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高中数学经典解题技巧和方法:三角函数的图象与性质


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高中数学经典解题技巧:三角函数的图象与性质
【编者按】三角函数是高中数学考试的必考内容,而且是这几年考试解答题的必选,无论是期中、期 末还是会考、高考,都是高中数学的必考内容之一。因此,马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分 的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法, 希望能够帮助到高中的同学们, 让同学们有更多、 更好、 更快的方法解决数学问题。好了,下面就请同学们跟我们一起来探讨下三角函数的图象与性质的经典解题 技巧。 首先,解答三角函数这方面的问题时,先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题,同学们应该先把 基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题: 1.理解任意角、弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化。 2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。 3. 能利用单位圆中的三角函数线推导出

?
2

? ? , ? ? ? 的正弦、 余弦、 正切的诱导公式, 能画出 y=sinx,

y=cosx,y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性。 4.理解正弦函数、余弦函数在区间[0, 2? ]的性质(如单调性、最大值和最小值以及图象与 x 轴的交 点等) ,理解正切函数在区间 ( ?

? ?

, ) 的单调性。 2 2

5.理解同角三角函数的基本关系式: sin2x+cos2x=1,sinx/cosx=tanx. 6.了解函数 y=Asin(ω x+φ )的图象,了解参数 A,ω ,φ 对函数图象变化的影响。 7.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题。 好了,搞清楚三角函数的上述内容之后,下面我们就看下针对这方面内容的具体的解题技巧。 一、三角函数的概念、同角诱导公式的简单应用 考情聚焦:1.三角函数的定义、同角三角函数的关系及诱导公式的简单应用,在近几年高考中时常 出现。 2.该类问题出题背景选择面广,易形成知识交汇题。 3.多以选择题、填空题的形式出现,属于中、低档题。 解题技巧:1.三角函数的定义是求三角函数值的基本依据,如果已知角终边上的点,则利用三角函 数的定义,可求该角的正弦、余弦、正切值。 2.同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用,应注意正确选择 公式、注意公式应用的条件。 例 1: (2010 届·日照五莲一中高三段检)如图,以 Ox 为始边作角α 与β ( 0 ? ? ? ? ? ? ) ,它们终 第 1 页(共 7 页) 数学投稿咨询 QQ:1114962912 山东世纪金榜书业有限公司

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? 3 4 5,5 )

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边分别与单位圆相交于点 P、Q,已知点 P 的坐标为(

sin 2? ? cos 2? ? 1 1 ? tan ? (1)求 的值;
(2)若 OP · OQ ? 0 ,求 sin(? ? ? ) 。

cos ? ? ?
解: (1)由三角函数定义得

3 4 sin ? ? 5, 5

?
∴原式

2 sin ? cos? ? 2 cos2 ? 2 cos? (sin ? ? cos? ) ? ? 2 cos2 ? sin ? sin ? ? cos? 1? cos? cos?
3 18 2 5 ) = 25

? 2· (

?

(2) OP · OQ ? 0 ,∴

? ?? ?

?
2

? ?? ?


?
2 ,∴

sin ? ? sin(? ? ) ? sin ? ? 4 5

?
2

) ? ? cos ? ?

3 5

cos ? ? cos( ? ?

?
2

∴ sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

?

4 4 3 3 7 ? ? (? ) ? ? 5 5 5 5 25

二、函数 y=Asin(ω x+φ )的解析式、图象问题 考情聚焦:1.三角函数 y=Asin(ω x+φ )的图象与解析式的问题,年看都会在高考中出现。 2. 试题背景大多是给出图象或解析式中某些量满足的一些条件下, 求解析式或另处一些量。 多数考 查 周期、频率、振幅、最值、对称中心、对称轴等概念以及图象的变换。 3.三种题型都有可能出现,属于中、低档题。 第 2 页(共 7 页) 数学投稿咨询 QQ:1114962912

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解题技巧:1. 已知图象求函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的解析式时,常用的方法是待定系 数法。 由图中的最大、最小值求出 A,由周期确定ω ,由适合解析式的点的坐标来确定φ 的值。 2. 将点的坐标代入解析式时,要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点。 “第一点” (即图象上 升时与 x 轴的交点)为 ? x0 ? ? ? 0 ? 2k? ,其他依次类推即可。 例 2:已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是 ( ... )

【解析】选 D.对于振幅大于 1 时,三角函数的周期为 T ? 它的振幅大于 1,但周期反而大于了 2? . 三、与三角函数的性质有关的问题

2? ,? a ? 1,?T ? 2? ,而 D 不符合要求, a

考情聚焦:1.有关三角函数的单调性、奇偶性、周期性及最值问题在历年高考中都会考查,是高考 考查的重点内容。 2.试题背景呈现多样性、选择面广,往往与三角恒等变换、图象性质、平面向量等交汇命题。 3.三种题型都有可能出现,属中、低档题。 例 3:已知函数 f ( x) ? ?2sin 2 x ? 2 3sin x cos x ?1 ⑴求 f ( x ) 的最小正周期及对称中心; ⑵若 x ? [ ?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的最大值和最小值. 6 3

【解析】⑴ f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ∴ f ( x ) 的最小正周期为 T ?

