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龙泉中学2012届高三五月第一次月考数学(理)


龙泉中学2012届高三年级5月月考

数学(理科)试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。

7.某电视台曾在某时间段连续播放 5 个不同的商业广告,现在要在该时间段新增播一个商业广告与 两个不同的公益宣传广告, 且要求两个公益宣传广告既不能连续播

放也不能在首尾播放, 则在不改 变原有 5 个不同的商业广告的相对播放顺序的前提下,不同的播放顺序共有 ( ) A. 60 种 B. 120 种 C. 144 种 D. 300 种

x ? 1 ? yi ,其中 x, y 是实数, i 是虚数单位,则 x ? yi 的共轭复数为( 1.已知 1? i A. 1 ? 2i B. 1 ? 2i C. 2 ? i D. 2 ? i
2.如图中程序运行后,输出的结果为( A. 3 43 B. 43 3 ) C.-18 16 D. 16 -18



? x ? 3 y ? 4 ? 0, ? 8.已知约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0, 若目标函数 z ? x ? ay (a ? 0) 恰好在点(2,2)处取得最大值,则 a ?3 x ? y ? 8 ? 0, ?
的取值范围为 A. 0 ? a ? ( ) B. a ?

x ? ?1 y ? 20 IF x ? 0 THEN x ? y?3 ELSE y ? y ?3 END IF PRINT x ? y ; y ? x END
3.已知空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的各侧面图形中,是直角三角形的有( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 4.下列四个判断: ①若集合 A ? {0 , m2 } , B ? {1 , 2} ,则“ m ? 1 ”是“ A ? B ? {0 , 1 , 2} ”的充要条件; ② 10 名工人某天生产同一零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12, 设其平均数为 a , 中位数为 b ,众数为 c ,则有 c ? a ? b ; ③命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题; ④已知 ? 服从正态分布 N (0 , ? ) ,且 P(?2 ? ? ? 0) ? 0.4 ,则 P(? ? 2) ? 0.2 . 其中正确的个数有: ( ) 0个 1 个 C. 2 个 D. 3 个 A. B.
2

1 3

1 3

C. a ?

1 3

D. 0 ? a ?

1 2
4 ,则动点 P 的轨迹为 9

9.下列四个命题中不正确的是( ) ...
2 主视图 侧视图

A.若动点 P 与定点 A(?4, 0) 、 B(4, 0) 连线 PA 、 PB 的斜率之积为定值 双曲线的一部分;

B.设 m, n ? R ,常数 a ? 0 ,定义运算“ ? ” m ? n ? (m ? n) 2 ? (m ? n) 2 ,若 x ? 0 ,则动点 :

2 2 俯视图

P( x, x ? a ) 的轨迹是抛物线的一部分; C.已知两圆 A : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,圆 B : ( x ?1)2 ? y 2 ? 25 ,动圆 M 与圆 A 外切、与圆 B 内切,则
动圆的圆心 M 的轨迹是椭圆; D.已知 A(7,0), B(?7,0), C (2,?12) ,椭圆过 A, B 两点且以 C 为其一个焦点,则椭圆的另一个焦点 的轨迹为双曲线.

? 1 x?2 x ? ?1 ? ( ) 10. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且 x ? 0 时, f ( x) ? ? , e ? f ( x ? 1) ?1 ? x ? 0 ? 若 f ( x) ? x ? a 对于任意 x ? R 恒成立,则常数 a 的取值范围是 ( ) 1 1 ( A. ? ?, ? 2] B. (??, ?2] C. ( ??, ? 1] D. (??, ?1] e e
二、填空题:本大题共 6 小题,共需作答 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案填在答题卡对 应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱俩可均不给分。 (一)必考题(11-14 题)

5.函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?

6 列,要得到函数 g ( x) ? A cos ? x 的图象,只需将 f ( x ) 的图象 ( ) 2? 2? ? ? A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向右平移 3 3 6 3 6.已知数列 an ? 2n(n ? N*) ,把数列 {an } 的各项排列成如图所示的三角形数阵。记 M (s, t ) 表示 该数阵中第 s 行的第 t 个数,则数阵中的 2012 对应于( )
A. M (45,16) C. M (46,16) B. M (45,26) D. M (46,26)

) (? ? 0) 的图象与 x 轴的交点的横坐标构成一个公差为

? 的等差数 2

11.函数 f ( x) ?

4 ? x2 的定义域为 1 ? log 1 x ? tan x
2

.

