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广东省2014届高三理科数学各地试题精选分类汇编14:导数与定积分


广东省 2014 届高三理科数学各地试题精选分类汇编 14:导数与定积分
一、选择题 1 . (广东省中山二中 2014 届高三 9 月第一次月考数学理试题)函数

象如下图,则 f ? x ? 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为

f ? x ? 满足 f ?0? ? 0 ,其导函数 f ??x ? 的图

( A.



1 3

B.

4 3

C .2

D.

8 3

【答案】B

由图可知 f '( x) =2x+2,所以, f ( x) ? x 2 ? 2 x ? c ,又 f(0)=0,所以,c=0, 面积为 S ? 则 f ? ?1? = A.-99!
【答案】A 3 . (广东省珠海一中等六校 2014 届高三上学期第二次联考数学 (理) 试题) 一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t ,
2

?

1 4 ( x 2 ? 2 x)dx ? ( x3 ? x 2 ) |0 ? ? 2 ?2 3 3
0

2 . (广东省廉江一中 2014 届高三上学期第二次月考数学 (理) 试卷) 已知函数 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-100),

( B.-100! C.-98! D.0



其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末的瞬时速度是 A. 7 米/秒 【答案】C B. 6 米/秒 C. 5 米/秒





D. 8 米/秒
3

4 . (广东省湛江市湖光中学 2014 届高三上学期入学考试数学(理)试题)曲线 f (x) ? x

? x ? 2 在 P0 处的切
( )

线平行于直线 y=4x-1,则 0 坐标为 A.(1,0) B.(2,8) 【答案】C

P

C.(1,0)或(-1,-4) D.(2,8)或(-1,-4)

5 . (广东省汕头四中 2014 届高三第一次月考数学(理)试题)从如图所示的正方形 OABC 区域内任取一个点

M ( x, y) ,则点 M 取自阴影部分的概率为 1 1 1 A. B. C. 2 3 4
y B (1,1) A x
y ? x2

( D.



1 6

y? x

C O
6

【答案】B .( 广 东 省 惠 州 市 2014 届 高 三 上 学 期 第 二 次 调 研 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

x 2 x3 x 4 f ( x) ? 1 ? x ? ? ? ? 2 3 4

x 2013 ? 且 函 数 f ( x ) 的 零 点 均 在 区 间 ? a, b? (a ? b, a, b ? Z ) 内 , 圆 2013
1

x2 ? y 2 ? b ? a 的面积的最小值是 A. ? B. 2?
【答案】 【解析】∵f(x)=1+x﹣

( C. 3? ,
2 3 2012



D. 4?

∴当 x<﹣1 或 x>﹣1 时,f'(x)=1﹣x+x ﹣x ++x

=

>0.

而当 x=﹣1 时,f'(x)=2013>0 ∴f'(x)>0 对任意 x∈R 恒成立,得函数 f(x)是(﹣∞,+∞)上的增函数 ∵f(﹣1)=(1﹣1)+(﹣ ﹣ )++(﹣ ﹣ )<0,f(0)=1>0

∴函数 f(x)在 R 上有唯一零点 x0∈(﹣1,0) ∴b﹣a 的最 小值为 0-(-1)=1. 2 2 ∵圆 x +y =b﹣a 的圆心为原点,半径 r= ∴圆 x +y =b﹣a 的面积为 π r =π (b﹣a)≤π ,可得面积的最小值为 π .故选:A
7 . (广东省惠州市 2014 届高三第一次调研考试数学 (理) 试题) 已知函数
2 2 2

f ( x) ? x 3 ? 3x ,若过点 A ? 0,16? 且
( )

与曲线 y ? f ( x) 相切的切线方程为 y ? ax ? 16 ,则实数 a 的值是 A. ? 3 B. 3
2

C .6

D.9 ①, ( )

【答案】设切点为 M ( x0 , y0 ) ,则 y0

? x0 ? 3x0

3

∵ k ? f ?( x0 ) ? 3x0 ? 3 ,又切线 l 过 A.M 两点, ∴k ?

y 0 ? 16 y ? 16 2 则 3x0 ? 3 ? 0 x0 x0



联立①、②可解得 x0 ? ?2, y0 ? ?2 ,从而实数 a 的值为 a ? k ?
2

?2 ? 16 ? 9 故选 ?2

D.

8 . ( 广 东 省 深 圳 市 高 级 中 学 2014 届 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 直 线

x ? t 与函数
( )

f ( x) ? x , g ( x) ? ln x 的图像分别交于点 M , N ,则当 | MN | 达到最小时 t 的值为
A.1
【答案】D 9 . (广东省珠海四中 2014 届高三一轮复习测试(二)数学理试题)设 a ? R ,若函数 y ? e
ax

B.

1 2

C.

5 2

D.

2 2

? 3x , x ? R 有
( )

大于零的极值点,则

1 1 A . a ? ?3 B . a ? ?3 C. a ? ? D. a ? ? 3 3 ax ax 【答案】B【解析】 f '( x) ? 3 ? ae ,若函数在 x ? R 上有大于零的极值点,即 f '( x) ? 3 ? ae ? 0 有正 1 3 ax 根.当有 f '( x ) ? 3 ? ae ? 0 成立时,显然有 a ? 0 ,此时 x ? ln(? ) ,由 x ? 0 我们马上就能得到参 a a 数 a 的范围为 a ? ?3 .
10( .广东省兴宁市沐彬中学 2014 届上期高三质检试题 数学 (理科) ) 设函数 f ( x) ? e x ? x ? 2, g ( x) ? ln x ? x 2 ? 3 .

若实数 a, b 满足 f (a) ? 0, g (b) ? 0 , 则 A. g (a) ? 0 ? f (b) C. 0 ? g (a) ? f (b) 【答案】A

( B. f (b) ? 0 ? g (a) D. f (b) ? g (a) ? 0



11. (广东省普宁侨中 2014 届高三第一次月考(10 月)数学(理)试题)若函数
2

f (x)=x3 +ax2 +bx+c 有极值
( )

点 x1 , x2 ,且 f (x1 )=x1 ,则关于 x 的方程 3(f (x)) +2af (x)+b=0 的不同实根个数是 A.3 B.4 C .5
2

D.6

【答案】A 12 . (广东省广州市越秀区 2014 届高三上学期摸底考试数学理试题) 若过点 (2, 0) 的直线与曲线

y ? x3 和


y ? ax2 ? 7 x ? 4 都相切,则 a 的值为 49 5 A.2 或 ? B.3 或 16 16
【答案】A

( C .2 D.

5 16

? x3 , x ? 0, 13 . (广东省汕头四中 2014 届高三第一次月考数学(理)试题) 已知函数 f ( x) ? ? 若 ?ln( x ? 1), x>0.
f(2-x )>f(x),则实数 x 的取值 范围是 ( A) (??, ?1) ? (2, ??) D. (?2,1)
【答案】D 14 . (广东省揭阳一中 2014 届高三上学期第一次阶段考试数学(理)试题) 已知函数 f ( x) 在 R 上满足
2

B. (??, ?2) ? (1, ??)

C. (?1, 2)

f ( x) ? 2 f (2? x )? x2 ? 8x ? 8,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 A. y ? x B. y ? 2 x ? 1 C. y ? 3 x ? 2 D. y ? ?2 x ? 3
【答案】B 15. (广东省南雄市黄坑中学 2014 届高 三上学期第二次月考测试数学(理)试题)函数





f ( x) ? ax3 ? x ? 1 有
( )

极值的充要条件是 A. a ? 0 【答案】D

B. a ? 0

C. a ? 0

D. a ? 0

2 ? ? x ? 1????????????? x ? 0 16. (广东省佛山市佛山一中 2014 届高三 10 月段考数学(理)试题)已知函数 f ( x) ? ? 2 ? ? ? x ? 4 x ? a??? x ? 0 在点(1,2)处的切线与 f ( x ) 的图像有三个公共点,则 a 的取值范围是 ( )

A. [?8, ?4 ? 2 5) B. (?4 ? 2 5, ?4 ? 2 5) D. (?4 ? 2 5,?? 8]
【答案】D 二、填空题

C



(?4 ? 2 5,?8]

17 . (广东省廉江一中 2014 届高三上学期第二次月考数学(理)试卷) 已知函数 f(x-1)=2x -x,则

2

f ? ? x? =

18. (广东省韶关市曲江中学 2013-2014 学年高三第一次阶段检测数学(理)试题)已知直线 y ? ax(a ? 0) 与抛

_______________ . 【答案】4x+3

物线 y ? x 2 所围成的封闭图形的面积为

9 ,则 a ? ____. 2

【答案】3 2 19. (广东省廉江一中 2014 届高三上学期第二次月考数学(理)试卷)曲线 y=x +3x 在点(2,10)处的切线的斜

率是_________ . 【答案】7 .
20. (广东省湛江市湖光中学 2014 届高三上学期入学考试数学(理)试题) 【答案】12 21. (广东省揭阳一中 2014 届高三上学期第一次阶段考试数学(理)试题)已知函数 f(x),g(x)分别是定义在 R

?

3 0

( x 2 ? 1)dx ? _______________.

上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,

f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? 0 且 g(3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是_________________. 【答案】 (??, ?3) ? (0,3)
22 . (广东省揭阳一中 2014 届高三上学期第一次阶段考试数学(理)试题) 若函数 f (a)=?a(2+sinx)dx,则

?0

3

f[f( )-1]=________________.
【答案】 2? ? 1 23. (广东省汕头市金山中学 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知函数 f ( x ) ?

π 2

1 3 3 x ? x ,则函 2 2

数 f ( x) 过 点 (2, 1) 的切线方程为_____________. .
【答案】 y ? 1 或 9 x ? 2 y ? 16 ? 0 24 .( 广 东 省 深 圳 市 宝 安 区 2014 届 高 三 上 学 期 调 研 测 试 数 学 理 试 卷 ) 若 函 数

lg x( x ? 0), ? ? f ( x) ? ? f ( f (1)) ? 8, 则 a 的值为__________. a 2 x ? 3 t dt ( x ? 0 ), ? ? ?0
【答案】2 25. (广东省珠海四中 2014 届高三一轮复习测试(二)数学理试题)若曲线 y ?

x 与直线 x=a,y=0 所围成封

闭图形的面积为 a .则正实数 a=____
【答案】 a ?
T

2

4 9

26 .( 广 东 省 普 宁 侨 中 2014 届 高 三 第 一 次 月 考 ( 10 月 ) 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 若

?

0

x 2 dx ? 9, 则常数T的值为 _________;

【答案】3; 27 . (广东省佛山市佛山一中 2014 届高三 10 月段考数学(理)试题) 计算

?(
-2

2

4 ? x 2 ? x 2 )dx 的值为

________________.
【答案】 2? ?

16 3

28. (广东省深圳中学 2013-2014 学年度高三年级第一次阶段性测试理科数学(A 卷) )右图中阴影部分区域的

面积 S ? _________.

y

y=sinx y=cosx

O

x

【答案】 2 ? 1 3 2 29. (广东省珠海四中 2014 届高三一轮复习测试(二)数学理试题)函数 f(x)=x -3x +1 在 x ? ____________

处取得极小值. 【答案】2
30 . (广东省汕头市金山中学 2014 届高三上学期开学摸底考试数学(理)试题) 若函数

f ??x? ? x ? 4 x ? 3 ,则函数 f ?1 ? x ? 的单调减区间是____*****___. 【答案】 (0, 2)
2

f ?x ? 的导函数

31. (广东省南雄市黄坑中学 2014 届高三上学期第二次月考测试数学 (理) 试题) 已知曲线 y

? x 2 ? 1 在 x ? x0

处的切线与曲线 y ? 1 ? x 在 x ? x0 处的切线互相平行,则 x0 的值为_______.
3

【答案】 x 0 ? 0或x 0 ? ?

2 3

32. (广东省六校 2014 届高三第一次联考理科数学试题)计算定积分 【答案】

??
1 0

x ? x 2 dx ? __________.

?

1 3
4

解析:

??
1 0

2 3 1 1 x ? x 2 dx ? ( x 2 ? x 2 ) |1 0= 3 3 3
x

?

33. (广东省珠海一中等六校 2014 届高三上学期第二次联考数学(理)试题)由曲线 y ? e 与直线 x ? 0 、直

线 y ? e 所围成的图形的面积为____________. 【答案】1
34. (广东省珠海市 2014 届高三 9 月开学摸底考试数学理试题)直线 y ? ?

实数 b ? ____________.

1 1 x ? b 是函数 f ( x) ? 的切线,则 4 x

【答案】 1或-1 三、解答题 35 . (广东省珠海四中 2014 届高三一轮复习测试(二)数学理试题)已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像

与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x) 在 x ? ?1 处取得极小值 m ? 1(m ? 0) .设 f ( x ) ? (1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q (0, 2) 的距离的最小值为 2 ,求 m 的值; (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点.

g ( x) . x

【答案】解:设二次函数 y ? g ( x) 的解析式为 g ( x) ? ax

2

? bx ? c(a ? 0)

则它的导函数为 g ?( x) ? 2ax ? b(a ? 0) , ∵ ∴ 函数 g ?( x) ? 2ax ? b(a ? 0) 的图像与直线 y ? 2 x 平行, 2a=2,解得 a=1,

所以 g ( x) ? x 2 ? bx ? c , g ?( x) ? 2 x ? b ∵ y ? g ( x) 在 x ? ?1 处取得极小值 m ? 1(m ? 0)

?b ? 2 ? g ?(?1) ? 0 ?? 2 ? b ? 0 ,即 ? ,解得 ? . ?c ? m ? g (?1) ? m ? 1 ?1 ? b ? c ? m ? 1 g ( x) m 所以 g ( x) ? x 2 ? 2 x ? m , f ( x ) ? =x? ?2(x ? 0) x x m ? ? (1)设点点 P ? x, x ? ? 2 ? ( x ? 0 , m ? 0 )为曲线 y ? f ( x) 上的任意一点 x ? ?
∴?

m? m2 ? 2 则点 P 到点 Q (0, 2) 的距离为 PQ ? x ? ? x ? ? ? 2 x ? 2 ? 2m x? x ?
2

2

由基本不等式定理可知 2 x 2 ? 当且仅当 x ?
2

m2 ? 2m ? 2 2 m ? 2m , x2

2m 2

时,等号“=”成立,此时 PQ min = 2 2 m ? 2m

又已知点 P 到点 Q (0, 2) 的距离的最小值为 2 ,所以令 2 2 m ? 2m ? 两边平方整理, 得 2 m ? m ? 1 当 m ? 0 时, 2m ? m ? 1 ,解得 m ?

