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新课标高考数学模拟试题文科数学(含答案)


新课标高考模拟试题
数学文科 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,? xn 的标准差 锥体体积公式

S?

1 1 [(x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] V ? Sh 3 n
其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

V ? Sh

S ? 4?R 2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 S 为底面面积,h 为高 其中 R 为球的半径 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 1.已知集合 A ? {x | x ? 1}, B ? {x | x2 ? 2 x ? 0},则 A ? B = A.(0,1) B. C. ? 0,1? D. ? ?1,1? ) ( )

2.若 a ? (1,1), b ? (1, ?1), c ? (?2, 4) ,则 c 等于 (

A.-a+3b B.a-3b C.3a-b D.-3a+b 3.已知四棱锥 P—ABCD 的三视图如右图所示,则四棱锥 P—ABCD 的体积为( ) A.

1 3

B.

2 3

C.

3 4

D.

3 8

4.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 解析式是( )

?
2

) 的部分图象如图所示,则 f ( x) 的

A. f ( x) ? sin(3 x ? C. f ( x) ? sin( x ?

?

?

)( x ? R) B. f ( x) ? sin(2 x ? )( x ? R) 3 6

?

)( x ? R) D. f ( x) ? sin(2 x ? )( x ? R) 3 3


?

5.阅读下列程序,输出结果为 2 的是(

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1

6.在 ?ABC 中, tan A ?

1 3 10 ,则 tan C 的值是 , cos B ? 2 10





A.-1

B.1

C. 3 D.-2

7.设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,有下列四个命题: ①若 m ? ? , ? ? ? , 则m ? ? ; ②若 ? / / ? , m ? ? , 则m / / ? ; ③若 n ? ? , n ? ? , m ? ? , 则m ? ? ; ④若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? , 则m ? ? . 其中正确命题的序号是 ( A.①③ B.①② C.③④ D.②③ 8.两个正数 a、b 的等差中项是 心率 e 等于 A. )

5 x2 y 2 , 一个等比中项是 6, 且a ? b, 则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离 2 a b
( ) D. 13

3 5 13 B. C. 2 3 3

9. 已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 在区间 (4, ??) 上为减函数, 且函数 y ? f ( x ? 4) 为偶函数, 则( )

A. f (2) ? f (3) B. f (2) ? f (5) C. f (3) ? f (5) D. f (3) ? f (6) 10.数列 {an } 中, a3 ? 2, a7 ? 1,且数列 { A. ?

1 } 是等差数列,则 a11 等于 an ? 1





2 1 B. 2 5

C.

2 3

D.5

11 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? ( )

? x x ? 0, 若 f (2 ? x2 ) ? f ( x) , 则 实 数 x 的 取 值 范 围 是 ln( x ? 1), x ? 0. ?
B. (??, ?2) ? (1, ??) D. (?2,1)

A. (??, ?1) ? (2, ??) C. (?1, 2) 12.若函数 f ( x ) ?

1 ax e 的图象在 x=0 处的切线 l 与圆 C : x2 ? y 2 ? 1 相离,则 P(a, b) 与圆 b

C 的位置关系是( ) A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不能确定 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
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二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卷的相应位置上。) 13.复数 z ?

25 的共轭复数 z = 3 ? 4i



14.右图为矩形,长为 5,宽为 2,在矩形内随机地撤 300 颗黄豆, 数得落在阴影部分的黄豆数为 138 颗,则我们可以估计出阴影 部分的面积为 。 15.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 ? ax(a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若 ?OAF (O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为 16.下列说法: 。

①“ ?x ? R, 使2x ? 3n ”的否定是“ ?x ? R, 使2x ? 3 ”; ②函数 y ? sin(2 x ?

?

) sin( ? 2 x) 的最小正周期是 ? ; 3 6

?

