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山东省滕州市第三中学2015届高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案


一、选择题:本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {0,1,2,3}, B ? {x | x ? a ? b, a, b ? A, a ? b},则( A. A ? B ? A C. C( A?B) A ? {1 } B. A ? B ? B D. C( A?B) A ? {4,5} )

2.若复数 z ? ( x2 ? 1) ? ( x ? 1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为 A. ?1 B. 0 C. 1 D. ?1 或 1

3.把函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度,所得图象恰与函数 y ? e x 的反函数图像重合, 则 f(x)= A. ln x ? 1 B. ln x ? 1 C. ln( x ? 1) D. ln( x ? 1)

4.“ ? ? 1 ”是“ 函数 f ( x) ? cos ? x 在区间 ? 0, π ? 上单调递减”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.执行如图所示的程序框图,则输出的 a 的值为(注:“ a ? 2 ”,即为“ a ? 2 ”或为“ a :?? 2 ”. )

A. 2

B.

1 3
-1-

C. ?

1 2

D. ?3

6.( x ?

1 4 ) 的展开式中常数项为 2x 1 2

A.

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

7.如图,在矩形 OABC 内:记抛物线 y ? x2 ? 1 与直线 y ? x ? 1 围成的区域为 M (图中阴影部 分) .随机往矩形 OABC 内投一点 P ,则点 P 落在区域 M 内的概率是

A.

1 18

B.

1 12

C.

1 6

D.

1 3

8 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 定 义 两 点 P( x1 , y1 ) 与 Q( x2 , y2 ) 之 间 的 “ 直 角 距 离 ” 为

d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 .给出下列命题:
(1)若 P(1, 2) , Q(sin ? , 2cos ? )(? ? R) ,则 d ( P, Q) 的最大值为 3 ? 5 ;
2 2 (2)若 P, Q 是圆 x ? y ? 1上的任意两点,则 d ( P, Q) 的最大值为 2 2 ;

(3)若 P(1,3) ,点 Q 为直线 y ? 2 x 上的动点,则 d ( P, Q) 的最小值为 其中为真命题的是 A. (1) (2) (3) B. (1) (2) C. (1) (3)

1 . 2

D. (2) (3)

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本大题分为必做 题和选做题两部分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.函数 f(x)? 2x ? 4 的定义域为 .

10.某几何体的三视图如图所示,其正视图是边长为 2 的正方形,侧视图和俯视图都是等腰 直角三角形,则此几何体的体积是 .

-2-

11.已知双曲线 C :

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1 有相同的焦点,且双曲线 C 的渐近线方程 与椭圆 a 2 b2 9 4


为 y ? ?2 x ,则双曲线 C 的方程为

? x ? y, ? 12.设实数 x, y 满足 ? y ? 10 ? 2 x, 向量 a ?(2 x ? y, m), b ?(?1, 1).若 a?//?b ,则实数 m 的最 ? x ? 1, ?
大值为 . .

13.在数列 ?an ? 中,已知 a2 ? 4 , a3 ? 15 ,且数列 ?an ? n? 是等比数列,则 an ?

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得 分. 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极
? ? x ? t, 轴建立极坐标系.若曲线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C2 的极坐标方程为 2 ? ?y ? 1? t .

? sin ? ? ? cos? ? ?1 .则曲线 C1 与曲线 C2 的交点个数为________个.
15. (几何证明选讲选做题)如图 4,已知 AB 是⊙ O 的直径, TA 是⊙ O 的切线,过 A 作弦
AC //BT ,若 AC ? 4 , AT ? 2 3 ,则 AB ?



