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分布列练习题


练习题
一、选择题

1.设随机变量 ? 服从正态分布 N (3,4) ,若 P(? ? 2a ? 3) ? P(? ? a ? 2) ,则 a 的值为 (
A.5 B.3 C.



5 3

D.

7 3

1 2 2.已知随机变量

? 服从正态分布, 且方程 x +2x+ ? =0 有实数解得概率为 , P ? ? 2 ) 若( =0.8, P ? ? ? 2 = 则 (0 2

3.一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个,每次从中取出一个,记下颜色后放回,当三种颜色的球全部取
出时停止取球,则恰好取 5 次球时停止取球的概率为( A. ) D.

5 81

B.

14 81

C.

22 81

25 81

4.袋中有 5 个小球(3 白 2 黑),现从袋中每次取一个球,不放回地抽取两次,则在第一次取到白球的条件下,第
二次取到白球的概率是 A.

3 5

B .

3 4

C.

1 2

D.

3 10

5.形如45132这样的数叫做“五位波浪数”,即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大,则由1, 2, 3, 4,
5可构成不重复的“五位波浪数”的概率为( A. ) D.

1 3

B.

1 4

C.

2 15

4 15

8 6.甲、乙、丙 3 位学生用互联网学习数学,每天上课后独立完成 6 道自我检测题,甲答题及格的概率为 10 ,乙 6 7 答题及格的概率为 10 ,丙答题及格的概率为 10 ,3 人各答一次,则 3 人中只有 1 人答题及格的概率为 3 (A) 20
二、填空题

41 (B) 125

(C)

47 250

(D)以上全不对

7.如果随机变量 ? ~ N (?1, ? 2 ) ,且 P(?3 ? ? ? ?1) ? 0.4 ,则 P(? ? 1) =



8.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3 局 2 胜” ,即以先赢 2 局者为胜,根据经验,每局比赛中甲获胜 的概率为 0.6 ,则本次比赛甲获胜的概率是 .
三、解答题

9.袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各 1 个,从中任取 1 只,有放回地抽取 3 次.求:
(1)3 只全是红球的概率; (2)3 只颜色全相同的概率; (3)3 只颜色不全相同的概率。

10.在“自选专题”考试中,某考场的每位同学都从《不等式选讲》和《极坐标系与参数方程》两专题中只选了一
道数学题,第一小组选《不等式选讲》的有 1 人,选《极坐标系与参数方程》的有 5 人,第二小组选《不等式选 讲》的有 2 人,选《极坐标系与参数方程》的有 4 人,现从第一、第二两小组各任选 2 人分析得分情况。 (I)求选出的 4 人均为选《极坐标系与参数方程》的概率; (Ⅱ )设 ? 为选出的 4 个人中选《不等式选讲》的人数,求 ? 的分布列和数学期望。

11.某中学将 100 名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班 50 人.陈老师采用 A、B 两种不
同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为了解教学效果,期末考试后,陈老师对甲、 乙两个班级的学生成绩进行统计分析, 画出频率分布直方图 (如右图) 记成绩不低于 90 分者为“成 . 绩优秀”.
(I)从乙班随机抽取 2 名学生的成绩,记“成绩优秀”的个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望; (II)根据频率分布直方图填写下面 2 ? 2 列联表,并判断是否有 95%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有 关。

12.从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取 1 件,假设事件 A : “取出的 2 件产品中至多有 1 件
是二等品”的概率 P( A) ? 0.96 . (Ⅰ)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ; (Ⅱ) 若该批产品共 100 件, 从中无放回抽取 2 件产品,? 表示取出的 2 件产品中二等品的件数。 ? 的分布列。 求

13.某游乐场有 A 、 B 两种闯关游戏,甲、乙、丙、丁四人参加,其中甲乙两人各自独立进行游戏 A ,丙丁两人
各自独立进行游戏 B .已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为

1 1 ,丙、丁两人各自闯关成功的概率均为 . 3 2

(1)求游戏 A 被闯关成功的人数多于游戏 B 被闯关成功的人数的概率; (2)记游戏 A 、 B 被闯关总人数为 ? ,求 ? 的分布列和期望.

3 14.现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 ,命中得 1 分,没有命中得 0 分;向乙靶射击 4 2 两次,每次命中的概率为 ,每命中一次得 2 分,没有命中得 0 分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手 3
完成以上三次射击. (Ⅰ)求该射手恰好命中一次的概率; (Ⅱ)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 E ( X ) .