2

2 ?1 当 m ? 0 时, ? 2m ? m ? 1 ,解得 m ? ? 2 ? 1 所以, m 的值为 2 ? 1 或者 ? 2 ? 1 ; m m (2)函数令 h( x) ? f ( x) ? kx = x ? ? 2 ? kx ? (1 ? k ) x ? ? 2 ( x ? 0 ) x x
5

m ? 2 ? 0 ( x ? 0 ), x 整理,得 (1 ? k ) x 2 ? 2x ? m ? 0 ( x ? 0 ),① 函数 h( x) ? f ( x) ? kx 存在零点,等价于方程①有非零实数根, 由 m ? 0 可知,方程①不可能有零根, m ? 0 ,方程①有唯一实数根, 当 k=1 时,方程①变为 2 x ? m ? 0 ,解得 x ? 2 m 此时, 函数 h( x) ? f ( x) ? kx 存在唯一的零点 x ? ; 2 当 k≠1 时,方程①根的判别式为 ? ? 4 ? 4m(1 ? k ) , m ? 0 1 令 ? ? 4 ? 4m(1 ? k ) =0,解得 k ? 1 ? , m 方程①有两个相等的实数根 x1 ? x2 ? ?m , 此时, 函数 h( x) ? f ( x) ? kx 存在唯一的零点 x ? ?m; 令 ? ? 4 ? 4m(1 ? k ) >0,得 m(1-k)<1 , 1 当 m>0 时,解得 k ? 1 ? , m 1 当 m<0 时,解得 k ? 1 ? , m
令 h( x) ? 0 ,即 (1 ? k ) x ? 以上两种情况下,方程①都有两个不相等的实数根

? 1 ? 1 ? m(1 ? k ) ? 1 ? 1 ? m(1 ? k ) , x2 ? 1? k 1? k 此时, 函数 h( x) ? f ( x) ? kx 存在两个零点 x1 ? ? 1 ? 1 ? m(1 ? k ) ? 1 ? 1 ? m(1 ? k ) , x2 ? 1? k 1? k 综上所述,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点的情况可概括为 m 当 k=1 时,函数 h( x) ? f ( x) ? kx 存在唯一的零点 x ? ; 2 1 当 k ? 1 ? 时,函数 h( x) ? f ( x) ? kx 存在唯一的零点 x ? ?m; m 1 1 当 m>0 且 k ? 1 ? ,或者 m<0 且 k ? 1 ? 时,函数 h( x) ? f ( x) ? kx 存在两个零点 m m ? 1 ? 1 ? m(1 ? k ) ? 1 ? 1 ? m(1 ? k ) , x2 ? . x1 ? 1? k 1? k x1 ?
36 . ( 广 东 省 揭 阳 一 中 2014 届 高 三 上 学 期 第 一 次 阶 段 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

(Ⅰ)求函数 f ?x ? 的极值;

f ? x ? ? x2 ? 2ln x, h ? x ? ? x2 ? x ? a.

(Ⅱ)设函数 k ?x ? ? f ?x ? ? h?x ?, 若函数 k ?x ? 在 ?1,3? 上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值 范围.
【答案】

6

(Ⅱ)? k ( x) ? f ( x) ? h( x) ? ?2 ln x ? x ? a ? k ' ( x) ? ? ? 1 ,若 k ' ( x) ? 0, 则x ? 2 当 x ??1, 2? 时, f ' ? x ? ? 0 ;当 x ? ? 2,3? 时, f ' ? x ? ? 0 . 故 k ? x ? 在 x ??1, 2? 上递减,在 x ? ? 2,3? 上递增

2 x

?k (1) ? 0, ?a ? 1, ? ? ? ?k (2) ? 0, ? ?a ? 2 ? 2 ln 2, ? 2 ? 2 ln 2 ? a ? 3 ? 2 ln 3. ?k (3) ? 0, ?a ? 3 ? 2 ln 3, ? ? 所以实数 a 的取值范围是 ? 2 ? 2ln 2,3 ? 2ln3?
37 ( .广东省广州市仲元中学 2014 届高三数学 (理科) 10 月月考试题) 已知函数 f ( x) ?

其中 a ? 2. (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若对于任意的 x1 , x2 ? (0, ??), x1 ? x2 ,恒有

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x , 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 ,求实数 a 的取值范围; x1 ? x2 n ?1 1 , n ? N * ,求证: f ( xn?1 ) ? f ( x1 ) ? . (Ⅲ)设 a ? (3, 4), xn ? n xn
【答案】解:(Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 x ? (0, ??)

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ? x x 2 令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? ax ? a ? 1 ? 0 ,即 ( x ? 1)[ x ? (a ? 1)] ? 0 , x ? 1 或 x ? a ? 1 因为 a ? 2 ,所以 a ? 1 ? 1 当 x ? (0,1), f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 为增函数 当 x ? (1,a ? 1), f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 为减函数 当 x ? (a ? 1, ??), f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 为增函数 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 等价于 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x2 ? x1 (Ⅱ)设 x1 ? x2 ,则不等式 x1 ? x2 整理得到 f ( x1 ) ? x1 ? f ( x2 ) ? x2 1 2 令 g ( x) ? f ( x) ? x ? x ? ax ? (a ? 1) ln x ? x 2 即函数 g ( x) 在 x ? (0, ??) 上为增函数 a ?1 a ?1 ? 0 恒成立 g ?( x) ? x ? (a ? 1) ? ,不等式 x ? (a ? 1) ? x x f ?( x) ? x ? a ?
7

a ?1 ? 2 a ? 1 ,所以 2 a ?1 ? a ?1 ,因为 a ? 2. ,所以 a ?1 ? 2 ? 2 ? a ? 5 x (Ⅲ)因为 a ? (3, 4) ,由(Ⅰ)可以知道当 x ? (1, a ? 1) 时,函数 f ( x ) 为减函数, n?2 1 ? 1? ? (1, a ? 1) , x1 ? 2 ? (1, a ? 1) , 而 xn ?1 ? n ?1 n ?1 那么 xn?1 ? x1
而x? 所以 f ( xn?1 ) ? f ( x1 ) 由(Ⅱ)知道 所以 f ( xn?1 ) ? f ( x1 ) ? f ( xn?1 ) ? f ( x1 )

f ( xn?1 ) ? f ( x1 ) ? ?1 xn?1 ? x1 1 1 n 1 ) ? 1? ? ? n ?1 n ? 1 n ? 1 xn

所以 f ( xn ?1 ) ? f ( x1 ) ? x1 ? xn ?1 ? 2 ? (1 ?

38 . ( 广 东 省 南 雄 市 黄 坑 中 学 2014 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 测 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x) ? ax2 ? ln x( x ? 0) . (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 0 时 , 设斜率为 k 的直线与曲线 y ? f ( x) 交于 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) ( x1 ? x 2 ) 两点 , 求 1 证: x1 ? ? x 2 . k
1 2ax2 ? 1 ( x ? 0) , 【答案】解:(Ⅰ) f ' ( x) ? 2ax ? ? x x 当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0,??) 上是增函数; 1 ? 2a (取正根), 当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ? 2a 1 1 ? 2a ) 内 , f ' ( x) ? 0, f ( x) 是增函数 ; 在区间 (? ? 2a ,?? ) 内 , f ' ( x) ? 0, f ( x) 在区间 (0,? 2a 2a
是减函数. 综上,当 a ? 0 时, f ( x) 的增区间为 (0,??) ,没有减区间;

1 1 ? 2a ,?? ) ,增区间是 (0,? ? 2a ) 2a 2a x2 ? x1 1 (Ⅱ)当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x( x ? 0), , ? k ln x2 ? ln x1 x2 ? x1 今证明 x1 ? ? x2 , ln x2 ? ln x1 先证明 x1 (ln x2 ? ln x1 ) ? ( x2 ? x1 ) ? 0 设 h( x) ? x1 (ln x ? ln x1 ) ? ( x ? x1 ), ( x ? x1 ? 0) x 则 h' ( x ) ? 1 ? 1 , x ∵ x ? x1 ? 0 ,∴ h' ( x) ? 0 , h( x) 在 [ x1 ,??) 上是减函数. ∵ x 2 ? x1 ,∴ h( x2 ) ? h( x1 ) ? 0 , 即 x1 (ln x2 ? ln x1 ) ? ( x2 ? x1 ) ? 0 x2 ? x1 ∴ x1 ? , ln x2 ? ln x1 x2 ? x1 同理可证 ? x2 ln x2 ? ln x1
当 a ? 0 时, f ( x) 的减区间是 ( ?
8

39 . (广东省廉江一中 2014 届高三上学期第二次月考数学 (理) 试卷) 已知函数 f(x)=ax -6ax +b

3

2

(x∈[-1,2])

的最大值为 3,最小值为-29,求 a、b 的值.

【答案】解:令

f '( x) ? 3ax2 ?12ax ? 3a( x2 ? 4 x) =0,显然 a≠0,否则 f(x)=b 为常数,

又 x∈[-1,2],∴x=0,

若 a>0,则当 x ? ? ?1,0 ? 时 f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? ?0, 2? 时 f ? ? x ? ? 0 , ∴ f max ? x ? ? f ?0? ? b ? 3,

f ? ?1? ? ?7a ? b, f ? 2? ? ?16a ? b,
∴ f min ? x ? ? f ? 2? ? ?16a ? 3 ? ?29, a ? 2. 若 a<0,同理可得 a=-2,b=-29 ∴ a ? 2, b ? 3, 或a ? ?2, b ? ?29.
40 . (广东省珠海四中 2014 届高三一轮复习测试(二)数学理试题) 设函数

f ? x? ? ? x ?1? ex ? kx2 (其中

k ? R ).
(Ⅰ) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ) 当 k ? ?

?1 ? ,1 时,求函数 f ? x ? 在 ?0, k ? 上的最大值 M . ?2 ? ?

【答案】 【解析】(Ⅰ) 当 k ? 1 时,

f ? x ? ? ? x ?1? ex ? x2 , f ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? e x ? 2 x ? xe x ? 2 x ? x ? e x ? 2 ?
令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln 2 当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化如下表:

x
f ? ? x? f ? x?

? ??,0?
?

0
0
极 大 值

? 0,ln 2?
?

ln 2

? ln 2, ???
?

0
极小 值

右表可知,函数 f ? x ? 的递减区间为 ? 0,ln 2? ,递增区间为 ? ??,0 ? , ? ln 2, ??? .
x x x x (Ⅱ) f ? ? x ? ? e ? ? x ? 1? e ? 2kx ? xe ? 2kx ? x e ? 2k ,

?

?

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln ? 2k ? , 令 g ? k ? ? ln ? 2k ? ? k ,则 g ? ? k ? ?

所以 g ? k ? ? ln 2 ?1 ? ln 2 ? ln e ? 0 ,从而 ln ? 2k ? ? k ,所以 ln ? 2k ? ??0, k ? 所以当 x ? 0,ln ? 2k ? 时 , f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ln ? 2k ? , ?? 时, f ? ? x ? ? 0 ;
k 3 所以 M ? max f ? 0 ? , f ? k ? ? max ?1, ? k ? 1? e ? k

1 1? k ?1 ? ?1 ? ? 0 ,所以 g ? k ? 在 ? ,1? 上递增, k k ?2 ?

?

?

?

?

?

?

?

?

9

k 3 k 令 h ? k ? ? ? k ?1? e ? k ? 1 ,则 h? ? k ? ? k e ? 3k ,

?

?

令 ? ? k ? ? e ? 3k ,则 ?? ? k ? ? e ? 3 ? e ? 3 ? 0
k k

3? ?1 ? ?1? ? ,1? 上递减,而 ? ? ? ? ? ?1? ? ? e ? ? ? e ? 3? ? 0 2? ?2 ? ?2? ? ?1 ? ?1 ? 所以存在 x0 ? ? ,1? 使得 ? ? x0 ? ? 0 ,且当 k ? ? , x0 ? 时, ? ? k ? ? 0 , ?2 ? ?2 ?
所以 ? ? k ? 在 ? 当 k ? ? x0 ,1? 时, ? ? k ? ? 0 ,

?1 ? ?2 ? 1 7 ?1? 因为 h ? ? ? ? e ? ? 0 , h ?1? ? 0 , 2 8 ?2? ?1 ? 所以 h ? k ? ? 0 在 ? ,1? 上恒成立,当且仅当 k ? 1 时取得“ ? ”. ?2 ?
所以 ? ? k ? 在 ? , x0 ? 上单调递增,在 ? x0 ,1? 上单调递减. 综上,函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M ? ? k ?1? e ? k .
k 3

41 . (广东省湛江市 2014 届高三 10 月高三调研测试数学理试题(WORD 版) )设函数

f ? x? ?

