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浙江省杭州市2013年高考数学二轮复习专题能力提升训练十五:选考内容 Word版含答案]


杭州附中三维设计 2013 年高考数学二轮复习:选考内容 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 要求的) 1.如图所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC =( ) 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共

60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

A. 15? 【答案】B 2.

B. 30?

C. 45?

D. 60?

2x ? 2 ? 2x ? 2 ? a 能成立,则实数 a 的取值范围是(
A.

) D.

? ??, ?4?

B.

? 4, ?? ?
a12 a 22 a32

C.

??4, ???

? ?4, ???

【答案】C

? a11 ? 3. 由 9 个互不相等的正数组成的矩阵? a 21 ?a ? 31

a13 ? ? 每行中的三个数成等差数列, 且 a11 ? a12 ? a13 、a21 ? a22 ? a23 、 a 23 ? 中, a33 ? ?
)

a31 ? a32 ? a33 成等比数列,下列三个判断正确的有(
①第 2 列 a12 , a22 , a32 必成等比数列 ②第 1 列 a11 , a21 , a31 不一定成等比数列 ③ a12 ? a32 【答案】A 4.不等式 | x+ 3 | + | x- 1 |≥ a A.[-1,4] C.[-2,5] 【答案】A 5.不等式 1 ?| x ? 1 |? 3 的解集为( A. (0,2) B. (-2,0)∪(2,4) C. (-4,0) 【答案】D 6.不等式 D. (-4,-2)∪(0,2) )
2

? a21 ? a23
B.2 个 C .1 个 D.0 个

A.3 个

-3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为(
B.(-∞,-2]∪[5,+∞) D.(-∞,-1]∪[4,+∞)

)

x ? 3 ? x ?1 ? a2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为(
[4, ??)
B. (??, ?2]

)

A. (??, ?1]

[5, ??)

C. [1, 2] 【答案】A

D. (??,1]

[2, ??)

7.如图,过点P作圆O的割线PBA与切线PE,E为切点,连接AE,BE,∠APE的平分线分别与AE、BE相交于C、D, 若∠AEB= 30 0 ,则∠PCE等于( )

A. 150 【答案】C

0

B. 75

0

C. 105

0

D. 60

0

? ?1 0 ? ? ? 0 2 ? ,则抛物线 y 2 ? ?4x 在这个变换下所得到的曲线的方程是( 8.若一个变换所对应的矩阵是 ?
A. y 【答案】D 9.已知 x,y ? R 且 x
2
2

)

? 4x

B. y

2

?x

C. y

2

? ?16 x

D. y

2

? 16 x

? y 2 ? 1 ,a,b ? R 为常数, t ? a 2 x 2 ? b 2 y 2 ? b 2 x 2 ? a 2 y 2 则(
B.t 有最大值无最小值 D.t 既无最大值也无最小值

)

A.t 有最大值也有最小值 C.t 有最小值无最大值 【答案】A

10. 如图, AB 是圆 O 的直径, P 是 AB 延长线上的一点, 过 P 作圆 O 的切线, 切点为 C, PC= 2 则圆 O 的直径 AB 等于( )

3 若 ?CAB ? 300 ,

A.2 【答案】B

B.4

C .6

D.

2 3
)

11.如图,A、B 是⊙O 上的两点,AC 是⊙O 的切线,∠B=70°,则∠BAC 等于(

A. 70°

B. 35°

C. 20°

D. 10°

【答案】C

? x? 2 ?t x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 ? 12.椭圆 ( t 为参数)的最大距离是( y?1 t 16 4 ? 2 ?
A. 3 【答案】D 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.若关于 x 的不等式 【答案】 B. 11 C. 2

?

)

2

D. 10

a ? x ?1 ? x ? 2

存在实数解,则实数 a 的取值范围是

.

? ??, ?3? ?3, ???
O 中,直径 AB 和弦 DE 互相垂直, C 是 DE 延长线上一点,连结 BC 与圆 O 交于 F ,若

14.如图,

?CFE ? 400 ,则 ?DEB ? ___________.

【答案】 40

o

15.如图过⊙0 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A,B,且 PB=7,C 是圆上一点使得 BC=5,∠BAC=∠APB,则 AB= .

【答案】

35


16.如图所示,圆 O 的直径为 6, C 为圆周上一点, BC ? 3 ,过 C 作圆的切线 l ,过 A 作 l 的垂线 AD ,垂 足为 D ,则 CD ?

【答案】

3 3 2

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程是 ?

