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2017人教版高三一轮复习课件文科数学第五章数列第28讲数列的概念与通项公式(共36张PPT)


第28讲 数列的概念与通项公式

【基础检测】 2 4 6 1. 数列 0, , , , …的一个通项公式为( C ) 3 5 7 n-1 A.an= (n∈N*) n+1 n-1 B.an= (n∈N*) 2n+1 2( n - 1 ) C.an= (n∈N*) 2n-1 2n-1 D.an= (n∈N*) 2n+1

0 【解析】将

0 写成 ,观察数列中每一项的分 1 子、分母可知,分子为偶数列,可表示为 2(n-1), n∈N*;分母为奇数列,可表示为 2n-1,n∈N*, 故选 C.

an-1 2. 若数列{an}满足 a1=1, a2=2, an= (n≥3 an-2 且 n∈N*),则 a17=( C ) A.1 B.2 1 C. 2 D.2-987

【解析】由已知得 a1=1,a2=2,a3=2,a4=1,a5 1 1 1 = ,a6= ,a7=1,a8=2,a9=2,a10=1,a11= , 2 2 2 1 a12= ,即数列{an}是以 6 为周期的周期数列,故 a17 2 1 =a2×6+5= . 2

3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k 等于( B ) A .9 B .8 C .7 D .6 4. 设 an=-3n2+8n-1, 则数列{an}中的最大 项的值是( B ) 13 A. B.4 3 16 C.3 D. 3
? 4?2 13 【解析】∵an=-3?n-3? + ,且 3 ? ?

n∈Z,∴

当 n=1 时,an 取最大值,即最大值为 a1=4.

5.已知数列 an 的前 n 项和 Sn=n2-10n+1(n
? ? ? ? ? ?

=1,2,3,…),则此数列的通项公式为 ? ?-8,n=1 an=? ? ________________________ . ?2n-11,n≥2 1 1 2 . 6. 数列{an}满足 an+1= , a8=2, 则 a1=____ 1-an

【知识要点】 1.通项公式 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用 一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的 __ _通项公式 _. 2.递推公式 如果已知数列{an}的第一项(或前几项), 且任何一项 an 与它的前一项 an-1(或前几项)间的关系可以用一个式 子来表示,即 an=f(an-1)或 an=f(an-1,an-2),那么这个 式子叫做数列{an}的 递推公式 .

3.数列通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系 (1)Sn=a1+a2+a3+…+an=

?a
i ?1

n

i

ai.

?a1 , n ? 1, (2)an= ? ? S n ? S n ?1 , n ? 2.
4.数列的两个性质 (1)单调性——若 an+1>an,则{an}为 递增数列 ; 若 an+1<an,则{an}为 递减数列 . (2)周期性——若 an+k=an(n∈N*,k 为非零常数), 则{an}为 周期数列 ,k 为{an}的一个周期.

一、通项公式、递推公式 例1(1)写出下面数列的一个通项公式, 使它的前 4 项分别是下列各数. ①0,3,8,15,…; 1 1 1 1 ②- , ,- , ,…; 1×2 2×3 3×4 4×5 ③3,33,333,3 333,….

【解析】(1)①an=n2-1; 1 n ②an=(-1) ; n(n+1) 1 ③an= (10n-1). 3

【点评】根据数列的前 n 项归纳出通项时,常用 方法是观察法,体现从特殊到一般的思维规律,观察 时,可从以下几个方面着手:①符号规律,正负相间 时可用(-1)n 或(-1)n+1 表示; ②各项结构为分数时可 将分子、分母分开考察;③递增时可考虑关于 n 为一 次递增或以 2n,3n 等形式递增.

2an (2)已知数列{an}中,a1=1,an+1= (n∈N+), an+2 写出数列的前 5 项,并归纳出通项公式 an. 2an 【解析】∵a1=1,an+1= , an + 2

2×1 2 2a1 ∴a2= = = , a1+2 1+2 3 2 2× 3 2a2 4 1 2 a3 = = = = = , 2 a2+2 2+ 6 2 4 +2 3 1 2× 2 2 2a3 a4 = = = , 5 a3+2 1 +2 2

2 2× 5 1 2 2a4 a5 = = = = . 3 6 a4+2 2 +2 5 2 ∴an= n+1 另解如下: 2an ∵an+1= , an + 2 an+2 1 1 ∴ = = +a , 2 a 2 an+1 n n 1 1 1 1 ∴ -a = , 2 an+1 n

?1? 1 1 ? ? 则数列 a 是首项为 =1,公差为 的等差数 a1 2 ? n?

列. 1 1 1 n 1 n 1 n+1 ∴a = +(n-1)·=1+ - = + = , a 2 2 2 2 2 2 n 1 2 ∴an= . n+1
【点评】熟悉常见递推关系: ①an+1-an=常数,{an}等差数列. ②an+1/an=常数,{an)等比数列. ?1? 1 1 1 这里 -a = ,所以?a ?是等差数列. an+1 n 2 ? n?

