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黄冈市2015年高三年级元月质量检测(理科)


黄冈市 2015 年高三年级元月质量检测
理科数学 2015.1 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个符合题 目要求的。 ) 1.已知集合 M ? {1, 2, zi} ,i 为虚数单位, N ? {3, 4} ,若 M 是 A. ? 4 i B. 4i C. ? 4 D.

4

N ? {4} ,则复数 z 的共轭复数 z 的虚部

2.对于一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同 的方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 A.

p1 , p2 , p3 ,则
D.

p1 ? p2 ? p3

B.

p1 ? p2 ? p3

C.

p2 ? p3 ? p1

p1 ? p3 ? p2

3.下列命题中,正确的一个是 A.
2 ?x0 ? R,ln( x0 ? 1) ? 0
2 x

B. ?x ? 2, x ? 2

C.若 q是?p 成立的必要不充分条件,则 D.若 x ? k? (k ? Z ) ,则

?q是p 成立的充分不必要条件

sin 2 x ?

2 ?3 sin x

4.根据如图所示的框图,对大于 2 的整数 N,输出的数列的通项公式是 A. C.

an ? 2n?1
an ? 2(n ?1)

B. D.

an ? 2n an ? 2n

y ? sin( x ? ) cos( x ? ) 2 2 的图象沿 x 轴向右平移 8 个单位后, 5.将函数
得到一个偶函数的图象,则

?

?

?

? 的取值不可能是

5? A. 4 ?

?
B.

?
4

? C. 4

3? D. 4

?x ? y ? 2 ? x ?1 ?2 ? 1 ?log ( y ? 1) ? 0 2 6. 已知 O 是坐标原点, 点 A(?1,1) , 若点 M ( x, y ) 为平面区域 ? 上的一个动点, 则 AO ? OM
的取值范围是 A. [?2, 0] B. [?2, 0) C. [0, 2] D. (0, 2]

Sn a5 n ? (n ? N * ) ? S , T { a },{ b } T 2 n ? 1 b n n n n n 6 7.设 分别是等差数列 的前 n 项和,若 ,则
5 A. 13 9 B. 19 11 C. 23 9 D. 23
2

8.若 a 和 b 是计算机在区间 (0, 2) 上产生的随机数,那么函数 f ( x) ? lg(ax ? 4 x ? 4b) 的值域为 R(实数 集)的概率为

1 ? 2 ln 2 4 A.

3 ? 2 ln 2 4 B.

1 ? ln 2 C. 2

1 ? ln 2 D. 2

9.已知双曲线



=1(b>a>0) ,直线 l 过点 A(a,0)和 B(0,b) ,若原点 O 到直线 l 的距离为 )

(c 为双曲线的半焦距) ,则双曲线的离心率为(

2 3 或2 A. 3

B. 2

2 3 C. 3

D.2

10.定义:如果函数 f(x)在[a,b]上存在 x1,x2(a<x1<x2<b) ,满足 f′(x1)=



f′(x2)=

,则称函数 f(x)是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数 f(x)= x3﹣x2+a ) D. (1, )∪ ( ,3)

是[0,a]上“双中值函数”,则实数 a 的取值范围是( A.(1,3) B. ( ,3) 二、填空题(5×5=25 分)

C. (1, )

11.已知点 A(1,3), B(4, ?1) ,则与向量 AB 方向相反的单位向量的坐标为 12.函数 y ? 3 x ?1 ? 12 ? 2x 的最大值为 。



? 1 6 ?( ? 2 x) , x ? 0, f ( x) ? ? x ?? x , x ? 0. ? 13.设函数 则 x ? 0 时, f [ f ( x)] 表达式中的展开式中的常数项为
(用数字作答) 14.定义:曲线 C 上点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到 l 的距离。已知曲线
2 2 l : y ? x 的距离等于曲线 C2 : x ? ( y ? 4) ? 2 到直线 l : y ? x 的距离,则实数 a ?

