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第十八届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答


6 0  

数 学通报 

2 0 1 5年  第 5 4卷  第 2期 

第十八届北京高中数学知识应  用竞赛初赛 试题及参考解答 




( 满分 2 O分 ) 一 片 枫 叶 紧 紧地 嵌 在 一 个 矩  为  , 修 建 的 圆形 防火 带的半 径 R

不 小 于火 势 蔓延 
因 为  R 一 4 v t , r — v ( t 。 +  ), 当面积取 S 时, R 

形 框 内部 , 即矩 形 的各 边上 都 有 枫 叶 边 缘 上 的点 ,   的 圆的 半径 , - .   如 右 图. 假设 这 个 矩形 框 的每 一 条 边 都 可 以伸 缩 ,   令 枫 叶 不动 , 矩 形 框转 动 , 依靠 框 的 伸缩 始 终 保 持  这 片枫 叶 紧紧地嵌 在 它 的内部 , 而框 始终 是矩 形 .  

—r , 即  所 

一 ( £ 。 +£ ), 得  一丌 R  一  (  
7 c  

,   )  一 
一  

请说 明, 存 在 一 个 转 
动位置, 这 时 的 这 片枫 叶 

恰 紧 紧地嵌 在一个 正 方 形 
的 内部 .   解 设 转 动 前 的 矩 形  的 长和 宽 的 长度 分 别 为 a  
和 b.  

一 


.  

( 2 ) N为 f : 

≈3 . 6 5 t 。 , 不难得 出, 如果( 1 )  

的方案 是从 A 处 开始修 建 , 那么, 向 失 火 点 方 向 靠 

近 一 点 儿 取 点 B( 比 如 AB 一 1 . 5 t 。 , 如 右 图) , 从 这 

点向 垂直 于 AB 的两 边修 建 , 至 C、 D后 , 再 修 建 

若a —b 一0, 这 个矩 形就是 正 方形.  

圆弧 形 , 即整 个 防火 带围成 的形状 比 圆少 了一个 弓  
形 , 面 积 缩 小 了.  

若a 一6 ≠0 , 不妨设 a 一6 <0 . 在矩 形 转 动 时 , a  


b的 值 也 会 随 之 变化 . 当旋 转 9 0 。 后, 得 到 的 矩 形 

( 缩小 面积 的 方案 很 多, 只要 计 算 无 误 即算 正 
确 )  

和 最初 的矩 形 重合 , 但 a 一6 > 0 了. 即n —b的 值 是 

在[ O ,9 O 。 ] 上 的 转 动 角 0的 连 续 函 数 , 设 a —b — 

三、 ( 满分 2 O分 ) 广 发 银 行 推 出 一 款 理 财 产 品 

广发银行 薪 满益 足 1 4 0 9 2 5版 网 银 专 属 版 ” , 4 2   f(  ) , 于是 , /   ( 0 ) < 0, . 厂( 9 0 。 ) > 0, 由 函 数 的 零 点 存  “

投 资起 点 5 0 , 0 0 0元 , 高 于投 资起 点金额 部 分 应  在 定理 可知 , 在 上述 转动 中, 一 定 有一 个位 置  , 使  天 , 0 0 0元 份 整 数 倍 . 销售 费率 0 . 1 0   一0 . 3 O   ,   ,( 0 o ) 一0 , 即 a— b一 0, 这 时 的 矩 形 框 就 是 正 方 形  为 1