?
6

)

2? ?? , 2 ? k? ? k? ? ? (k ? Z ) ,∴ f ( x) 的对称中心为 ( ? , 0), (k ? Z ) ; 令 sin(2 x ? ) ? 0 ,则 x ? 6 2 12 2 12 ? ? ? ? 5? 1 ? ⑵∵ x ? [ ? , ] ∴ ? ? 2 x ? ? ∴ ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ∴ ?1 ? f ( x) ? 2 6 3 6 6 6 2 6
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∴当 x ? ?

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?
6

时, f ( x ) 的最小值为 ?1 ;当 x ?

?
6

时, f ( x ) 的最大值为 2 )

例 4. (2010·陕西高考理科·T3)对于函数 f ( x) ? 2sin x cos x ,下列选项中正确的是( (A) f ( x ) 在(

? ? , )上是递增的 4 2

(B) f ( x ) 的图像关于原点对称 (D) f ( x ) 的最大值为 2

(C) f ( x ) 的最小正周期为 2 ?

【命题立意】本题考查倍角公式、三角函数的基本性质,属保分题。 【思路点拨】 f ( x) ? 2sin x cos x ? f ( x) ? sin 2 x ? f ( x ) 是奇函数 ? B 【规范解答】选 B 因为 f ( x) ? 2sin x cos x ? sin 2 x ,所以 f ( x ) 是奇函数,因而 f ( x ) 的图像关于原点对 称,故选 B 例 5. (2010·全国卷Ⅰ理科·T2)记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ?

A.

1? k2 k

B. -

1? k2 C. k

k 1? k2

D. -

k 1? k2

【命题立意】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识,着重考查了三角变换中的 弦切互化.
2 2 0 【思路点拨】由 sin ? ? cos ? ? 1 及 cos(?80?) ? k 求出 sin 80 ,再利用公式 tan ? ?

sin ? cos ?

求出 tan100 的值.
? 2 ? 2 ? 2 【规范解答】选 B.【解析 1】 sin 80 ? 1 ? cos 80 ? 1 ? cos ( ?80 ) ? 1 ? k ,

0

所以 tan100? ? ? tan 80 ? ?
?

sin 80? 1? k 2 ? ? . cos80? k

【解析 2】 cos(?80?) ? k ? cos(80?) ? k ,
0 0 sin1000 sin ?180 ? 80 ? sin 80o 1? k 2 tan100? ? ? ? . ? con100o con ?1800 ? 800 ? ?con80o ?k

例 6. (2010·重庆高考文科·T15)如题(15)图,图中的实线是由三段圆弧 连接而成的一条封闭曲线 C,各段弧所在的圆经过同一点 P(点 P 不在 C 上)且半 径 相 等 。 设 第 i 段 弧 所 对 的 圆 心 角 为 ai ( i=1,2,3 ), 则

cos

a1 a ?a a a ?a cos 2 3 ? sin 1 sin 2 3 ? 3 3 3 3
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【命题立意】本小题考查圆的性质等基础知识,考查三角函数的基础知识,考查运算求解能力,考查数形 结合的思想方法,考查化归与转化的思想. 【思路点拨】第 i 段弧所对的圆心角转化为与它同圆的劣弧所对的圆心角,再根据三个圆心确定的正三角 形求解. 【规范解答】 ?

1 2

作三段圆弧的连心线,连结一段弧的两个端点,如图 所示,△ O1O2O3 是正三角形,点

P 是其中心,根据圆的有关性质可知 ?AO1 B ?

2 ? ,第 i 段弧所对的圆心角为 ai 都是 3

4 ?, 3
所以 cos

?1
3 ?

cos

? 2 ? ?3
3

? sin

?1
3

sin 3

? 2 ? ?3
3 4 1 ? cos ? ? ? 3 2

? cos(

?1 ? 2 ? ? 3
3 3

) ? cos

?1 ? ? 2 ? ? 3

【方法技巧】利用圆的对称性等有关性质可以快捷解答. 例 7. (2010·福建高考文科·T10)将函数 f ( x) ? sin(? x ? ?) 的图像向左平移 与原图象重合,则 ? 的值不可能 等于( ... A.4 B.6 C.8 ) D.12

? 个单位。若所得图象 2

【命题立意】本题考查三角函数的图像平移,解三角方程。 【思路点拨】先进行平移后,再比较与原函数的差异,解三角方程,或采用代入法求解。 【规范解答】选 B,把向左平移

? ? ? ?? ? ? ? ? 个单位得 y ? sin ? ? ? x ? ? ? ? ? ? sin ? ?x ? ?? ? ? , 2 2? 2 ? ? ? ? ?