C1 : y ? x2 ? a 到直线

15.设集合 M={1,2,3,…,n} (n∈ N+) ,对 M 的任意非空子集 A,定义 f(A)为 A 中的最大元素, 当 A 取遍 M 的所有非空子集时,对应的 f(A)的和为 Sn,则:① S3= .② Sn= . 三、解答题(75 分)

f ( x) ? sin 2 x ? cos(2 x ? ). 3 16. (本题满分 12 分)设函数
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值及此时 x 的取值集合;

?

(Ⅱ)设 A, B, C 为 ?ABC 的三个内角,若

cos B ?

1 C 1 f( )?? 3, 2 4 ,且 C 为锐角,求 sin A 的值。

17. (本题满分 12 分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)甲和乙,系统甲和系统乙

1 49 . 在任意时刻发生故障的概率分别为 5 和 P,若在任意时刻至多有一个系统发生故障的概率为 50
(Ⅰ)求 P 的值; (Ⅱ)设系统乙在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ? ,求 ? 的数学期望

E(? )和方差D ( ? ).
18. 若数列{An}满足 An+1=An2, 则称数列{An}为“平方递推数列”. 已知数列{an}中, a1=2, 点 (an, an+1) 在函数 f(x)=2x2+2x 的图象上,其中 n 为正整数. (1)证明数列{2an+1}是“平方递推数列”,且数列{lg(2an+1)}为等比数列; (2)设(1)中“平方递推数列”的前 n 项之积为 Tn,即 Tn=(2a1+1) (2a2+1)…(2an+1) ,求数列{an} 的通项及 Tn 关于 n 的表达式; (3)记 bn=log2an+1Tn,求数列{bn}的前 n 项和 Sn,并求使 Sn>2012 的 n 的最小值. 19. (12 分)香港违法“占中”行动对香港的经济、政治、社会及民生造成重大损失,据香港科技大学经济 系教授雷鼎鸣测算,仅香港的“占中”行动开始后一个多月的时间,保守估计造成经济损失 3500 亿港元,相 等于平均每名港人承受了 5 万港元的损失,为了挽回经济损失,某厂家拟在新年举行大型的促销活动,经 测算某产品当促销费用为 x 万元时,销售量 t 万件满足 t=5﹣ (其中 0≤x≤a2﹣3a+3,a 为正常数) .现 假定生产量与销售量相等,已知生产该产品 t 万件还需投入成本(10+2t)万元(不含促销费用) ,产品的 销售价格定为(4+ )万元/万件. (1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; (2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大. 20. (13 分)已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F2,点 F1 与 F2 关于坐标原点对称,以 F1,F2 为焦点的椭圆 C, 过点(1, ) , (Ⅰ )求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ ) 设T (2, 0) , 过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, 且 的最小值. 21. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax , g ( x) ? ln x ,其中 a ? R. (Ⅰ)若函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 有极值 1,求实数 a 的值; (Ⅱ)若函数 G( x) ? f [sin(1 ? x)] ? g ( x) 在区间 (0,1) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; =λ , 若 λ∈ [﹣2, ﹣1], 求| + |2

(Ⅲ)证明: k ?1

? sin (k ? 1)

n

1

2

? ln 2.

答案
1---10 11. 12. 13. ﹣160 14. 15. ① S3=17,② Sn=(n﹣1)2n+1. 16. 考点:三角函数中的恒等变换应用;正弦定理.. 专题:计算题;三角函数的求值. DACBC BDBDB

分析: (Ⅰ )利用三角恒等变换公式化简 f(x)= 值及最大值点; (Ⅱ ) 由f ( ) = ﹣ 从而求值. sinC=﹣ 可得 sinC=

+ cos2x﹣

sin2x= ﹣

sin2x,从而求最大

, 从而得到 C=

, 则 sinA=sin (

﹣B) =

cosB+ sinB,

解答:解: (Ⅰ )f(x)= ∴ 当 sin2x=﹣1 时, f(x)max= 此时 2x=2kπ﹣ ; (k∈ Z) ,

+ cos2x﹣

sin2x= ﹣

sin2x,…(2 分)

…(4 分)

∴ x 的取值集合为{x|x=kπ﹣ (Ⅱ )∵ f( )= ﹣ ∴ sinC= , ∵ C 为锐角, ∴ C= ,…(8 分)

,k∈ Z}.