. 0 3  . 年化 收益 率 预计 为 5 . 3 5   , 发售  框. 从 而这 片枫 叶恰 紧紧地嵌在 一 个正方形框 内部.   托管 费率 0 0 1 4年 9月 2 4日至 2 0 1 4年 1 0月 7日, 收 益  二、 ( 满分 2 O分 ) 野外 失火 , 火势 以失火点 为 中   期为 2
0月 8日, 收 益 终 止 日期 为 1 1月 l 9   心, 匀 速 的 向 四周 呈 圆形 蔓 延. 在 火情 发 生 t 。 时 间  起始 日期 为 1 单 利计 算利 息. 理财 产 品 中途 若取 出 , 则 按 银 行  后, 消 防队员 发现 火情 , 随 即迅 速开始 修 建 防火带 .   日, 收益 公式 :   ( 1 ) 消 防队员 修建 的 防火 带是 以失火 点 为 圆心  活期 利 率计算 利息 . 的圆 , 从 该 圆上 的某一 点 同时 向这点 的 两侧分 别 以   火 蔓延 的速 度 的 4倍 修建 防火 带 , 求 防 火带 围成 的 
最 小面 积 S .   理 财收益 一 申购本 金 x理 财 产 品 实 际 年 化 收 

益 率 x 型 磐 
其中, 实 际年化 收益 率 一年化 收 益率 一销 售 费 
率 ~托 管费率 .   示例: 理 财 本 金 为 5万 元 , 实 际 理 财 天 数 为 

( 2 ) 再 给 出一 个 修 建 防  火 带 的 方 案 ?使 防火 带 围 成 
的 面 积 比 S小 .   解  ( 1 ) 设 修 建 防 火 带 

1 9 7天 , 理 财产 品到 期 实 际 年 化 收 益 率 为 5 . 7 0 V o ,  
则投 资 者 的 理 财 收 益 一 5 0 0 0 0   x   5 . 7   x   一  

的 时间为 t , 火 势 的 蔓延 速度 

2 0 1 5年  第 5 4卷  第 2期 
1 5 38 . 22 兀 .  

数 学通报  7日年 化收 益率 (   ) 一 

6 1  

华 夏基 金公 司 推 出一 款货 币 型基 金“ 华 夏 财 富  宝” , 该基金 的 收益 分配 是按 日结转 份 额 的 , 每 日收  益 支付 方 式 只 采 用 红 利 再 投 资 ( 即 红 利 转 基 金 份 

{ [ ( 1 +   ) × . . ? × (   +   ) ] 。 。   }  。 %  
其中, R   为最 近第 i 个 自然 日( 包 括 计算 当 日)  

每万 份基 金净 收益 采用 四舍  额) 方式 . 该 货 币型基 金 除去 法定休 息 日外 , 随 时 可  的每 万份 基金 净 收益. 7日年化 收 益 率 采用  以 申购 和赎 回 , 没 有 时 间 的 限制 . 一般 规 定 在 交 易  五入 保 留至小 数点 后第 4位 ,
日的 1 5 : O 0前赎 回 , 资金 到 帐 为 2个 交 易 H( T+2   四舍 五人 保 留至百 分号 内小 数点 后第 2位 . 表 1 为 

0 1 4年 1 0月 8日至 1 1月 1 8日“ 华 夏财 富宝 ” 的日   日) . 日每万 份基 金 净 收 益 和 7日年 化 收 益率 的计  2
算方 法 如下 :   H每万 份基 金净 收益 
= =  —

每 万份 基 金净 收益 和 7日年 化收 益率 .  

