当前位置:首页 >> 数学 >>

二面角等的求法


乐优·乐佳教育

五法求二面角
一、 定义法: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫 做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角 的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例 1 中从二面角 S—AM—B 中半平面 ABM 上的一已知点

(B)向棱 AM 作垂线,得垂足(F) ;在另一半平面 ASM 内过该垂足(F)作棱 AM 的垂线(如 GF) ,这两 条垂线(BF、GF)便形成该二面角的一个平面角,再在该平面角内建立一个可解三角形,然后借助直角三 角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例 1(2009 全国卷Ⅰ理)如图,四棱锥 S ? A B C D 中,底面 A B C D 为矩形,S D ? 底面 A B C D , A D ?
D C ? S D ? 2 ,点 M 在侧棱 S C 上, ? A B M =60°

2

(I)证明:M 在侧棱 S C 的中点 (II)求二面角 S ? A M ? B 的大小。 证(I)略 解(II) :利用二面角的定义。在等边三角形 A B M 中过点 B 作
B F ? A M 交 A M 于点 F ,则点 F 为 AM 的中点,过 F 点在平面 ASM

内作 G F ? A M ,GF 交 AS 于 G, 连结 AC,∵△ADC≌△ADS,∴AS-AC,且 M 是 SC 的中点, ∴AM⊥SC, GF⊥AM,∴GF∥AS,又∵ F 为 AM 的中点, ∴GF 是△AMS 的中位线,点 G 是 AS 的中点。则 ? G F B 即为所求二面角. ∵ SM ?
2 ,则 GF ?
2 2

G F

,又∵ SA ? AC ?

6 ,∴ AM ? 2

∵ AM ? AB ? 2 , ? ABM
6 2

? 60 ∴△ ABM 是等边三角形,∴ BF ?
0

3

在△ GAB 中, AG ?

0 , AB ? 2 , ? GAB ? 90 ,∴ BG ?

3 2

? 4 ?

11 2

G
1 cos ? BFG ? GF
2

? FB

2

? BG

2

?3? 2 2
6 3

11 2 ? 3 ? 2 6 ? ? 6 3

F

2 GF ? FB

?

2 2? ?

∴二面角 S ? A M ? B 的大小为 arccos( ?

)

乐佳教育 - 1

-关爱成就梦想

乐优·乐佳教育
练习 1(2008 山东)如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD, ? A B C ? 6 0 ? ,E,F 分别是 BC, PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为
6 2



求二面角 E—AF—C 的余弦值. 分析:第 1 题容易发现,可通过证 AE⊥AD 后推出 AE⊥平面 APD,使命题获 证,而第 2 题,则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的 长度之后,考虑到运用在二面角的棱 AF 上找到可计算二面角的平面角的顶 点 S,和两边 SE 与 SC,进而计算二面角的余弦值。 (答案:二面角的余弦

值为

15 5



二、三垂线法 三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂 直.通常当点 P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如(例 2)过二面角 B-FC 1 -C 中半平面 BFC 上的一已知点 B 作另一半平面 FC1C 的垂线,得垂足 O;再过该垂足 O 作棱 FC1 的垂 线,得垂足 P,连结起点与终点得斜线段 PB,便形成了三垂线定理的 基本构图(斜线 PB、垂线 BO、射影 OP) 。再解直角三角形求二面角 的度数。 例 2.(2009 山东卷理) 如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 、F 分别 A 是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。 (1) 证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。 证(1)略 解(2)因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点,所以 BF=BC=CF,△BCF 为 正三角形,取 CF 的中点 O,则 OB⊥CF,又因为直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,CC1⊥平面 ABCD,所以 CC1⊥BO,所以 OB⊥平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 OP⊥C1F,垂足为 P,连接 BP,则∠OPB 为二面角 B-FC 1 -C 的一个平面角, 在△BCF 为正三角形中, O B ?
3 ,在 Rt△CC1F 中, △OPF∽△CC1F,∵

D1 A1

C1 B1

E1 E

D F

C B

D1 A1 F1 P O F

C1 B1

E1 E A

D

C B

乐佳教育 - 2

-关爱成就梦想

乐优·乐佳教育
OP C C1 ? OF C1F

∴OP ?
2

1 2 ?2
2

?2 ?

