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等差数列的教学设计


等差数列知识点
在南北朝时期《张邱建算经》中,有一道题"今有十等人,每等一人,宫赐 创设 情景 金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下四人后入得金三斤, 持出,中间三人未到者,亦依等次更给,问各得金几何,及未到三人复应 得金几何"。 这个问题该怎样解决呢? 由学生观察分析并得出答案: 在现实生活中,我们经常这样数数,从 0 开始,每隔 5 数一次,可以 探索 研究 得到数列:0,5,___,___,___,___,? 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清 理水库的杂鱼。 如果一个水库的水位为 18cm, 自然放水每天水位降低 2.5m, 最低降至 5m。那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每 天的水位组成数列(单位:m) :18,15.5,13,10.5,8,5.5 思考:同学们观察一下上面的这两个数列: 发现 规律 0,5,10,15,20,?? ① 18,15.5,13,10.5,8,5.5 看这些数列有什么共同特点呢? [等差数列的概念] 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等 差数列的特征,尝试着给等差数列下个定义: 等差数列:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的 总结 提高 差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示。那么对于以上两 组等差数列,它们的公差依次是 5,5,-2.5。 提问:如果在 a 与 b 中间插入一个数 A,使 a ,A, b 成等差数列数列,那 么 A 应满足什么条件? 由三个数 a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时,A 叫做 a 与 b 的等差中项。 ②

不难发现,在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列的末项 除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。 如数列:1,3,5,7,9,11,13?中 5 是 3 和 7 的等差中项,1 和 9 的 等差中项。 9 是 7 和 11 的等差中项,5 和 13 的等差中项。 看来,

a2 ? a4 ? a1 ? a5 , a4 ? a6 ? a3 ? a7
从而可得在一等差数列中,若 m+n=p+q 则

am ? an ? a p ? aq

[等差数列的通项公式] 对于以上的等差数列, 我们能不能用通项公式将它们表示出来呢?这是 我们接下来要学习的内容。 总结 提高 ⑴、我们是通过研究数列 {an } 的第 n 项与序号 n 之间的关系去写出数列的 通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义,写出这三组等差数列的 通项公式。 ⑵、那么,如果任意给了一个等差数列的首项 a1 和公差 d,它的通项公式 是什么呢?

思考:那么通项公式到底如何表达呢? 得出通项公式:由此我们可以猜想得出:以 a1 为首项,d 为公差的等差数 列 {an } 的通项公式为 总结 提高

an ? a1 ? (n ? 1)d
也就是说,只要我们知道了等差数列的首项 a1 和公差 d,那么这个等差 数列的通项 an 就可以表示出来了。

例 1、⑴求等差数列 8,5,2,?的第 20 项. 应用 巩固 ⑵-401 是不是等差数列-5,-9,-13,?的项?如果是,是第几项? 分析: ⑴要求出第 20 项,可以利用通项公式求出来。首项知道了,还需要知道的
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是该等差数列的公差,由公差的定义可以求出公差 ⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是 数列中的项, 就是要看它是否满足该数列的通项公式, 并且需要注意的是, 项数是否有意义。 例题评述:从该例题中可以看出,等差数列的通项公式其实就是一个关于

an 、 a1 、d、n(独立的量有 3 个)的方程;另外,要懂得利用通项公式来
判断所给的数是不是数列中的项,当判断是第几项的项数时还应看求出的 项数是否为正整数,如果不是正整数,那么它就不是数列中的项。 随堂练习:课本 45 页“练习”第 1 题; s m 例 2.在南北朝时,在 466~484 年,张邱建写了一部算径,即《张邱 建算经》 ,在这本算经中,张邱建对等差数列的研究有一定的贡献,例如算 经中有一道题"今有十等人, 每等一人, 宫赐金以等次差降之, 上三人先入, 得金四斤,持出,下四人后入得金三斤,持出,中间三人未到者,亦依等 次更给,问各得金几何,及未到三人复应得金几何"。

算经中的解法: "以先入人数分所持金数为上率, 以后入人数分别持金数为下率, 二率 相减,余为差实,并先后人数而半之,以减凡人数,余为差法,实如法而 一,得差数"。 例题评述:这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用,要学会从实 际问题中抽象出等差数列模型,用等差数列的知识解决实际问题。 引导学生动手画图研究完成以下探究: ⑴在直角坐标系中,画出通项公式为 an ? 3n ? 5 的数列的图象。这个图象 有什么特点? 探索 研究 ⑵在同一个直角坐标系中, 画出函数 y=3x-5 的图象, 你发现了什么?据此 说一说等差数列 an ? pn ? q 与一次函数 y=px+q 的图象之间有什么关系。 分析:⑴n 为正整数,当 n 取 1,2,3,??时,对应的 an 可以利用通项 公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点;
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本节主要内容为: 课堂 小结 ①等差数列定义:即 an ? an?1 ? d (n≥2) ②等差数列通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d (n≥1) 推导出公式: an ? am ? (n ? m)d 1、已知 {an } 是等差数列. ⑴ 2a5 ? a3 ? a7 是否成立? 评价 设计

2a5 ? a1 ? a9 呢?为什么?
⑵ 2an ? an?1 ? an? 是否成立?据此你能得出什么结论? ( ) 1 n?1 是否成立?据此你又能得出什么结论? 2an ? an?k ? an?( ) k n?1 2、已知等差数列 {an } 的公差为 d.求证:
am ? an ?d m?n

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