15.英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习 3 个英语单词;每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行
检测(一周所学的单词每个被抽到的可能性相同) (Ⅰ )英语老师随机抽了 4 个单词进行检测,求至少有 3 个是后两天学习过的单词的概率; (Ⅱ )某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为 为

4 ,对前两天所学过的单词每个能默写对的概率 5

3 . 若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测, 求该学生能默写对的单词的个数 ξ 的分布列和期望. 5

16.一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀,且各面分别刻有 1,2,2,3,3,3 六个数字)
(I)设随机变量? 表示一次掷得的点数和,求? 的分布列; (II)若连续投掷 10 次,设随机变量 ? 表示一次掷得的点数和大于 5 的次数,求 E? ? D? .

17.某校从 6 名学生会干部(其中男生 4 人,女生 2 人)中选 3 人参加市中学生运动会志愿者。
(Ⅰ)所选 3 人中女生人数为ξ ,求ξ 的分布列及数学期望。 (Ⅱ)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率

18.袋中有 4 个黑球,3 个白球,2 个红球,从中任取 2 个球,每取到一个黑球得 0 分,每取到一个白球得 1 分,
每取到一个红球得 2 分,用 ? 表示分数,求 ? 的概率分布。

19.某工厂 2011 年第一季度生产的 A,B,C,D 四种型号的产品产量用条形图表示如图,现用分层抽样的方法从
中选取 50 件样品,参加四月份的一个展销会. (1) 、问 A,B,C,D 型号的产品各抽取多少件?从 50 件样品中随机的抽取 2 件,求这两件产品恰好是不同型号 的产品的概率; (2) 、从 A,C 型号的产品中随机的抽取 3 件,用 ξ 表示抽取 A 种型号的产品件数,求 ξ 的分布列和数学期望.

试卷答案
1.D
因为 ? 服从正态分布 N (3,4) ,所以随机变量 ? 关于直线 x ? 3 对称,因为 P(? ? 2a ? 3) ? P(? ? a ? 2) ,所以

x ? 2a ? 3, x ? a ? 2 关于 x ? 3 对称,所以 2a ? 3 ? a ? 2 ? 3 ,即 3a ? 7 ,解得 a ? 7 ,选 D.2.0.6 2 3
略 6.C 略 7.0.18. 0.648

3.C4.C 略 5.C

9.

10.解析: (I)设“从第一小组选出的 2 人均考《极坐标系与参数方程》”为事件 A,“从第二小组选出的 2 人均考
《极坐标系与参数方程》”为事件 B,由于事件 A、B 相互独立,
2 C52 2 C4 2 且 p( A) ? 2 ? , p( B) ? 2 ? C6 3 C6 5

所以选出的 4 人均考《极坐标系与参数方程》的概率为

2 2 4 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? ? ? 3 5 15
(Ⅱ )设 ? 可能的取值为 0,1,2,3,得

P(? ? 0) ? P(? ? 3) ?

C 2 C1 ? C1 C1 C 2 22 4 , P(? ? 1) ? 52 ? 2 2 4 ? 5 ? 4 ? 2 2 15 C6 C6 C6 C6 45
1 C5 1 1 2 ? 2? P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? 2 C6 C6 45 9

? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

4 45

22 45

2 9

1 45

? ? 的数学期望 E? ? 0 ?

4 22 2 1 ? 1? ? 2 ? 3 ? ?1 15 45 9 45

11.

12.解: (1)记 A0 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” ,
. A1 表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品” 则 A0,A1 互斥,且 A ? A0 ? A ,故 1

P( A) ? P( A0 ? A1 ) ? P( A0 ) ? P( A1 ) ? (1 ? p)2 ? C1 p(1 ? p) ? 1 ? p2 2
于是 0.96 ? 1 ? p .解得 p1 ? 0.2,p2 ? ?0.2 (舍去) .
2

1, (2) ? 的可能取值为 0,2 .
若该批产品共 100 件,由(1)知其二等品有 100 ? 0.2 ? 20 件,故

P(? ? 0) ?

2 C80 316 . ? 2 C100 495

P(? ? 1) ?

C1 C1 160 80 20 . ? 2 C100 495

P(? ? 2) ?