2 2

,

2

在 Rt△OPF 中, B P ?

OP ? OB
2

2

?

1 2

?3 ?

14 2

, co s ? O P B ?

OP BP

?

2 14 2

?

7 7

,所以二面角 B-FC 1 -C

的余弦值为

7 7

.

练习 2(2008 天津)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形. 已知 AB ? 3 , AD ? 2 , PA ? 2 , PD ? 2 2 , ? PAB ? 60 . (Ⅰ)证明 AD ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角 P ? BD ? A 的大小. 分析:本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题,在证明 AD⊥平面 PAB 后,容易发现平面 PAB⊥平面 ABCD,点 P 就是二面角 P-BD-A 的半平面上的一 个点,于是可过点 P 作棱 BD 的垂线,再作平面 ABCD 的垂线,于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容, 从而可得本解法。 (答案:二面角 P ? BD ? A 的大小为 arctan
39 4
?



三.补棱法 P 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角 题目时,要将两平面的图形补充完整,使之有明确的交线(称为补棱) , 然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时, 一般用补棱法解决 例 3(2008 湖南)如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的 菱形,∠BCD=60°,E 是 CD 的中点,PA⊥底面 ABCD,PA=2. (Ⅰ)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (Ⅱ)求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大小. A 分析: 本题的平面 PAD 和平面 PBE 没有明确的交线, 依本法显然要补充完 整(延长 AD、BE 相交于点 F,连结 PF.)再在完整图形中的 PF.上找一个 适合的点形成二面角的平面角解之。 (Ⅰ)证略 P 解: (Ⅱ)延长 AD、BE 相交于点 F,连结 PF. 过点 A 作 AH⊥PB 于 H,由(Ⅰ)知 平面 PBE⊥平面 PAB,所以 AH⊥平面 PBE. 在 Rt△ABF 中,因为∠BAF=60°, 所以,AF=2AB=2=AP. 在等腰 Rt△PAF 中,取 PF 的中点 G,连接 AG. 则 AG⊥PF.连结 HG,由三垂线定理的逆定理得, PF⊥HG.所以∠AGH 是平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角的平面角 (锐角) . A

D

E C

B

G

F H D E C B

乐佳教育 - 3

-关爱成就梦想

乐优·乐佳教育
在等腰 Rt△PAF 中, A G ? 在 Rt△PAB 中,
AH ? A P ?A B PB ? A P ?A B AP ? AB
2 2

2 2

PA ?

2.

?

2 5

?

2 5 5

.

2 5

所以,在 Rt△AHG 中, s in ? A G H ?

AH AG

?

5 2

?

10 5

.

A1
10 5

C1
.

B1

故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大小是 a rc s in

练习 3 已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的棱长都是 a,侧棱与底面成 600 的角, 侧面 BCC1B1⊥底面 ABC。 (1)求证:AC1⊥BC; (2)求平面 AB1C1 与平面 ABC 所成的二面角(锐角)的大小。 提示:本题需要补棱,可过 A 点作 CB 的平行线 L (答案:所成的二面角为 45O) 四、射影面积法( c o s q =

A L C B

s射 影 S



凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影 面积公式(cos ? ?
S射 S斜

)求出二面角的大小。

P
?

例 4. (2008 北京理)如图,在三棱锥 P ? A B C 中, A C ? B C ? 2 , ? A C B ? 9 0 ,
AP ? BP ? AB , PC ? AC .