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

-3-

已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? π) 的图像经过点 ( (1)求 ? 的值;

π , 1) . 12

(2)在 ?ABC 中, ? A 、 ? B 、 ?C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 a 2 ? b2 ? c2 ? ab ,且

f(

A π 2 .求 sin B . ? )? 2 12 2

17. (本小题满分 12 分) 某网络营销部门为了统计某市网友 2013 年 11 月 11 日在某淘宝店的网购情况,随机抽查了该 市当天 60 名网友的网购金额情况,得到如下数据统计表(如图(1) ) :
网购金额 (单位:千元) 频数 频率

(0, 0.5]

3

0.05
p

(0.5,1] (1,1.5]
(1.5, 2]

x
9 15 18
y

0.15
0.25 0.30
q

(2, 2.5]
(2.5,3]
合计

60

1.00

若网购金额超过 2 千元的顾客定义为“网购达人”,网购金额不超过 2 千元的顾客定义为“非网 购达人”,已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为 3 : 2 .

(1)试确定 x , y , p , q 的值,并补全频率分布直方图(如图(2) ). (2)该营销部门为了进一步了解这 60 名网友的购物体验,从“非网购达人”、“网购达人”中用
-4-

分层抽样的方法确定 10 人,若需从这 10 人中随机选取 3 人进行问卷调查.设 ? 为选取的 3 人 中“网购达人”的人数,求 ? 的分布列和数学期望. 18. (本小题满分 14 分) 如图所示,平面 ABCD ? 平面 BCEF ,且四边形 ABCD 为矩形,四边形 BCEF 为直角梯 形, BF // CE , BC ? CE , DC ? CE ? 4 , BC ? BF ? 2 .
AF // 平面 CDE ; (1)求证 :

(2)求平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值; (3)求直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值.

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 4(n ? 1)(Sn ? 1) ? (n ? 2)2 an (n ? N? ) . (1)求 a1 , a2 的值; (2)求 an ; (3)设 bn ?

n ?1 3 ,数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 4 an

20. (本小题满分 14 分) 如图,直线 l : y ? x ? b(b ? 0) ,抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) ,已知点 P (2, 2) 在抛物线 C 上,
2

且抛物线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为 (1)求直线 l 及抛物线 C 的方程;

3 2 . 4

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(2)过点 Q(2,1) 的任一直线(不经过点 P )与抛物线 C 交于 A 、 B 两点,直线 AB 与直线 l 相交于点 M ,记直线 PA , PB , PM 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 .问:是否存在实数 ? ,
-5-

使得 k1 ? k2 ? ? k3 ?若存在,试求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x)?
9x (a ? 0) . 1 ? ax2
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1 (1)求 f ( x)在[ ,2]上的最大值; 2

(2)若直线 y ? ? x ? 2a 为曲线 y ? f ( x)的切线,求实数 a 的值;
?1 ? ( 3 ) 当 a ? 2 时 , 设 x1 , x, , 若 不 等 式 ? 14 2… , x? 1 4 4 ? 2 2 ? , , 且 x1 + x 2+ … + x 1 ? ?
f ( x1 )+ f( x2 )+ …+f( x14 )? ? 恒成立,求实数 ? 的最小值.

-6-

说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和 难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部 分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 40 分. 1 D 2 A 3 D 4 A 5 D 6 C 7 B 8 A

二、填空题:本大题每小题 5 分,满分 30 分.

三、解答题 16. (本小题满分 12 分)

π π ) ? 1 ,即 sin( ? ? ) ? 1 . ……………………………2 分 12 6 π π 7π π π , ? ?? ? , 0 ? ? ? π ,? ? ? ? ? 6 6 6 6 2 π ?? ? . ……………………………………………………………5 分 3
解: (1)由题意可得 f ( (2)

a 2 ? b2 ? c2 ? ab ,

? cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? , 2ab 2

……………………………………………………7 分

-7-

?sin C ? 1 ? cos 2 C ?

3 . …………………………………………8 分 2
π 3

由(1)知 f ( x) ? sin(2 x ? ) ,

A π ? 2 . ? f ( + ) ? sin( A ? ) ? cos A ? 2 12 2 2

A ? ? 0, ? ? , ?sin A ? 1 ? cos2 A ?