C2 19 20 . ? 2 C100 495

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

316 495

160 495

19 495

1 2 ?1? 1 1 3 7 13.(I) p ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 3 3 ? 2 ? 3 3 4 36
(Ⅱ) ? 可取 0,1,2,3,4

2

?
P

0

1

2

3

4

4 36 5 3

12 36

13 36

6 36

1 36

E? ?

14.

略 15. ( Ⅰ ) 设 英 语 老 师 抽 到 的 4 个 单 词 中 , 至 少 含 有 3 个 后 两 天 学 过 的 事 件 为 A , 则 由 题 意 可 得

P( A) ?

4 C3 C1 + C6 3 6 6 ? 4 C12 11

???????????????????5 分

(Ⅱ)由题意可得ξ 可取 0,1,2,3,则有 P(ξ =0) ? ( )2 ?

1 5

2 2 ? 5 125

???6 分

4 1 2 1 3 19 , 5 5 5 5 5 125 4 2 4 1 3 56 P(ξ =2) ? ( )2 ? + C1 ? ? ? ? ,?????????????9 分 2 5 5 5 5 5 125 4 3 48 P(ξ =3) ? ( )2 ? ? ???????????????????10 分 5 5 125
P(ξ =1) ? C1 ? ? ? ? ( )2 ? ? 2 所以ξ 的分布列为: ξ P 0 1 2 3

2 125

19 125

56 125

48 125

?11 分 故 Eξ =0× 略

2 19 56 48 11 +1× +2× +3× = ???????????12 分 125 125 125 125 5

16.

略 17. 解 : I ) ξ 得 可 能 取 值 为 0,1,2 ; 由 题 意 P( ξ =0)= (

3 C4 1 C 2C1 3 ? , P( ξ =1)= 4 3 2 ? , P( ξ 3 C6 5 C6 5

=2)=

1 2 C4C2 1 ? 3 C6 5

????3 分 ∴ξ 的分布列、期望分别为: ξ p 0 1 2

1 5

3 5

1 5

Eξ =0×

1 3 1 +1× +2 × =1 5 5 5

????6 分

(II)设在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的事件为 C
2 男生甲被选中的种数为 C5 ? 10 ,男生甲被选中,女生乙也被选中的

1 种数为 C4 ? 4

∴P(C)=

1 C4 4 2 ? ? C52 10 5

????11 分

在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为

2 5

??12 分

18.解: ? 可能取的值为 0,1,2,3,4,从袋中随机地取 2 个球,包含的基本事件总数为 C92 。
? P?? ? 0? ?
2 C4 1 , C1 ? C1 1 ? P?? ? 1? ? 4 2 3 ? , 2 3 C9 6 C9

1 1 C1 ? C1 1 C 2 ? C4 ? C2 11 , P?? ? 3? ? 3 2 2 ? , P?? ? 2? ? 3 ? 6 36 C9 C92

P?? ? 4? ?

2 C2 1 ? 2 C9 36

? 随机变量 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

4

1 6

1 3

11 36

1 6

1 36
50 1 ? ,所以 A,B,C, 500 10

19.
解: (1)从条形图上可知,共生产产品有 50+100+150+200=500(件),样品比为

D 四种型号的产品分别取

1 1 1 1 ? 100 ? 10, ? 200 ? 20, ? 50 ? 5, ? 150 ? 15 , 10 10 10 10

即样品中应抽取 A 产品 10 件,B 产品 20 件,C 产品 5 件,D 产品 15 件. ?????3 分
2 2 2 2 2 从 50 件产品中任取 2 件共有 C50 ? 1225 种方法,2 件恰为同一产品的方法数为 C10 ? C20 ? C5 ? C15 ? 350 种,

所以 2 件恰好为不同型号的产品的概率为 1 ?

350 5 ? . 1225 7

??????6 分
2 C10 ? C1 45 5 P(? ? 2) ? 3 91 C15



2



C3 2 P(? ? 0) 35 ? C15 91



2 C1 ? C5 20 10 P(? ? 1) ? 3 91 C15





3 C10 24 , P(? ? 3) 3 ? C15 91

??????10 分

所以ξ 的分布列为

??????11 分

E? ?

20 45 24 ? 2? ? 3? ? 2 . ??????12 分 91 91 91


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