A

B

C (Ⅰ)求证: P C ? A B ; (Ⅱ)求二面角 B ? A P ? C 的大小; 分析:本题要求二面角 B—AP—C 的大小,如果利用射影面积法解题,不难想到在平面 ABP 与平面 ACP 中 建立一对原图形与射影图形并分别求出 S 原与 S 射 于是得到下面解法。 P 解: (Ⅰ)证略 (Ⅱ)? A C ? B C , A P ? B P ,?△ A P C ≌ △ B P C . E 又 P C ? A C ,? P C ? B C . B A ? 又 ? A C B ? 9 0 ,即 A C ? B C ,且 A C ? P C ? C ,
? B C ? 平面 P A C .

C

取 A P 中点 E .连结 B E , C E . ? A B ? B P ,? B E ? A P . ? E C 是 B E 在平面 P A C 内的射影,

乐佳教育 - 4

-关爱成就梦想

乐优·乐佳教育
? CE ? AP .

∴△ACE 是△ABE 在平面 ACP 内的射影, 于是可求得: AB ? BP ? AP ?
S 射 ? S ? ACE ? S 原 ? S ? ABE ? 1 2 1 2 AE ? EB ? AE ? CE ? 1 2 1 2 2 ? 6 ? 3 2 ?

AC

2

? CB

2

? 2 2 ,BE ?

AB

2

? AE

2

?

6 , AE ? EC ?

2 则

2 ? 1,

D A
S射 S原 1 3 3 3

C B E

设二面角 B ? A P ? C 的大小为 ? ,则 cos ? ?

?

?

D1 A1 B1 图5

C1

∴二面角 B ? A P ? C 的大小为 ? ? arccos

3 3

练习 4: 如图 5,E 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点,求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1 所成锐角 的余弦值. 分析 平面 AB1E 与底面 A1B1C1D1 交线即二面角的棱没有给出,要找到二面角的平面角,则必须先作两 个平面的交线,这给解题带来一定的难度。考虑到三角形 AB1E 在平面 A1B1C1D1 上的射影是三角形 A1B1C1, 从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。 (答案:所求二面角的余弦值为 cosθ =
2 3

).

五、向量法 向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法,可以说所有的立体几何题都可以用向量 法求解,用向量法解立体几何题时,通常要建立空间直角坐标系,写出各点的坐标,然后将几何图中的线 段写成用坐标法表示的向量,进行向量计算解题。 例 4: (2009 天津卷理)如图,在五面体 ABCDEF 中,FA ? 平面 ABCD, AD//BC//FE,AB ? AD,M 为 EC 的中 点,AF=AB=BC=FE=
1 2

AD

(I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (II) 证明平面 AMD ? 平面 CDE; 求二面角 A-CD-E 的余弦值。 现在我们用向量法解答:如图所示,建立空间直角坐标系,以点 A 为坐标
0 0 1, 原 点 。 设 AB ? 1, 题 意 得 B ?1,, ?,C ?1, 0 ?, 依 F ? 0,,?, 01
1? ?1 M ? , ?. 1, 2? ?2

D ? 0,, ?, 2 0

E ? 0,1 ?, 1,

BF 01 ? 1 (I) 解: ? ? ? 1,,?, DE ? ? 0, 1,?,

乐佳教育 - 5

-关爱成就梦想

乐优·乐佳教育
于是 cos BF , DE ? BF ? DE BF DE ? 0 ? 0 ?1 2 ? 2 ? 1 2
0

.

所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60 .
01 2 0 1, (II)证明:由 AM ? ? , ?, CE ? ? ? 1,,?, AD ? ? 0,, ?,可得 CE ? AM ? 0 ,
?2 2? ?1 1?

CE ? AD ? 0 .因此, CE ? AM , CE ? AD .又 AM ? AD ? A ,故 CE ? 平面 AMD .

而 CE ? 平面 CDE ,所以平面

AMD ? 平面 CDE .

(III) 解:设平面

CDE 的法向量为

? u ? CE ? 0, ? u ? ( x , y , z ),则 ? ?u ? D E ? 0 . ?

? ? x ? z ? 0, 于是 ? 令 x ? 1,可得 u ? (1,1) 1, . ?? y ? z ? 0.
01 又由题设,平面 ACD 的一个法向量为 v ? ( 0,,).