…(6 分)

sinC=﹣ ,

由 cosB= 得 sinB=

=



∴ sinA=sin( ﹣B)= cosB+ sinB= . …(12 分) 点评:本题考查了三角恒变换及三角函数的性质应用,属于基础题. 17. (本题满分 12 分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)甲和乙,系统甲和系统乙

1 49 . 在任意时刻发生故障的概率分别为 5 和 P,若在任意时刻至多有一个系统发生故障的概率为 50
(Ⅰ)求 P 的值; (Ⅱ)设系统乙在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ? ,求 ? 的数学期望

E(? )和方差D ( ? ).
考点:离散型随机变量的期望与方差.. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ )记“系统甲发生故障、系统乙发生故障”分别为事件 A、B,“任意时刻至多有一个系统发生故障” 为事件 C.则 P(C)=1﹣P(AB)=1﹣P(A)P(B) ,由此能求出 P 的值. (Ⅱ )依题意 ξ~B(3, ) ,由此能求出 E(ξ)和 D(ξ) . 解答:解: (Ⅰ )记“系统甲发生故障、系统乙发生故障”分别为事件 A、B, “任意时刻至多有一个系统发生故障”为事件 C. 则 P(C)=1﹣P(AB)=1﹣P(A)P(B)=1﹣ ?P= ∴ P= …(5 分) ) , ,

(Ⅱ )依题意 ξ~B(3, ∴ E(ξ)=3× =

,…(8 分)

D(ξ)=3× × = .…(12 分) 点评:本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时要认真 审题,注意二项分布的性质的合理运用.

18. 若数列{An}满足 An+1=An2, 则称数列{An}为“平方递推数列”. 已知数列{an}中, a1=2, 点 (an, an+1) 在函数 f(x)=2x2+2x 的图象上,其中 n 为正整数. (1)证明数列{2an+1}是“平方递推数列”,且数列{lg(2an+1)}为等比数列; (2)设(1)中“平方递推数列”的前 n 项之积为 Tn,即 Tn=(2a1+1) (2a2+1)…(2an+1) ,求数列{an} 的通项及 Tn 关于 n 的表达式; (3)记 bn=log2an+1Tn,求数列{bn}的前 n 项和 Sn,并求使 Sn>2012 的 n 的最小值. 考点:数列与不等式的综合;数列的求和;数列递推式.. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)由 an+1=2an2+2an,2an+1+1=2(2an2+2an)+1=(2an+1)2,能证明数列{2an+1}是“平方递推

数列”,由此能求出数列{lg(2an+1)}为首项是 lg5,公比为 2 的等比数列. (2)由已知得 an= (5 ﹣1) ,由此能求出 Tn=5 .

(3)由 bn=

=

=2﹣

,得 Sn=2n﹣2+

.由此能求出使 Sn>2012

的 n 的最小值. 解答: (1)证明:∵ an+1=2an2+2an,2an+1+1=2(2an2+2an)+1=(2an+1)2, ∴ 数列{2an+1}是“平方递推数列”. 由以上结论 lg(2an+1+1)=lg(2an+1)2=2lg(2an+1) , ∴ 数列{lg(2an+1)}为首项是 lg5,公比为 2 的等比数列.…(4 分) (2)解:lg(2an+1)=[lg(2a1+1)]× 2n﹣1=2n﹣1lg 5=lg5 ∴ 2an+1=5 ,∴ an= (5 ﹣1) . ∵ lg Tn=lg(2a1+1)+…+lg(2an+1)=(2n﹣1)lg 5, ∴ Tn=5 .…(8 分) ,

(3)解:∵ bn=

=

=2﹣



∴ Sn=2n﹣2+



∵ Sn>2 014,∴ 2n﹣2+

>2 014.

