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2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件(江苏专用):常考问题14 空间中的平行与垂直


常考问题14 空间中的平行与垂直

知识与方法

热点与突破

[真题感悟]

[考题分析]

知识与方法

热点与突破

1.直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理:a?α,b?α,a∥b?a∥α. (2)线面平行的性质定理:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b. (3) 面面平 行的判定 定理: a?β , b?β , a∩b = P , a∥α , b∥α?α∥β.

(4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b.

知识与方法

热点与突破

2.平行关系的转化

两 平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行,而
直线与平面平行又可转化为直线与直线平行,所以要注 意转化思想的应用,以下为三种平行关系的转化示意 图.

知识与方法

热点与突破

3.直线、平面垂直的判定及其性质

(1)线面垂直的判定定理: m?α,n?α,m∩n=P,l⊥m,
l⊥n?l⊥α. (2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α?a∥b. (3)面面垂直的判定定理:a?β,a⊥α?α⊥β. (4) 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 : α⊥β , α∩β = l , a?α ,

a⊥l?a⊥β.

知识与方法

热点与突破

4.垂直关系的转化 与平行关系之间的转化类似,它们之间的转化如下示意图.

在垂直的相关定理中,要特别注意记忆面面垂直的性质定理: 两个平面垂直,在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直 于另一个平面,当题目中有面面垂直的条件时,一般都要用

此定理进行转化.

知识与方法

热点与突破

热点与突破 热点一 空间几何体的认识及表面积与体积的计算 【例1】 (2012·江苏卷)如图,在长方体 ABCD -A1B1C1D1中,AB=AD=3 cm,

AA1=2 cm,则四棱锥A -BB1D1D的体
积为________cm3.

知识与方法

热点与突破

解析 关键是求出四棱锥 A BB1D1D 的高, 连接 AC 交 BD 于 O,在长方体中,∵AB=AD=3, ∴BD=3 2且 AC⊥BD. 又∵BB1⊥底面 ABCD,∴BB1⊥AC. 又 DB∩BB1=B,∴AC⊥平面 BB1D1D, 1 3 2 ∴AO 为四棱锥 A BB1D1D 的高且 AO=2BD= 2 . ∵S 矩形 BB1D1D=BD×BB1=3 2×2=6 2, 1 1 3 2 ∴VA BB1D1D=3S 矩形 BB1D1D· AO=3×6 2× 2 =6(cm3).

答案 6
知识与方法 热点与突破

[规律方法] 涉及柱、锥、台、球及其简单组合体的侧面积和

体积的计算问题,要在正确理解概念的基础上,画出符合题
意的图形或辅助线(面),分析几何体的结构特征,选择合适 的公式,进行计算.另外要重视空间问题平面化的思想和割 补法、等积转换法的运用.

知识与方法

热点与突破

【训练 1】 (2013· 海安中学调研)已知正六棱锥 P ABCDEF 的底面 边长为 1 cm, 侧面积为 3 cm2, 则该棱锥的体积为________cm3. 1 1 解析 侧面积=2×底面周长×斜高=2×6×斜高=3 所以,斜高=1(cm); 3 底面的边心距= 2 (cm);

知识与方法

热点与突破

1 在斜高、高、底面边心距组成的直角三角形中,可求高=2(cm); 3 3 3 底面面积= 4 ×6= 2 (cm2); 1 3 3 1 3 体积= × × = (cm3). 3 2 2 4 答案 3 4

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热点二 空间中点线面位置关系的判断

【例2】 (2012·泰州学情调研)设α,β ,γ 是三个不重合的平
面,l是直线,给出下列四个命题: ①若α⊥β,l⊥β,则l∥α;②若l⊥α,l∥β,则α⊥β; ③若 l 上有两点到 α 的距离相等,则 l∥α ;④若 α⊥β , α∥γ,则γ⊥β.

其中正确命题的序号是________.
解析 由线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定

理逐个判断,真命题为②④. 答案 ②④

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热点与突破

[规律方法] 这类题为高考常考题型,其实质为多项选择.主

要考查空间中线面之间的位置关系,要求熟悉有关公
理、定理及推论,并具备较好的空间想象能力,做到不漏选、 多选、错选.

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热点与突破

【训练2】 (2012·浙江卷改编)设l是直线,α,β是两个不同的 平面①若l∥α,l∥β,则α∥β;②若l∥α,l⊥β,则α⊥β; ③若α⊥β,l⊥α,则l⊥β;④若α⊥β,l∥α,则l⊥β,则 上述命题中正确的是________.

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热点与突破

解析 利用线与面、面与面的关系定理判定,用特例法.
设α∩β=a,若直线l∥a,且l?α,l?β,则l∥α,l∥β, 因此α不一定平行于β,故①错误;由于l∥α,故在α内存 在直线l′∥l,又因为l⊥β,所以l′⊥β,故α⊥β,所以 ②正确;若α⊥β,在β内作交线的垂线l,则l⊥α,此时l 在平面β内,因此③错误;已知α⊥β,若α∩β=a, l∥a,且l不在平面α,β内,则l∥α且l∥β,因此④错

误.
答案 ②

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热点三 线线、线面、面面平行与垂直的证明

【例3】 (2012·江苏卷)如图,在直三棱柱
ABC -A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E 分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于 点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点. 求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;

(2)直线A1F∥平面ADE.

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证明

(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC,

又AD?平面ABC,所以CC1⊥AD. 又因为AD⊥DE,CC1,DE?平面BCC1B1,CC1∩DE=E, 所以AD⊥平面BCC1B1,又AD?平面ADE, 所以平面ADE⊥平面BCC1B1.

(2)因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1,且A1F?平面A1B1C1, 所以CC1⊥A1F.

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热点与突破

又因为CC1,B1C1?平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,

所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD. 又AD?平面ADE,A1F?平面ADE, 所以A1F∥平面ADE.

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[规律方法] 证明或探究空间中线线、线面、面面平行与垂直

的位置关系,一要熟练掌握所有判定定理与性质定理,梳理
好几种位置关系的常见证明方法,如证明线面平行,既可以 构造线线平行,也可以构造面面平行.而证明线线平行常用 的是三角形中位线性质,或构造平行四边形;二要用分析与 综合相结合的方法来寻找证明的思路;三要注意表述规范,

推理严谨,避免使用一些虽然正确但不能作为推理依据的结
论.

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热点与突破

【训练3】 (2013·苏中三市调研)如图,

在四棱锥P -ABCD中,底面ABCD
是直角梯形,AB∥DC,∠ABC=45°, DC=1,AB=2,PA⊥平面ABCD,PA=1. (1)求证:AB∥平面PCD; (2)求证:BC⊥平面PAC;

(3)若M是PC的中点,求三棱锥M -ACD的体积.

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(1)证明

∵AB∥DC,且 AB?平面 PCD,CD?平面 PCD.

∴AB∥平面 PCD. (2)证明 在直角梯形 ABCD 中,过 C 作 CE⊥AB 于点 E,则四边

形 ADCE 为矩形 ∴AE=DC=1,又 AB=2,∴BE=1,在 Rt△BEC 中, ∠ABC=45° , ∴CE=BE=1,CB= 2, ∴AD=CE=1,则 AC= AD2+DC2= 2, ∴AC2+BC2=AB2,∴BC⊥AC, 又∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BC PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC
知识与方法 热点与突破

(3)解 ∵M 是 PC 中点, ∴M 到面 ADC 的距离是 P 到面 ADC 距离的一半
? 1 1 1 1 ?1 1 ? ? VM . ACD= S△ACD·PA= × ×1×1 × = 3 2 3 ?2 2 12 ?

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