练习 5、 (2008 湖北)如图,在直三棱柱 A B C ? A1 B1 C 1 中,平面 A B C ? 侧面 A1 A B B 1 . (Ⅰ)求证: A B ? B C ; (Ⅱ) 若直线 A C 与平面 A1 B C 所成的角为 ? ,二面角 A1 ? B C ? A 的大小为
? ,试判断 ? 与 ? 的大小关系,并予以证明.

分析:由已知条件可知:平面 ABB1 A1⊥平面 BCC1 B1⊥平面 ABC 于是很容易 想到以 B 点为空间坐标原点建立坐标系,并将相关线段写成用坐标表示的 向量,先求出二面角的两个半平面的法向量,再利用两向量夹角公式求解。 (答案: ? ? arcsin
2

a a ?c
2

,且
b

ac a ?c
2 2


2

a a ?c
2

,)

总之,上述五种二面角求法中,前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律,后两种是两种不同的 解题技巧,考生可选择使用。

线线角与线面角习题
1.在空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2, E、F 分别为 AB、CD 的中点且 EF= 3 ,AD、BC 所成的角 为 . ο ο 2.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 ,B1C 和 C1D 与底面所成的角分别为 60 和 45 ,则异面直线 B1C 和 C1D 所成角的余弦值为 ( ) (A).
6 4
1 1

1

1

(B).

6 3

(C).
?
3

2 6

(D).

3 6

3. 平 面 ? 与 直 线 a 所 成 的 角 为

,则直线 a 与平面 ? 内所有直线所成的角的取值范围

乐佳教育 - 6

-关爱成就梦想

乐优·乐佳教育
是 . 4.如图,ABCD 是正方形,PD⊥平面 ABCD,PD=AD,则 PA 与 BD 所成的角的度数为 ο ο ο ο (A).30 (B).45 (C).60 (D).90 ο ο 5.有一个三角尺 ABC,∠A=30 , ∠C=90 ,BC 是贴于桌面上, ο 当三角尺与桌面成 45 角时,AB 边与桌面所成角的正弦值 是 . 三、典型例题 例 1.(96·全国) 如图,正方形 ABCD 所在平面与正方形 ο ABEF 所在平面成 60 角,求异面直线 AD 与 BF 所成角的余弦值. 备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线 或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容 易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要 有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.

D

C

A F

B

E

1

1

例 2.如图在正方体 AC1 中, (1) 求 BC1 与平面 ACC1A1 所成的角; (2) 求 A1B1 与平面 A1C1B 所 成的角. 备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影,为此必须在这条直线上 找一点作平面的垂线. 作垂线的方法常采用:①利用平面垂直的性质找平面的垂线.②点的 射影在面内的特殊位置.

1 1

例 3.已知直三棱住 ABC-A1B1C1,AB=AC, F为棱BB1 上一点,BF∶FB1=2∶1, BF=BC= 2 a . (1)若 D 为 BC 的中点,E 为线 段 AD 上不同于 A、D 的任意一点,证明:EF⊥FC1; (2)试问:若 AB= 2 a ,在线段 AD 上的 E 点能否使 EF 与平面 ο BB1C1C 成 60 角,为什么?证明你的结论. 备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题,解 决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾, 从而判断命题是否成立.

1

1

1

乐佳教育 - 7

-关爱成就梦想

乐优·乐佳教育
四、反馈练习 1 设集合 A、B、C 分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值 范围,则 (A)A=B=C (B)A=B ? C (C)A ? B ? C (D) B ? A ? C. 2 两条直线 a , b 与平面 ? 所成的角相等,则直线 a , b 的位置关系是 (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D) 以上均有可能. 3 设棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为 AA1 和 BB1 的中点,则直线 CM 和 D1N 所成角的正弦 值为 . 4 已知 a 、 b 是一对异面直线,且 a 、 b 成 60o 角,则在过空间任意点 P 的所有直线中,与 a 、 b 均成 60o 角的直线有 条. 5 异面直线 a 、 b 互相垂直, c 与 a 成 30o 角,则 c 与 b 所成角的范围是 . ο 6∠ACB=90 在平面 ? 内,PC 与 CA、CB 所成的角∠PCA=∠PCB=60o,则 PC 与平面 ? 所成的角为 .