E   当 l   日 基 l }   金 l { 份 i   额 总 额  … ×   。 … 。 。   。  
表 1  

日每 万  日期  份 基 金 

7日年  化 收  日期 

日每 万  份 基 金 

7日年  化 收  日期 

日每万  份 基 金 

7日年  化 收 

净 收 益 
2 O 1 4 —1 O 一8  
2O1 4— 1 O一 9  
2 O14— 1 O一 1 O  

益 率 
4 . 3 7 % 
4.3 7  
4 .3 7  

净 收益 
2 O 1 4 一l 0 —2 2  
2O1 4— 1 O一 2 3  
2O1 4— 1 O一 2 4  

益 率 
4 . 3 7  
4 .3 8  
4 .3 9  

净 收益 
2 O 1 4 —1 】 一5  
2 O1 4一 】1 — 6  
2 O1 4— 11 ~ 7  

益 率 
4 . 3 2  
4. 31  
4. 3O  

1 . 1 9 6 8  
1 . 161 7  
1 . 16 5 O  

1 . 1 8 3 1  
1 .1 8 68  
1 .1 8 20  

1 . 1 5 1 9  
1 .1 4 49  
1 .1 4 78  

2 O1 4 一1 0 一i i  
2 O1 4— 1 O一 1 2   2 O1 4一 l O一 】 3   2 0l 4一 l O一 1 4   2 O1   4— 1 O一 1 5  

1 . 1 6 2 5  
1 . 16 23   1 . 17 45   1 . 16 77   1 .16 83  

4 . 3 6  
4.3 6   4.3 6   4.3 6   4. 35  

2 O 1 4 —1 O 一2 5  
2O1 4— 1 O一 2 6   2O1 4— 1 O一 2 7   2O1 4— 1 0— 2 8   2O1 4— 1 0— 29  

1 . 1 8 2 6  
1 .1 8 25   1 .1 9 31   1 .1 3 58   1 .1 8 68  

4 . 3 9  
4 .3 9   4 .4 2   4 .3 9   4 .4 O  

2 O 1 4一 l 1 —8  
2 O1 4— 1l 一 9   2 Ol 4一 l1 — 1 O   2 O1 4一 ¨ 一 1 1   2 O1 4一 l 1一 l 2  

1 . 1 4 7 1  
1 .1 4 70   l _1 4 81   1 . 52 58   1 . 3 461  

4 . 3 O % 
4. 29   4. 29   4. 48   4. 59  

2 0 1 4— —1 0— —1 6   2 O 1 4—1 O一 1 7  
2 Ol 4— 1 O一 1 8   2 O1 4— 1 O一 1 9  

1 . 1 6 4 9   1 . 1 7 5 5  
1 .17 4 9   1 _ 1   7 4 8  

4 . 3 5   4 . 3 6  
4. 36   4. 37   0   o  

2 O 1 4 —1 O 一3 O   2 O 1 4 —1 O 一3 1  
2O1 4— 11 — 1   2O1 4一 l1 — 2  

1 . 1 7 6 7   l _ 1 5 6 4  
1 .1 5 55   1 .1 5 5 4  

4 . 3 9   4 . 3 8 % 
4. 36   4. 35  

2 O 1 4 一l 1 —1 3   2 O l 4 一】 l 一1 4  
201 4一 】l 一 1 5   2O1 4— 1 1— 1 6  

1 . 2 6 O O   1 I   1 4 9 1  
1 . 1 473   1 . 1 471  

4 . 6 5 %  4 . 6 5 % 
4 .65   4 .65  

2 O 1 4 —1 O 一2 O  
2 O 1 4 —1 O 一2 1  

1 . 1 4 6 7  
1 . 1 8 1 7  

4 . 3 5  
4 . 3 6  

2 O 1 4 一l 1 —3  
2 O1 4 一l 1 —4  

l _ 1 6 O 2  
l _ 1 6 2 O  

4 . 3 3 % 
4 . 3 4  

2 O 1 4 一l 1 —1 7  
2 O 1 4 —1 1 —1 8  

1 . 1 4 8 6  
1 . 1 4 9 6  

4 . 6 5 % 
4 . 4 5 % 

投 资 人 手上 恰 有 1 O万 块 钱 , 1 O月 8 日至 1 1   月 1 9日期 间想 进行 投资 , 请问:  

0 . 3 0   时, 收 益 为 

1 0 0 0 0 0   X( 5 . 3 5   X 一0 . 3   一0 . 0 3   )×丽 4 2  
— 57 7 . 64 .  

