解:
飞船( m)绕地球运行一周后正好与宇航站( M)相遇的条件:

Tm a nR ? 8nR 3/2 9 ? ( m )3/ 2 ? ( ) ? K ? x ? nR( 2 /3 ? 1) TM aM nR ? x K
9 9n 3/ 2 ) R ? x ? nR ? ( )3/ 2 ? K ? ( 2 1? n
9.5 ? K ? 11.2

K ? 10、 11
m M+m M nR M0 x 8nR

19

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

GM 0 1 (m ? M ) M 0 (m ? M )M 0 2 (m ? M )vm ? ?G ? vm? M ? ?M ? G 2 nR 2nR nR
mM 0 mM 0 1 2 4 GM 0 mvm ? G ? ?G ? vm ? 2 nR 9nR 3 nR
2GM 0 x MM 0 MM 0 1 2 ? vM ? MvM ?G ? ?G nR(nR ? x) 2 nR nR ? x
vm vM+m vM M+m M m m M+m M nR M0 x 8nR

( m ? M )vm? M ? mvm ? MvM
2x m vm? M ? vM ? 3(1 ? ) ? nR ? x M vm ? vm ?M
? 3 ? 2(9 ? K 2/ 3 ) m ? 3 ? [2(9 ? 102/3 )]1/ 2 ? 0.048 K ? 10, M m ? 3 ? [2(9 ? 112/3 )]1/ 2 ? 0.153 K ? 11, M
vm vM+m vM M+m M m m M+m M nR M0 x

vm ? M ? vm ? vM ?

GM 0 nR

4 GM 0 3 nR 2GM 0 x nR( nR ? x)

9 ? 1) K 2/ 3 K ? 10、 11 x ? nR(

8nR

题 7.8(课后练习)设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太 空的轻质电梯,电梯顶端可超过地球的同步卫星高度 R (从地心算 起)延伸到太空深处。这种所谓的太空电梯可用于低成本地发射绕 地人造卫星,其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到某高 度,然后启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去。 (1)设在某次发射时,卫星在太空电梯中及其缓慢地匀速上升,该 卫星在上升到 0.80 R 处意外地和太空电梯脱离(脱离时卫星相对于 太空电梯上脱离处的速度可视为零)而进入太空。论证卫星脱落后 不会撞击地面。

(2)如果太空电梯地点位于东经 110 度处,在太空电梯上离地心 距离为 Rx 处有一卫星从电梯脱离 (脱离时卫星相对于太空电梯上 脱离处的速度可视为零) , 脱离后该卫星轨道刚好能和赤道某处相 切,而使卫星在该点着地,试求卫星着地点的经度。提示:此问 要用数值方法求解高次方程。 已知:地球为质量 M ? 6.0 ? 1024 kg ,半径 Re ? 6.4 ? 106 m 的球体; 引力恒量 G ? 6.7 ? 10?11 N ? m2 ? kg-2 ;地球自转周期 Te ? 24 小时; 假设卫星与太空电梯脱离后只受地球引力作用。

R
0.8R

R
0.8R

R0

R0

( 1) 解:
GM GM ? R? 2 ? R ? ( 2 )1/ 3 R2 ? 1 GmM GmM 2 m(0.8R? ) ? ?? 2 0.8R r ? 0.8 R

( 2)

GM ? ( 2 2 )1/3 ? 4.2 ?107 m 4? / Te

1 GmM GmM m( Rx? )2 ? ?? 2 Rx Re ? Rx
? Rx ? ? Rx ? 2GM ? ? ?1 ? ? ? 2 3 Re ? ? Re ? Re ? ? Rx ? 4.7 Re ? 3.0 ?104 km T 2 [( Rx ? Re ) / 2]3 ? Te2 R3 ? ( R ? Re ) / 2 ? T ? Te ? x ? R ? ?
3/ 2 3

Re

Rx

v

O c b

a

r?

128 R ? 1.2 ?107 m ? Re ——不会撞击地面 465
r Re

v
0.8R

? 6.8(h)

20

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

自卫星脱离到着地,地球自转的角度:
T /2 ? 360 ? 51? 24 若不考虑地球自转,卫星着地点: ?? ?