7 设线段 AB= a ,AB 在平面 ? 内,CA⊥ ? ,BD 与 ? 成 30 角,BD⊥AB,C、 在 ? 同侧,CA=BD= b .求: (1)CD 的长;(2)CD D 与平面 ? 所成角正弦值.

ο

?

线面角与面面角练习 一、知识与方法要点: 1.斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平 面内的射影,即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足,这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。 若垂足的位置难以确定,可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。 2.二面角的大小用它的平面角来度量,求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角 的平面角经常要用三垂线定理,关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线,并确定垂足的位 置。若二面角的平面角难以作出,可考虑用射影面积公式求二面角的大小。 3.判定两个平面垂直,关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。 两个平面垂直的性质定理是:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一 个平面. 二、例题 例 1.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 C1D1 中点. (1)求证:AC1⊥平面 A1BD. (2)求 BM 与平面 A1BD 成的角的正切值. 解: (1)连 AC, ∵C1C⊥平面 ABCD, ∴C1C⊥BD.

乐佳教育 - 8

-关爱成就梦想

乐优·乐佳教育
又 AC⊥BD, ∴AC1⊥BD.同理 AC1⊥A1B ∵A1B∩BD=B.∴AC1⊥平面 A1BD. (2)设正方体的棱长为 a ,连 AD1,AD1 交 A1D 于 E,连结 ME,在△D1AC1 中,ME∥AC1, ∵AC1⊥平面 A1BD.∴ME⊥平面 A1BD. 连结 BE,则∠MBE 为 BM 与平面 A1BD 成的角.在 R t ? M E B 中, M E ?
? 2 ? 2 a? ?a ? ? ? 2 ? ? ?
2

A C1 2

?

3 2

a ,

BE ?

6 6

a ,∴ ta n ? M B E ?

ME BE

?

2 2



例 2.如图,把等腰直角三角形 ABC 以斜边 AB 为轴旋转, 使 C 点移动的距离等于 AC 时停止,并记为点 P. (1)求证:面 ABP⊥面 ABC; (2)求二面角 C-BP-A 的余弦值. 证明(1) 由题设知 AP=CP=BP.∴点 P 在面 ABC 的射影 D 应是△ABC 的外心, 即 D∈AB.∵PD⊥AB,PD ? 面 ABP,由面面垂直的判定定理知,面 ABP⊥面 ABC. (2)解法 1 取 PB 中点 E,连结 CE、DE、CD.∵△BCP 为正三角形,∴CE⊥BD. △BOD 为等腰直角三角形,∴DE⊥PB.∴∠CED 为二面角 C-BP-A 的平面角. 又由(1)知,面 ABP⊥面 ABC,DC⊥AB,AB=面 ABP∩面 ABC, 由面面垂直性质定理,得 DC⊥面 ABP.∴DC⊥DE.因此△CDE 为直角三角形.
1

设 B C ? 1 ,则 C E ?

3 2

,DE ?

1 2

, co s ? C E D ?

DE CE

?

2 3 2

?

3 3



例 3.如图所示,在正三棱柱 A B C ? A1 B1 C 1 中, E ? B B1 ,截面 A1 E C ? 侧面 A C 1 . (1)求证: B E ? E B1 ; (2)若 A A1 ? A1 B 1 ,求平面 A1 E C 与平面 A1 B1 C 1 所成二面角(锐角)的度数. 证明:在截面 A1EC 内,过 E 作 EG⊥A 1 C,G 是垂足,如图, ∵面 A 1 EC⊥面 AC 1 ,∴EG⊥侧面 AC 1 . 取 AC 的中点 F,分别连结 BF 和 FC,由 AB=BC 得 BF⊥AC. ∵面 ABC⊥侧面 AC 1 ,∴BF⊥侧面 AC 1 , 得 BF∥EG.BF 和 EG 确定一个平面,交侧面 AC 1 于 FG. ∵BE∥侧面 AC 1 ,∴BE∥FG,四边形 BEGF 是 ∴BE∥AA 1 ,∴FG∥AA 1 ,△AA 1 C∽△FGC. ,BE=FG.