2 , ……………………………10 分 2

sin B ? sin(π ? ( A ? C )) ? sin( A ? C ) ,

? sin B ? sin A cos C ? cos A sin C ?

2 1 2 3 2? 6 .……………12 分 ? ? ? ? 2 2 2 2 4

【说明】 本小题主要考查了三角函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 的图象与性质,三角恒等变换, 以及余弦定理等基础知识,考查了简单的数学运算能力. 17.解: (1)根据题意,有
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?3 ? x ? 9 ? 15 ? 18 ? y ? 60, ? 2 ? 18+y ? . ? ? 3 ? x ? 9 ? 15 3
解得 ?

? x ? 9, ? y ? 6.

…………………2 分

? p ? 0.15 , q ? 0.10 .
补全频率分布直方图如图所示.………4 分

-8-

(2)用分层抽样的方法,从中选取 10 人,则 其中“网购达人”有 10 ?

2 3 =4 人,“非网购达人”有10 ? =6 人.…………………6 分 5 5

故 ? 的可能取值为 0,1,2,3;
0 3 1 2 C4 C6 1 C4 C 1 P(? ? 0) ? 3 ? , P(? ? 1) ? 3 6 ? , C10 6 C10 2 2 1 3 0 C4 C6 3 C4 C6 1 , ? P ( ? ? 3) ? ? .…………………………10 分 3 3 C10 10 C10 30

P(? ? 2) ?

所以 ? 的分布列为:

?
p

0

1

2

3

1 1 ? E? ?0 ? ? 1 ? 6 2

1 6 3 1 ? 2 ? 3 ? ? 10 30

1 2 ? . 6 5

3 10

1 30

……………………12 分

【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识, 考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力. 18. (本小题满分 14 分) 解: (法一) (1)取 CE 中点为 G ,连接 DG 、 FG ,

BF //CG 且 BF ? CG ,

? 四边形 BFGC 为平行四边形 ,则 BC //FG 且 BC ? FG .…………2 分
四边形 ABCD 为矩形, ? BC //AD 且 BC ? AD ,

? FG //AD 且 FG ? AD ,

? 四边形 AFGD 为平行四边形 ,则 AF //DG .
DG ? 平面 CDE , AF ? 平面 CDE ,
? AF // 平面 CDE .

……………………………………………………4 分

(2)过点 E 作 CB 的平行线交 BF 的延长线于 P ,连接 FP , EP , AP ,

-9-

EP // BC // AD ,

? A , P , E , D 四点共面.
四边形 BCEF 为直角梯形,四边形 ABCD 为矩形,

? EP ? CD , EP ? CE ,又 CD CE ? C ,
? EP ? 平面 CDE ,? EP ? DE ,
又 平面 ADE 平面 BCEF ? EP ,

? ?DEC 为平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的平面角.……………………7 分
DC ? CE ? 4 ,? cos ?DEC ?

CE 2 . ? DE 2 2 .……………………9 分 2

即平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值为 (3)过点 F 作 FH ? AP 于 H ,连接 EH ,

根据(2)知 A , P , E , D 四点共面, EP // BC // AD ,

? BC ? BF , BC ? AB ,


AB

BF ? B , ? BC ? 平面 ABP ,

,则 FH ? EP . ? B C? F H
- 10 -



FH ? AP , ? FH ? 平面 ADE .
……………………………11 分

? 直线 EF 与平面 ADE 所成角为 ? HEF .
DC ? CE ? 4 , BC ? BF ? 2 ,

? FH ? FP sin 450 ? 2 , EF ? FP2 ? EP2 ? 2 2 , HE ? 6 , ? cos ?HEF ?
HE 6 3 . ? ? EF 2 2 2
3 . ……………………………14 分 2

即直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值为 (法二) (1)

四边形 BCEF 为直角梯形,四边形 ABCD 为矩形,

? BC ? CE , BC ? CD ,
又 平面 ABCD ? 平面 BCEF ,且 平面 BCEF ? BC ,

平面 ABCD

? DC ? 平面 BCEF .
以 C 为原点, CB 所在直线为 x 轴, CE 所在直线为 y 轴, CD 所在直线为 z 轴建立如图所示 空间直角坐标系.