③命题“函数 f ( x)在x ? x0 处有极值,则 f '( x0 ) ? 0 ”的否命题是真命题; ④ f ( x)是(-?,0) 则x ?0时 ?(0,+?)上的奇函数,x ? 0 时的解析式是 f ( x) ? 2x , 的解析式为 f ( x) ? ?2? x. 其中正确的说法是 三、解答题。 17.(本小题 12 分) 。

在 ?ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 b ? c ? a ? bc.
2 2 2

(1)求角 A 的大小; (2)设函数 f ( x) ? sin

x x x 2 ?1 时,若 a ? 3 ,求 b 的值。 cos ? cos 2 ,当f ( B) ? 2 2 2 2

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3

18.(本小题 12 分) 某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析, 得下表数据 x 6 8 10 5 12 6 y 2 3 (1)请画出上表数据的散点图;

? ?a ? ? bx ?; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y
(3)试根据(II)求出的线性回归方程,预测记忆力为 9 的同学的判断力。

?? (相关公式: b

? x y ? nx ? y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n

2 i

? nx

2

? .) ? ? y ? bx ,a

19.(本小题 12 分) 如 图 , 已知 四 棱锥 P — ABCD 的底 面 是直 角 梯 形 , ?ABC ? ?BCD ? 90? , AB=BC=2CD=2,PB=PC,侧面 PBC ? 底面 ABCD,O 是 BC 的中点。 (1)求证:DC//平面 PAB; (2)求证: PO ? 平面 ABCD; (3)求证: PA ? BD.

20.(本小题 12 分) 设函数 f ( x) ? x ? ax ? a x ? 5(a ? 0).
3 2 2

(1)当函数 f ( x ) 有两个零点时,求 a 的值; (2)若 a ?[3,6],当x ?[?4, 4] 时,求函数 f ( x ) 的最大值。

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4

21.(本小题 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F (?c, 0) 是长轴的一个四等分点, 点 A、 a 2 b2

B 分别为椭圆的左、右顶点,过点 F 且不与 y 轴垂直的直线 l 交椭圆于 C、D 两点,记 直线 AD、BC 的斜率分别为 k1 , k2 . (1)当点 D 到两焦点的距离之和为 4,直线 l ? x 轴时,求 k1 : k2 的值; (2)求 k1 : k2 的值。

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示,已知 PA 是⊙O 相切,A 为切点,PBC 为割线,弦 CD//AP,AD、BC 相交 于 E 点,F 为 CE 上一点,且 DE ? EF ? EC.
2

(1)求证:A、P、D、F 四点共圆; (2)若 AE·ED=24,DE=EB=4,求 PA 的长。

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5

参考答案 一、选择题 CBBBA ADCDB DB 二、 填空题 13. 3 ? 4i 三、 14. 4.6 15. y 2 ? 8x 16.①④

解答题

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? , 17. (Ⅰ)解:在 ?ABC 中,由余弦定理知 cos A ? 2bc 2
注意到在 ?ABC 中, 0 ? A ? ? ,所以 A ? (Ⅱ)解: f ( x) ? sin

?
3

为所求. ┄┄┄┄┄┄4 分

x x x 1 1 1 2 ? 1 cos ? cos2 ? sin x ? cos x ? ? sin( x ? ) ? , 2 2 2 2 2 2 2 4 2

由 f ( B) ?

? 2 ? 1 2 ?1 得 sin( B ? ) ? 1 ,┄┄┄┄┄8 分 sin( B ? ) ? ? 4 2 4 2 2

? 2 ? ? 11? ?, ? B ? ? ,所以 B ? , 4 3 4 4 12 a sin B ? 2 , 由正弦定理, b ? sin A
注意到 0 ? B ? 所以 b ?

2 为所求.