解:(2)分别延长 CE 和 C1B1 交于点 D,连结 A 1 D.

∵∠B 1 A 1 C 1 =∠B 1 C 1 A 1 =60°,

乐佳教育 - 9

-关爱成就梦想

乐优·乐佳教育
∴∠DA 1 C 1 =∠DA 1 B 1 +∠B 1 A 1 C 1 =90°,即 DA 1 ⊥A 1 C 1 .∵CC 1 ⊥面 A 1 C 1 B 1 , 由三垂线定理得 DA 1 ⊥A 1 C,所以∠CA 1 C 1 是所求二面角的平面角.且∠A 1 C 1 C=90°. ∵CC 1 =AA 1 =A 1 B 1 =A 1 C 1 ,∴∠CA 1 C 1 =45°,即所求二面角为 45°. 说明:如果改用面积射影定理,则还有另外的解法. 三、作业: 1.已知平面?的一条斜线 a 与平面?成?角,直线 b??,且 a,b 异面,则 a 与 b 所成的角为 (A) A.有最小值?,有最大值
? 2

B.无最小值,有最大值

? 2



C.有最小值?,无最大值 D.有最小值?,有最大值???。 2.下列命题中正确的是 (D) A.过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个 B.过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个 C.过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条 D.过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个 3.一条长为 60 的线段夹在互相垂直的两个平面之间,它和这两个平面所成的角分别为 45°和 30°,这条线段的两个端点向平面的交线引垂线,则垂足间的距离是 (A) A.30 B.20 C.15 D.12 4.设正四棱锥 S—ABCD 的侧棱长为 2 ,底面边长为 3 ,E 是 SA 的中点,则异面直线 BE 与 SC 所成的角 是 (C) A.30° B.45° C.60° D.90° 5.正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为 arctan 2 2 ,则它的侧棱与底面所成的角为 2 6.A 是△BCD 所在平面外的点,∠BAC=∠CAB=∠DAB=60°,AB=3,AC=AD=2. (Ⅰ)求证:AB⊥CD; (Ⅱ)求 AB 与平面 BCD 所成角的余弦值.

7.正四面体 ABCD 中,E 是 AD 边的中点,求:CE 与底面 BCD 所成角的正弦值.

解 过 A,E 分别作 AH⊥面 BCD,EO⊥面 BCD,H,O 为垂足, ∴AH 2OE,AH,OE 确定平面 AHD,连结 OC, ∠ECO 即为所求.∵AB=AC=AD,∴HB=HC=HD ∵△BCD 是正三角形,∴H 是△BCD 的中心, 连结 DH 并延长交 BC 于 F,F 为 BC 的中点,
DH ? 2 3 DF ? 2 3 ? 3 2 a ? 3 3 a ,在 Rt△ADH 中,

乐佳教育 - 10 关爱成就梦想

乐优·乐佳教育
8.在四面体 ABCD 中,DA⊥面 ABC,∠ABC=90°,AE⊥CD,AF⊥DB. 求证: (1)EF⊥DC; (2)平面 DBC⊥平面 AEF.

证明 如图 1-83. (1)∵AD⊥面 ABC.∴AD⊥BC.又∵∠ABC=90°.∴ BC⊥AB. ∴BC⊥面 DAB.∴DB 是 DC 在面 ABD 内的射影.∵AF⊥DB.∴AF⊥CD(三 垂线定理) . ∵AE⊥CD.∴CD⊥平面 AEF.∴CD⊥EF. (2)∵CD⊥AE,CD⊥EF.∴CD⊥面 AEF.∵CD 面 BCD.∴面 AEF⊥面 BCD. (3)由 EF⊥CD,AE⊥CD ∴ ? AEF 为二面角 B-DC-A 的平面