根据题意我们可得以下点的坐标:

A(2,0, 4) ,B(2, 0, 0) ,C (0,0,0) ,D(0,0, 4) ,E(0, 4,0) ,F (2, 2,0) , 则 AF ? (0, 2, ?4) ,

CB ? (2,0,0) .

………………2 分

BC ? CD , BC ? CE , ? CB 为平面 CDE 的一个法向量.


AF ? CB ? 0 ? 2 ? 2 ? 0 ? (?4) ? 0 ? 0 ,
- 11 -

? AF // 平面 CDE .

…………………………………………………………4 分

(2)设平面 ADE 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则 ?

? ? AD ? n1 ? 0, ? ? DE ? n1 ? 0.

AD ? (?2,0,0) , DE ? (0, 4, ?4) ,
??2 x ? 0 , 取 z1 ? 1,得 n1 ? (0,1,1) . ……………………………6 分 ?? 1 4 y ? 4 z ? 0 1 ? 1
DC ? 平面 BCEF ,

? 平面 BCEF 一个法向量为 CD ? (0,0, 4) ,
设平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的大小为 ? , 则 cos ? ?

CD ? n1 CD ? n1

?

4 2 . ? 2 4? 2

因此,平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值为 (3)根据(2)知平面 ADE 一个法向量为 n1 ? (0,1,1) ,

2 .…………………9 分 2

EF ? (2, ?2,0) ,

? cos ? EF , n1 ??

EF ? n1 EF ? n1

?

?2 1 ? ? ,………12 分 2 2 2? 2

设直线 EF 与平面 ADE 所成角为 ? ,则 cos ? ? sin ? EF , n1 ? ?

3 . 2

因此,直线 EF 与平面 ADE 所成角的余弦值为

3 .………………………14 分 2

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角及三角函数及空间坐标系等基础知 识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解决数学问题的能力. 19.解: (1)当 n =1 时,有 4 ? (1 ? 1)(a1 +1 )( = 1+2) a1 ,解得 a1 =8 .
2

当 n =2 时,有 4 ? (2 ? 1)(a1 ? a2 ? 1) ? (2 ? 2)2 a2 ,解得 a2 =27 .……………2 分 (2) (法一)当 n ? 2 时,有 4( S n ? 1) ?

(n ? 2) 2 an , ……………① n ?1

- 12 -

4( Sn?1 ? 1) ?

(n ? 1)2 an?1 .…………………② n

①—②得: 4an ?

(n ? 2) 2 an (n ? 1) 2 an ?1 a (n ? 1)3 ,即: n = .…………5 分 ? n ?1 n an?1 n3

?

an a ?1 a a2 = n3 = n?2 3 ? … ? 3 =1. 3 (n ? 1) n (n ? 1) 3
………………………………………8 分

? an =(n ? 1)3 (n ? 2) .
另解: an ? 又

an an?1 ? ? an?1 an?2

?

a2 (n ? 1)3 n3 ? a1 ? ? ? a1 n3 (n ? 1)3

?

43 3 ? 2 ? (n ? 1)3 . 33

当 n =1 时,有 a1 =8 ,

? an =(n ? 1)3 .…………………………8 分

(法二)根据 a1 =8 , a2 =27 ,猜想: an =(n ? 1)3 .………………………………3 分 用数学归纳法证明如下: (Ⅰ)当 n ? 1 时,有 a1 ? 8 ? (1 ? 1) ,猜想成立.
3

(Ⅱ)假设当 n ? k 时,猜想也成立,即: ak =(k ? 1)3 . 那么当 n ? k ? 1 时,有 4(k ? 1 ? 1)(Sk ?1 ? 1) ? (k ? 1 ? 2)2 ak ?1 , 即: 4( Sk ?1 ? 1) ?