┄┄┄┄┄┄12 分

18. (Ⅰ)如右图:

┄┄┄┄┄┄┄┄3 分 (Ⅱ)解:

i ?1

? x i y i =6 ? 2+8 ? 3+10 ? 5+12 ? 6=158,

n

x=
n

6 ? 8 ? 10 ? 12 2?3?5? 6 ? 9, y = ? 4, 4 4
2

? xi
i ?1

? 62 ? 82 ? 102 ? 122 ? 344 ,

? ? 158 ? 4 ? 9 ? 4 ? 14 ? 0.7 , a ? ? 4 ? 0.7 ? 9 ? ?2.3 , ? ? y ? bx b 344 ? 4 ? 92 20
故线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 2.3 .
海南有成教育 6

┄┄┄┄┄┄┄┄10 分

(Ⅲ)解:由回归直线方程预测,记忆力为 9 的同学的判断力约为 4. ┄┄┄┄12 分 19. (Ⅰ)证明:由题意, AB / / CD , CD ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB ,所以 DC / / 平面 PAB .┄┄4 分 (Ⅱ) 证明: 因为 PB ? PC ,O 是 BC 的中点, 所以 PO ? BC , 又侧面 PBC⊥底面 ABCD, PO ? 平面 PBC , 面 PBC ? 底面 ABCD ? BC , 所以 PO ? 平面 ABCD . ┄┄┄┄┄┄8 分 (Ⅲ)证明:因为 BD ? 平面 ABCD ,由⑵知 PO ? BD , 在 Rt ?ABO 和 Rt ?BCD 中,

AB ? BC ? 2 , BO ? CD ? 1 , ?ABO ? ?BCD ? 90? ,
所以 ?ABO ? ?BCD ,故 ?BAO ? ?CBD , 即 ?BAO ? ?DBA ? ?CBD ? ?DBA ? 90 ,
?

所以 BD ? AO ,又 AO ? PO ? O , 所以 BD ? 平面 PAO ,故 PA ? BD .
2 2 20. (Ⅰ)解: f ?( x) ? 3 x ? 2ax ? a ? 3( x ?

┄┄┄┄┄┄12 分

a )( x ? a )(a ? 0) , 3 a a 由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?a ,或 x ? ,由 f ?( x) ? 0 得 ? a ? x ? , 3 3 a a 所以函数 f ( x ) 的增区间为 ( ??, ? a ), ( , ??) ,减区间为 ( ? a , ) , 3 3
即当 x ? ?a 时,函数取极大值 f (?a) ? a3 ? 5 ,

a a 5 3 a ?5, 时,函数取极小值 f ( ) ? ? ┄┄┄┄3 分 3 3 27 a 3 3 又 f (?2a ) ? ?2a ? 5 ? f ( ), f (2a) ? 10a ? 5 ? f (?a ) , 3 a 所以函数 f ( x ) 有两个零点,当且仅当 f (?a) ? 0 或 f ( ) ? 0 , 3 a 5 3 a ? 5 ? 0 ,即 a ? 3 为所求.┄┄┄┄6 分 注意到 a ? 0 ,所以 f ( ) ? ? 3 27 a (Ⅱ)解:由题知 ? a ? [ ?6, ?3], ? [1, 2] , 3 当 ? a ? ?4 即 4 ? a ? 6 时, a a 函数 f ( x ) 在 [ ?4, ) 上单调递减,在 ( , 4] 上单调递增, 3 3
当x ? 注意到 f (?4) ? f (4) ? 8(a ? 16) ? 0 ,
2

所以 f ( x)max ? f (?4) ? 4a ? 16a ? 59 ;
2

┄┄┄┄9 分

当 ? a ? ?4 即 3 ? a ? 4 时, 函数 f ( x ) 在 [?4, ?a) 上单调增,在 ( ? a , ) 上单调减,在 ( , 4] 上单调增,

a 3

a 3

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7

注意到 f (?a) ? f (4) ? a3 ? 4a2 ? 16a ? 64 ? (a ? 4)2 (a ? 4) ? 0 , 所以 f ( x)max ? f (4) ? ?4a2 ? 16a ? 69 ; 综上, f ( x) max
2 ? ?4a ? 16a ? 59, 4 ? a ? 6, ?? 2 ? ??4a ? 16a ? 69,3 ? a ? 4.