西经:180? ? 110? ? 70? 考虑地球自转,卫星着地点: 西经:? ? 180? ? 110? ? ?? ? 121?
v

70?

110?

Re

Rx

??
本初子午线

1.简谐振动的基本概念 1.1 简谐振动的定义 物体在运动过程中所受的合力与离开平衡位置的位 移成正比而方向相反,即

F ? ? kx ( k ? 0)
则物体所作的运动为简谐振动。

1.2 简谐振动的运动方程 运动方程:x ? A cos( ? t ? ? ) 速度方程:v ? v m cos( ? t ? ? ?

1.3 简谐振动的特征量

?

x ? A cos( ? t ? ? )
) ( vm ? A ? )
(am ? A? 2 )

2 加速度方程:a ? a m cos( ? t ? ? ? ? )

周期和频率:

?? 其中:

k /m

T?
振幅:A 位相与初相:

2?

?

,??

1 ? ? T 2?

t 时刻的位相: ?t+? 初相: ? ? 位相是描述物体振动状态的物理量

21

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

1.4 简谐振动的旋转矢量表示 ? 周期和频率:由振动系统的固有性质决定:

T?

2?

?

? 2?

? 1 m ?? ? k 2? 2?

k m

? 振幅和初相:由初始条件决定:

A ? x0 ? 2 ? ? x t ? 0 ? x0 ? ? ?? ? ? ? v v v ? 0 ?tan ? ? ? 0 ? t ?0 ? ? x0 ?

?

2

2 v0

振幅:旋转矢量的模A 圆频率:旋转矢量的角速度? 位相:旋转矢量与Ox轴的夹角?t+?
y

2.简谐振动的判别
2.1 简谐振动的判据

?
M M0 x

F ? ?kx a ? ?? 2 x
2.2 两种常见的简谐振动 1)弹簧振子:T ? 2? 2)单摆:T ? 2?

A O

?t ? P
x

m k

l g

3.简谐振动的能量 1 Ek ? kA2 sin 2 (?t ? ? ) 2 1 E p ? kA2 cos 2 (?t ? ? ) 2 1 E ? Ek ? E p ? kA2 2 1 2 E p ? Ek ? kA 4 谐振子的动能和势能都随时间而变化,振动过程 中两者相互转换,但系统的总能保持不变。谐振 子系统是一个封闭保守系统。

x

O

t

E?
Ek
Ep

1 2 kA 2

O

t

22

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

4.简谐振动的合成
4.1 同频率同方向的简谐振动的合成 1)两个同频率同方向的简谐振动的合振动为与分 振动同频率的简谐振动。 2)合振动的振幅

A?

2 A12 ? A2 ? 2 A1 A2 cos(? 2 ? ?1 )

?? ? 2k? , A ? A1 ? A2 ?? ? (2 k ? 1)? , A ? A1 ? A2

4.2 同方向不同频率的简谐振动的合成:形成拍

链接

4.3 相互垂直的同频率的简谐振动的合成:椭圆轨道

4.4 相互垂直不同频率的简谐振动的合成:李萨如图

链接

链接

23

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

题 8.1 如图,一正方体木块浮在水面,因外界扰动而沿 竖直方向上下振动,设木块的边长为 l,密度为 ? ,水的 密度为 ? 0 ( ? 0 ? ? ) 。 (1)证明木块作简谐振动,并求其振动周期; ( 2)若已知 t ? 0 时木块经过平衡位置以速度 v0 向下运 动,试求出物体的振动方程(取平衡位置为坐标原点, 向下为坐标轴正方向) 。

解:
(1)平衡位置:

(2) x ? A cos(?t ? ? )

mg ? ?0 gl x0
离开平衡位置 x:

2

x0 x

O

? v0 ?l ? A ? ? v0 ? ? ? ?0 g ? x t ? 0 ? 0 ? ? A cos ? ? 0 ? ? ? ? ?? A? sin ? ? v0 ? ? ? ? v t ? 0 ? v0 ? ?? ? ? 2