1? a 2 x ? ax ? ln x ? a ? R ? . 2

(1)当 a=1 时,求函数 f(x)的极值, (2)当 a>1 时,讨论函数 f(x)的单调性. (3)若对任意 a ? (3, ??) 及任意 x1 , x2 ?[1, 2] ,恒有 取值范围.
【答案】

a2 ?1 m ? ln 2 ?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | 成立,求实数 m 的 2

10

42 . (广东省佛山市南海区 2014 届普通高中高三 8 月质量检测理科数学试题 )设 P 是曲线 C1 上的任一点, Q

是曲线 C2 上的任一点,称 PQ 的最小值为曲线 C1 与曲线 C2 的距离. (1)求曲线 C1 : y ? e x 与直线 C2 : y ? x ? 1 的距离; (2) 设曲线 C1 : y ? e x 与直线 C3 : y ? x ? m( m ? R,m ? 0 ) 的距离为 d1 , 直线 C2 : y ? x ? 1 与直线

C3 : y ? x ? m的距离为 d2 ,求 d1 ? d2 的最小值.
【答案】解:(1)只需求曲线 C1 上的点到直线 y ? x ? 1 距离的最小值
x x 设曲线 C1 上任意一点为 P( x, e ), 则点 P( x, e ) 到 y ? x ? 1 的距离为

? 2 2 x x x 令 f ( x) ? e ? x ? 1,则 f ?( x) ? e ?1 ,由 f ?( x) ? e ?1 ? 0 ? x ? 0 ; f ?( x) ? ex ?1 ? 0 ? x ? 0; f ?( x) ? ex ?1 ? 0 ? x ? 0. x 故当 x ? 0 时, 函数 f ( x) ? e ? x ? 1取极小值即最小值 f (0) ? 2 ,
11

d?

x ? ex ?1

ex ? x ?1

即d ?

ex ? x ? 1 2

取最小值 2 ,故曲线 C1 与曲线 C2 的距离为 2 ;

| m ? 1| | m ? 1| ,又易知 d 2 ? , 2 2 | m ? 1| | m ? 1| 1 2 则 d1 ? d 2 ? ? ? ?| m ? 1| ? | m ? 1|? ? ? 2 , 2 2 2 2 当且仅当 (m ? 1)(m ? 1) ? 0 时等号成立,考虑到 m ? 0 ,所以,当 0 ? m ? 1 时,
(2)由(1)可知, d1 ?

d1 ? d2 的最小值为 2
43 . (广东省惠州市 2014 届高三上学期第二次调研数学(理)试题)已知函数

f ( x) ? ax ? ln(1 ? x2 )

(1)当 a ?

4 时,求函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上的极值; 5

(2)证明:当 x ? 0 时, ln(1 ? x2 ) ? x ;

1 1 1 )(1 ? 4 ) (1 ? 4 ) ? e (n ? N ? , n ? 2, e为自然对数的底数) . 4 2 3 n 4 4 2 【答案】解 (1)当 a ? 时, f ( x) ? x ? ln(1 ? x ) 5 5 2 4 2x 4 x ? 10x ? 4 ? f ' ( x) ? ? ? 2 5 1? x 5(1 ? x 2 )
(3)证明: (1 ?

x, f ' ( x), f ( x) 变化如下表

x
f ' ( x)
f ( x)

? 1? ? 0, ? ? 2?
+ ↗

1 2
0 极大值

?1 ? ? ,2 ? ?2 ?


2
0 极小值

?2,???
+ ↗

1 2 5 ? f 极大值 ? f ( ) ? ? ln , 2 5 4 2 (2)令 g ( x) ? x ? ln( 1? x )
则 g ( x) ? 1 ?
'

f 极小值 ? f (2) ?

8 ? ln 5 5

2x ( x ? 1) 2 ? ?0 1? x2 1? x2 ? g ( x)在?0, ? ?? 上为增函数.? g ( x) ? g (0) ? 0

?ln(1 ? x2 ) ? x (3)由(2)知 ln( 1? x2 ) ? x 1 1 1 1 1 1 1? 4 ) ? 2 ? ? ? 令 x ? 4 得, ln( n n(n ? 1) n ? 1 n n n 1 1 1 ? ln(1 ? 4 ) ? ln(1 ? 4 ) ? ?? ? ln(1 ? 4 ) 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 1? ? 1 2 2 3 3 4 n ?1 n n 1 1 1 ? (1 ? 4 )(1 ? 4 ) ? (1 ? 4 ) ? e 2 3 n
44. (广东省珠海一中等六校 2014 届高三上学期第二次联考数学(理)试题)设函数
12

f ( x) ? x 3 ? 6 x ? 5 , x ? R

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间;(2)求函数 f ( x ) 在区间 ? ?2, 2? 上的最值.
【答案】解:(1)

f ( x) ? x3 ? 6x ? 5

? f '( x) ? 3x2 ? 6
令 f '( x) ? 0, ? x ? ? 2

f '( x), f ( x)随着x 的变化情况如下表:

x
f '( x)
f ( x)

(??, ? 2)

? 2
0 极大 值

(? 2, 2)
— 单调递减

2
0 极小 值

( 2, ??)

?
单调递增

?
单调递增

由上表可知 f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ? 2) 和 ( 2, ??) , 单调递减区间为 (? 2, 2) (2)由(1)可知函数 f ( x ) 在 ? ?2, ? 2 ? 上单调递增,在 ? ? 2, 2 ? 上单调递减,

?

?

?

?

? ? ? f ( x) 的极大值 ? f (? 2) ? 5 ? 4 2
f ( x) 的极小值 ? f ( 2) ? 5 ? 4 2


在 ? 2, 2 ? 上单调递增,

f (2) ? 1 ? 5 ? 4 2 ? f (? 2) ,

f (?2) ? 9 ? 5 ? 4 2 ? f ( 2)

? 函数 f ( x) 在区间 ? ?2, 2? 上的最大值为 5 ? 4 2 ,最小值为 5 ? 4 2
45. (广东省中山二中 2014 届高三 9 月第一次月考数学理试题)已知三次函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? c 在 x ? 1 和

x ? ?1 时取极值 ,且 f (?2) ? ?4 .(Ⅰ) 求函数 y ? f ( x) 的表达式;(Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调区间和极

值;(Ⅲ)若函数 g ( x) ? f ( x ? m) ? 4m (m ? 0) 在区间 [m ? 3, n] 上的值域为 [?4, 16] ,试求 m 、 n 应满足的条 件.

【答案】(Ⅰ) 解: f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ,

由题意得: 1, ? 1 是 3x 2 ? 2ax ? b ? 0 的两个根,解得, a ? 0, b ? ?3 . 再由 f (?2) ? ?4 可得 c ? ?2 ∴ f ( x) ? x3 ? 3x ? 2 (Ⅱ) 解: f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1) , 当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 当 ?1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 .∴函数 f ( x) 在区间 (??, ?1] 上是增函数; 在区间 [?1,1 ] 上是减函数;在区间 [1, ? ?) 上是增函数. 函数 f ( x) 的极大值是 f (?1) ? 0 ,极小值是 f (1) ? ?4 . (Ⅲ)解 : 函数 g ( x) 的图象是由 f ( x) 的图象向右平移 m 个单位 , 向上平移 4 m 个单位得到 , 所以 , 函数
13

f ( x) 在区间 [?3, n ? m] 上的值域 [?4 ? 4m, 16 ? 4m] ( m ? 0 ) 而 f (?3) ? ?20 ,∴ ?4 ? 4m ? ?20 , 即 m ? 4 . 则函数 f ( x) 在区间 [?3, n ? 4] 上的值域为 [?20, 0] 令 f ( x) ? 0 得 x ? ?1 或 x ? 2 .由 f ( x) 的单调性知, ?1 ? n ? 4 ? 2 ,即 3 ? n ? 6 . 综上所述, m 、应满足的条件是: m ? 4 ,且 3 ? n ? 6
46 . ( 广 东 省 汕 头 四 中 2014 届 高 三 第 一 次 月 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x) ?

(1)设函数 f(x)的图象与 x 轴交点为 A,曲线 y=f(x)在 A 点处的切线方程是 y ? 3x ? 3 ,求 a , b 的值; (2)若函数 g ( x) ? e? ax ? f '( x) ,求 函数 g ( x) 的单调区间.

1 3 1 2 x ? ax ? x ? b(a ? 0) , f '( x) 为函数 f ( x) 的导函数. 3 2

【答案】解:(Ⅰ)∵ f ( x) ?
2

1 3 1 2 x ? ax ? x ? b(a ? 0) , 3 2

∴ f '( x) ? x ? ax ? 1 ∵ f ( x ) 在 (1, 0) 处切线方程为 y ? 3x ? 3 , ∴?

? f '(1) ? 3 , ? f (1) ? 0

11 . (各 1 分) 6 f '( x) x 2 ? ax ? 1 ( x ? R) . (Ⅱ) g ( x) ? ax ? e e ax (2 x ? a)eax ? a( x 2 ? ax ? 1)eax g '( x) ? ? ? x[ax ? (a2 ? 2)]e?ax ax 2 (e ) ①当 a ? 0 时, g '( x) ? 2 x ,
∴ a ? 1,b ? ?

极小值 g ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (??, 0) ②当 a ? 0 时,令 g '( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? (ⅰ)当

x g '( x ) g ( x)

(??, 0)
-

0 0

(0, ??)
+

2 ?a a

2 ? a ? 0 ,即 0 ? a ? 2 时, a

x
g '( x )

(??, 0)
-

0

(0,

2 ? a2 ) a
+

2 ? a2 a
0 极大值

(

2 ? a2 , ??) a
-

0 极小值

g ( x) g ( x) 的单调递增区间为 (0,
(ⅱ)当

2 ? a2 2 ? a2 ) ,单调递减区间为 (??, 0) , ( , ??) ; a a

2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, g '( x) ? ? ?2 x 2e?2 x ? 0 , a 故 g ( x) 在 (??, ??) 单调递减;
14

(ⅲ)当

2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 时, a 2 (??, ? a ) x a

2 ?a a
0 极小值

2 ( ? a, 0) a
+

0

(0, ??)

g '( x )
g ( x)
2

-

0 极大值

-

2?a 2?a ) 上单调递减 , 0) 上单调递增,在 (0, ??) , (??, a a 综上所述,当 a ? 0 时, g ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 ( ??, 0) ;
2

g ( x) 在 (

当0 ? a ? 当a ?

2 时, g ( x) 的单调递增区间为 (0,

2 ? a2 ) ,单调递减区间为 (??, 0) a

2 , g ( x) 的单调递减区间为 (??, ??) 2 2 当 a ? 2 时, g ( x) 的单调递增区间为 ( ? a, 0) ,单调递减区间为 (0, ??) 、 (??, ? a ) a a
47. (2013-2014 学年广东省(宝安中学等)六校第一次理科数学联考试题)设函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? bx. 2

1 时,求函数 f ( x) 的最大值; 2 1 a 1 (Ⅱ)令 F ( x) ? f ( x) ? ax 2 ? bx ? ( 0 ? x ? 3 ) 其图象上任意一点 P ( x0 , y0 ) 处切线的斜率 k ≤ 2 x 2 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2 (Ⅲ)当 a ? 0 , b ? ?1 ,方程 2mf ( x) ? x 有唯一实 数解,求正数 m 的值 【答案】解:(1)依题意,知 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , 1 1 2 1 当 a ? b ? 时, f ( x ) ? ln x ? x ? x , 2 4 2 1 1 1 ?( x ? 2)( x ? 1) f ?( x) ? ? x ? ? x 2 2 2x 令,解得 x ? 1.( x ? 0) 因为 g ( x) ? 0 有唯一解,所以 g ( x2 ) ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递增; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递减. 3 所以 f ( x ) 的极大值为 f (1) ? ? ,此即为最大值 4 a x ?a 1 (2) F ( x) ? ln x ? , x ? (0,3] ,则有 k ? F ?( x0 ) ? 0 2 ? , 在 x0 ? (0,3] 上恒成立, x x0 2 1 2 ∴ a ≥ (? x0 ? x0 ) max , x0 ? (0,3] 2 1 2 1 1 当 x 0 ? 1 时, ? x 0 ? x0 取得最大值 ,所以 a ≥ 2 2 2 2 2 (3)因为方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,所以 x ? 2m ln x ? 2mx ? 0 有唯一实数解,
(Ⅰ)当 a ? b ? 设 g ( x) ? x ? 2m ln x ? 2mx ,则 g ?( x) ?
2

2 x 2 ? 2mx ? 2m . 令 g ?( x) ? 0 , x 2 ? mx ? m ? 0 x
15

m ? m2 ? 4m m ? m 2 ? 4m , ? 0 (舍去), x2 ? 2 2 当 x ? (0, x2 ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, x2 ) 上单调递减, 当 x ? ( x2 , ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x2 , ??) 上单调递增, 当 x ? x2 时, g ?( x2 ) ? 0 , g ( x) 取最小值 g ( x2 )
因为 m ? 0, x ? 0, 所以 x1 ?
2 ? ? g ( x2 ) ? 0 ? x2 ? 2m ln x2 ? 2mx2 ? 0 则? 即? 2 ? ? g ?( x2 ) ? 0 ? x2 ? mx2 ? m ? 0 所以 2m ln x2 ? mx2 ? m ? 0, 因为 m ? 0, 所以 2ln x2 ? x2 ?1 ? 0(?) 设函数 h( x) ? 2ln x ? x ? 1 ,因为当 x ? 0 时, h( x) 是增函数,所以 h( x) ? 0 至多有一解.

