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大高考2017版高考数学一轮总复习第8章立体几何初步第1节空间几何体的结构及其三视图与直观图模拟创新题理


【大高考】2017 版高考数学一轮总复习 第 8 章 立体几何初步 第 1 节 空间几何体的结构及其三视图与直观图模拟创新题 理
一、选择题 1.(2016·广东广州二模)如图,圆锥的底面直径 AB=2,母线 VA=3,点 C 在母线 VB 上,且

VC=1,有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点 A 爬到点 C,则这只蚂蚁爬行的最短路程是(

)

A. 13 C. 4 3 3

B. 7 D. 3 3 2

解析 由题意,圆锥的从 VA 到 VB 的部分侧面展开图为如图所示的扇形,半径为 3,圆 π π 2 心角为 ,连接 AC,在△VAC 中,因为 VC=1,∠V= ,VA=3,所以由余弦定理得 AC 3 3 1 2 2 =3 +1 -2×3×1× =7. 2 ∴AC= 7,即蚂蚁爬行最短路程为 7,故选 B.

答案 B 2.(2015·山东莱芜模拟)如图放置的六条棱长都相等的三棱锥,则这个几何体的侧视图是 ( )

A.等腰三角形 C.直角三角形

B.等边三角形 D.无两边相等的三角形

解析 ∵六条棱长都相等的三棱锥, 它的侧视图是如图所示的等腰三角形(AC=AB), 故选 A.

1

答案 A 3.(2014·北京海淀二模)一个锥体的主视图和左视图如图所示, 下面选项中, 不可能是该锥 体的俯视图的是( )

解析 由于 C 选项不符合三视图中“宽相等”的要求,故选 C. 答案 C 二、填空题 4.(2016·河北唐山模拟)在三棱锥 P-ABC 中,PB=6,AC=3,G 为△PAC 的重心,过点 G 作三棱锥的一个截面,使截面平行于 PB 和 AC,则截面的周长为________. 解析 过点 G 作 EF∥AC,分别交 PA、PC 于点 E、F,过 E、F 分别作 EN∥PB、FM∥PB,分 别交 AB、BC 于点 N、M,连接 MN,则四边形 EFMN 是平行四边形(面 EFMN 为所求截面),且

EF=MN= AC=2,FM=EN= PB=2,所以截面的周长为 2×4=8.
答案 8 5.(2014·日照一中月考)如图, 用斜二测画法得到四边形 ABCD 是下底角为 45°的等腰梯形, 其下底长为 5,一腰长为 2,则原四边形的面积是________.

2 3

1 3

解析 作 DE⊥AB 于 E,CF⊥AB 于 F,则 AE=BF=ADcos 45°=1,∴CD=EF=3.将原图 复原(如图),则原四边形应为直角梯形, ∠A′=90°,A′B′=5,C′D′=3,A′D′ 1 =2 2,∴ S 四边形 ABCD= ×(5+3)×2 2=8 2. 2

2

答案 8 2 创新导向题 利用简单几何体的三视图求有关棱长问题 6.某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则 xy 的最大值为( )

A.32 C.64

B.32 7 D.64 7

解析 由三视图知三棱锥如图所示,底面 ABC 是直角三角形,AB⊥BC,PA⊥平面 ABC,BC =2 7,PA +y =10 ,(2 7) +PA =x , 因此 xy=x 10 -[x -(2 7) ]=x 128-x ≤
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2+(128-x2)
2

=64, 当且仅当 x =128

2

-x ,即 x=8 时取等号,因此 xy 的最大值是 64,选 C.

答案 C 专项提升测试 模拟精选题 一、选择题 7.(2016·天津新华中学月考)如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图,则该几何体的 体积是( )

A.24

B.12
3

C.8

D.4

解析 由三视图可知,该几何体由两个相同的直三棱柱构成,三棱柱的高为 4,三棱柱的 3 1 3 3 底面三角形为直角三角形,两直角边分别为 2, ,所以三棱柱的底面积为 ×2× = , 2 2 2 2 3 所以三棱柱的体积为 ×4=6.即该几何体的体积为 2×6=12,故选 B. 2 答案 B 8.(2015·福建莆田模拟)某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角 形,俯视图是半径为 1 的半圆,则其侧视图的面积是( )

A.

1 2

B.

3 2

C.1

D. 3

解析 由三视图可以得到原几何体是以 1 为半径, 母线长为 2 的半个圆锥, 故侧视图的面 积是 3 ,故选 B. 2

答案 B 二、填空题 9.(2016·云南师大附中模拟)如图是一几何体的三视图,则该几何体的体积是________.

解析 由三视图知该几何体是一个四棱锥,其体积

V= × ×(2+4)×3×3=9.
答案 9 10.(2016·河南洛阳统考 ) 如图是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为 ________.
4

1 3

1 2

解析 由三视图知,该几何体可以由一个长方体截去 4 个角后得到,此长方体的长、宽、 高分别为 5、4、3,所以外接球半径 R 满足 2R= 4 +3 +5 =5 2,所以外接球的表面积 为 S=4π R =4π ×?
2 2 2 2

?5 2?2 ? =50π . ? 2 ?

答案 50 π

三、解答题 11.(2014·北京大兴一模)用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台的上、下底 面的面积之比为 1∶16,截去的圆锥的母线长是 3 cm,求圆台的母线长. 解 由圆台的上、下底面的面积之比为 1∶16,设圆台上、下底面圆的半径分别为 r、4r, 3 r 圆台的母线长为 l,根据相似三角形的性质得 = ,解得 l=9(cm). 3+l 4r 所以圆台的母线长为 9 cm.

创新导向题 利用几何体的三视图求其体积问题 12.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

3π A.27- 2 C.27-3π

3π B.18- 2 D.18-3π

解析 由三视图可知原几何体可以看成底面为等腰梯形的直四棱柱挖去了半个圆柱, 所以

5

1 1 3π 2 体积为 ×(2+4)×2×3- π ×1 ×3=18- .故选 B. 2 2 2 答案 B

6


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