又该函数图像与原函数图像重合,所以 s in ? ?x ?

? ?

? ? ? ? ? ? ? sin ? ?x ? ? ? 恒成立, 2 ?

? ? ? ? ? ? 2k? ? ? ,?? ? 4k ? k ? Z? ,所以 k 不可能为 6。 2
【方法技巧】注意应把 sin ? ?x ? ?? 变为 sin ? ? ? x ?

? ? ? ?

? ?? ? ? ? ? ? ? ? 而非 sin ? ?x ? ? ? ? 。图像的变换问题, 2 2? ? ? ?

依据三角函数的图像的变换口诀“左加右减,上加下减”即可解决。 一般地,函数 y ? sin(? x ? ? ) 的图 象, 可以看作把曲线 y ? sin ? x 上所有点向左(当 ? >0 时)或向右(当 ? <0 时)平行移动 得到。 例 8. (2010·广东高考文科·T16)设函数 f ? x ? ? 3sin ? ? x ? 第 5 页(共 7 页)

? 个单位长度而 ?

? ?

??

? , ?>0 , x ? ? ??, ??? , 6?
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且以

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? 为最小正周期. 2

(1)求 f ? 0 ? ; (2)求 f ? x ? 的解析式; (3)已知 f ?

?? ? ? 9 ? ? ? ,求 sin ? 的值. ? 4 12 ? 5

【命题立意】本题考察三角函数的性质以及三角变换. 【思路点拨】 (2)由已知条件求出 ? ,从而求出 f ( x ) 的解析式; (3)由 f (

?
4

?

?
12

)?

9 3 4 ? cos ? ? ? sin ? ? . 5 5 5

【规范解答】 (1) f (0) ? 3sin(? ? 0 ? (2)? T ?

?

? ? ? 4 ,所以 f ( x) 的解析式为: f ( x) ? 3sin(4 x ? ). ? 2 6 ? ? 9 ? ? ? 9 ? 3 (3)由 f ( ? ) ? 得 3sin[4( ? ) ? ] ? ,即 sin(? ? ) ? 4 12 5 4 12 6 5 2 5
2? ?

?

6

) ? 3sin

?

3 ? . 6 2

,?

?

cos ? ?

3 , 5

3 4 ? sin ? ? ? 1 ? cos2 ? ? ? 1 ? ( )2 ? ? . 5 5

【方法技巧】三角函数的性质问题,往往都要先化成 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的形式再求解. 例 9. (2010·湖北高考文科·T16)已经函数

f ( x) ?

cos 2 x ? sin 2 x 1 1 , g ( x) ? sin 2 x ? . 2 2 4

(Ⅰ)函数 f ( x ) 的图象可由函数 g ( x) 的图象经过怎样的变化得出? (Ⅱ)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最小值,并求使 h( x) 取得最小值的 x 的集合。 【命题立意】本题主要考查三角函数式的恒等变换、图象变换以及求三角函数的最值,同时考查考生的运 算求解能力. 【思路点拨】(Ⅰ) 先将函数解析式等价变形为 y ? A sin(? x ? ? ) ? b 的形式,再与 g ( x) 的表达式对照, 比较它们的振幅、周期、相位等写出变化过程。 (Ⅱ)将函数 h( x) 变形为 y ? A sin(? x ? ? ) ? b 或 y ? A cos(? x ? ? ) ? b 的形式再利用正、余弦函数的图 象和性质求出最值。

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世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com 1 1 ? 1 ? ? sin 2( x ? ) ,所以要得到 f ( x) 的图象只需把 【规范解答】 (Ⅰ ) f ( x ) ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 4 ? 1 g ( x) 的图象向左平移 个单位长度,再将所得的图象向上平移 个单位长度即可。 4 4
(Ⅱ) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1 1 1 2 ? 1 cos 2 x ? sin 2 x ? ? cos(2 x ? ) ? , 2 2 4 2 4 4

当 且 仅 当 2x ?

?
4

? 2 k? ? ? ( k ? z ) 时 h( x ) 取 得 最 小 值

1? 2 2 ,此时对应的 x 的集合为 4

3? ? ? ?x ? k? ? , k ? z? 。 ?x 8 ? ?
【 方 法 技 巧 】 1 、 三 角 函 数 中 的 图 象 变 换 问 题 一 般 要 先 将 表 达 式 化 简 到 y ? A sin(? x ? ? ) ? b 或

y ? A cos(? x ? ? ) ? b 的形式(两函数所用三角函数要同名) ,然后再通过比较两函数的振幅、周期、相位
等写出变化过程。 2、三角函数中的最值问题一般要先借用同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数、 二倍角公式等化到 y ? A sin(? x ? ? ) ? b 或 y ? A cos(? x ? ? ) ? b 的形式,然后结合三角函数的图像和性 质求解。

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