F ? mg ? ?0 gl 2 ( x ? x0 ) ? ? ? 0 gl x ? ?kx ——简谐振动
2

x

x ? v0

? g ? ?l cos( 0 t ? ) ?0 g ?l 2

??

k ? m

?0 gl 2 ?0 g ? ?l 3 ?l

?l T? ? 2? ? ?0 g

2?

x0 x

O

x

题 8.2 用一弹簧把质量各为 m1 和 m2 的两木块连起 来 , 一 起 放 在 地 面 上 ,弹 簧 的 质 量 可 不 计 , 而 m2>m1 , 问: 对上面的木块必须施加多大的压力 F, 以便在 F 突然撒去而上面的木块跳起来时,恰能使 下面的木块提离地面?
F

解1:
初态: m1受力平衡:

F ? m1 g ? kx1 (1)
末态:m2刚好能被提起:

m1

F

x2 x1 x=0

m2 g ? kx2

(2) m2

初态→末态:机械能守恒:

m1

1 2 1 2 kx1 ? m1 gx1 ? kx2 ? m1 gx2 (3) 2 2
联立(1)~(3)得:

m2

F ? (m1 ? m2 ) g

24

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

解 2:
F 撤去后, m1 作简谐振动。

题 8.3 如图,一长度为 l 的均匀直杆用一细绳悬挂在水面上

x
最高位置 弹簧无形变位置 平衡位置 xm x0

方,开始时杆下端紧贴水面。剪断细绳,杆以零初速沿竖直 方向落入水中(水足够深) 。设水的密度为 ? 0 ,杆的密度为

平衡位置弹簧压缩量:

mg kx0 ? m1 g ? x0 ? 1 k
振动振幅:

A O A

? ? 2 ? 0 / 3 ,重力加速度为 g 。求杆下落的最大深度(用杆下
端到水面的垂直距离表示)以及下落到最大深度所需的时间。

F ? m1 g ? k ( A ? x0 ) ? A ?
最高位置弹簧伸长量:

F k

F
初始位置

m1 k m2 l

?

F ? m1 g k m2刚好被提起的条件: xm ? A ? x0 ?
m2 g ? kxm ? F ? m1 g

?0

F ? ( m1 ? m2 ) g

解:
(1) 平衡位置:

0 1 2 水面
x0

设振动方程为
x ? A cos( 3g t ??) 2l

0 1 2 水面
x0 vm

? gSl ? ?0 gSx0 ? x0 ? ? l ? 2 l ?0 3 离开平衡位置为任意 x (-x0<x<l-x0):

vm
x O v

F ? mg ? f浮 ? ? gSl ? ?0 gS ( x ? x0 ) ? ? ?0 gSx ? ?kx
在 ? x0 ? x ? l ? x0 范围内,杆作简谐 振动,其角频率

2 ? 2 ? A? l ? x t ?0 ? ? x0 ? ? l 3 ?? ? 3 ? ?v ? 0 ? ?? ? ? ? t ?0
2 3g x ? l cos( t ??) 3 2l

x O

v

x

v ? ? A? sin(?t ? ? )
2 gl 3g ?? sin( t ??) 3 2l

x

??

k ? m

?0 gS 3g ? ? lS 2l

0:初始位置 1:平衡位置 2:离开平衡位置任意 x

0:初始位置 1:平衡位置 2:离开平衡位置任意 x

??

3g 2l

设 t ? t1 时刻,杆全部没入水中,则

0 1 2 3 水面
x0 vm

2 3g x t ? t ? l cos( t1 ? ? ) 1 3 2l l ? l ? x0 ? 3 3g 5? 2? t1 ? ? ? ? t1 ? 2l 3 3
v1 ? v t ?t ?
1

杆没入水中后继续向下作匀减速运动, 0 其加速度:
a? F ? gSl ? ?0 gSl 1 ? ?? g m ? Sl 2
x0

1 2 3 水面
vm

2l 3g

l ? x0

x O

从杆没入水中到速度减为零所需时间:
v
v1

4
v
v1

t2 ? ?

v1 2l ? a g

l ? x0

x O

v2 ? 0

gl 2

?x
x

此间所产生的位移 :
v2 1 Δx ? ? 1 ? l a 2
x
0:初始位置 1:平衡位置 2:离开平衡位置任意x 3:完全没入水中 4:下落最大深度

? 2 3g t ??) ? x ? l cos( 3 2l ? ? ?v ? ? 2 gl sin( 3 g t ? ? ) ? 3 2l ?

