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【智博教育原创专题】离散型随机变量的均值与方差


第 22 讲 离散型随机变量的均值与方差 备考明向 离散型随机变量的分布列、期望是高考数学中的热点、重点内容 之一,题型以解答题为主,有时也以选择题、填空题的形式出现, 难度适中。确定离散型随机变量的取值,找准其适用的概率模型, 求出随机变量的分布列是正确求得其期望的关键。 最新考纲 理解取有限个值的离散型随机变 量的均值的概念,会求简单离散 型随机变量的均值,并能解决一 些

实际问题。 一、离散型随机变量的均值 1.概念:一般地,若离散型随机变量 ? 的概率分布为 ? x1 x2 ? xn ? ? P1 P2 Pn ? P 则称 E? ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xn pn ? ? 为 ? 的数学期望,简称期望。 【理解】⑴数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平,是 一个数值,不具有随机性。由定义可知,离散型随机变量的数学期望与它的本身有相同的单位; ⑵一般地,在有限取值离散型随机变量的概率分布中,令 p1 ? p2 ? ? ? pn ,则有 1 1 p1 ? p2 ? ? ? pn ? , E? ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? ,所以 ? 的数学期望又称为平均数、均值。 n n 2.性质⑴:若 ? ? a? ? b ( a, b 是常数), ? 是随机变量,则 E (a? ? b) ? aE? ? b 。 性质⑵:若 ? ~ B(n, p) ,则 E? ? np 。 性质⑶:若随机变量 ? 服从两点分布,则 E? ? p; D? ? p(1 ? p) 。 【理解】⑴期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均; ⑵ E? 是一个实数,由 ? 的分布列唯一确定,即 ? 作为随机变量是可变的,而 E? 是不变的,它描述 X 值取值平均状态; ⑶公式 E? ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xn pn ? ? 直接给出了 E? 的求法,即随机变量取值与相应概率分别相 乘后相加。由此可知,求出随机变量的数学期望关键在于写出它的分布列。 三、离散型随机变量的方差 1.概念:对于离散型随机变量 ? ,如果它所有可能取的值是 x1 , x2 ,?, xn ,? ,且取这些值的概率分 别是 p1 , p2 ,?, pn ,则 ( xi ? E? )2 描述了 xi 相对于均值 EX 的偏离程度,而 D? ? ( x1 ? E? )2 ? p1 ? ( x2 ? E? )2 ? p2 ? ? ? ( xn ? E? )2 ? pn ? ? 为这些偏离程度的加权平均,刻画了随 机变量 ? 与其均值 E? 的平均偏离程度。我们称 2 D? ? ( x1 ? E? )2 ? p1 ? (x 2 ? E? )2 ? p 2 ? ? ? ( xn ? E? ) ? pn ? ? 称为随机变量 ? 的均方差,简称为方 差,式中的 E? 是随机变量 ? 的期望。 2.标准差: D? 的算术平方根 D? 叫做随机变量 ? 的标准差,记作 ?? 。 3. 方差、 标准差的性质: ⑴ D(a? ? b) ? a 2 D? ; ⑵★ D? ? E? 2 ? ( E? )2 ; ⑶若 ? ~ B(n, p) , 则 E? ? np ; D? ? np(1 ? p) 。 对于两个随机变量 ?1 和 ? 2 ,在 E?1 和 E?2 相等或很接近时,比较 D?1 和 D?2 ,可以确定哪个随机变 量的性质更适合生产生活实际,适合人们的需要。 【理解】⑴随机变量 ? 的方差的定义与

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