12.如图所示, 在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内, 曲线 y ? x 2 和曲线 y ? x 围成一个叶形图(阴影部分) ,向正方形 AOBC 内随机投一点(该点落在正方形 AOBC 内任何一点是 等 可能 的) ,则所 投 的点 落在 叶形图 内部 的概 率 是 . 13.在用秦九韶算法计算多项式 f ( x) ? 2x ? x ? x ? 8x ? 4x ? 2 当 x ? 2 的值时,算得 v3 的值为
5 4 3 2

a ,则二项式 (a x ?
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1 6 ) 展开式中含 x 2 项的系数是 x

14.某同学为研究函数 f ( x) =

1 + x 2 + 1 + (1- x) 2 (0 #x 1) 的性 质, 构造了如图所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC , P 是 点 边 BC 上的一个动点,设 CP = x ,则 AP + PF = f ( x ) . 请你参考这 些信息,推知函数 f ( x ) 的图象的对称轴是 ; 函数 g ( x ) = 4 f ( x ) - 9 的零点的个数是 .

D

C P

F

A

B

E

(二)选考题:请考生在下列两题中任选一题作答,然后在答题卡上相应的 位置涂黑,若两题都做,则按第 15 题计分,本题计 5 分。 15(几何证明选讲选做题)如右图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接 PB 1 PC 1 四边形,延长 AB 和 DC 相交于点 P,若 = , = ,则 PA 2 PD 3 BC 的值为__________. AD 16. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ?? ,? ? , 0 ? ? ? 2? 中,曲线 ? ? 2sin ? 与 ? cos? ? ?1 的交点的极坐标为________.

(I)填充频率分布表中的空格(在解答中直接写出对应空格序号的答案) ; (II)决赛规则如下:为每位参加决赛的选手准备 4 道判断题,选手对其依次口答,答对两道 就终止答题,并获得一等奖,若题目答完仍然只答对 1 道,则获得二等奖。某同学进入决 赛,每道题答对的概率 p 的值恰好与频率分布表中不少于 80 分的频率的值相同。 (i)求该同学恰好答对 4 道题而获得一等奖的概率; (ii)设该同学决赛中答题个数为 X,求 X 的分布列及 X 的数学期望。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 2 2 2 在 ?ABC 中, a、 c 分别为角 A、、 的对边,且满足 b ? c ? a ? bc . BC b、 (1)求角 A 的值; (2)若 a ? 3 ,设角 B 的大小为 x , ?ABC 的周长为 y ,求 y ? f ( x) 的最大值.

20.(本小题满分 13 分) 已知 {an } 是单调递增的等差数列,首项 a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n ,数列 {bn } 是等比数列,首项

b1 ? 1, 且a2b2 ? 12, S3 ? b2 ? 20. (1)求 {an }和{bn }的通项公式。
(2)令 Cn ? S n cos(an? )(n ? N ? ),求{cn } 的前 n 项和 Tn .

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知平面 BCC1B1 是圆柱的轴截面(经过圆柱的轴的 截面),BC 是圆柱底面的直径,O 为底面圆心,E 为母线 CC1 的中点,已知 AB ? AC ? AA ? 4 1 (1)求证: B1O ⊥平面 AEO ; (2)求二面角 B1 ? AE ? O 的余弦值 (3)求三棱锥 A ? B1OE 的体积.

21. (本小题满分 13 分)

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点 F2 且斜率为 1 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点, a 2 b2 又原点到 l 的距离为 b , (1)求椭圆 C 的离心率 e ; ???? ? ??? ? ??? ? (2)对任意一点 M ? C ,试证:总存在 ? ? R, 使等式OM ? cos? OA ? sin ? OB恒成立。
已知过椭圆 C :

22. (本小题满分 14 分)

已知 A、B、C 是直线 l 上不同的三点,O 是 l 外一点,向量 OA OB OC 满足: , , 19. (本小题满分 12 分) 为了让学生更多的了解“数学史”知识,某班级举办一次“追寻先哲的足迹,倾听数学的 声音”的数学史知识竞赛活动。现将初赛答卷成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计, 制成如下频率分布表:

??? ??? ??? ? ? ?

??? 3 ? ??? ? ???? ? OA ? ( x 2 ? 1) ? OB ? [ln(2 ? 3x) ? y ] ? OC ? 0. 记 y ? f ( x) . 2
(1)求函数 y=f(x)的解析式: (2)若对任意 x ? [ , ], 不等式 a ? ln x ? ln ? f ?( x) ? 3x? ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围: (3)若关于 x 的方程 f(x)=2x+b 在(0,1]上恰有两个不同的实根,求实数 b 的取值范围.

1 1 6 3

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