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等比数列的前n项和公式课件


§ 2.5 等比数列的前n项和

一:复习
1、等比数列
2、等比数列的通项公式 3、既是等差又是等比数列的数列 4、等比中项 5、判断等比数列的方法 6、等比数列的性质

? a n

等比数列:如果一个数列从第二项起,每 一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列.这个常

数叫 叫做等比数列的公比。 公比通常用字母q表示(q≠0),即: an ? 1 {an} 成等比数列 ? =q(,q≠0)
an

{an} 成等比数列的必要非 “an ≠0”是数列 充 分条件。(前提条件)

等比数列的通项公式:

an ? a1 ? q
an ? am ? q
n?m

n ?1

,

(a1 ? q ? 0)

既是等差又是等比数列的数列:
非零常数列. 如: 1,1,1,1,......,1,1 a,a,a,a,......,a,a(a为常数)

等比中项:

G为a与b的等比中项.
即: G=±(a,b同 号).

判断等比数列的方法:

an ? an?1 ? q (n≥2, q ? 0 (1)定义法: , an?1 ≠0 ? { a} n 是等比数列.
an = an ?1 ?an ? 2 (n≥2, (2)中项法: an?1 , an?1 , an ≠0) ? { an }是等比数列.
an =c· qn (3)通项公式法: (c,q ?{ an}是等比 均是不为零的常数) 数列
2

等比数列的性质

设{an}为等比数列,首项为
a1,公比为q. (1)、当q>1,a1>0或0<q<1, a1<0时,{an}是递增数列;当 q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时, {an}是递减数列;当q=1时, {an}是常数列;当q<0时,{an} 是摆动数列.

(2)、an=am· qn-m(m、n∈N*).

(3)、当m+n=p+q(m、n、q、p∈N* )
时,有am· an=ap· aq. (4)、{an}是有穷数列,则与首末两项等 距离的两项积相等,且等于首末两项之积.

(5)、数列{λan}(λ为不等于零的常数)
仍是公比为q的等比数列;若{bn}是公 比为q′的等比数列,则数列{an· bn}是公

比为qq′的等比数列;数列是公比为的等比数列; 数列{1/an}是公比为1/q的等比数列;{|an|}是
公比为|q|的等比数列.

(6)、在{an}中,每隔 k(k∈N*)项取出一项,按 原来顺序排列,所得新数 列仍为等比数列且公比为 qk+1.

(7)、当数列{an}是各项均为正数的等比 数列时,数列{lgan}是公差为lgq的等差数列. (8)、{an}中,连续取相邻两项的和(或 差)构成公比为q的等比数列. (9)、若m、n、p(m、n、p∈N*)成

等差数列时,am、an、ap成等比数列.

某建筑队,由于资金短缺,向某砖厂赊借红砖盖

房,可砖厂厂长很风趣,提出了这样一个条件:在一个
月(30天)内,砖厂每天向建筑队提供10000块砖,

为了还本付息,建筑队第一天要向厂方返还1块砖,
第二天返还2块砖,第三天返还4块砖,即每天返还的

砖数是前一天的2倍,请问,假如你是建筑队队长,你
会接受这个条件吗 ? 同学们,根据以上条件,你能提取 到什么信息?

建立出数学模型:
建筑队在这 30天内向砖 厂赊借与返 还的砖数分 S30 别记为 S '30、

赊借: 令常数列{an }, 其中a1 ? 10000,
S '30 ? 10000 ? 30 ? 3.0 ?105 ;

返还: 令等比数列{bn }, 其中b1 ? 1, q ? 2,
S30 ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 228 ? 229.

求等差数列{an }的前n项和用了 倒序相加法 即
S n ? a1 ? a2 ? ? ? an
S n ? an ? an ?1 ? ? ? a1

两式相加 而得 S n
能否找到一 个式子与原 式相减能消 去中间项?

对于式子是否也能用倒序相加法呢??

S30 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 28 ? 2 29
2
22 23

229

230

S30 ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 228 ? 229


30

两边同时乘以2,

2S30 ????2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2
2 3 29



由①-②得,
? S30 ? 1 ? 2
'
30


5

S30 ? 230 ? 1 ? 1.0 ?1010.
'

而S30 ? 3.0 ?10 ,显然S30比S30 大得多,
因此,建筑队队长最好不要同意这样的 条件,否则会亏大的.