又∵AF⊥DB,AF⊥CD,BD∩CD=D ∴AF⊥平面 DBC,

二面角题目: 例1. 如图所示,已知 P A ? 面 A B C , S ? P B C ? S , S ? A B C ? S ? ,二面角 P ? B C ? A 的平面角为 ? ,求 证: S ? co s ? S ?
P

A D B

C

2.如图,在空间四边形 A B C D 中, ? B C D 是正三角形, ? A B D 是等腰直角三角形,且 ? B A D ? 9 0 ,又 二面角 A ? B D ? C 为直二面角,求二面角 A ? C D ? B 的大小。 A

?

B

H
E

D F C

乐佳教育 - 11 关爱成就梦想

乐优·乐佳教育
例 3.设 A 在平面 B C D 内的射影是直角三角形 B C D 的斜边 B D 的中点 O , A C ? B C ? 1, C D ? 求(1)AC 与平面 BCD 所成角的大小; (2)二面角 A ? B C ? D 的大小; (3)异面直线 AB 和 CD 所成角的大小。
2,

A

F B E O C D

例 4.在正方体 A B C D ? A ? B ?C ?D ? 中,M 为 A A ? 的中点,求截面 D M B ? 与底面 A B C D 所成较小的二面角的 大小。

选用:如图,正方体的棱长为 1, B ?C ? B C ' ? O ,求: (1) A O 与 A ? C ? 所成角; (2) A O 与平面 A B C D 所成角的正切值; (3)平面 A O B 与平面 A O C 所成角 解: (1)∵ A ? C ? // A C ∴ A O 与 A ? C ? 所成角就是 ? O A C ∵ O C ? O B , A B ? 平面 B C ? ∴ O C ? O A (三垂线定理)
王新敞
奎屯 新疆

D'

C' B' O

A'

在 R t ? A O C 中, O C ?

2

, AC ?

2

∴ ? O AC ? 30

?

D E A B

C

2 (2)作 O E ? B C ,平面 B C ? ? 平面 A B C D ∴ O E ? 平面 A B C D , ? O A E 为 O A 与平面 A B C D 所成角

在 R t ? O A E 中, O E ?

1 2

, AE ?

1 2 5 2 1 ?( ) ? 2 2

∴ ta n ? O A E ?

OE AE

?

5 5

(3)∵ O C ? O A , O C ? O B 又∵ O C ? 平面 A O C

∴ O C ? 平面 A O B
?
王新敞
奎屯 新疆

∴平面 A O B ? 平面 A O C

即平面 A O B 与平面 A O C 所成角为 9 0

乐佳教育 - 12 关爱成就梦想

乐优·乐佳教育
课前预习 1. 60
ο

2.A

3. [

?
3

,

?
2

] 4.C

5.

6 4

典型例题 例 1 解:∵CB∥AD ∴∠CBF 为异面直线 AD 与 BF 所成的角.连接 CF、CE 设正方形 ABCD 的边长为 ? ,则 BF= 2 a ∵CB⊥AB, EB ⊥AB∴∠CEB 为平面 ABCD 与平面 ABEF 所成的角 ∴∠CBE=∠60 ∴CE= a
ο

FC= 2 a

∴cos∠CBF=

2 4 OB BC
1

例 2 解:(1)设所求的角为 ? ,先证 BD⊥平面 ACC1A1,则 sin ? =sin∠OC1B=

=

1 2

.故 ? =30o.(2)△A1BC1 是

正三角形,且 A1B1=B1C1=BB1. ∴棱锥 B1-A1BC1 是正三棱锥.过 B1 作 B1H⊥平面 A1BC1,连 A1H, ∠B1A1H 是直线 A1B1 与平面 A1C1B 所成的角.设 A1B1= a 则 A1B= 2 a 得 A1H=
6 3 6 3 a .故 cos∠B1A1H=