∵ h(1) ? 0 ,∴方程(*)的解为 x2 ? 1 ,即

m ? m2 ? 4m 1 ? 1 ,解得 m ? 2 2

48 . ( 广 东 省 深 圳 中 学 2013-2014 学 年 度 高 三 年 级 第 一 次 阶 段 性 测 试 理 科 数 学 ( A 卷 ) )设函数

x2 ,其中 e 为自然对数的底数. 4 x ? x2 1 ); (1) 已知 x1 , x2 ? R ,求证: ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? f ( 1 2 2 (2)是否存在与函数 f ( x ) , g ( x) 的图象均相切的直线 l ?若存在,则求出所有这样的直线 l 的方程;若不

f ( x) ? e x , g ( x ) ? ?

存在,则说明理由.
x1 ? x2 x1 ? x2 1 1 x1 x2 ) ? (e ? e ) ? e 2 【答案】(1)证明: ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? f ( 2 2 2 x1 ? x2 x1 x2 1 1 ? (e x1 ? e x2 ? 2e 2 ) ? (e 2 ? e 2 ) 2 ? 0. 2 2 x ?x 1 ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? f ( 1 2 ). 2 2 t (2) 设直线 l 与函数 f ( x ) 的图象相切,切点为 (t , e ) , 则直线 l 的方程为 y ? et ? et ( x ? t ), 即 y ? et x ? et (1 ? t ). 直线 l 与函数 g ( x) 的图象相切的充要条件是关于 x 的方程

x2 x2 , 即 +et x ? et (1 ? t ) ? 0 有两个相等的实数根, 4 4 t 2t t 即 ? ? e ? e (1 ? t ) ? 0, e ? t ? 1 ? 0. t t 设 ? (t ) ? e ? t ?1 ,则 ? (0) ? 0 ,且 ? ?(t ) ? e ? 1 ? 0 , ? (t ) 在 R 上递增, ? (t ) 只有一个零点 t ? 0. 所以存在唯一一条直线 l 与函函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图象均相切,其方程为 y ? x ? 1. et x ? et (1 ? t ) ? ?
49 . ( 广 东 省 韶 关 市 曲 江 中 学 2013-2014 学 年 高 三 第 一 次 阶 段 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

2 ? 1( x ? 0, a ? 0) . x ?1 (Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 2 处取得极值,求 a 的值; f ( x) ? l n ax ( ? 1) ?
(Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ) 若 a ? 1 且 b ? 0 , 函 数 g ( x ) ?

1 3 bx ? bx , 若 对 于 ?x1 ? (0,1) , 总 存 在 x2 ? (0,1) 使 得 3

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 的取值范围.
16

【答案】解:(I)

f ' ( x) ?

a 2 a( x ? 1) 2 ? 2(ax ? 1) ax2 ? a ? 2 1分 ? ? ? ax ? 1 ( x ? 1) 2 (ax ? 1)(x ? 1) 2 (ax ? 1)(x ? 1) 2
2 5

由 f ' ?1? ? 0 得, 5a ? 2 ? 0, . a ? (II)? f ' ( x) ?

ax2 ? a ? 2 (a ? 0, x ? 0) (ax ? 1)(x ? 1) 2 ,

若 a ? 2, x ? 0 ,得 f ' ? x ? ? 0 即 f ? x ? 在 ? 0, +? ? 上单调递增, 若 0 ? a ? 2令f ' ( x) ? 0得x ?

2?a 或 ? a
(0,

2?a (舍去) a
2?a ) a
2?a a

x
f ' ( x)
f ( x)

(

2?a ,??) a

单调减

0

+ 单调增

? 2?a ? 2?a 0 , ? f ( x) 的单调减区间是 ? ,单调增区间是( , ,+?) ? ? ? a ? a ? (Ⅲ) a ? 1 由(2)得 f ( x ) 在 ? 0,1? 上是减函数,
? ln 2 ? f ( x) ? 1 ,即 f ? x ? 值域 A ? ? ln 2,1?
' 又 g ' ( x) ? bx2 ? b ? b( x ? 1)(x ? 1) , ? b ? 0 ,? x ? (0,1) 时 g ? x ? ? 0

2 ? ? ? g ? x ? 在 ? 0,1? 上递增. ? g ( x) 的值域 B ? ? 0, ? b ? 3 ? ? 由 ?x1 ? (0,1), ?x2 ? (0,1) 使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? , ? A ? B, 2 3 即 ? b ? 1 ,? b ? ? . 3 2
50. (广东省兴宁市沐彬中学 2014 届上期高三质检试题 数学(理科) )(本小题满分共 l4 分)

a ( a ? R , e 为自然对数的底数). ex (1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的极值; (3)当 a ? 1 的值时,若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ( x) 没有公共点,求 k 的最大值. a a 【答案】解:(Ⅰ)由 f ? x ? ? x ? 1 ? x ,得 f ? ? x ? ? 1 ? x e e a 又曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线平行于 x 轴,得 f ? ?1? ? 0 ,即 1 ? ? 0 ,解得 a ? e e a (Ⅱ) f ? ? x ? ? 1 ? x , e ①当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 为 ? ??, ?? ? 上的增函数,所以函数 f ? x ? 无极值
已知函数 f ( x) ? x ? 1 ?
17

②当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 e x ? a , x ? ln a

x ? ? ??, ln a ? , f ? ? x ? ? 0 ; x ? ? ln a, ?? ? , f ? ? x ? ? 0
所以 f ? x ? 在 ? ??, ln a ? 上单调递减,在 ? ln a, ?? ? 上单调递增, 故 f ? x ? 在 x ? ln a 处取得极小值,且极小值为 f ? ln a ? ? ln a ,无极大值 综上,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 无极值; 当 a ? 0 , f ? x ? 在 x ? ln a 处取得极小值 ln a ,无极大值 (Ⅲ)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ?

1 ex
1 , ex

令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? kx ? 1? ? ?1 ? k ? x ?

则直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ? x ? 没有公共点, 等价于方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解

1 ? 1 ? ? ? ?1 ? 1 ? 0 , ? k ?1 ? e k ?1 又函数 g ? x ? 的图象连续不断,由零点存在定理,可知 g ? x ? ? 0 在 R 上至少有一解,与“方程 g ? x ? ? 0
假设 k ? 1 ,此时 g ? 0 ? ? 1 ? 0 , g ? 在 R 上没有实数解”矛盾,故 k ? 1 又 k ? 1 时, g ? x ? ?

1 ? 0 ,知方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解 ex

所以 k 的最大值为 1 . 解法二: (Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.

1 . ex 直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ? x ? 没有公共点,
(Ⅲ)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ? 等价于关于 x 的方程 kx ? 1 ? x ? 1 ?

1 在 R 上没有实数解,即关于 x 的方程: ex

? k ? 1? x ?

1 ex

(*)在 R 上没有实数解.

1 ? 0 ,在 R 上没有实数解. ex 1 ②当 k ? 1 时,方程(*)化为 ? xe x . k ?1 x x 令 g ? x ? ? xe ,则有 g ? ? x ? ? ?1 ? x ? e .令 g ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ?1 ,
①当 k ? 1 时,方程(*)可化为 当 x 变化时, g ? ? x ? 的变化情况如下表:

x
g? ? x? g ? x?
当 x ? ?1 时, g ? x ?min ? ?

? ??, ?1?
?

?1

? ?1, ?? ?
?

0
? 1 e

从而 g ? x ? 的取值范围为 ? ? 1 , ?? ? ?. ? ? e ?

1 ,同时当 x 趋于 ?? 时, g ? x ? 趋于 ?? , e

18

所以当

解得 k 的取值范围是 ?1 ? e,1? .综上,得 k 的最大值为 1 .
51. (广东省珠海市 2014 届高三 9 月开学摸底考试数学理试题)已知函数 f ( x ) ?

1 1? ? ? ? ??, ? ? 时,方程(*)无实数解, k ?1 ? e?

1? x ? ln x ( x ? 0 ). ax

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 在 [ , 2] 上的最小值; (2)若函数 f ( x) 在 [ , +?) 上为增函数,求正实数 a 的取值范围; (3)若关于 x 的方程 1 ? x ? 2 x ln x ? 2mx ? 0 在区间 ? , e ? 内恰有两个相异的实根 ,求实数 m 的取值范 e 围.
【答案】解:(1)当 a ? 1

1 2

1 2

?1 ? ? ?

f ( x) ?

, 1 1 1 x ?1 , ? ln x ? 1 f '( x) ? ? 2 ? 2 x x x x

于是,当 x 在 [ , 2] 上变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下表:

1 2

x
f '( x)

1 2

(

1 ,1) 2
-

1 0 极小 值0

(1,2) + 单 调 递增

2

f ( x)

1 ? ln 2

单调递 减

ln 2 ?

1 2

由上表可得,当 x ? 1 时函数 f ( x ) 取得最小值 0

1 1 ax ? 1 ? 2 ? ,因为 a 为正实数,由定义域知 x ? 0 ,所以函数的单调递增区间为 x ax ax 2 1 1 1 1 [ , +? ),因为函数 f ( x) 在 [ , +?) 上为增函数,所以 0 ? ? ,所以 a ? 2 a 2 a 2 ?1 ? 1? x ( 3) 方程 1 ? x ? 2 x ln x ? 2mx ? 0 在区间 ? , e ? 内恰有两个相异的实根 ? 方程 ? ln x ? m ? 0 在区 2x ?e ? ?1 ? ?1 ? 1? x 间 ? , e ? 内恰有两个相异的实根 ? 方程 ? ln x ? m 在区间 ? , e ? 内恰有两个相异的实根 ? 函数 2x ?e ? ?e ? ?1 ? 1? x g ( x) ? ? ln x 的图象与函数 y ? m 的图象在区间 ? , e ? 内恰有两个交点 2x ?e ? ?1 1 ? ?1 ? 1? x 1 1 2x ?1 考察函数 g ( x ) ? ,在 ? , ? 为减函数,在 ? , e ? 为增函数 ? ln x , g ?( x) ? ? 2 ? ? 2 2x 2x x 2x ?e 2? ?2 ? 1? e 1? e 1? e g ( e) ? ? ln e ? ?1 ? ?0 2e 2e 2e 1 1? 1 2 ? ln 1 ? 1 ? ln 2 ? 0 g( ) ? 2 2? 1 2 2 2
(2) f '( x) ?
[来源:Zxxk.Com]

19

1 1? 1 e ? ln 1 ? e ? 1 ? 1 ? e ? 3 ? 0 ? g (e) g( ) ? e 2? 1 e 2 2 e ?1 ? 1? x 1? x 画函数 g ( x ) ? ? ln x , x ? ? , e ? 的草图,要使函数 g ( x) ? ? ln x 的图象与函数 y ? m 的图象在 2x 2x ?e ? 1 1 ?1 ? 区间 ? , e ? 内恰有两个交点,则要满足 g ( ) ? m ? g ( ) 2 e ?e ? 1 e?3 } 所以 m 的取值范围为 {m | ? ln 2 ? m ? 2 2
52. (广东省廉江一中 2014 届高三上学期第二次月考数学(理)试卷)求函数 f ? x ? ?

1 3 x ? x 2 ? 3x 的单调 3

区间.
【答案】解:

f ?( x) ? x2 ? 2x ? 3,.......2分 令f ?( x) ? 0, 得x ? 3或x ? ?1,.......5分 令f ?( x) ? 0, 得-1 ? x ? 3,.......8分
所以f ( x)的单调递增区间是 ? ??, ?1? , ? 3, ?? ? ,.......10分

单调递减区间是 ? ?1,3? .......12分
53. (广东省广州市执信、 广雅、 六中 2014 届高三 9 月三校联考数学 (理) 试题) 已知函数 f ( x) = 2ln x - x2 - ax .

? ?) 上的单调性; (Ⅰ)当 a ? 3 时,讨论函数 y = f ( x) 在[ ,
, (Ⅱ)如果 x1 , x 2 ( x1 < x2 ) 是函数 f ( x) 的 两个零点, f ( x) 为函数 f ( x) 的导数,

1 2

证明: f (

,

x1 ? 2 x 2 )?0 3
2 - 2x - a , 1 分 x

【答案】解:(Ⅰ) f ? ( x) =

易知 f ? ( x) 在 [ , + ∴当 x ? [ ,

1 2

) 上单调递减,

1 ) 时, f ? ( x) ? f / ( ) 3 - a 2 1 当 a ? 3 时, f ? ( x) ? 0 在 [ , + ) 上恒成立. 2 1 ∴当 a ? 3 时,函数 y = f ( x) 在 [ , + ) 上单调递减 2

1 2

20

54. (广东省汕头市金山中学 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知函数

f ( x) ?

1 3 1 2 x ? mx ? nx ? 2 ; 3 2

(1)如果函数 f ( x ) 有两个极值点 ?1 和 2 ,求实数 m . n 的值;
2 2 (2)若函数 f ( x ) 有两个极值点 x1 和 x2 ,且 x1 ∈ [?1, 1] , x2 ∈ [1, ??) , 求 (m ? 2) ? (n ? 1) 的最小

值.

21

【答案】解:(1)由 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? mx ? nx ? 2 ,故 f ?( x) ? x 2 ? mx ? n , 3 2

函数 f ( x) 有两个极值点-1 和 2, 故 f ?( x) ? x 2 ? mx ? n ? ( x ? 1)(x ? 2) ? x 2 ? x ? 2 ∴ m ? ? 1 , n ? ?2 . 经检验, m ? ?1 , n ? ?2 满足题意. (2)由函数 f ( x) 有两个极值点 x1 和 x2 ,且 x1 ?[?1,1] , x2 ? [1,??) 故有 ?

画出上述不等式组的可行域 ? 如右图

? f ?(?1) ? 1 ? m ? n ? 0 , ? f ?(1) ? 1 ? m ? n ? 0

即?

