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专题二第七讲 函数与方程


第七讲
知识梳理 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y=f(x) (x∈D),把使 (2)几个等价关系

函数与方程

的实数 x 叫做函数 y=f(x) (x∈D)的零点.

方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 (3)函数零点的判定(零点存在性定理)

有交点?函数 y=f(x)

.

如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 函数 y=f(x)在区间 方程 f(x)=0 的根. 2.二次函数 y=ax +bx+c (a>0)的图象与零点的关系 Δ >0 Δ =0 Δ <0
2

,那么, 也就是

内有零点,即存在 c∈(a,b),使得

,这个

二次函数

y=ax2+bx+c
(a>0)的图象

与 x 轴的交点 零点个数 3.二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且 的区间 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点.( )

无交点

的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在 , 进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

, 使区间的两个端点逐步逼近

(2)函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则 f(a)·f(b)<0.( (3)二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)在 b -4ac<0 时没有零点.( (4)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.( (5)函数 y=2sin x-1 的零点有无数多个.( ) )
2 2

)

) )

1 (6)函数 f(x)=kx+1 在[1,2]上有零点,则-1<k<- .( 2

1

考点自测 1. 若 a<b<c, 则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位 于区间________内. 2.若 x1,x2 是方程 2 ? ( )
x

1 2

1 ? ?1 x

的两个实根,则 x1+x2=________.
2

3.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x -3x,则函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为________. 4.已知函数 f(x)=ln x-x+2 有一个零点所在的区间为(k,k+1) (k∈N ),则 k 的值为 ________. 典型例题 题型一 函数零点的判断和求解 例 1 (1)根据表格中的数据,可以判定方程 e -x-2=0 的一个零点所在的区间为(k,k+
x
*

1)(k∈N),则 k 的值为________.

x
e
x

-1 0.37 1

0 1 2

1 2.72 3

2 7.39 4

3 20.09 5

x+2
2

? ?ln x-x +2x,x>0, (2)函数 f(x)=? ?4x+1, x≤0 ?

的零点个数是________.

思维升华 函数零点的求法: (1)直接求零点:令 f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点. (2) 零 点 存 在 性 定 理 : 利 用 定 理 不 仅 要 函 数 在 区 间 [a , b] 上 是 连 续 不 断 的 曲 线 , 且

f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零
点. (3)利用图象交点的个数: 将函数变形为两个函数的差, 画两个函数的图象, 看其有几个交点, 就有几个不同的零点. (1)函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间是________. ①(-2,-1) ②(-1,0) ③(0,1) ④(1,2) (2)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数 y =f(x)-log3|x|的零点个数是________. 题型二 二次函数的零点问题 例 2 已知函数 f(x)=x +ax+2,a∈R. (1)若不等式 f(x)≤0 的解集为[1,2],求不等式 f(x)≥1-x 的解集; (2)若函数 g(x)=f(x)+x +1 在区间(1,2)上有两个不同的零点,求实数 a 的取值范围.
2 2 2

x

2

思维升华 解决二次函数的零点问题:(1)可利用一元二次方程的求根公式;(2)可用一元二 次方程的判别式及根与系数的关系;(3)利用二次函数的图象列不等式组. 已知 f(x)=x +(a -1)x+(a-2)的一个零点比 1 大, 一个零点比 1 小, 求实数
2 2

a 的取值范围.

题型三 函数零点和参数的范围 例 3 若关于 x 的方程 2 +2 a+a+1=0 有实根,求实数 a 的取值范围.
2x

x

思维升华 对于“a=f(x)有解”型问题,可以通过求函数 y=f(x)的值域来解决,解的个数 也可化为函数 y=f(x)的图象和直线 y=a 交点的个数. 1 已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数, 当 x∈[0,3)时, f(x)=|x2-2x+ |. 2 若函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范围是 ________. 方法与技巧 1.函数零点的判定常用的方法有 (1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程 f(x)=0. 2.研究方程 f(x)=g(x)的解,实质就是研究 G(x)=f(x)-g(x)的零点. 3.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题;已知方程有解求参 数范围问题可转化为函数值域问题.

3

课后作业
?2 -1, ? 1.已知函数 f(x)=? ?1+log2x, ?
2 2

x

x≤1, x>1,

则函数 f(x)的零点为________.

2.方程|x -2x|=a +1(a>0)的解的个数是________. 3.若关于 x 的方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是________. 4.函数 f(x)=xcos x 在区间[0,4]上的零点个数为________. 5.已知三个函数 f(x)=2 +x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x 的零点依次为 a,b,c,则 a,
x
2 2

b,c 的大小关系为________.
6. 若函数 f(x)=x +ax+b 的两个零点是-2 和 3, 则不等式 af(-2x)>0 的解集是________. 7.函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则 n=________.
? ?2 -1,x>0, 8. 已知函数 f(x)=? 2 ? ?-x -2x,x≤0,
x
2

若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点, 则实数 m 的取

值范围是________.

x 1 3 2 9.已知函数 f(x)=x -x + + . 2 4
1 证明:存在 x0∈(0, ),使 f(x0)=x0. 2

10.关于 x 的二次方程 x +(m-1)x+1=0 在区间[0,2]上有解,求实数 m 的取值范围.

2

4


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