∴ n+ >1008.∴ nmin=1008.…(12 分) 点评:本题考查数列是“平方递推数列”,且为等比数列的证明,考查数列{an}的通项及 Tn 关于 n 的表达 式的求法,考查使 Sn>2012 的 n 的最小值的求法,解题时要注意对数性质的合理运用. 19. (12 分)香港违法“占中”行动对香港的经济、政治、社会及民生造成重大损失,据香港科技大学经济 系教授雷鼎鸣测算,仅香港的“占中”行动开始后一个多月的时间,保守估计造成经济损失 3500 亿港元,相 等于平均每名港人承受了 5 万港元的损失,为了挽回经济损失,某厂家拟在新年举行大型的促销活动,经 测算某产品当促销费用为 x 万元时,销售量 t 万件满足 t=5﹣ (其中 0≤x≤a2﹣3a+3,a 为正常数) .现 假定生产量与销售量相等,已知生产该产品 t 万件还需投入成本(10+2t)万元(不含促销费用) ,产品的 销售价格定为(4+ )万元/万件. (1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; (2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大. 考点:基本不等式在最值问题中的应用;函数模型的选择与应用.. 专题:应用题;函数的性质及应用.

分析: (1)确定该产品售价为 2× (

)万元,y=2× (

)× t﹣10﹣2t﹣x,销售量 t 万件满足 t=5

﹣ 代入化简得该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; (2)分类讨论,利用基本不等式及函数的单调性,可求厂家的利润最大. 解答:解: (1)由题意知,该产品售价为 2× ( y=2× ( )× t﹣10﹣2t﹣x, 代入化简得 y=20﹣( +x) , (0≤x≤a2﹣3a+3)…(5 分) =17 )万元,

销售量 t 万件满足 t=5﹣ (2)y=21﹣(

+x+1)≤21﹣2

当且仅当 =x+1 即 x=1 时,上式取等号 …(8 分) 当 1≤a2﹣3a+3,即 a≥2 或 0<a≤1 时,促销费用投入 1 万元时,厂家的利润最大; (9 分)

当 a2﹣3a+3<1,即 1<a<2 时,y=

>0,故 y=21﹣(

+x+1)在 0≤x≤a2﹣3a+3

上单调递增,所以在 0≤x≤a2﹣3a+3 时,函数有最大值.促销费用投入 x=a2﹣3a+3 万元时,厂家的利润最 大 …(11 分) 综上述,当 a≥2 或 0<a≤1 时,促销费用投入 1 万元时,厂家的利润最大; 当 1<a<2 时,促销费用投入 x=a2﹣3a+3 万元时,厂家的利润最大 …(12 分) 点评:本题考查函数模型的选择与应用,考查基本不等式的运用,确定函数解析式是关键. 20. (13 分)已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F2,点 F1 与 F2 关于坐标原点对称,以 F1,F2 为焦点的椭圆 C, 过点(1, ) , (Ⅰ )求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ ) 设T (2, 0) , 过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, 且 的最小值. 考点:抛物线的简单性质.. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. =λ , 若 λ∈ [﹣2, ﹣1], 求| + |2

分析: (Ⅰ )设椭圆的半焦距为 c,由 y2=4x 求得 c=1.设椭圆 C 的标准方程为

(a>b>0) ,由

于椭圆 C 过点(1, ) ,代入椭圆方程结合 a2=b2+c2,联立解得即可; (II)设 l:x=ky+1,与椭圆的方程联立可得根与系数的关系,由 λ∈ [﹣2,﹣1)可得到 k2 的取值范围.由



=(x1﹣2,y1) ,

=(x2﹣2,y2) ,通过换元,令 t=

∈ [

, ],即可得出|

+

|2 的最小值.