?m ? n ? 1 ? 0 ?m ? n ? 1 ? 0

n

A(2,1)

o
B(0, ?1)

m

又 (m ? 2)2 ? (n ? 1)2 表示点 (m, n) 到点 A(2, 1) 距离的平方. 而点 A(2, 1) 到可行域 ? 的点的最小距离是点 A 到点 B(0, ? 1) 的距离.

AB ? (2 ? 0) 2 ? (1 ? 1) 2 ? 2 2
2 所以, (m ? 2)2 ? (n ? 1)2 的最小值是 AB ? (2 2) ? 8 ,此时, m ? 0 , n ? ?1 ; 2

经检验, m ? 0 , n ? ?1 满足题意.
55. (广东省湛江市第二中学 2014 届高三理科数学 8 月考试题 )

1 x ? c(a ? 0) .若函数 f ? x ? 满足下列条件: 2 1 2 1 ① f ? ?1? ? 0 ;②对一切实数 x ,不等式 f ? x ? ? x ? 恒成立. 2 2 (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的表达式;
已知函数 f ? x ? ? ax ?
2

(Ⅱ)若 ( f x) ? t ? 2at ? 1 对 ?x ???1,1? , ?a ???1,1? 恒成立,求实数 t 的取 值范围;
2

(Ⅲ)求证:

1 1 1 2n ? ? ??? ? ? (n ? N * ) . f ?1? f ? 2 ? f ? n? n ? 2

【答案】解:(Ⅰ)又

f ? ?1? ? 0 ,所以 a ? b ? c ? 0 ,即 a ? c ?

1 2

1 2 1 x ? 对一切实数 x 恒成立, 2 2 1 2 1 1 1 1 2 即对一切实数 x ,不等式 (a ? ) x ? x ? c ? ? 0 也即 ? cx ? x ? c ? ? 0 恒成立. 2 2 2 2 2 , 显然,当 c ? 0 时,不符合题意. ??c ? 0 ? ?c ? 0 ? 即 当 c ? 0 时,应满足 ? , 1 1 ? ? ? 2 ? 4c ? 1? ? 0 ? ?? ? 4 ? 4c ? c ? 2 ? ? 0 ? ? ? ? 1 1 1 2 1 1 可得 c ? ,故 a ? c ? . 所以 f ? x ? ? x ? x ? 4 4 4 2 4
又因为 f ? x ? ?
22

(Ⅱ)





? f (x) ? t 2 ? 2at ?1对a ? ??1,1?, x ? ??1,1? 恒成立

f ( x 在? ) ,上是增函数 1 ?

,1

? f ( x)的最大值为f (1)=1
. 即

, :

?0 ? t 2 ? 2at对任意a ???1,1? 恒成立
2 2 ? ?t ? 2 ? (?1)t ? 0 ? ?t ? 2t ? 0 ?? 2 即? 2 ? ? ?t ? 2 ?1? t ? 0 ?t ? 2t ? 0 ?t ? 0或t ? ?2 ?? ?t ? 2或t ? 0

1 ? t 2 ? 2at ?1对任意a ???1,1? 恒成立 .

由 a ?? ?1,1?知其图像是一段线段。 可把y ? t 2 ? 2at看作关于a的一次函数,

所以 t 的取值范围为 t t ? ?2, 或t ? 0,或t ? 2 (Ⅲ)证明:因为 f ? n ? ? 要证不等式

?

?

n 2 ? 2n ? 1 (n ? 1) 2 1 4 ? ,所以 ? 4 4 f ? n ? (n ? 1) 2

1 1 1 2n ? ? ??? ? ? (n ? N * ) 成立, f ?1? f ? 2 ? f ? n? n ? 2 1 1 1 n 即证 2 ? 2 ? ? . ? 2 2 3 (n ? 1) 2n ? 4 1 1 1 1 因为 , ? ? ? 2 (n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 所以 2 ? 2 ? ? . ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 (n ? 1) 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2n ? 4 1 1 1 2n 所以 ? ? ??? ? ? (n ? N * ) 成立 f ?1? f ? 2 ? f ? n? n ? 2
(如有其它解法,请酌情给分)
56. (广东省湛江市湖光中学 2014 届高三上学期入学考试数学(理)试题)给定函数

f ( x) ?

(1)试求函数 f ? x ? 的单调减区间; (2)已知各项均为负的数列 ?an ? 满足, 4Sn ? f ( (3)设 bn ? ?

x2 2( x ? 1)

1 n ?1 1 1 ? ln ?? ; ) ? 1 求证: ? an?1 n an an

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,求证: T2012 ?1 ? ln 2012 ? T2011 . an

x2 的定义域为 ? x x ? 1? (此处不写定义域,结果正确不扣分) 2( x ? 1) 2 x 2( x ? 1) ? x 2 2 x 2 ? 2 x f ?( x) ? ? 4( x ? 1)2 2( x ? 1)2 由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 或 1 ? x ? 2 单调减区间为 (0,1) 和 (1, 2) (答案写成(0,2)扣 1 分;不写区间形式扣 1 分) 2 2 (2)由已知可得 2Sn ? an ? an , 当 n ? 2 时, 2Sn?1 ? an?1 ? an?1
【答案】(1)

f ( x) ?

23

两式相减得 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 1) ? 0 ∴ an ? ?an?1 或 an ? an?1 ? ?1 当 n ? 1 时, 2a1 ? a1 ? a12 ? a1 ? ?1 ,若 an ? ?an?1 ,则 a2 ? 1这与题设矛盾 ∴ an ? an?1 ? ?1 于是,待证不等式即为 ∴ an ? ?n

1 n ?1 1 ? ln ? . n ?1 n n

为此,我们考虑证明不等式 令1 ?

1 x ?1 1 ? ln ? ,x?0 x ?1 x x

1 1 ? t , x ? 0, 则 t ? 1 , x ? x t ?1 1 再令 g (t ) ? t ? 1 ? ln t , g ?(t ) ? 1 ? 由 t ? (1, ??) 知 g ?(t ) ? 0 t ∴当 t ? (1, ??) 时, g (t ) 单调递增 ∴ g (t ) ? g (1) ? 0 于是 t ? 1 ? ln t 1 x ?1 ,x ?0 即 ? ln ① x x 1 1 1 t ?1 令 h(t ) ? ln t ? 1 ? , h?(t ) ? ? 2 ? 2 由 t ? (1, ??) 知 h?(t ) ? 0 t t t t 1 ∴当 t ? (1, ??) 时, h (t ) 单调递增 ∴ h(t ) ? h(1) ? 0 于是 ln t ? 1 ? t
即 ln x ? 1 ?
x 1 ② ,x ?0 x ?1 由①.②可知 1 ? ln x ? 1 ? 1 , x ? 0 x ?1 x x
[来源:Z#xx#k.Com]

所以, 1

n ?1

? ln

1 n ?1 1 n ? 1 1 ,即 ? ? ln ?? ? n n an ?1 n an

(3)由(2)可知 bn ? 在 1
n ?1 ? ln

1 n

则 Tn ? 1 ? 1 ? 1 ?
2 3

?

n ? 1 1 中令 n=1,2,3..2010,2011 并将各式相加得 ? n n

1 n

[来源:Z*xx*k.Com]

1 1 1 2 3 2012 1 1 1 + +…+ <ln ? ln ? ……+ ln ? 1 ? ? ? ……+ 2 3 2012 1 2 2011 2 3 2011 即 T2012 ?1 ? ln 2012 ? T2011
57 .( 广 东 省 普 宁 侨 中 2014 届 高 三 第 一 次 月 考 ( 10 月 ) 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x) ? x ln x , g ( x) ? f ( x) ? f (m ? x) , m 为正的常数.
(Ⅰ)求函数 g ( x) 的定义域; (Ⅱ)求 g ( x) 的单调区间,并指明单调性; (Ⅲ)若 a ? 0 , b ? 0 ,证明: f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b) .

【答案】解:(Ⅰ)∵ f ( x ) 的定义域为 {x

x ? 0} ,
24

?x ? 0 g ( x) 有意义,则 ? ,那么 g ( x) 的定义域为 {x 0 ? x ? m} ?m ? x ? 0 (Ⅱ) g ( x) ? f ( x) ? f (m ? x) ? x ln x ? (m ? x)ln(m ? x) , x 则 g ?( x) ? ln x ? 1 ? ln(m ? x ) ? 1 ? ln , m? x x m ? 1 ,解得 ? x ? m , 由 g ?( x) ? 0 ,得 m?x 2 x m ? 1 ,解得 0 ? x ? , 由 g ?( x) ? 0 ,得 0 ? m?x 2 m m ∴ g ( x) 在 [ , m) 上为增函数,在 (0, ] 上为减函数 2 2 (Ⅲ)要证 f (a) ? (a ? b)ln 2 ? f ( a ? b) ? f (b) ,须证 f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? (a ? b) ln 2 , 而在(2)中,取 m ? a ? b ,则 g ( x) ? f ( x) ? f (a ? b ? x) , a?b a?b , a ? b) 上为增函数,在 (0, ] 上为减函数. 则 g ( x) 在 [ 2 2 a?b a?b a ?b a ?b )? f( ) ? f (a ? b ? )?2f( ) ∴ g ( x) 的最小值为 g ( 2 2 2 2 a?b ? (a ? b) ln ? (a ? b) ln(a ? b) ? (a ? b) ln 2 2 a?b ) ,得: 那么 g ( a ) ? g ( 2 f (a) ? f (a ? b ? a) ? (a ? b) ln(a ? b) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? (a ? b) ln 2 , 即 f (a) ? (a ? b) ln 2 ? f (a ? b) ? f (b)
[来源:Zxxk.Com]

58. (广东省揭阳一中 2014 届高三上学期第一次阶段考试数学(理)试题)设函数

f ( x) ? x3 ? kx2 ? x(k ? R) .

(1)当 k ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)当 k ? 0 时,求函数 f ( x ) 在 [?k , k ] 上的最小值 m 和最大值 M .
【答案】

25

(ii)当 解得:

? ? 4k 2 ? 12 ? 4 k ? 3 k ? 3 ? 0

?

??

?

f ,即 k ? ? 3 时,令

'

? x? ? 3x2 ? 2kx ?1 ? 0

x1 ?

k ? k2 ?3 k ? k2 ?3 , x2 ? k ? x2 ? x1 ? 0 , 3 3 ,注 意到

?m ? min ? f ? k ? , f ? x1 ??, M ? max ? f ? ?k ? , f ? x2 ??
,
3 2 2 2 3 2

(注:可用韦达定理判断

x1 ? x2 ?

1 2k x1 ? x2 ? ?k k ? x2 ? x1 ? 0 ;或者由对称结合图像判断) 3, 3 ,从而

f ? x1 ? ? f ? k ? ? x13 ? kx12 ? x1 ? k ? ? x1 ? k ? ? x12 ? 1? ? 0 ? f ? x ?

f ? x2 ? ? f ? ?k ? ? x ? kx ? x2 ? ? ?k ? k ? k ? k ? = ? x2 ? k ? [? x2 ? k ? ? k ? 1] ? 0
2 2

的最小值

m ? f ?k ? ? k

,

? f ? x?

f ? x? m ? f ?k ? ? k M ? f ? ?k ? ? ?2k ? k 综上所述,当 k ? 0 时, 的最小值 ,最大值
3

的最大值

M ? f ? ?k ? ? ?2k 3 ? k
k?0





2(2)
3




3 k ? x

,



?x ?? k , ?k ?

,





f(

? x)

f? (

k ) 2?

x ?3

? x, (故2 f ??kx ? ? 1 f? ) ? kk?

(?k

)? x

0 ? x

f ( x) ? f (?k ) ? x3 ? kx2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x ? k )( x2 ? 2kx ? 2k 2 ? 1) ? ( x ? k )[( x ? k )2 ? k 2 ? 1] ? 0
故 f ? x ? ? f ? ?k ? , 而 f (k ) ? k ? 0 , f (?k ) ? ?2k ? k ? 0
3

所以 f ( x)max ? f (?k ) ? ?2k 3 ? k , f ( x)min ? f (k ) ? k
59. (广东省韶关市 2014 届高三摸底考试数学理试题)

1 2 ax ? bx ( a ? 0) . 2 (1)若 a ? ?2 , 函数 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x) 在其定义域是增函数,求 b 的取值范围;
已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x ) ? (2)在(1)的结论下,设函数 ?(x)=e2x +bex ,x∈[0,ln2],求函数?(x)的最小值; (3)设函数 f ( x) 的图象 C1 与函数 g ( x) 的图象 C2 交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的垂线分别交 C1、C2 于点 M 、 N ,问是否存在点 R,使 C1 在 M 处的切线与 C2 在 N 处的切线平行?若存在,求出 R 的横 坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】解:(1)依题意: h( x) ? ln x ? x

2

? bx.

h(x ) 在(0,+ ? )上是增函数,

? h? (x ) ?

1

x

? 2x ? b ? 0 对 x∈(0,+ ? )恒成立,

?b ?

1

x

? 2x . 1

? 2x ? 2 2. x ?b的取值范围为? ?,2 2 . x (2)设 t ? e , 则函数化为 y ? t 2 ? bt, t ? [1,2].

x ? 0,则

?

?

26

b b2 ? y ? (t ? ) 2 ? . 2 4 b ?当 ? ? 1, 即 ? 2 ? b ? 2 2时, 函数y在[1,2]上为增函数, 2
当 t=1 时,ym I n=b+1;

当1 ? ? 当?

b b ? 2, 即 ? 4 ? b ? ?2时, 当t ? ? 时,y 2 2

min

??

b2 ; 4

b ? 2, 即b ? ?4时, 函数y在[1,2]上是减函数, 2

当 t=2 时,ym I n=4+2b

综上所述,当 ? 2 ? b ? 2 2时, ? ( x)的最小值为b ? 1. 当 ? 4 ? b ? ?2时, ? ( x)的最小值为?
当 b ? ?4时, ? ( x) 的最小值为 4 ? 2b.

b2 . 4
x1 ? x 2 . C1 在点 M 处 2

(3)设点 P、Q 的坐标是 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),且0 ? x1 ? x2 . 则点 M、N 的横坐标为 x ? 的切线斜率为 k1 ?

