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抽象函数典型例题和试题精选


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日期 时间 年级 高二 科目 数学 抽象函数典型问题解题方法 掌握抽象函数的单调性,奇偶性,周期性的判定以及抽象函数的 综合运用。 抽象函数单调性,奇偶性,周期性的综合运用。 教 学 过 程

课 前 准 备

本周学校 学习内容 存在和 要解决 的问题

知识要点概述:

抽象函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性和函数的解析 式以及其图像。一般的抽象函数的表达式与基础函数的结合。

精编例题讲练:
1 线性函数型抽象函数

五类抽象函数解法

【例题 1】已知函数 f ( x) 对任意实数 x、y ,均有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且当 x ? 0 时,
f ( x) ? 0, f (?1) ? ?2, 求 f ( x) 在区间 [-2,1] 上的值域。

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2 指数函数型抽象函数 【例题 2】已知函数 f ( x) 定义域为 R,满足条件:存在 x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ), 对 任何 x 和 y , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 成立。 求: (1) f (0); (2) 对任意值 x ,判断 f ( x) 值的正负。

3 对数函数型抽象函数
(0, 上的单调增函数,满足 f ( xy) ? f ( x)+f ( y) , f (3) ? 1 。 【例题 3】设 f ( x) 定义在 +?)

求: (1) f (1);

(2) 若 f ( x)+f ( x ? 8) ? 2, 求 x 的取值范围。

4 三角函数型抽象函数 【例题 4】 已知函数 f ( x) 的定义域关于原点对称, 且满足下列三个条件: ①当 x1 , x2 是其定义域中的数时,有 f ( x1 ? x2 ) ?
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ; ② f (a ) ? ?1, ( a ? 0 , a 是定义域 f ( x2 ) ? f ( x1 )

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中的一个数)③当 0 ? x ? 2a 时, f ( x) ? 0. 试问: (1) f ( x) 的奇偶性如何?说明理
( 由。 (2) 在 0, 4a) 上, f ( x) 的单调性如何?说明理由。

5 幂函数型抽象函数 【 例 题 7 】 已 知 函 数 f ( x) 对 任 意 实 数 x、y , 均 有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , 且
f (?1) ? 1, f (27) ? 9, 0 ? x ? 1时, f ( x) ? ?0,1? .(! 当 )判断 f ( x) 的奇偶性; (2)判断 f ( x)
+? 的单调性,并给出证明; 在[0, ) (3)若 a ? 0 ,且 f (a ? 1) ? 3 9 ,求 a 的取值范围。

知识巩固训练 1 、 已知函数 f ( x) 对任意实数 x、y ,均有 f ( x) ? f ( y)=2+f ( x ? y) ,且当 x ? 0 时,
f ( x) ? 2, f (3) ? 5, 求不等式 f (a 2 ? 2a ? 3) ? 3 的解。

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2 、 已 知 函 数 y = f (x)(x ∈ R , x ≠ 0) 对 任 意 的 非 零 实 数 x1 , x2 , 恒 有 f( x1 x2 )=f( x1 )+f( x2 ),试判断 f(x)的奇偶性。

3、 已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足:f(x+2)[1-f(x)]=1+ f(x) ,f(1)=1997,求 f(2001)的值。

3、设 f(x)是定义 R 在上的函数,对任意 x,y∈R,有 f(x+y)+f(x-y)=2f (x)f(y)且 f(0)≠0. (1)求证 f(0)=1; (2)求证:y=f(x)为偶函数.

4. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意 a,b,当 a+b≠0,都有 >0。 (1)若 a>b,试比较 f(a)与 f(b)的大小;

f ( a ) ? f (b ) a?b

(2)若 f(k ? 3 x ) ? f (3 x ? 9 x ? 2) <0 对 x∈[-1,1]恒成立,求实数 k 的取值范围。

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5、已知函数 f ( x), 当 x, y ? R 时,恒有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) . (1)求证: f ( x) 是奇函数; (2)若 f (?3) ? a, 试用a表示f (24) .

6.已知 f ( x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 a, b ? R, 都满足:
f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) .

(1)求 f (0), f (1) 的值;(2)判断 f ( x) 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若 f (2) ? 2 , un ?
f (2? n ) (n ? N * ) ,求数列{ un }的前 n 项和 s n . n

7.已知定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f ( f ( x) ? x2 ? x)) ? f ( x) ? x2 ? x . (1)若 f (2) ? 3, 求f (1); 又f (0) ? a, 求f (a); (2)设有且仅有一个实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 ,求函数 f ( x) 的解析表达式.

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1 8、已知函数 f ( x) 的定义域为 R,对任意实数 m, n 都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? , 2 1 1 且 f ( ) ? 0 ,当 x ? 时, f ( x) >0. 2 2

(1)求 f (1) ;(2)求和 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (n) (n ? N * ) ;(3)判断函数 f ( x) 的单调 性,并证明.

9、函数 f ( x) 的定义域为 R,并满足以下条件:①对任意 x ? R ,有 f ( x) >0;②对任意
1 x, y ? R ,有 f ( xy) ? [ f ( x)]y ;③ f ( ) ? 1 . 3

(1)求 f (0) 的值;(2)求证: f ( x) 在 R 上是单调减函数; (3)若 a ? b ? c ? 0 且 b 2 ? ac ,求证: f (a) ? f (c) ? 2 f (b) .



教师课 后小结 签字 教学主任: 教学组长: 学生/家长:


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