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2013年高中数学联赛四川预赛试题


2013 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
(5 月 19 日下午 14:30——16:30)
题 目 得 分 评卷人 复核人 考生注意:1、本试卷共三大题(16 个小题) ,全卷满分 140 分. 2、用黑(蓝)色圆珠笔或钢笔作答. 3、计算器、通讯工具不准带入考场. 4、解题书写不要超过密封线. 得 分 评卷人 一、单项选择题(本大题共 6 个小题,每小

题 5 分,共 30 分) 一 二 三 13 14 15 16 总成绩

1、函数 f ??x ??对于任意实数 x 满足: f 则 f (2013) ?? A、 ??
1 2

??x ??3??????

1 ,若 f (0) ??2 , f ??x ??
【 】

B、

1 2

C、2

D、2013

2、设等差数列 ?an ??与等比数列 ?bn ??满足: 0 ?? a1 ?? b1 ?? a5 ?? b5 ,则下述四个结论: ① a3 ??b3 ; A、0 个 ② a3 ??b3 ; ③ a6 ??b6 ; ④ a6 ??b6 中正确的个数是 B、1 个 C、2 个 D、3 个 【 】

3、已知二面角 ????l ???? 的平面角为 ?? , PA ????, PB ???? , A 、 B 为垂足, PA = 5 , PB = 4 ,设 A 、 B 到二面角的棱 l 的距离分别为 x 、 y ,当 ?? 变化时,点 ( x, y) 的轨迹为下 列图形中的 【 】

A、 B、 C、 D、 4、从 [0,10] 上任取一个数 x ,从 [0, 6] 上任取一个数 y ,则使得 | x ??5 | ??| y ??3 |??4 的概 率是 【 】 A、
1 5

B、

1 3

C、

1 2

D、

3 4
【 】

5、当平面上的点 (x , y) 的坐标 x 、 y 都为有理数时,该点称为有理点,设 r 是给定的正 实数,则圆 ( x ??1)2 ??( y ???? 2) 2 ??r 2 上的有理点 A、最多有一个 B、最多有两个 C、最多有四个

D、可以有无穷多个

2013 年全国高中数学联赛(四川初赛) 第 1 页 (共 4 页)

6、△ABC 中,?C ??90○ ,?B ??30○ , AC = 2 ,M 是 AB 的中点,将△ACM 沿 CM 翻折, 使 A、B 两点间的距离为 2 2 ,则三棱锥 A ??BCM 的体积等于 【 】

A、

2 3
评卷人

B、

2 3

C、

6 3

D、

2 2 3

得 分

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)

7、已知函数 f ( x ) ??

3 ?? x 1 ?? x

,记 f (1) ?? f (2) ?? f (4) ??… ?? f (1024) ?? m , .
2013

1 1 1 1 f ( ) ?? f ( ) ?? f ( ) ??… ?? f ( ) ?? n ,则 m ??n ? 2 4 8 1024
8、已知 i 是虚数单位, z ??1 ??i ??i ??i ??i ??… ??i
2 3 4

,把复数 z 的共轭复数记为 z ,

则 z ??z =
2



9、实数 x, y 满足 x ?
4

y 2 ??1 ,则 x 2 ?? y 2 的最大值是 16
2



10、关于曲线 C: x ?? y ??1 的下列命 题: ① 曲线 C 关于原点对称; ② 曲线 C 关于直线 y = x 对称; ③ 曲线 C 所围成的面积小于 ??; ④ 曲线 C 所围成的面积大于 ??, 其中的真命题是 . (写出所有真命题的编号) 11、设 n 是小于 100 的正整数,且满足 (n2 ??1) ?? n 为整数, 则符合条件的所有正整数 n 的和为 12、已知函数 f (x ) ?? .
1 3 1 5

a x

??x ,对任意 x ??(0,1) ,有 f (x ) ?? f (1 ??x) ??1 恒成立,

. 则实数 a 的取值范围是 得 分 评卷人 三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13、设实数 ????0 ,已知函数 f (x ) ??sin
2

??x ? 3 sin ??x ??sin(??x ?? ) 的最小
2

π

π π 正周期是 .求 f (x ) 在 [ , ] 上的最大值与最小值. 2 8 4

π

2013 年全国高中数学联赛(四川初赛) 第 2 页 (共 4 页)

x3 ??3x * 14、已知函数 f ( x) ?? 2 ,数列{xn } 满足: x1 ??2 , xn?1 ?? f (xn ) (n ??N ) , 3x ? 1
* 记 bn ??log 3 ( xn?1 ?1) (n ??N ) .

xn?1 ? 1

( I ) 求证:数列{bn }成等比数列,并求数列{bn }的通项公式; (II)记 cn ???nbn (n ??N ) ,求数列{cn }的前 n 项和公式 Tn .
*

15、已知点 B(0,1) ,P、Q 为椭圆

x2

4 (I)若点 B 在线段 PQ 上的射影为点 M,求 M 的轨迹方程; (II)求线段 PQ 的中垂线 l 在 x 轴上的截距的取值范围.

+ y 2 = 1 上异于点 B 的任意两点,且 BP ?? BQ .

2013 年全国高中数学联赛(四川初赛) 第 3 页 (共 4 页)

16、若实数 x0 满足 f (x0 ) ?? x0 ,则称 x ??x0 为 f ( x ) 的不动点. 已知函数 f ( x) ?? x ??ax ??bx ??3 ,其中 a, b 为常数.
3 2

(I)若 a ??0 ,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (II)若 a ??0 时,存在一个实数 x0 ,使得 x ??x0 既是 f ( x ) 的不动点,又是 f (x ) 的极值 点.求实数 b 的值; (III)求证:不存在实数组 (a, b) ,使得 f (x ) 互异的两个极值点皆为不动点.

2013 年全国高中数学联赛(四川初赛) 第 4 页 (共 4 页)


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