1 2 | x1 ? x2 ? . x x? 2 x1 ? x2
x ?x x? 1 2 2

C2 在点 N 处的切线斜率为 k 2 ? ax ? b |

?

a( x1 ? x2 ) ? b. 2

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1 ? k 2 .



2 a( x1 ? x2 ) ? ? b. x1 ? x2 2

2 2( x2 ? x1 ) a( x2 ? x12 ) ? ? b( x2 ? x1 ) x1 ? x2 2 a 2 a ? ( x2 ? bx2 ) ? ( x12 ? bx1 ) 2 2 ? y2 ? y1 x ? ln x2 ? ln x1 ? ln 2 , x1 x 2( 2 ? 1) x 2(x 2 ? x1 ) x1 ? ln 2 ? ? . x2 x1 x1 ? x 2 1? x1



设u ?

x2 2(u ? 1) ? 1, 则 ln u ? , u ? 1, x1 1? u



令r (u ) ? ln u ?

2(u ? 1) 1 4 (u ? 1) 2 , u ? 1.则r ?(u ) ? ? ? . 1? u u (u ? 1) 2 u(u ? 1) 2 2(u ? 1) . u ?1

u ? 1,? r?(u ) ? 0 , 所以r (u )在 ?1, ?? ? 上单调递增, 故r (u ) ? r (1) ? 0, 则 ln u ?

这与①矛盾,假设不成立.故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行
27

60. (广东省佛山市佛山一中 2014 届高三 10 月段考数学(理)试题)设函数 f ( x) ? x ? tx ?
3

t ?1 ,t ? R . 2

(I)试讨论 函数 f ( x) 在区间[0,1]上的单调性; (II)求最小的实数 h ,使得对任意 x ? ?0,1? 及任意实数 t , f ( x) ?

t ?1 ? h ? 0 恒成立. 2

【答案】解:(1)∵函数


,∴f (x)=3x ﹣t



2

(1)若 t≤0,则 f (x)≥0 在[0,1]上恒成立,∴f(x)在[0,1]上 单调递增; 2 ′ (2)若 t≥3 时,∵3x ≤3,∴f (x)≤0 在[0,1] 上恒成立,∴f(x)在[0,1]上单调递减; (3)若 0<t<3,则 当 当 (2) 时, 时,f (x)<0,∴f(x)在 时,f (x)>0,∴f(x)在 ? 的最小值即可 ,x∈[0,1],
′ ′

,令 f (x)=0,解得 上单调递减; 上单调递增



,

, 因 此 , 只 需 求 出 当 x∈[0,1],t∈R

【方法一】:令 g(x)=f(x)+ 而 g (x)=f (x),由(1)的结论可知:
′ ′

当 t≤0 或 t≥3 时,则 g(x)在[0,1]上单调, 故 g(x)min=min{g(0),g(1)}=min{ 当 0<t<3 时,则 =﹣ , }=0. .

∴h(t)=

下面求当 t∈R 时,关于 t 的函数 h(t)的最小值. 当 t∈(0,1)时,h(t)= 当 1<t<3 时,h(t)= 在(0,1)上单调递减; ,
[来源:学科网]

>0,∴h(t)在(1,3)上单调递增.

又 h(t)在 t=1 处连续,故 h(t)在 t∈(0,3)上的最小值是 h(1)=﹣ 综上可知:当 t∈[0,1]且 t∈R 时,
28

的最小值为

,即得 h 的最小值为﹣m=

.

【方法二】:对于给定的 x∈[0,1],求关于 t 的函数(t∈R), g(t)=f(x)+ =﹣xt+ +x =
3

的最小值

61. (广东省深圳市高级中学 2014 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)设 a ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? ax .

(1)讨论函数 f ( x ) 的单调区间和极值; (2)已知 x1 ? e (e ? 2.71828 L ) 和 x2 是函数 f ( x ) 的两个不同的零点,求 a 的值并证明: x2 ? e 2 .
【答案】
3

29

62. (广东省珠海一中等六校 2014 届高三上学期第二次联考数学 (理) 试题) 已知函数

f ( x) ? x2 ? a ln x (a ? R)

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处的切线垂直 y 轴,求 a 的值; (2)若函数 f ( x) 在区间 (1,??) 上为增函数,求 a 的取值范围; (3)讨论函数 g ( x) ? f ( x) ? (a ? 2) x 的单调性.

a , x 函数 f ( x) 在 x ? 1 处的切线垂直 y 轴,所以 f ?(1) ? 2 ? a ? 0 ? a ? ?2
【答案】解:(1)因为

f ( x) ? x2 ? a ln x ,故 f ?( x) ? 2 x ?

(2) 函 数 f ( x) 在 (1,??) 为 增 函 数 , 所 以 当 x ? (1, ??) 时 , f ?( x) ? 2 x ? 得: a ? ?2 x ,从而有: a ? ?2
2

a ? 0 恒成立,分离参数 x

30

(3) g ( x) ? f ( x) ? (a ? 2) x ? x2 ? (a ? 2) x ? a ln x

a 2 x 2 ? (a ? 2) x ? a ( x ? 1)(2 x ? a) ? ? x x x a 令 g ?( x) ? 0 ? x1 ? 1, x2 ? ,因为函数 g ( x) 的定义域为 (0, ??) ,所以 2 a (1)当 ? 0 ,即 a ? 0 时,函数 g ( x) 在 (0,1) 上递减,在 (1, ??) 上递增; 2 a a (2)当 0 ? ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,函数 g ( x) 在 (0, ) 上递增, 2 2 a 在 ( ,1) 上递减,在 (1, ??) 上递增 2 a (3)当 ? 1 ,即 a ? 2 时,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上递增; 2 a a a (4)当 ? 1 ,即 a ? 2 时,函数 g ( x) 在 (0,1) 上递增,在 (1, ) 上递减,在 ( , ??) 上递增 2 2 2 g ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ?
63 .( 广 东 省 广 州 市 海 珠 区 2014 届 高 三 入 学 摸 底 考 试 数 学 理 试 题 ) 已 知 函 数

2 ? 1( x ? 0, a ? 0) . x ?1 (1)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; f ( x) ? ln( ax ? 1) ?
(2)求 f ( x) 的单调区间; (3) 若 a ? 1 且 b ? 0 , 函 数 g ( x ) ?

1 3 bx ? bx , 若 对 于 ?x1 ? (0,1) , 总 存 在 x2 ? (0,1) 使 得 3

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 的取值范围.
【答案】解:(1)

f ' ( x) ?

a 2 a( x ? 1) 2 ? 2(ax ? 1) ? ? ax ? 1 ( x ? 1) 2 (ax ? 1)(x ? 1) 2

?

ax2 ? a ? 2 (ax ? 1)(x ? 1) 2
'

由 f ?1? ? 0 得,

2a ? 2 ? 0,? a ? 1

ax2 ? a ? 2 (2)? f ' ( x) ? (a ? 0, x ? 0) (ax ? 1)(x ? 1) 2
若 a ? 2, x ? 0 ,得 f
'

? x? ? 0
2?a (舍去) a
2?a ) a
2?a a

即 f ? x ? 在 ? 0, +? ? 上单调递增, 若 0 ? a ? 2令f ' ( x) ? 0得x ?

2?a 或? a
(0,

x
f ' ( x)

(

2?a ,??) a

-

0

+

31

f ( x)

单调减

单调增

? 2?a ? 2?a 0 , ,单调增区间是( , ? f ( x) 的单调减区间是 ? ,+?) ? ? ? a a ? ? (3) a ? 1 由(2)得 f ( x ) 在 ? 0,1? 上是减函数,
? ln 2 ? f ( x) ? 1 ,即 f ? x ? 值域 A ? ? ln 2,1?
又 g ' ( x) ? bx2 ? b ? b( x ? 1)(x ? 1)

?b ? 0 ? x ? (0,1) 时 g ' ? x ? ? 0

? g ? x ? 在 ? 0,1? 上递增
2 ? ? ? g ( x) 的值域 B ? ? 0, ? b ? 3 ? ? 由 ?x1 ? (0,1), ?x2 ? (0,1) 使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? , ? A ? B, 2 3 ?b ? ? . 即? b ?1 3 2
64 . ( 广 东 省 深 圳 中 学 2013-2014 学 年 度 高 三 年 级 第 一 次 阶 段 性 测 试 理 科 数 学 ( A 卷 ) )已知函数

x2 f ( x) ? ln x ? ? kx ,其中 常数 k ? R . 2 (1) 求 f ( x) 的单调增区间与单调减区间;
(2)若 f ( x) 存在极值且有唯一零点 x0 ,求 k 的取值范围及不超过
【答案】解:(1) f ?( x) ?

x0 的最大整数 m . k

1 x 2 ? kx ? 1 ? x?k ? ( x ? 0). x x

① 当 k ? 2 时, f ?( x) ? 函数 f ( x) 为增函数 ②当 k ? 2 时, f ?( x ) ? 其中 0 ? x1 ?

1 1 ? x?k ? 2 ?x ?k ? 2?k ? 0 , x x

( x ? x1 )( x ? x2 ) , x

k ? k2 ? 4 k ? k2 ? 4 ? x2 ? . 2 2 x, f ?( x), f ( x) 的取值变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(0, x1 )

x1
0
极 大 值

( x1 , x2 )
?
单调递 减

x2
0
极 小 值

( x2 , ??)

?
单 调 递增

?
单调递增

综 合 ①② 知 当 k ? 2 时 , f ( x) 的 增 区 间 为

(0, ??) ,无减区间; 当 k ? 2 时 , f ( x) 的增区间


? k ? k2 ? 4 ? ? 0, ? ? 2 ? ? ?



?k ? k2 ? 4 ? , ?? ? , ? ? 2 ? ? ?
32

?k ? k2 ? 4 k ? k2 ? 4 ? 减区间为 ? , ?. 2 2 ? ? ? ? (2)由(1)知当 k ? 2 时, f ( x) 无极值;

k ? k2 ? 4 2 ? ? 1知 2 k ? k2 ? 4 x f ( x) 的极大值 f ( x1 ) ? ln x1 ? x1 ( 1 ? k ) ? 0 , f ( x) 的极小值 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , 2 故 f ( x) 在 ? 0, x2 ? 上无零点
当 k ? 2 时, 0 ? x1 ?

4k 2 k ? k2 ? 4 ? 2k 2 ? ln(2k ) ? 0 ,又1 ? x2 ? ?k, 2 2 故函数 f ( x) 有唯一零点 x0 ,且 x0 ? ? x2 , 2k ? f (2k ) ? ln(2k ) ? k2 k2 k2 ? k 2 ? ln k ? ,记 g (k ) ? ln k ? (k ? 2) , 2 2 2 1 1? k 2 22 ? g (k ) ? ? k ? ? 0, 则 g (k ) ? g (2) ? ln 2 ? ? ln 2 ? 2 ? 0 , k k 2 x0 ? 2. 从而 f (k ) ? 0 , k ? x0 ? 2k , 1 ? k x 故 k 的取值范围是 (2, ??), 不超过 0 的最大整数 m ? 1. k
又 f (k ) ? ln k ?
65. (广东省廉江一中 2014 届高三上学期第二次月考数学(理)试卷)已知函数

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0 , f ( x) ? ? ?ln x, x ? 0 其中 a 是实数.设 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 .
(Ⅰ)指出函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最小值; (Ⅲ)若函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围.

? ? ? 函数 f ? x ? 的单调递减区间为 ? ??, ?1? ,单调递增区间为 ??1,0? , ? 0, ?? ? ? ?? ? 由导数的几何意义可知,点 A 处的切线斜率为 f ? ? x1 ? ,点 B 处的切线斜率为 f ? ? x2 ? ,故当点 A 处的 切线与点 B 处的切线互相垂直时,有 f ? ? x1 ? f ? ? x2 ? ? ?1 . 当 x ? 0 时,对函数 f ? x ? 求导,得 f ? ? x ? ? 2 x ? 2 . 因为 x1 ? x2 ? 0 ,所以 ? 2x1 ? 2?? 2x2 ? 2? ? ?1, 所以 ? 2x1 ? 2? ? 0, ? 2x2 ? 2? ? 0 .
【答案】解:

1 ? ? ? 2 x1 ? 2 ? ? ? 2 x2 ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 x1 ? 2 ?? 2 x2 ? 2 ? ? 1 2? 3 1 当且仅当 ? ? 2 x1 ? 2? = ? 2 x2 ? 2 ? =1,即 x1 ? ? 且x2 ? 时等号成立. 2 2 所以函 数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直时, x2 ? x1 的最小值为 1
因此 x2 ? x1 ?

? ??? ? 当 x1 ? x2 ? 0 或 x2 ? x1 ? 0 时, f ? ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ,故 x1 ? 0 ? x2 .
33

当 x1 ? 0 时,函数 f ( x ) 的图象在点 x1, f ? x1 ? 处的切线方程为

y ? ? x12 ? 2 x1 ? a ? ? ? 2 x1 ? 2 ?? x ? x1 ? ,即 y ? ? 2x1 ? 2? x ? x12 ? a

?

?

当 x2 ? 0 时,函数 f ( x ) 的图象在点 x2 , f ? x2 ? 处的切线方程为

?

?

y ? ln x2 ?