二、通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系 例2已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,分别求其 通项公式. (1)Sn=3+2n; 1 (2)Sn= (an+1)2(an>0). 4

【解析】(1)当 n=1 时,a1=S1=3+21=5, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 - - =(3+2n)-(3+2n 1)=2n 1, 又 a1=5 不适合上式, 故
? ?5 (n=1) an = ? n - 1 . ? 2 ( n ≥ 2 ) ?

1 (2)当 n=1 时, S1=a1= (a1+1)2, 解得 a1=1, 4 1 1 2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= (an+1) - (an-1 4 4 +1)2,所以(an+an-1)(an-an-1-2)=0, 又 an>0,所以 an-an-1=2,可知{an}为等差 数列,且公差为 2,所以 an=a1+(n-1)· 2=2n- 1.故 an=2n-1(n∈N*).

【点评】 (1) 当已知 Sn = f(n) 时,利用 an =
? S1 ? ? ? ? Sn-Sn-1

(n=1) ,可求出通项公式.要特别注 (n≥2)

意 n=1 时的特殊性. (2) 当 已 知 Sn = f(an) 时 , 也 是 利 用 Sn - Sn - 1 = an(n≥2), 一般可得到{an}的递推关系式, 再进一步 求 an 通项公式.

三、数列的单调性 例3 已知等比数列 {an} 中, a5 + 2a4 = a2a4 ,前 3 2m(m∈N )项的和是前 2m 项中所有偶数项和的 . 2 (1)求通项公式 an; (2)已知{bn}满足 bn=(n-λ)an(n∈N*),若{bn} 是递增函数列,求实数 λ 的取值范围. 【解析】(1)由已知得 a1+a2+a3+…+a2m= 3 (a +a4+…+a2m), 2 2 1 a1+a3+a5+…+a2m-1= (a2+a4+…+a2m), 2 ∴q=2.
*

又由 a5+2a4=a2a4 得 a3q2+2a3q=a2 3, 即 q2+2q=a3, ∴a3=8. - ∴an=a3qn 3=2n. (2)∵{bn}是递增数列, ∴bn+1>bn 对 n∈N*恒成立,且 n∈N*时,(n+ + 1-λ)2n 1>(n-λ)2n 恒成立, 得 λ<n+2 对 n∈N*恒成立,即 λ<3.
【点评】已知{bn}是递增数列,则 bn+1>bn 恒成 立;n∈N*,已知{bn}是递减数列,则 bn+1<bn 恒成 立.

1.已知 Sn 表达式,或已知 Sn 与 an 的关系式
? ?an=Sn-Sn-1(n≥2) 时,均可用公式? 求解,注意 ? ?a1=S1

n=1 时情形需验证. 2.数列的 an=f(n)的单调性,与函数 y=f(x) 单调性有联系,也有不同,请加以区分.

(2014 江西 ) 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn = 3n2-n ,n∈N*. 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:对任意的 n>1,都存在 m∈N*,使得 a1,an,am 成等比数列.

3n2-n 【解析】(1)由 Sn= ,得 a1=S1=1, 2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n-2,当 n=1 时也适合, 所以数列{an}的通项公式为 an=3n-2.

(2)要使得 a1, an, am 成等比数列, 只需要 a2 n= a1·am, 即(3n-2)2=1· (3m-2),即 m=3n2-4n+2, 而此时 m∈N*,且 m>n, 所以对任意的 n>1,都存在 m∈N*,使得 a1, an,am 成等比数列.

【点评】 考查由数列求和公式求数列的通项公 式.

1.数列{an}中,a1=1,an= 于( A ) 5 A. 3 4 B. 3

1

an-1

+1,则 a4 等

2 C.1 D. 3 3 5 【解析】a1=1,a2=2,a3= ,a4= ,选 A. 2 3

2.两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一 起,且仅有一个靠窗,已知火车上的座位的排法如 表格所示,则下列座位号码符合要求的是( C ) 1 2 3 4 5 窗 6 7 过 8 9 10 窗 口 11 12 道 13 14 15 口 … … … … … A.48,49 B.62,63 C.84,85 D.75,76

【解析】个位是 5 或 0 或 1 或 6 靠窗,选 C.

3.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an -2,则 a2 等于( A ) A.4 B.2 C.1 D.-2

【解析】 由 S1=2a1-2=a1?a1=2, 又 S2=2a2 -2=a1+a2,a2=4,选 A.
4.数列 2,5,11,20,x,47,…中的 x 等于 ( B ) A.28 B .32 C .33 D.27

【解析】∵5=2+3×1,11=5+3×2,20= 11+3×3,∴x=20+3×4=32,故选 B.