(k ? 1 ? 2)2 ak ?1 ,………………………① k ?1?1

(k ? 2) 2 ak 又 4( S k ? 1) ? , …………………………② k ?1
①-②得: 4ak ?1 ?

(k ? 3)2 ak ?1 (k ? 2)2 ak (k ? 3) 2 ak ?1 (k ? 2)2 (k ? 1)3 ? = ? , k ?2 k ?1 k ?2 k ?1

解,得 ak +1 ? (k ? 2)3 ? (k ? 1 ? 1)3 .

? 当 n ? k ? 1 时,猜想也成立.
因此,由数学归纳法证得 an =(n ? 1)3 成立.………………………………………8 分 (3)

bn ?

n ?1 1 1 1 1 = ? ? ? , ……………………………10 分 2 an (n ? 1) n(n ? 1) n n ? 1

- 13 -

? Tn =b1 ? b2 ? b3 ? …? bn?1 ? bn =

1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ?…? 2 ? 2 2 3 4 n (n ? 1) 2

<

1 1 1 1 1 ? ? ?…? ? 2 2 2?3 2?3 (n ? 1)n n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ? ( ? ) ? ( ? ) ?…? ( ? )?( ? ) 4 2 3 3 4 n ?1 n n n ?1
1 1 1 3 = ? ? ? . 4 2 n ?1 4
………………………………………14 分

【说明】考查了递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、放缩法证明不等式等知识,考查 了学生的运算能力,以及化归与转化的思想. 20. (本小题满分 14 分) 解: (1) (法一) 点 P (2, 2) 在抛物线 C 上, ? p ? 1 . ……………………2 分

设与直线 l 平行且与抛物线 C 相切的直线 l ? 方程为 y ? x ? m ,

由?

? y ? x ? m, ? y ? 2 x,
2

得 x2 ? (2m ? 2) x ? m2 ? 0 ,

? ? (2m ? 2)2 ? 4m2 ? 4 ? 8m ,
? 由 ? ? 0 ,得 m ?
1 1 ,则直线 l ? 方程为 y ? x ? . 2 2

两直线 l 、 l ? 间的距离即为抛物线 C 上的点到直线 l 的最短距离,

b?
?有

1 2 3 2 ? ,解得 b ? 2 或 b ? ?1 (舍去) . 4 2

? 直线 l 的方程为 y ? x ? 2 ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2x .…………………………6 分
(法二) 点 P (2, 2) 在抛物线 C 上, ? p ? 1 ,抛物线 C 的方程为 y ? 2 x .……2 分
2

设M(

t2 , t( ) t ? R) 为抛物线 C 上的任意一点,点 M 到直线 l 的距离为 d ? 2 t2 1 ? t ? b ? 0 ,? d ? [(t ? 1)2 ? 2b ? 1] , 2 2 2
- 14 -

t2 ?t ?b 2 2

,根据

图象,有

t ? R ,? d 的最小值为

2b ? 1 2b ? 1 3 2 ,由 ,解得 b ? 2 . ? 4 2 2 2 2

因此,直线 l 的方程为 y ? x ? 2 ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2 x .…………………6 分 (2) 直线 AB 的斜率存在,? 设直线 AB 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,即 y ? kx ? 2k ? 1 , 得 ky 2 ? 2 y ? 4k ? 2 ? 0 ,

由?

? y ? kx ? 2k ? 1, ? y ? 2 x,
2

设点 A 、 B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?

2 ? 4k 2 , y1 y2 ? , k k

k1 ?

y1 ? 2 y1 ? 2 2 2 ? 2 ? , k2 ? , …………………………9 分 x1 ? 2 y1 y1 ? 2 y2 ? 2 ?2 2

2 2 ? +8 2( y1 ? y2 ) ? 8 2 2 4k ? 2 k .…10 分 ? k1 ? k2 ? ? ? ? ? 2 ? 4 k 2 y1 ? 2 y2 ? 2 y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 3 ? 2? ? 4 k k
由?