1 1 ? x ? x2 ? ,即 y ? ? x ? ln x2 ? 1 x2 x2

? 1 ① ? ? 2 x1 ? 2 两切线重合的充要条件是 ? x2 ?ln x ? 1 ? ? x 2 ? a ② ? 2 1 由①及 x1 ? 0 ? x2 知, ?1 ? x1 ? 0 . 1 2 由①②得, a ? x1 ? ln ? 1 ? x12 ? ln ? 2 x1 ? 2 ? ? 1 2 x1 ? 2
设 h ? x1 ? ? x12 ? ln ? 2x1 ? 2? ?1(?1 ? x1 ? 0) , 则 h? ? x1 ? ? 2 x1 ?

所以 h ? x1 ?? ?1 ? x1 ? 0? 是减函数 则 h ? x1 ? ? h ? 0? ? ? ln 2 ?1 , 所以 a ? ? ln 2 ? 1 . 又当 x1 ? (?1,0) 且趋近于 ?1时, h ? x1 ? 无限增大, 所以 a 的取值范围是 ? ? ln 2 ?1, ?? ? . 故当函数 f ( x ) 的图像在点 A, B 处的切线重合时,

1 ? 0. x1 ? 1

a 的取值范围是 ? ? ln 2 ?1, ???
66. (广东省深圳市高级中学 2014 届高三上学期第一次月考数学(理)试题)设 f ? x ? ?

(1)如果 g ?x ? ? f ??x ? ? 2 x ? 3 在 x ? ?2 处取得最小值 ? 5 ,求 f ?x ? 的解析式; 的值.(注:区间 ?a, b ? 的长度为 b ? a )

1 3 x ? mx 2 ? nx . 3

(2)如果 m ? n ? 10?m, n ? N ? ? , f ?x ? 的单调递减区间的长度是正整数,试求 m 和 n .

1 3 x ? mx 2 ? nx ,? f ' ?x ? ? x 2 ? 2mx ? n 3 ' 又? g ?x ? ? f ?x ? ? 2 x ? 3 ? x 2 ? ?2m ? 2?x ? n ? 3 在 x ? ?2 处取极值, ' 则 g ?? 2? ? 2?? 2? ? ?2m ? 2? ? 0 ? m ? 3 ,又在 x ? ?2 处取最小值-5. 1 3 2 2 则 g ?? 2? ? ?? 2? ? ?? 2? ? 4 ? n ? 3 ? ?5 ? n ? 2 ,? f ? x ? ? x ? 3x ? 2 x 3 1 3 2 ' 2 (2)要使 f ? x ? ? x ? mx ? nx 单调递减,则? f ?x ? ? x ? 2mx ? n ? 0 3 ' 2 又递减区间长度是正整数,所以 f ?x ? ? x ? 2mx ? n ? 0 两根设做 a,b.即有:
【答案】解:(1)已知 f ? x ? ?

4m 2 ? 4n ? 2 m 2 ? n ?m, n ? N ? ? 又 b-a 为正整数,且 m+n<10,所以 m=2,n=3 或, m ? 3, n ? 5 符合. x(1 ? ln x) ,( x ? 1) 67. (广东省珠海一中等六校 2014 届高三上学期第二次联考数学 (理) 试题) 已知函数 f ( x) ? x ?1
b-a 为区间长度.又 b ? a ?
34

?a ? b?2 ? 4ab ?

(1)设 x0 为函数 f ( x ) 的极值点,求证 f ( x0 ) ? x0 ; (2)若当 x ? 1 时, x ln x ? (1 ? k ) x ? k ? 0 恒成立,求正整数 ...k 的最大值.
【答案】解:(1)因为 f ( x) ?

x(1 ? ln x) x ? 2 ? ln x , ( x ? 1) ,故 f ?( x) ? , x ?1 ( x ? 1) 2

x0 为函数 f ( x) 的极值点, ? f ?( x0 ) ? 0 , 即 x0 ? 2 ? ln x0 ? 0 ,于是 x0 ?1 ? 1 ? ln x0 , x (1 ? ln x0 ) x0 ( x0 ? 1) 故 f ( x0 ) ? 0 ? ? x0 x0 ? 1 x0 ? 1
(2) x ln x ? (1 ? k ) x ? k ? 0 恒成立,分离参数得 k ? 则 x ? 1 时, f ( x) ? k 恒成立,只需 f ( x)min ? k ,

x(1 ? ln x) ? f ( x) x ?1

1 x ? 2 ? ln x ,记 g ( x) ? x ? 2 ? ln x ,? g ?( x) ? 1 ? ? 0 , 2 x ( x ? 1) ? g ( x) 在 (1,??) 上递增,又 g (3) ? 1 ? ln 3 ? 0, g (4) ? 2 ? ln 4 ? 0 , ? g ( x) 在 (1,??) 上存在唯一的实根 x0 ,

f ?( x) ?

且满足 x0 ? (3, 4) ,

? 当 1 ? x ? x0 时 g ( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 ;当 x ? x0 时 g ( x) ? 0 , 即 f ?( x) ? 0 , f ( x)min ? f ( x0 ) ? x0 ? (3, 4) , 故正整数 k 的最大值为 3
68. (广东省六校 2014 届高三第一次联考理科数学试题)设函数

f ( x) ? ax ?

a ? 2 ln x. x

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 2 时有极值,求实数 a 的值和 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) 在定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)

f ( x) 在 x ? 2 时有极值,? 有 f ' ? 2? ? 0 ,

4 a 2 a ? ,? 有 a ? ? 1 ? 0 ,? a ? 2 5 x x 4 4 4 2 2 ?有 f ' ? x ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 x2 ? 5x ? 2? , 5 5x x 5x 1 , x2 ? 2 , 由 f ' ? x ? ? 0 有 x1 ? 2 又 x ? 0 ? x, f ' ? x ? , f ? x ? 关系有下表
又 f '? x? ? a ?

x
f ' ? x? f ? x?

0? x?

1 2

x?
0

1 2

1 ?x?2 2

x?2

x?2

?
递增

?
递减

0

?
递增

? 1? ?1 ? 0, ? ,2? ? 2, ?? ? , 递减区间为 ? ?2 ? ? f ( x) 的递增区间为 ? 2 ? 和 ?
35

f ' ? x? ? 0 x ? 0 (Ⅱ)若 f ( x) 在定义域上是增函数,则 在 时恒成立,
a 2 ax 2 ? 2 x ? a f '? x? ? a ? 2 ? ? x x x2 ,
2 ? 需 x ? 0 时 ax ? 2 x ? a ? 0 恒成立, 2x 2 ? ?1 2 2x 1 x ? 1 a? 2 x? x ? 1 恒成立, x 化为 , ? a ?1

69. (广东省韶关市曲江中学 2013-2014 学年高三第一次阶段检测数学(理)试题) 已知函数

f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3bx

的图像与直线 12 x ? y ? 1 ? 0 相切于点 (1, ?11) . (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间.

【答案】解:(Ⅰ)求导数得

f ?( x) ? 3x2 ? 6ax ? 3b ,

由于 f ( x ) 的图像与直线 12 x ? y ? 1 ? 0 相切于点 (1, ?11) ,所以 ? 即?

? f (1) ? ?11 ? f ?(1) ? ?12

?1 ? 3a ? 3b ? ?11 , 解得 a ? 1, b ? ?3 ?3 ? 6a ? 3b ? ?12 2 2 (Ⅱ)由 a ? 1, b ? ?3 得: f ?( x) ? 3x ? 6ax ? 3b ? 3( x ? 2 x ? 3) ? 3( x ? 1)( x ? 3) 由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 3 ;由 f ?( x) ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 3 故函数 f ( x ) 在区间 (??, ?1),(3, ??) 上单调递增,在区 间 (?1,3) 上单调递减
70. (广东省十校 2014 届高三上学期第一次联考数学理试题)已知函数

f ( x) ? ln(2ax ? 1) ?

x2 ? x 2 ? 2ax(a ? R). 3

(1)若 x=2 为 f ( x ) 的极值点,求实数 a 的值; (2)若 y ? f ( x) 在 ?3, ?? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (3)当 a ? ?

1 (1 ? x)3 b ? 有实根,求实数 b 的最大值. 时,方程 f (1 ? x) ? 2 3 x

x[2ax 2 ? (1 ? 4a) x ? (4a 2 ? 2)] 2a ? x 2 ? 2 x ? 2a ? 2ax ? 1 2ax ? 1 ? f (2) ? 0 因为 x = 2 为 f (x)的极值点,所以 2a 即 ? 2a ? 0 ,解得:a = 0 4a ? 1 又当 a = 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ,从而 x = 2 为 f (x)的极值点成立
【答案】(1)解: f ?( x) ?

(2)解:∵f (x)在区间[3,+∞)上为增函数, x[2ax 2 ? (1 ? 4a ) x ? (4a 2 ? 2)] ≥ 0 在区间[3,+∞)上恒成立 ∴ f ?( x) ? 2ax ? 1 ①当 a = 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ≥ 0 在[3,+∞)上恒成立,所以 f (x)在[3,+∞)上为增函数, 故 a = 0 符合题意 ②当 a≠0 时,由函数 f (x)的定义域可知,必须有 2ax + 1 > 0 对 x≥3 恒成立,故只能 a > 0, 所以 2ax2 ? (1 ? 4a) x ? (4a2 ? 2) ≥ 0 在区间[3,+∞)上恒成立 1 令 g ( x) ? 2ax2 ? (1 ? 4a) x ? (4a2 ? 2) ,其对称轴为 1 ? 4a
36

1 ? 1 ,从而 g (x)≥0 在[3,+∞)上恒成立,只要 g (3)≥0 即可, 4a 3 ? 13 3 ? 13 ≤a≤ 由 g (3) ? ?4a2 ? 6a ? 1≥ 0 ,解得: 4 4 3 ? 13 3 ? 13 ∵a > 0,∴ 0 ? a ≤ .综上所述,a 的取值范围为[0, ] 4 4 (1 ? x)3 b 1 b ? 可化为, ln x ? (1 ? x)2 ? (1 ? x) ? . (3)解: a ? ? 时,方程 f (1 ? x) ? 3 x x 2 问题转化为 b ? x[ln x ? x ? x2 ] 在(0,+∞)上有解 (2x ? 1)(1 ? x) 1 令 h( x) ? ln x ? x ? x2 ,则 h?( x) ? ? 1 ? 2 x ? x x 当 0 < x < 1 时, h ?( x) ? 0 ,∴h (x)在(0,1)上为增函数 当 x > 1 时, h ?( x) ? 0 ,∴h (x)在(1,+∞)上为减函数 故 h (x)≤h (1) = 0,而 x > 0,故 b ? xh( x) ≤ 0 即实数 b 的最大值是 0
∵a > 0,∴ 1 ?
71( .广东省深圳市宝安区 2014 届高三上学期调研测试数学理试卷) 已知函数 f ( x) ?

(1)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 4 处的切线相互平行,求 a 的值; (2)试讨论 y ? f ( x) 的单调性;
2

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x . 2

(3)设 g ( x) ? x ? 2 x, 对任意的 x1 ? (0, 2] , 均存在 x2 ? (0, 2] , 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ), 试求实数 a 的取值 范围.
【答案】

(1)=f ?(4) ,即 a-(2a+1)+2= 4a -(2a+1)+ 依题意, f ?

1 1 ,解得 a = 2 2

37

(3) 由已知,在(0,2]上有 f(x)max<g(x)max. 由已知,g(x)max=0,由(2)可知, 1 ①当 a≤ 时,f(x)在(0,2]上单调递增, 2 故 f(x)ma x=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2 =-2a-2+2ln2, 1 ∴-2a-2+2ln2<0,解得 a>ln2-1,ln2-1<a≤ . 2 1 ? 1 ②当 a> 时,f(x)在?0, 2 ? a ]上单调递增,在]上单调递减,

1 ?1? 故 f(x)max=f? ?=-2- -2lna. 2a ?a? 1 1 1 由 a> 可知 lna>ln >ln =-1,2lna>-2,-2lna<2, 2 2 e ∴-2-2lna<0,f(x)max<0, 综上所述,a>ln2-1.
72. (广东省汕头市金山中学 2014 届高三上学期开学摸底考试数学(理)试题)已知函数

1)若函数 y ? f ?x ? 在 x ? 2 处有极值 ? 6 ,求 y ? f ?x ? 的单调递增区间; 2)若 y ? f ?x ? 的导数 f ?? x ? 对 x ? ?? 1,1? 都有 f ??x ? ? 2 ,求

f ?x? ? x 3 ? ax2 ? bx

b 的取值范围. a ?1

f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? f '( x) ? 3x2 ? 2ax ? b 1) 在 x ? 2 处有极值 ? 6 ? f '(2) ? 12 ? 4a ? b ? 0 ?? ? f (2) ? 8 ? 4a ? 2b ? ?6
【答案】解:
38

5 ? ?a ? ? 解得 ? 2 ? ?b ? ? 2
? f ( x) ? x3 ? 5 2 x ? 2x f '( x) ? 3x2 ? 5x ? 2 ? 0 2 当 x 变化时, y ', y 变化如下 1 1 1 (??, ? ) ? (? , 2) x 2 3 3 3
y ’ y + ↗ 0 极 大 值 得 x ? ? 或x ? 2

1 3

(2, ??)
+ ?5’ ↗

?


0 极 小 值

1 ? f ( x) 的单调增区间是 (??, ? ) , (2, ??) , 3 1 41 y极大 ? f (? ) ? ? , y极小 ? f (2) ? ?6 3 54 ? f '(?1) ? 3 ? 2a ? b ? 2 2) ? ? f '(1) ? 3 ? 2a ? b ? 2

?2a ? b ? 1 ? 0 ?? ?2a ? b ? 1 ? 0
不等式组确定的平面区域阴影部分如图所示

? 2a ? b ? 1 ? 0 ?a ? 0 得? ?2a ? b ? 1 ? 0 ?b ? ?1 ? Q(0, ?1) b 设z ? ,则 z 表示平面区域内的点 ( a, b) 与点 P(1, 0) 连线的斜率 a ?1 kPQ ? 1 由图可知 z ? 1或z ? ?2
由?