0:初始位置 1:平衡位置 2:离开平衡位置任意 x 3:完全没入水中

v1 ?

gl 2

25

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

0 1 因此杆下落的最大深度: 2 3 水面
x0
l ? x0
?x

题 8.4(课后练习)如图,蹦极者将弹性绳索 的一端固定在桥梁上, 另一端绑在自己脚踝上, 然后从桥上纵身跃下(初速度为零) 。将蹦极者 简化为一个质点,绳索简化为一根柔性的均匀
v2 ? 0

蹦极者

3 H ? l ? Δx ? l 2
下落到最大深度所需的时间 :

vm

4
v
v1

x O

线性弹簧,并且忽略绳索的质量和所有的横向 运动。设蹦极者的质量为 m ? 64kg ,绳索的劲 度 系 数 为 k ? 16N/m , 自 由 状 态 时 长 度 为

t ? t1 ? t2 ? (1 ?

2 3 2l ?) g 9

x
0:初始位置 1:平衡位置 2:离开平衡位置任意x 3:完全没入水中 4:下落最大深度

l0 ? 60m ,重力加速度 g ? 10m/s 2 。求:

(1)蹦极者达到的最低点离起跳点的距离 H ; (2)蹦极者从起跳至达到最低点的总时间 T 。

t1 ?

2? 3

2l 2l 1 , t2 ? , Δx ? l 3g g 2

解:
( 1)机械能守恒:

l0

( 2)第一阶段:从起跳到绳子拉直: 蹦极者作自由落体运动。 H

1 ? mgH ? k ( H ? l0 ) 2 ? 0 2 2kl0 mg ? H ? l0 ? ?1 ? 1 ? k ? mg ?

? ? ? ? 180m ?

t1 ?

2l0 ? 2 3( s ) g

l0

第二阶段:从绳子拉直到蹦极者到达最低点: 蹦极者作简谐振动。

1 4? x ? 80 cos( t ? ) 2 3
l0 l0

??

k 1 ?1 ? (s ) m 2 mg x0 ? ? 40( m) k A ? H ? l0 ? x0 ? 80(m)

设 t2 时刻蹦极者到达最低点,则 1 4?
O x0 H

A ? A cos( t 2 ? ) 2 3

1 设振动方程: x ? 80 cos( t ? ? ) 2
1 ? ? ? x t ?0 ? ? x0 ? ?40 ? ? cos ? ? ? ? ? ? 4? 2 ? ? 3 ? ? ?v t ? 0 ? 0 ?sin ? ? 0

A

1 4? t2 ? ? 2? 2 3 4? 4? t 2 ? 2(2? ? ) ? (s) 3 3
4? T ? t1 ? t 2 ? (2 3 ? )(s) 3

O

x0 H

A

1 4? ) 振动方程: x ? 80cos( t ? 2 3

x

x

26

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

解:
碰撞后瞬间滑块和左小球的速度:

题8.5 用弹簧连接两个质量均为m的小球,静放在光 滑的水平面上。质量为M 的滑块在该水平面上以速 度 v0运动,并与其中一小球发生对心完全弹性碰撞。 求当质量比 ? =m/M 近似为多少时物块会和小球再 次发生碰撞。
M v0

1? ? M ?m ? ?v1 ? m ? M v0 ? 1 ? ? v0 ? ? ?v ? 2 M v ? 2v0 2 0 ? m? M 1? ? ?
1?? v0t 1? ?

M v0

m

m
x

O

碰撞后滑块作匀速运动,任意 t时刻的位置:

m

m

x1 ? v1t ?