解答:解: (Ⅰ )设椭圆的半焦距为 c,由 y2=4x 得 c=1,

设椭圆 C 的标准方程为

(a>b>0) ,

∵ 椭圆 C 过点(1,

) ,





又 a2=b2+1, 联立解得 b2=1,a2=2.

故椭圆 C 的标准方程为椭圆方程为

+y2=1…(5 分)

(Ⅱ )由题意可设 l:x=ky+1,由

得(k2+2)y2+2ky﹣1=0…(6 分)

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则有

将① 2÷ ② 得

+2=﹣

?λ+

+2=

…(8 分)

由 λ∈ [﹣2,﹣1]得﹣ ≤λ+ =(x1﹣2,y1) ,

+2≤0?﹣ ≤

≤0,0≤k2≤ …(9 分)

=(x2﹣2,y2) ,

+

=(x1+x2﹣4,y1+y2)x1+x2﹣4=k(y1+y2)﹣2=﹣



|

+

|=

+

=

=16﹣

+

令 t=

∈ [

, ],|

+

|2=8t2﹣28t+16

∴ t= 时| + |2 的最小值是 4 点评:本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与 系数、换元法、分类讨论、向量相等及其向量运算和向量的模等基础知识与基本技能方法,考查了分析问 题和解决问题的能力,考查了推理能力和计算能力,属于中档题. 21. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax , g ( x) ? ln x ,其中 a ? R. (Ⅰ)若函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 有极值 1,求实数 a 的值;

(Ⅱ)若函数 G( x) ? f [sin(1 ? x)] ? g ( x) 在区间 (0,1) 上是增函数,求实数 a 的取值范围;

(Ⅲ)证明: k ?1

? sin (k ? 1)

n

1

2

? ln 2.

考点:函数在某点取得极值的条件;利用导数求闭区间上函数的最值.. 专题:计算题;压轴题;导数的综合应用. 分析: (I)根据已知条件函数 F(x)=f(x)﹣g(x)有极值 1,可得 F′(1)=0,得出等式,求出 a 值; (II)因为函数 G(x)=f[sin(1﹣x)]+g(x)在区间(0,1)上为增函数,可以对其进行转化,可以转 化为 G′(x)>0 在(0,1)上恒成立,利用常数分离法进行求解;

(Ⅲ )这个证明题可以利用一个恒等式,sinx<x,然后对 进行证明; 解答: 解: ( I)∵ 函数 f(x)=ax,g(x)=lnx,其中 a∈ R. ∴ F(x)=ax﹣lnx,则 F′(x)=a﹣ , ∵ 函数 F(x)=f(x)﹣g(x)有极值 1, ∴ F′(1)=0, ∴ a﹣1=0,解得 a=1; ( II)∵ 函数 G(x)=f[sin(1﹣x)]+g(x)=asin(1﹣x)+lnx, ∴ G′(x)=acos(1﹣x)× (﹣1)+ , 只要 G′(x)>0 在区间(0,1)上大于 0, ∴ G′(x)=acos(1﹣x)× (﹣1)+ >0,

从第三项开始进行放缩,然后

∴ a<

,求

的最小值即可,

求 h(x)=xcos(1﹣x)的最大值即可,0<1﹣x<1, ∵ h′(x)=cos(1﹣x)+xsin(1﹣x)>0, ∴ h(x)在(0,1)增函数, h(x)<h(1)=1,

∴ ∴ a≤1;

的最小值为 1,

(Ⅲ )∵ 0<

<1,

∵ sinx<x 在 x∈ (0,1)上恒成立,



=sin

+sin

+…+sin



+

+…+

< + +

+

+

+…+

=





<ln2,



<ln2;

点评:第一问利用导数可以很容易解决,第二问利用了常数分离法进行证明,第三问需要进行放缩证明, 主要利用 sinx<x 进行证明,此题难度比较大,计算量比较大;


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