( 1 ) 为 了获 得 最 大 收 益 . 投资人是投资“ 广 发 
银行 薪 满益 足 1 4 0 9 2 5版 网银 专 属 版 ” 还是 “ 华 夏  财 富宝 ” ?两 种 投资 的差 额 为多少 ?   “ 华夏 财 富宝” 复利计算利息, 投资 4 2天 , 收 
益 为 

( 2 ) 投 资人 想尽 可能 地保 持资 金 的流动 性 ( 保 
证尽 可 能 多 的资金 随 时可 用 ) , 那么 1 0万 块 对 两 

种产 品 如何 配 置 , 能 使 得 获得 的 收益 介 于 两 者 中 
最高 收益 的 9 5   与最小 收益 的 1 1 O  之间?   解  ( 1 ) “ 广 发银 行 薪 满益 足 1 4 0 9 2 5版 网银 


1 0 0 0 0 0  ̄   (   +   ) ? (   +   )  
?

(   +   ) 一 1 ] = 4 9 6 . 5 7 .  

因此投 资“ 广发 银行 薪满益足 1 4 0 9 2 5版 网银 
专属 版” 收 益高.  

专属 版 ” 单利 计 算利 息 , 投资 4 2天 , 当销 售 费 率 为  

6 2  
二 者 比较 , 差额 为 8 1 . O 7元 .  

数 学通报 

2 0 1 5年  第 5 4卷  第 2期  为保 证药 品从 储 药 格 内顺 利 取 出 , 要 求 放 入 

( 2 ) 获得 的收 益介 于两 者 中最 高收 益 的 9 5  
和 最小收 益 的 l l 0   之 间, 即为收益小于 5 7 7 . 6 4  
×0 . 9 5— 5 4 8 . 7 5 8 元 ,大 于 4 9 6 . 5 7× 1 . 1 — 

药盒 后 , 储 药格 内 留有 不 小 于 2 mm 的横 向问 隙 ,  

同时还 要求 药 盒在储 药格 内放 置 时不会 出 现并 排 
重叠( 一个格 内不 能 放 两 个 药 盒 ) 、 药 盒 不 能 在 格  内侧 翻或 水 平 旋 转. 假设 药 盒 的 长度 > 宽 度 > 厚 

5 4 6 . 2 2 7元. 设 分 别投 资 “ 广 发 银 行 薪 满 益 足 
1 4 0 9 2 5版 网 银 专 属 版 ” 和“ 华夏 财 富 宝 ”   、 J I 7 。 元,  
列 方 程 为 

度, 并 且药 盒在 格 内放 置 时要 求 ( 长 ×宽 ) 面 在 左 
右, ( 宽 ×厚 ) 面 在 前后 , ( 长 x厚 ) 面在 上 下. 为 方 

f 5 4 6 . 2 2 7 <  ? ( 5 . 3 5   9 / 6 一 o . 3   9 / 6 一 o . o 3 % ) ×  

便 储 药柜 的制 造 , 储 药格 的宽 度类 型越 少越 好.  
不 同尺寸 的药 盒 种 类 有 成 百 上千 种 . 表 2所  列 的仅仅 是 2 O个不 同的样 品.   请你 就这 2 0种 药盒 尺寸 规格 , 给 出能 够存 放  这些 药盒 , 且满 足 上述 要 求 的 储 药格 宽 度 类 型最 

j  ?  + i  ) ? (   +   )   1 . . - . ? (   +  ) 一   ] <   .   s 8   } l    


+ 2 —1 0 00 0 0  

少 的设计 方案 ( 无需 考虑 存放 药 盒 的数 量 多少 ) .  
解  药 盒 的 长 , 宽, 厚 分 别 为记 为 , 6 / , b ,   则  
有 a >b >c .  

解得 6 1 2 4 5 . 7 2 <x 。 <6 4 3 6 7 . 4 0 , 但 由 于 高 于  投 资起 点金 额部 分应 为 1 0 0 0元 份 整 数 倍 , 因 此 分  别投 资“ 广发银行 薪满益足 1 4 0 9 2 5 版 网 银 专 属  版” 和“ 华夏 财 富 宝” 6 2 0 0 0元 和 3 8 0 0 0元 , 6 3 0 0 0  
元和 3 7 0 0 0元 , 或 6 4 0 0 0元 和 3 6 0 0 0元 .  