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? y ? kx ? 2k ? 1, 2k ? 1 4k ? 1 得 xM ? , yM ? , k ?1 k ?1 ? y ? x ? 2,

4k ? 1 ?2 2k ? 1 k ? 1 , ? ? k3 ? 2k ? 1 3 ?2 k ?1

……………………………………………13 分

? k1 ? k2 ? 2k3 .
因此,存在实数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ? k3 成立,且 ? ? 2 .…………………………14 分 【说明】本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系,切 线方程,点到直线距离,最值问题等基础知识,考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、 解决问题的能力,考查数形结合、化归与转化思想. 21. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ?( x) ?

9[1? (1 ? ax 2 ) ? x ? 2ax] 9(1 ? ax 2 ) ,…………………………2 分 ? (1 ? ax 2 )2 (1 ? ax 2 )2
a (负值舍去) , a

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?

- 15 -



1 1 a ? ? 2 ,解得 ? a ? 4 . 4 2 a

1 1 时,由 x ? [ , 2] ,得 f ?( x) ? 0 , 2 4 18 1 .…………………………………3 分 ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值为 f (2) ? 4a ? 1 2 1 (ⅱ)当 a ? 4 时,由 x ? [ , 2] ,得 f ?( x) ? 0 , 2 1 18 1 .……………………………………4 分 ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值为 f ( ) ? 2 a?4 2
(ⅰ)当 0 ? a ? (ⅲ)当

1 1 a a ? a ? 4 时, 在 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ,在 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 , 4 2 a a

1 a 9 a .…………………………………5 分 f ) = ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值为 ( 2 a 2a
? f ?(t ) ? ?1, (2)设切点为 (t , f (t )) ,则 ? ? f (t ) ? ?t ? 2a.

……………………………6 分

由 f ?(t ) ? ?1 ,有

9[1 ? at 2 ] ? ?1,化简得 a 2t 4 ? 7at 2 ? 10 ? 0 , 2 2 (1 ? at )

2 2 即 at ? 2 或 at ? 5 , ……………………………①

由 f (t ) ? ?t ? 2a ,有

9t ? 2a ? t ,……………② 1 ? at 2

由①、②解得 a ? 2 或 a ? (3)当 a ? 2 时, f ( x) ?

53 4 . 4
9x , 1 ? 2 x2

……………………………………………9 分

由(2)的结论直线 y ? 4 ? x 为曲线 y ? f ( x) 的切线,

f (2) ? 2 ,? 点 (2, f (2)) 在直线 y ? 4 ? x 上,
根据图像分析,曲线 y ? f ( x) 在直线 y ? 4 ? x 下方. …………………………10 分 下面给出证明:当 x ? [ , 2] 时, f ( x) ? 4 ? x .

1 2

f ( x) ? (4 ? x) ?

2 9x 2 x3 ? 8 x 2 ? 10 x ? 4 ( 2 x ? 1) ( x ? 2) ? 4 ? x ? ? , 2 2 1? 2x 1? 2x 1 ? 2x2

- 16 -

1 ? 当 x ? [ , 2] 时, f ( x) ? (4 ? x) ? 0 ,即 f ( x) ? 4 ? x .………………………12 分 2

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
x1 ? x2 ?

? f ( x14 ) ? 4 ?14 ? ( x1 ? x2 ?

? x14 ) ,

? x14 ? 14 , ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

? f ( x14 ) ? 56 ?14 ? 42 .

? 要使不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
又 当 x1 ? x2 ?

? f ( x14 ) ? ? 恒成立,必须 ? ? 42 .……………13 分 ? x14 ? 14 ,

? x14 ? 1 时,满足条件 x1 ? x2 ? ? f ( x14 ) ? 42 ,

且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

因此, ? 的最小值为 42 . …………………………………………………14 分 【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求 解与证明、恒成立问题,考查学生的分类讨论,计算推理能力及分析问题、解决问题的能力 及创新意识

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