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2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学专业)


第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)2010
(150 分钟) 一、 (25 分,每小题 5 分) (1)设 xn = (1 + a )(1 + a ) L (1 + a ), 其中 | a |< 1, 求 lim xn .
2 2n
n →∞

? 1? (2)求 lim e ?1 + ? 。 x →∞ ? x?
?x

x2

(3)设 s > 0 ,求 I =





0

e ? sx x n dx(n = 1, 2,L) 。
?2 g ?2 g ?1? x 2 + y 2 , g ( x, y ) = f ? ? ,求 2 + 2 。 ?x ?y ?r?

(4)设函数 f (t ) 有二阶连续导数, r =

(5)求直线 l1 : ?

?x ? y = 0 x ? 2 y ?1 z ? 3 与直线 l2 : = = 的距离。 4 ?2 ?1 ?z = 0

二、 (15 分)设函数 f ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 上具有二阶导数,并且

f ′′( x) > 0, lim f ′( x) = α > 0, lim f ′( x) = β < 0, 且存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) < 0 。
x →+∞ x →?∞

证明:方程 f ( x ) = 0 在 ( ?∞, +∞ ) 恰有两个实根。

? x = 2t + t 2 (t > ?1) 所确定,其中ψ (t ) 具有二阶 三、 (15 分)设函数 y = f ( x) 由参数方程 ? ? y = ψ (t )
导数,曲线 y = ψ (t ) 与 y = 四、 (15 分)设 an > 0, S n =
+∞



t2

1
n

e? u du +
2

3 在 t = 1 出相切,求函数ψ (t ) 。 2e

∑ a , 证明:
k =1 k

(1)当 α > 1 时,级数

∑ Sα
n =1 n

an

收敛;
+∞

(2)当 α ≤ 1 且 sn → ∞( n → ∞ ) 时,级数

∑ Sα
n =1 n

an

发散。

五、 (15 分)设 l 是过原点、方向为 (α , β , γ ) , (其中 α 2 + β 2 + γ 2 = 1) 的直线,均匀椭球

x2 y2 z2 + + ≤ 1 ,其中( 0 < c < b < a, 密度为 1)绕 l 旋转。 a2 b2 c2
(1)求其转动惯量; (2)求其转动惯量关于方向 (α , β , γ ) 的最大值和最小值。

六、(15 分)设函数 ? ( x ) 具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 C 上,曲线 积分


c

2 xydx + ? ( x)dy 的值为常数。 x4 + y 2

(1)设 L 为正向闭曲线 ( x ? 2) 2 + y 2 = 1, 证明 (2)求函数 ? ( x) ;


c

2 xydx + ? ( x)dy = 0; x4 + y 2

(3)设 C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求


c

2 xydx + ? ( x)dy 。 x4 + y 2


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