假 设 用 d 表 示 出药 槽 内 竖 隔 板 之 间 的 宽 度 .   欲 使 药 盒 在 格 内放 置 时 不 会 出现 并 排 重 叠 ,  
必 须 有  c < d< 2 c   ( 1 )  

四、 ( 满分 2 0分 ) 储 药 柜 的结 构 类 似 于 书 橱 ,   从l 卜 到 下有若 干层 横 向隔 板 , 每 一层 称 为一 个储  药 槽. 每 个储 药槽 内用 竖  向隔板 隔开 , 形成 若干 个  存 放药 盒 的储 药 格. 一 个  储 药 槽 内 只能 摆 放 同 一  种 药 品. 右 图为并 排 的三  个 储药 柜.  
表 2   ( 度量单位 : mm)  

欲使 药 盒不 能在格 内侧 翻 , 必须 有 
<、 / / 6   +f 。   ( 2 )  

欲使 药盒不 能在格 内水平 旋转 , 必须 有 
< √“ 。 +f   ( 3 )  

由( 1 ) 、 ( 2 ) 、 ( 3 ) , 隔 板 之 间 的 宽 度 必 须 满 足 

( - <d <r ai n { 2 1 - , ̄ /   +c 。 ,、 / / Ⅱ   +f   }  

( 4 )  

由 于 &≥ b , 故有  ̄ / 6   +f 。 ≤ ̄ / n   +( 一 . 再由  
( 4 ) . 得c <d <mi n { 2 c , ̄ / 6   +C 。 }( *)  

药 盒  药 盒  编 号  长 度  宽 度  厚 度  编 号  长 度  宽 度  厚 度 
l   2   3   4   5   6   l 2 0   1 25   l 25   9 l   1 2 5   l 2 0   7 6   72   76   7l   7 2   8 5   2 4   2 0   21   】 5   21   2 O   11   l 2   1   3   1   4   1 5   1   6   95   1 08   95   1 34   95   85   5 5   62   5 5   7 6   55   46   33   l 8   33   20   33   46  

当6 ≥√ 3 f时 , 有 ̄ / 6   +C 。 ≥2 c . 由(*) , 隔板 
之 间 的宽度 应取 2 c .  
表( 2 )   储 药 格 宽 度 
l 4 . 1 +2  
2 0 .0+ 2  

度 遣 单位 : mr i 1  

存 储 药 盒 的厚 度 
1 O . O一 ? 1 4 . 1  
l 4 .1 一一 20 .0  

2 8 . 2 +2  
40 .0  一 2  

2 O . O… 2 8 . 2  
28 .2 — 40 . 0  

7  
8   9   1 0  

1 17  
7 8   1 l7   7 4  

3 7  
65   5 6   47  

2 6  
2 0   5 6   4 0  

17  
1 8   1   9   2 0  

1 2 5  
1 1 6   l OO   1 3 l  

7 5  
7 6   1O O   7 7  

33  
1 6   1 0   38  


5 6 .4+ 2  

i 0 .0— 56 . 4  

当c ≤6 ≤√   时, 有2 c ≥ 

+ _  ≥ ̄ /  
( 下转封底 )  

 ̄ 厂  . 由( *) , 隔板之 间 的宽度 , aa , - 4  ̄ - c .  