两小球的质心作匀速运动,同时两小球相对质心作简谐振动。 任意 t 时刻左小球的位置:

x2 ? A cos(?t ? ? ) ? vC t

1 v vC ? v2 ? 0 2 1? ?
? x2 t ?0 ? A cos ? ? 0 ? ? 2v0 ?v2 t ?0 ? ? A sin ? ? vC ? 1 ? ? ? v0 vt x2 ? sin ? t ? 0 (1 ? ? )? 1? ?

M v0

m
O

m x

两小球能再发生碰撞的条件:

? ??m
? m ? tan ? m ?
即: ? ? 0.21

3 ? ?? ? ? 2 ? ?? ? A ? v0 (1 ? ? )? ? ?

1 ? 0.21 3? / 2

y 1

y ? sin ?t
3? / 2

两小球能再发生碰撞的条件:存在 t > 0,使得 x2 (t ) ? x1 (t ) :

?m
?1

v0 v t 1? ? v0t ? sin ?t ? ???t sin ? t ? 0 ? (1 ? ? )? 1? ? 1? ?
x1 ? 1? ? v0t , x2 ? A cos(? t ? ? ) ? vC t 1? ?

?t y ? ??? t (? ? ? m ) y ? ?? m?t y ? ???t (? ? ? m )

sin ? t ? ???t

y
0.2

0.5
? 0.2 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.8 ? 1.0

1.0

1.5

2.0

两小球能再发生碰撞的条件:

y ? ? (? ? ? m ) y ? ? (? ? ? m ) y ? ? (? ? ? m ) ?t 2.5 3.0 ? sin ?t y?? ?t

? ? ?m

?m ? ?

sin(1.5? ) ? 0.21 1.5?

? ? 0.21

?y ? ? ? ? sin ?t y?? ? ? ?t

sin ? t ? ???t

题 8.6 如图所示,定滑轮 B、C 与动 滑轮 D 组成一滑轮组,各滑轮与转轴 C B 间的摩擦、滑轮的质量均不计。在动 D 滑轮 D 上,悬挂有砝码托盘 A,跨过 滑轮组的不可伸长的轻线的两端各挂 有砝码 2 和 3。一根用轻线(图中穿 过弹簧的那条竖直线)拴住的压缩轻 2 3 1 弹簧竖直放置在托盘底上,弹簧的下 端与托盘底固连, 上端放有砝码 1 (两 A 者未粘连) 。 已知三个砝码和砝码托盘 的质量都是 m,弹簧的劲度系数为 k, 压缩量为 l0=3mg/k, 整个系统处在静止状态。现突然烧断拴住弹簧的 轻线,弹簧便伸长,并推动砝码 1 向上运动,直到砝码 1 与弹簧分 离。假设砝码 1 在以后的运动过程中不会与托盘的顶部相碰。求自 烧断轻线至砝码 1 再次与弹簧接触所经历的时间。

27

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

第一阶段:自烧断轻线至砝码 1脱离弹簧。

B D

C

解: 分两阶段: 第一阶段:自烧断轻线至砝码1 脱离弹簧。 第二阶段:自砝码1脱离弹簧至 至再次接触弹簧。

B D

C

kx ? mg ? 0 T ? ? mg ? ma2

? ?N ? mg ? 2T ? ma2 ? N ? ma ? mg ? ma? 2 1 ? ? N ? k ( x ? x? )
0

2 1 A

3

2 1 A

3

a1? ? ?
T a2 2 mg

4k k x?, a2 ? ? x? 3m 3m
T N ma2 a2 3 mg

x
脱离位置 F 2T 平衡位置 O 任意位置 E a2 起始位置

x0
? x ? l0

? a1
1 mg N mg

m

砝码1相对于托盘作简谐振动,其角频率:
B D

C

??

4k 3m
2 1 A 3

振动方程: x? ? A cos(

4k t ??) 3m 2mg ? 2mg ? ? x? t ?0 ? ?(l0 ? x0 ) ? ? k ? ?A ? ? k ? ?v ? ? 0 ? ? t ?0 ?? ? ?