对于一般的等比数列我们又将怎样求得它的前n项和呢?

{an } 设 为等比数列, a1 为首项,q 为公比,它的前n项和
Sn ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ? ? a1q n ?2 ? a1q n ?1



两边同时乘以 q 为
qSn ? a1q ? a1q ? a1q ? ? ? a1q
2 3 n ?1

? a1q

n

错 位 4 相 减

由③- 4 得
(1 ? q ) S n ? a1 ?1 ? q n ?

(1 ? q ) S n ? a1 ?1 ? q

n

? ? S ?

n

a1 ?1 ? q n ? 1? q
等比数列的 通项公式

分类讨论 当 q ? 1时,
Sn ?

a1 ?1 ? q 1? q

n

?? a

an ? a1q n ?1

1

? an q ; 1? q

当 q ? 1 时, 即{an } 是一个常数列

S n ? na1.

例1 求等比数列

1 1 1 , , ,? 2 4 8
1 4 1 2

的前8项的和.

解 由题意知,
Sn ? a1 ?1 ? q n ? 1? q

1 a1 ? , q ? 2
1 2

1 ? , n ?8 2

代入公式

S8 ?

8 ? 1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?2? ? ? ? ? ? 255 1 256 1? 2

a1 , q, n, Sn

练习 紧接例1,补充两个小问
63 (1) 此等比数列的前多少项等于 64 ? 1 1 1 63 4 a ? , q ? ? , S ? , 因为 1 2 n 1 2 64 2

所以

1 2

n ? ?1? ? ?1 ? ? ? ? ?2? ? ? ? ? ? 63 , 1 64 1? 2



n ? 6.

63 则此数列的前6项之和等于 64 .

1 1 1 (2)求等比数列 , , ,…第5项到第10项之和? 2 4 8

方法一:

因为

1 a1 ? , q ? 2

1 4 1 2

1 ? , 2
10 ? 1 ?1? ? ?1 ? ? ? ? 2? ?2? ? 1023 ? ? S10 ? ? . 1 1024 1? 2



4 ? 1 ?1? ? ?1 ? ? ? ? 2? ? ?2? ? ? 15 S4 ? ? , 1 16 1? 2

所以

S10 ? S4 ?

1023 15 63 ? ? . 1024 16 1024

方法二: (构造新数列)
可将原数列的第5项看做新数列{bn } 的第1项,第10项之 1 和看做第6项,新数列的公比仍为 2 ,则原题的所求的即为 新数列的前6项之和,记作 S '6 .
1 1 因为 a1 ? , q ? , 2 2
等比数列的 通项公式



?1? a5 ? a1q ? ? ? , ?2?
4

5

an ? a1q n ?1



?1? b1 ? ? ? , ?2?
?1? ? ? ?2?
5

5

1 q? . 2

n b (1 ? q ) ' 1 Sn ? 1? q

所以

S '6 ?

? ? 1 ?6 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? 63 . 1 1024 1? 2

方法三: (与方法二构造数列)
1 1 因为 a1 ? , q ? , 2 2



?1? ?1? 9 a5 ? a1q ? ? ? , a10 ? a1q ? ? ? , ?2? ?2?
4

5

10

?1? ?1? 则 b1 ? ? ? , b6 ? ? ? , q ? 1 . 2 ?2? ?2?
1 ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? 63 2 2 2 ' S6 ?? ? ? ? ? 1 1024 1? 2
5 10

5

10

a1 ? an q Sn ? 1? q
'

所以

课堂小结

(1)等比数列的前n项和公式
? a1 ?1 ? q n ? a1 ? an q ? Sn ? ? , ? q ? 1? 1? q 1? q ? ? ? Sn ? na1?????????????????????????????????? ? q ? 1?

(2) 公式推导过程中用到的“错位相减” 方法; (3) 公式的运用.

a1 , q, n, Sn

作业布置
(1)复习今天所学内容; 必做题: 课本 p58 的1,2题; (2)思考题:能否用其他方法推导等比数列 前n项和公式; (3)趣味题: 远望巍巍塔七层, 红光点点倍自增, 共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯?


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