5.已知数列 3, 7, 11, 15,…,则 5 3 是数列的( B ) A.第 18 项 B.第 19 项 C.第 17 项 D.第 20 项 【解析】∵7-3=11-7=15-11=4, 2 即 a2 n-an-1=4, ∴a2 n=3+(n-1)×4=4n-1, 令 4n-1=75,则 n=19,故选 B.

6.在计算机语言中有一种函数 y=int(x)叫做取整函 数(也叫高斯函数), 它表示不超过 x 的最大整数, 如 int(0.9) 1 = 0 , int(3.14) = 3 ,已知 = 0.142 857 · · · · · · . 令 an = 7 ?10n? int? 7 ?,b1=a1,令当 n>1 时,bn=an-10an-1(n∈N*), ? ? 则 b2 015=( D ) A.2 014 B.4 C.2 015 D.5

【解析】由题意可知,n,an,bn 的对应情况 如下表:
n an bn 1 1 1 2 14 4 3 14 2 2 4 1 428 8 5 14 285 5 6 142 857 7 7 1 428 571 1 8 14 285 714 4 9 142 857 142 2 … … …

观察上表可知:{bn}是一个周期为 6 的周期函 数,所以 b2 015=b335×6+5=b5=5,故选 D.

7.设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 * Sn,满足 4Sn=a2 n+1-4n-1,n∈N ,且 a2,a5, a14 构成等比数列. (1)证明:a2= 4a1+5; (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 (3)证明:对一切正整数 n,有 + +… a1a2 a2a3 1 1 + < . anan+1 2

【解析】(1)证明:当 n=1 时,4S1=4a1=a2 2- 5,∴a2 2=4a1+5, 又 an>0,∴a2= 4a1+5.

(2)∵4Sn=a2 n+1-4n-1,① ∴4Sn-1=a2 n-4(n-1)-1,② 2 由①-②得 4an=a2 n+1-an-4. 2 2 ∴ a2 n+4an+4=(an+2) =an+1,an>0. ∴an+2=an+1,∴an+1-an=2. ∴数列{an}是以 a1 为首项,2 为公差的等差数 列. ∴an=a1+2(n-1), 又 a2,a5,a14 成等比数列. ∴(a1+8)2=(a1+2)(a1+26),∴a1=1, ∴an=2n-1.

1 1 (3)由(2)知 = = anan+1 (2n-1)(2n+1) 1 ? 1? ? 1 ? - ? , 2 n - 1 2 n + 1 2? ? ? 1 1 1 ∴ + +…+ a1a2 a2a3 anan+1 1 1 ? 1 1 1 1 1 1? = ?1-3+3-5+5-7+ …+2n-1-2n+1? ? 2? ? 1 ? 1? ? ? 1 = ?1-2n+1?< . 2? ? 2

8.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,对任意的 n∈N+, 都有 Sn=(m+1)-man(m 为正常数). (1)求证:数列{an}是等比数列; bn-1 (2)数列{bn}满足 b1=2a1, bn= (n≥2, n∈N+), 1+bn-1 求数列{bn}的通项公式.

【解析】(1)当 n=1 时,a1=S1=(m+1)-ma1,解得 a1=1, 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=man-1-man, 即(1+m)an =man-1. an m 又 m 为常数,且 m>0,∴ = (n≥2). an-1 1+m m ∴数列{an}是首项为 1,公比为 的等比数列. 1+m

(2)由(1)知 b1=2a1=2. bn - 1 1 1 1 1 ∵ bn = ,∴b = +1,即b - = 1+bn-1 b b n n n- 1 n- 1 1(n≥2). ?1? 1 ? ? ∴ b 是首项为 ,公差为 1 的等差数列. 2 ? n? 2n-1 1 1 2 ∴ b = + (n - 1)×1 = ,即 bn = 2 2 2n-1 n (n∈N+).

9.如果连续自然数列 a1,a2,…,an,…满足 ? ? ? 1? 1? 1? lg 2+lg?1+a ?+lg?1+a ?+…+lg?1+a ?=lg n,那 ? ? ? n? 1? 2? 么这个数列最多有几项?并求数列的和 Sn.

【解析】由已知得 ? ? 1? ? 1? 1? 2·?1+a ?·?1+a ?·…·?1+a ?=n, ? ? ? n? 1? 2? a1+1 a2+1 a3+1 an+1 即 2· · · ·…· =n. an a1 a2 a3 ∵a1,a2,…,an,…为连续自然数列, an + 1 a1 + n ∴上式可化简为 2· =n,即 2· =n, a1 a1

∴2n+2a1=na1,即(n-2)(a1-2)=4. 若要 n 最大,且
? ?n=6, ∴? ? ?a1=3, ? ?n-2=4, * n∈N ,则只能有? ? ?a1-2=1,

∴该数列最多有 6 项,首项为 3, ∴S6=3+4+5+6+7+8=33.


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