设 t= t1时,砝码 1与弹簧分离,则 ? 4k 1 mg ? t1 ? ? ) ? ?cos( ? 3m 2 ? x? t ?t1 ? x0 ? k ?? ? ?v? ? ?2 g 4m sin( 4k t ? ? ) ? 0 ?v ? ? 0 t ? t 1 1 ? ? 3k 3m ?
x

x
脱离位置 F 平衡位置 O 任意位置 E 起始位置

x0
? x ? l0

? 4k 5? t1 ? ? ? ? ? 3m 3 ?? ?v? ? ?2 g 4m sin( 5? ) ? 3k 3 ?

脱离位置 F 平衡位置 O 任意位置 E 起始位置

x0
? x ? l0

2mg 4k cos( x? ? t ??) 3m k

m

??? a1

4k x? 3m

x0 ? mg / k l0 ? 3mg / k

? m ?t1 ? ? 3k ? ? ?v? ? 2 g m ? k ?

m
x0 ? mg / k l0 ? 3mg / k

x? ?

2mg 4k cos( t ?? ) 3m k

第二阶段:自砝码 1脱离弹簧至至再次接触弹簧。 砝码 1相对于托盘的初速度:
m k ?mg ? T ? ma2 ? ?2T ? mg ? ma2 ?mg ? ma ? ma ? 2 1 ? 2v ? m t2 ? ?3 a1? k v? ? 2g
T T a2
B D C

? a1? ?

4 g 3 1 a2 ? g 3

2 1 A

3

综上:
t ? t1 ? t2 ? (3 ? 3? m ) 3 k
2

B D

C

2T 脱离位置 F 1 mg

3 1 A

v?
l0

a2

2 mg

3 a2 mg

? a1

mg ma2

28

Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

29


相关文章:
奥赛班物理(力学综合)考试卷
物理奥赛:力学物体的平... 32页 免费 物理奥赛培训(力学) 267页 2下载券 安新...在抗洪抢险中,战士驾驶摩托艇救人,假设江岸是平直的,洪水沿江 向下游流去,...
高二物理奥赛专题复习----力学部分
高二物理奥赛专题复习---力学部分_高二理化生_理化生_高中教育_教育专区。培训资料整理 高二物理奥赛专题复习---力学部分 2015 年 4 月 21 1 2 3 4 5 6 7...
高二物理奥赛培训题《动力学A》
高二物理奥赛培训题《动力学A》_学科竞赛_高中教育_教育专区。动力学考试 1、长为 2L 的轻杆竖直地立在光滑地面上,杆上固定着两 个质量均为 m 的小球 A ...
江西师大全国中学生物理竞赛培训:力学(二)习题(含答案)
江西师大全国中学生物理竞赛培训:力学(二)习题(含答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 江西师大全国中学生物理竞赛培训:力学(二)习题(含...
物理奥赛班力学模拟考试
物理奥赛:力学 万有引力与... 26页 免费 物理奥赛:力学 机械振动与... 22...(4) vM = ω H sin α (5) 为训练宇航员能在失重状态下工作和生活 二....
初中物理竞赛-力学(经典编辑)
初中物理竞赛-力学(经典编辑)_理化生_初中教育_教育专区。初中竞赛辅导材料 上海...较大的下底面面积为 S ,较小的上底面面积为 S , 容器的底面面积为 S,...
高中物理竞赛培训试题 力学(一)习题
高中物理力学题目(含解析) 15页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 高中物理竞赛培训试题 力学(一)习题...
物理奥赛培训步骤 张璋
中学物理奥赛培训方案——张璋 1. 基础阶段。 (初三暑假至高一暑假结束) 内容: (1)自学高中物理初步知识,完成三册高中物理读本(新概念高中物理读本,赵凯华编著)的...
国际物理奥赛的培训与选拔(理论部分)(郑永令)力学提示
国际物理奥赛培训与选拔(理论部分)(郑永令)力学提示_物理_自然科学_专业资料。1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 今日推荐 120...
更多相关标签:
物理奥赛培训 | 高中物理奥赛培训 | 物理奥赛 | 奥赛物理题选 | 高中物理奥赛讲义 | 高中物理奥赛 | 初中物理奥赛试题 | 新编高中物理奥赛指导 |