9 0 0 2 8 X  
2  2 0 1   5 54,00


的 内角分 别 为 A, B, C, 求证 :  
CD


DE


EF 
一  



 

‘  

( 河南 省辉 县市 一 中  贺基 军
c os A    l C O S B  l  

4 5 3 6 0 0 )  

2 2 3 0 已知△ABC为锐角 三角 形 , 求证 :  
C O S C  C OS BC O S C ’C OS Cc os A ’c os AC OS B 

2 2 2 9 如图, 设 0为 △AB C 的外 心 , G, D 分 别 为  两边 AB, AC的中点 , E为直 线 C O 与线段 GD 的  交点 , F为直 线 D0 与线 段 G B 的 交点 , 记△ABC  

≥ 3   1  
宿 晓 阳  6 1 0 0 3 1 )  

1  

1  )   ( 1 )  

( 四川 I 成 都金 牛 西 林 巷 1 8号 华 鑫 园 A6 0 1  

( 上接 第 6 2 页)  

D a r l i n g t o n在研 究 这组数 据 时注 意到 , 当他 除掉 3  
个 岛屿 的数 据之 后 , 剩 下 的数 据 近 似 地 有一 定 的  规律 , 见表 4 . 为方便探索 , 表 中增 加 了一 组 虚 拟  的数据 ( 用括 号标 出 ) .  
表 4  

综上, 隔板之 间 的宽度 应取√ 2 c .  
这表 明 , 在 满足 不会 出现 并排 重 叠和侧 翻 、 或 

水平旋 转 的 条 件 下 , 隔板 宽度 为√ 2   c 。 + 2的储 药  
格 内 可 以 存 放 的 药 盒 厚 度 f的 范 围 是 f 。 ≤C ≤ 

近 似 面积 mi  
c  .  

物种 ( 近似 )   物种 ( 实际)   指标 k  
5   1 0   5   9   O   1  

由表 2 可 知 , 药盒 的厚 度 分布在 l O mm 至 
5 6 mm 之 间 , 于是 , 最 少需要 五种 间 隔 , 见表 ( 2 ) .  
表3  

4   4 0  

( 40 0)  

( 2 O)  
4 O   39  

2  
3  

岛屿  雷 东 达 岛 

面积( mi )   l  

物 种  3  

4 000  

4 00 00  

8 O  

76— 84  

4  

萨 巴 岛 
蒙 特 塞 拉特 岛  特 立 尼 达 岛  波 多 黎各 岛  牙 买 加 岛 
海 地 岛 

4  
4 O   2 O O O   3 4 O 0   4 5 O O  
3 0 0 0 0  

5  
9   8 0   4 0   3 9  
8 4  

请你 使用 这些 数 据分析 安 的列斯 群 岛各 岛 的 
生 物种 的数 量随 这个 岛屿 面积 而变 化 的规律 .  

解  如 果 用 A 表 示岛屿 的 面积 , 用 s表 示物  种 的数 量 , 则 岛屿 的面 积就 可记 作 A一4 ×1 0   , 类 
似的, 相 应 的 物 种 的 数 量 为 S= = = 5×2   .   为 了寻 找 S与 A 的 关 系 , 先 将 A一 4× 1 0  变 
形 为 A  一1 0   , 两边取 对数 , 得 矗一 l g   A


古 巴 岛 

4 0 0 0 0  

7 6  



2 — 

1 0  , 于 是 S一 5× 2  = = = 5 ( 1 0   g 。 )   一5 ( 1 0   )   g 。 = 

五、 ( 满分 2 o分 )为 了 研 究 岛 屿 上 生 物 种 数 

量 与 岛屿 覆盖 面 积 的大 小 的关 系. 生 物学 家 Da r —  
l i n g t o n   1 9 5 7年调 查 了位 于加 勒 比海 的安 的 列斯  群 岛各 岛屿 的面 积和 岛上 的两栖 动 物和爬 行 动 物 

5 (   一 ( 嘉  _ 3 . 2 9 A l g   _ 3 _ 2 9  .  
即物种 的数 量 是 岛屿 的 面 积 的 函数 , 其 表 达 
式 是  S一 3 . 2 9 A  .  

的种数 , 见表 3 ( 表 中 的面 积 的单 位 为 平方 英 里 ) .  
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