┄┄┄┄12 分

21. (Ⅰ)解:由题意椭圆的离心率 e ?

c 1 ? , 2a ? 4 ,所以 a ? 2, c ? 1, b ? 3 , a 2
┄┄┄┄┄┄3 分

x2 y 2 ? ? 1, 故椭圆方程为 4 3
则直线 l : x ? ?1 , A(?2, 0), B(2, 0) ,

故 C (?1, ), D( ?1, ? ) 或 C (?1, ? ), D( ?1, ) ,

3 2

3 2

3 2

3 2

3 3 2 ? ? 3 ,k ? 2 ? ? 1 , 当点 C 在 x 轴上方时, k1 ? 2 ?1 ? 2 2 ?1 ? 2 2 ?
所以 k1 : k2 ? 3, 当点 C 在 x 轴下方时,同理可求得 k1 : k2 ? 3, 综上, k1 : k2 ? 3为所求. (Ⅱ)解:因为 e ?
2

┄┄┄┄┄┄6 分

1 ,所以 a ? 2c , b ? 3c , 2
2 2

椭圆方程为 3x ? 4 y ? 12c , A(?2c,0), B(2c,0) ,直线 l : x ? my ? c , 设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) , 由?

?3x2 ? 4 y 2 ? 12c2 , 消 x 得, (4 ? 3m2 ) y 2 ? 6mcy ? 9c2 ? 0 , ? x ? my ? c,

? 6mc ? ? 6mc ? ? 6mc ? ? , ? y1 ? y2 ? 2 2 2(4 ? 3m ) 2(4 ? 3m ) 4 ? 3m 2 ? 所以 ? ┄┄┄┄┄┄8 分 2 ? y ? y ? 6mc ? ? ? 6mc ? ? ? ? 9c , ? 1 2 2(4 ? 3m 2 ) 2(4 ? 3m 2 ) 4 ? 3m 2 ?
8c ? x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2c ? ? 2 , ? ? 3m ? 4 故? 2 2 2 ? x ? x ? m 2 y y ? mc( y ? y ) ? c 2 ? 4c ? 12m c , 1 2 1 2 1 2 ? 3m 2 ? 4 ?



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8



k1 y2 ( x1 ? 2c) 3 3(2c ? x)(2c ? x) 2 2 2 ,及 y ? (4c ? x ) ? ,┄┄9 分 ? 4 4 k2 y1 ( x2 ? 2c)

k12 y22 ( x1 ? 2c)2 (2c ? x1 )(2c ? x2 ) 4c 2 ? 2c( x1 ? x2 ) ? x1 x2 得 2 ? 2 , ? ? k2 y1 ( x2 ? 2c)2 (2c ? x1 )(2c ? x2 ) 4c 2 ? 2c( x1 ? x2 ) ? x1 x2
k k
2 1 2 2

将①代入上式得

16c 2 4c 2 ? 12m 2 c 2 ? 36c 2 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4 ? ? ? 9 ,┄┄10 分 16c 2 4c 2 ? 12m 2 c 2 4c 2 2 4c ? ? 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4 4c 2 ?

注意到,得

k1 y2 ( x1 ? 2c) ? ? 0 ,┄┄11 分 k2 y1 ( x2 ? 2c)
┄┄┄┄┄┄12 分

所以 k1 : k2 ? 3 为所求.
2

22. (Ⅰ)证明:? DE ? EF ? EC ,?

DE EF ? , CE ED

又 ?DEF ? ?CED , ? ?DEF ? ?CED , ?EDF ? ?ECD , 又? CD / / PA,??ECD ? ?P 故 ?P ? ?EDF ,所以 A, P, D, F 四点共圆.┄┄┄┄5 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)及相交弦定理得 PE ? EF ? AE ? ED ? 24 , 又 BE ? EC ? AE ? ED ? 24 ,

? EC ? 6, EF ?

DE 2 8 ? , PE ? 9, PB ? 5, PC ? PB ? BE ? EC ? 15 , EC 3
2

由切割线定理得 PA ? PB ? PC ? 5 ? 15 ? 75 , 所以 PA ? 5 3 为所求. ┄┄┄┄10 分

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