?x ? t (t为参数) ,在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相 ? y ? 2t ? 1

同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos ? (I)求圆 C 的直角坐标方程; (II)求圆心 C 到直线 l 的距离。 【答案】 (1)圆 C 的直角坐标方程是 x
2

+y 2 -2 x=0 ;

(2)圆心 C 到直线 l的距离d =

3 5 。 5

? 1 3 ? ?? 4 4 ? 18.已知矩阵 A 的逆矩阵 A?1 ? ? ? ,求矩阵 A 的特征值. ? 1 ? 1? ? 2? ? 2 ?
?1 ?1 【答案】∵ A A = E ,∴ A = A

?

?

?1



? 1 3 ? ?? 4 4 ? ?1 ? 2 3? ∵ A?1 ? ? ? ,∴ A = ? A?1 ? ? ? ?。 ?2 1 ? ? 1 ? 1? ? 2 ? 2? ?
∴矩阵 A 的特征多项式为 f ? ? ? = ?

?? ? 2 ? 3 ? 2 =? ? 3? ? 4 。 ? ?1 ? ? ?2 ?

令 f ? ? ? =0 ,解得矩阵 A 的特征值 ?1 = ? 1 ,?2 =4 。 19.设函数 f ( x) ?| 2 x ? m | ?4 x 。 (1)当 m ? 2 时,解不等式: f ( x ) ≤1;

(2)若不等式 f ( x) ? 2 的解集为 {x | x ? ?2} ,求 m 的值。 【答案】 (1)当 m ? 2 时, f ( x) ?| 2 x ? 2 | ?4 x ,原不等式化为 | 2 x ? 2 | ?4 x ? 1 。

∴?

?x ? 1 ?x ? 1 1 或? ,即 x ? ? 。 2 ?2 x ? 2 ? 4 x ? 1 ?2 ? 2 x ? 4 x ? 1
1 2

综上,原不等式的解集为 {x | x ? ? } 。

m ? 6x ? m (x ? ) ? m m m ? 2 (2) f ( x) ? ? , 因为函数 f ( x ) 在 ( ??, ) 上为增函数, 在 [ , ?? ) 上为增函数, 且在 x ? 2 2 2 ?2 x ? m ( x ? m ) ? ? 2
时, 函数是连续的, 所以, 函数 f ( x ) 在 (??, ??) 上是单调递增的。 若不等式 f ( x) ? 2 的解集为 {x | x ? ?2} ,

m ? ?2 , 2 ? (?2) ? m ? 2 ,此时 m ? 6 ; 2 m 若 ? ?2 , 6 ? (?2) ? m ? 2 ,此时 m ? ?14 。 2
若 所以, m ? 6 或 m ? ?14 时,不等式 f ( x) ? 2 的解集为 {x | x ? ?2} 。 20.如图, AB 是圆 O 的直径, D, E 为圆上位于 AB 异侧的两点,连结 BD 并延长至点 C ,使 BD ? DC ,连 结 AC , AE , DE . 求证: ?E ? ?C .

【答案】连接 AD 。

∵ AB 是圆 O 的直径,∴ ?ADB ? 90 (直径所对的圆周角是直角) 。 ∴ AD ? BD (垂直的定义) 。
0

又∵ BD ? DC ,∴ AD 是线段 BC 的中垂线(线段的中垂线定义) 。 ∴ AB ? AC (线段中垂线上的点到线段两端的距离相等) 。 ∴ ? B ? ? C (等腰三角形等边对等角的性质) 。 又∵ D, E 为圆上位于 AB 异侧的两点, ∴ ?B ? ?E (同弧所对圆周角相等) 。 ∴ ?E ? ?C (等量代换) 。 21.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 方程为 ?

? x ? 5cos ? (? 为参数) ? y ? 3sin ?

(Ⅰ)求过椭圆的右焦点,且与直线 ?

? x ? 4 ? 2t (t 为参数)平行的直线 l 的普通方程。 y ? 3 ? t ?

(Ⅱ)求椭圆 C 的内接矩形 ABCD 面积的最大值。 【答案】 (1)由已知得椭圆的右焦点为

? 4, 0? ,已知直线的参数方程可化为普通方程: x ? 2 y ? 2 ? 0 ,所以

k?

1 ,于是所求直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 2

(2) S

? 4 xy ? 60sin ? cos ? ? 30sin 2? , 当 2? ?

?
2

时,面积最大为 30

a11 a12? a11 a12? 的符号称二阶行列式,现规定? ?a21 a22?=a11a22-a12a21. a21 a22? π cos 1 4 试计算二阶行列式 的值; π 1 cos 3 22. (1)将形如? ?

? ? ?

? ? ?

(2)已知 tan?

1 sin 2? ? 2 cos2 ? ?? ? ?? ? ? ? ,求 的值 。 2 1 ? tan? ?4 ?
1

【答案】 (1)由题中规定的运算法则得:

cos 1
(2)

?
4

cos
2 5

?
3

=cos

π π 2 cos -1= -1 4 3 4


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