?

b ? ?? ?,?2 ? ? ?1,?? ? a ?1
) 已知函数
3

73 .( 广 东 省 揭 阳 一 中 等 2014 届 高 三 上 学 期 开 学 摸 底 联 考 数 学 理 试 题

x ? x 2 ? 2ax(a ? R) . 3 (1)若 x ? 2 为 f ( x ) 的极值点,求实数 a 的值; (2)若 y ? f ( x) 在 ?3, ?? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围; f ( x) ? ln(2ax ? 1) ?
(3)当 a ? ?
3 1 1? x? b 时,方程 f (1 ? x) ? ? ? 有实根,求实数 b 的最大值. 2 3 x

39

x? 2ax 2 ? (1 ? 4a) x ? (4a 2 ? 2) ? 2a ? ? 2 【答案】解:(1) f '( x) ? ? x ? 2 x ? 2a ? 2ax ? 1 2ax ? 1 因为 x ? 2 为 f ( x ) 的极值点,所以 f '(2) ? 0 2a ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 即 4a ? 1 又当 a ? 0 时, f '( x) ? x( x ? 2) ,从而 x ? 2 为 f ( x ) 的极值点成立
(2)因为 f ( x ) 在区间 ?3, ?? ? 上为增函数,
2 2 x? ?2ax ? (1 ? 4a) x ? (4a ? 2) ? ?

? 0 在区间 ?3, ?? ? 上恒成立 2ax ? 1 ①当 a ? 0 时, f '( x) ? x( x ? 2) ? 0 在 ?3, ?? ? 上恒成立,所以 f ( x ) 在 ?3, ?? ? 上为增函数 ,故 a ? 0 符
所以 f '( x) ? 合题意 ②当 a ? 0 时,由函数 f ( x ) 的定义域可知,必须有 2ax ? 1 ? 0 对 x ? 3 恒成立,故只能 a ? 0 , 所以 2ax2 ? (1 ? 4a) x ? (4a2 ? 2) ? 0 在 ?3, ?? ? 上恒成立 令 g ( x) ? 2ax2 ? (1 ? 4a) x ? (4a2 ? 2) ,其对称轴为 x ? 1 ? 因为 a ? 0 所以 1 ?

1 , 4a

1 ? 1 ,从而 g ( x) ? 0 在 ?3, ?? ? 上恒成立,只要 g (3) ? 0 即可, 4a 2 因为 g (3) ? ?4a ? 6a ? 1 ? 0 ,

3 ? 13 3 ? 13 ?a? 4 4 3 ? 13 因为 a ? 0 ,所以 0 ? a ? . 4 ? 3 ? 13 ? 综上所述, a 的取值范围为 ? 0, ? 4 ? ?
解得

1 ?1 ? x ? ? b 可化为 ln x ? (1 ? x)2 ? (1 ? x) ? b . (3)若 a ? ? 时,方程 f (1 ? x) ? 2 x 3 x 2 2 3 问题转化为 b ? x ln x ? x(1 ? x) ? x(1 ? x) ? x ln x ? x ? x 在 ? 0, ?? ? 上有解,
3

即求函数 g ( x) ? x ln x ? x ? x 的值域
2 3

因为 g ( x) ? x(ln x ? x ? x ) ,令 h( x) ? ln x ? x ? x ,
2 2

1 (2 x ? 1)(1 ? x) ?1? 2x ? , x x 所以当 0 ? x ? 1 时 h '( x) ? 0 ,从而 h( x) 在 ? 0,1? 上为增函数,
则 h '( x) ? 当 x ? 1 时 h '( x) ? 0 ,从而 h( x) 在 ?1, ?? ? 上为减函数, 因此 h( x) ? h(1) ? 0 . 而 x ? 0 ,故 b ? x ? h( x) ? 0 , 因此当 x ? 1 时, b 取得最大值 0
74. (广东省汕头市金山中学 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知 a ? R ,函数

f ( x) ? x 2 ? ax ? ln x , g ( x) ? e x .(其中 e 是自然对数的底数) (1)当 a ? ?1 时,求函数 y ? f ( x) 的极值; f ( x) (2)令 F ( x) ? ,若函数 F ( x ) 在区间 (0, 1] 上是单调函数,求 a 的取值范围. g ( x)
40

【答案】解:(1)由 a ? ?1 ,

f ?( x) ? 2 x ? 1 ?

令 f ?( x) ? 0 ,解得: x ? 1 故 f ?( x ) . f ( x ) 随 x 变化如下表:

1 2 x2 ? x ?1 ? ( x ? 0) x x

x
f ?( x )
f ( x)

(0, 1)
?

1

(1, ??)

0
极 小 值

?

又 f (1) ? 1 ?1 ? ln1 ? 0 ,故函数 y ? f ( x) 有极小值 0 ;
2

1 ? x 2 ? (2 ? a) x ? a ? ? ln x f ( x) x 2 ? ax ? ln x x (2)由 F ( x) ? ? ( x ? 0) , F ?( x) ? g ( x) ex ex 1 1 1 2 令 h( x) ? ? x ? (2 ? a) x ? a ? ? ln x , 则 h?( x) ? ?2 x ? 2 ? ? 2 ? a , x x x

h?( x) , h( x) 在区间 (0, 1] 上随 x 变化如下表:

x
h?( x) h( x )

(0, x0 )

x0
0
极 大 值

( x0 , 1]
?

?

? (2 ? a)e ? a ? ea ? ln e?a ? 0 , 且 y = h( x) 在区间 (0, 1] 的图像是一条连续不断的曲线, h(1) ? 0 故 y = h( x) 在区间 (0, 1) 有唯一零点,设为 x? , 即 y = F ?( x) 在区间 (0, 1) 有唯一零点 x? , F ?( x) , F ( x) 在区间 (0, 1] 上随 x 变化如下表:
故有 h( x0 ) ? h(1) ? 0 ,而 h(e ) ? ?e

?a

?2 a

?a

x
F ?( x)
F ( x)

(0, x?)
?

x? 0


( x? 1)

?

41

大 值 即函数在区间 (0, x?) 递减,在区间 ( x?, 1) 递增,矛盾, a > 2 不符题意, 综上所述: a 的取值范围是 (??, 2] .
75. (广东省广州市越秀区 2014 届高三上学期摸底考试数学理试题)已知函数 f ( x) ? 1 ? ln

x (0 ? x ? 2) . 2? x

(1) 是否存在点 M (a, b) , 使得函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也在函数

y ? f ( x) 的图像上?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由;
(2)定义 Sn ?
2 n ?1 i ?1

? f ( n ) ? f ( n ) ? f ( n ) ? ??? ? f (
a

i

1

2

2n ? 1 ) ,其中 n ? N* ,求 S2013 ; n
*

(3)在(2)的条件下,令 Sn ? 1 ? 2an ,若不等式 2 n ? (an )m ? 1 对 ?n ? N 且 n ? 2 恒成立,求实数 m 的取 值范围.

【答案】(1)假设存在点 M (a, b) ,使得函数 y ? f ( x ) 的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也在函

数 y ? f ( x) 的图像上,则函数 y ? f ( x) 图像的对称中心为 M (a, b) .

x 2a ? x ? 1 ? ln ? 2b , 2? x 2 ? 2a ? x ?2 ? 2b ? 0, ?a ? 1, ? x 2 ? 2ax 即 2 ? 2b ? ln 2 解得 ? ? 0 对 ?x ? (0, 2) 恒成立,所以 ? ? x ? 2ax ? 4 ? 4a ?b ? 1. ?4 ? 4a ? 0, 所以存在点 M (1,1) ,使得函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也在函数 y ? f ( x)
由 f ( x) ? f (2a ? x) ? 2b ,得 1 ? ln 的图像上. (2)由(1)得 f ( x) ? f (2 ? x) ? 2(0 ? x ? 2) .

i i i ,则 f ( ) ? f (2 ? ) ? 2 (i ? 1, 2, ???, 2n ? 1) . n n n 1 2 2 1 因为 S n ? f ( ) ? f ( ) ? ??? ? f (2 ? ) ? f (2 ? ) ①, n n n n 1 2 2 1 所以 S n ? f (2 ? ) ? f (2 ? ) ? ??? ? f ( ) ? f ( ) ②, n n n n 由①+②得 2Sn ? 2(2n ?1) ,所以 Sn ? 2n ?1(n ? N* ) .
令x? 所以 S2013 ? 2 ? 2013 ?1 ? 4025 .

Sn ? 1 ? n( n ? N* ) . 2 n m a m n m * ?? 因为当 n ? N 且 n ? 2 时, 2 n ? ( an ) ? 1 ? 2 ? n ? 1 ? . ln n ln 2 n m m ? n ? * ?? 所以当 n ? N 且 n ? 2 时,不等式 恒成立 ? ? . ?? ? ln n ln 2 ln 2 ? ln n ?min x ln x ? 1 ( x ? 0) ,则 g ?( x) ? 设 g ( x) ? . ln x (ln x)2 当 0 ? x ? e 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, e) 上单调递减; 当 x ? e 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (e, ??) 上单调递增.
* (3)由(2)得 Sn ? 2n ?1(n ? N ) ,所以 an ?

42

因为 g (2) ? g (3) ?

2 3 ln 9 ? ln 8 ? ? ? 0 ,所以 g (2) ? g (3) , ln 2 ln 3 ln 2 ? ln 3

3 . ln 3 m 3 m 3ln 2 ?? 由 ? g ( n) ?min ? ? ,得 ,解得 m ? ? . ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 3ln 2 , ??) . 所以实数 m 的取值范围是 ( ? ln 3
* 所以当 n ? N 且 n ? 2 时, ? g (n) ?min ? g (3) ?

76. (广东省汕头市金山中学 2014 届高三上学期期中考试数学 (理) 试题) 已知函数 g ( x) ? ln x ? ax

2

? bx , 函

数 g ( x) 的图 象在点 (1, g (1)) 处的切线平行 于 x 轴. (1)确定 a 与 b 的关系; (2) 当 a ? 1 时,求函数 g ( x) 的单调区间; (3)证明:对任意 n ? N * ,都有 ln ?1 ? n ? ?
【答案】

?
i ?1

n

i ?1 成立. i2

故 g ?( x ) . g ( x) 随 x 变化如下表:

x
g ?( x) g ( x)

(0,

1 ) 2

1 2
0
极大 值

1 ( , 1) 2

1

(1, ??)

?

?

0
极 小 值

?

1 1 ) 上单调递增,在 ( , 1) 单调递减,在 (1, ??) 上单调递增. 2 2 2 (3)证法一:由(2)知当 a ? 1 时,函数 g ( x) ? ln x ? x ? 3 x 在 (1, ??) 单调递增,
故函数 g ( x) 在 (0,

? ln x ? x 2 ? 3x ? g (1) ? ?2 ,即 ln x ? ? x 2 ? 3x ? 2 ? ?( x ? 1)( x ? 2) , 1 1 1 1 令 x ? 1 ? , n ? N * ,则 ln(1 ? ) ? ? 2 , n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ... ? ln(1 ? ) ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ... ? ? 2 1 2 3 n 1 1 2 2 3 3 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ln[(1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? ... ? (1 ? )] ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ... ? ? 2 1 2 3 n 1 1 2 2 3 3 n n n i ?1 即 ln ?1 ? n ? ? ? 2 i ?1 i
43

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ... ? ln(1 ? ) ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ... ? ? 2 1 2 3 n 1 1 2 2 3 3 n n n i ?1 即 ln ?1 ? n ? ? ? 2 i ?1 i

77. (广东省南雄市黄坑中学 2014 届高三上学期第二次月考测试数学(理)试题)设

f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 的

极小值为 ?8 , 其导函数 y ? f ?( x) 的图像开口向下且导函数的图象经过两点 (?2 , 0) , ( , 0) . (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若对 x ?[-3,3] 都有 f ( x) ? m ?14m 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2

2 3

【 答 案 】 解 : 解 :(Ⅰ)

f '( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c , 且 y ? f '( x) 的 图 象 过 点

2 2b ? ?2? ? ? ? ?b ? 2a 2 ? 3 3a (? 2 , 0 ) ?, ? ( , 0 ) ?? 3 ?c ? ?4a ?? 2 ? 2 ? c ? 3 3a ? 3 2 ∴ f ( x) ? ax ? 2ax ? 4ax , 由图象可知函数 y ? f ( x) 在 (??, ?2) 上单调递减, 2 2 在 ( ?2, ) 上单调递增,在 ( ,?? ) 上单调递减,(不说明单调区间应扣分) 3 3
44

∴ f ( x)极小值 ? f (?2) ,即 a(?2)3 ? 2a(?2)2 ? 4a(?2) ? ?8 , 解得 a ? ?1 ∴ f ( x) ? ? x3 ? 2x2 ? 4x (Ⅱ) 要使对 x ?[?3,3] 都有 f ( x) ? m2 ?14m 成立, 只需 f ( x)min ? m2 ?14m 由(1)可知函数 y ? f ( x) 在 (?3,?2) 上单调递减,在 ( ?2, ) 上单调递增,

2 3

2 3 ? f ( x)min ? f (3) ? ?33
2

在 ( ,3) 上单调递减,且 f (?2) ? ?8 , f (3) ? ?33 ? 2 ? 32 ? 4 ? 3 ? ?33 ? ?8

∴ ? 33 ? m ? 14m ? 3 ? m ? 11. 故所求的实数 m 的取值范围为 {m | 3 ? m ? 11 }.

45


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