A1 H A1 B 1

=

6 3

.所求角为

arccos

例 3 解:(1)连接 OF,容易证明 AD⊥面 BB1C1C,
ο

DF 是 EF 在面 B1C1CB 的射影,且 DF⊥FC1,
ο

∴FC1⊥EF.(2) ∵AD⊥面 BB1C1C, ∠EFD 是 EF 与平面 BB1C1C 所成的角.在△EDF 中,若∠EFD=60 ,则 ED=DF· tan60 = 3 · 5 = 15 a ,∵AB=BC=AC=2 a ,∴AD= 3 a .∵ 15 a > 3 a .∴E 在 DA 的延长线上,而不 ο 在线段 AD 上;故线段 AD 上的 E 点不可能使 EF 与平面 BB1C1C 成 60 角. 反馈练习 1. D 2. D 3.
4 5 9

4. 3 5.[ 60 ,90 ]

ο

ο

6. 45

ο

7.解:(1)作 DD'⊥ ? 于 D',连接 AD',BD'.CA⊥ ? ,∴CA∥DD'.四边形 CAD'D 是直角梯形,∠CAD'=∠ ο D D' A=90 ,AB ? ? ,AB⊥DD'.又 AB⊥BD,∴AB⊥平面 BDD',BD' ? 平面 BDD'.∴AB⊥BD'.∵∠DBD'是 BD 与 ? 所成的角,∴∠DBD'=30 ,BD= b ,DD'=
ο ο

b 2

,BD'=

3b 2

.在△ABD'中,AB= a ,BD'=
AD
'2

3b 2

,∠ABD'=90
2

,∴AD'=

AB

2

? BD

' 2

= a ?
2

3b 4

2

.在 CAD'D 中,CD=

? ( AC ? D D )
'

2

?

a

2

?b

. .

(2)作 D' ∥DC 交 CA 于 C',∠C' A是 CD 与 ? 所成的角,sin∠C'D'A= C' D'

AC

'

? 2 a

b
2

C'D'

?b

2

乐佳教育 - 13 关爱成就梦想


相关文章:
五种方法法求二面角及限时练习
五种方法法求二面角及限时练习_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 五种方法法求二面角及限时练习_数学_高中教育_教育专区。...
二面角的基本求法例题及练习
二面角的基本求法例题及练习_数学_高中教育_教育专区。一、平面与平面的垂直关系...二面角的两个半平面分别垂直,则这两个二面角的平面 A、相等 B、互补 C、相等...
二面角求法及经典题型归纳
三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也 和这条斜线垂直.通常当点 P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的...
二面角求法大全
二面角求法大全_高二数学_数学_高中教育_教育专区。定义法,三垂线法,垂面法,面积法,“无棱”二面角的求法,有关二面角的最值问题 ...
二面角的求法
二面角的求法_高一数学_数学_高中教育_教育专区。二面角的求法郧西四中 潘远兵求...个半平面的法向量分别为 m 与 n, 即二面角 θ和 m 与 n 的夹角相等 或...
求二面角方法——1定义法
二面角——1 定义法 二面角二面角大小的求法中知识的综合性较强, 方法的灵活性...形的内角大小, 在其求解过程中,主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要...
二面角等的求法
三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂 直.通常当点 P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的...
高中立体几何中二面角经典求法
4、空间坐标法求二面角的大小 5、平移或延长(展)线(面)法 6、射影公式 S ...求解二面角大小的方法很多,诸如定义法、三垂线法、垂面法、射影法、向量法等...
二面角的向量求法
法向量的方向是 o 图6 z A v n C y x “一进一出” ,那么所求的二面角的平面角就等 于两法向量的夹角,如果是“同进同出” 那么 , B 图7 所求的...
二面角的基本求法例题
二面角的基本求法例题_数学_高中教育_教育专区。二面角的基本求法例题 一、平面与平面的垂直关系 1.判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个...
更多相关标签:
二面角的求法 | 法向量求二面角 | 二面角的平面角的求法 | 求二面角的方法 | 法向量求二面角公式 | 二面角求法 | 二面角的求法例题解析 | 二面角的求法例题带图 |