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物理奥赛培训 力学(上)


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1.2 位移

1.2 速度
? 平均速度:v ?

? ? r ? r (t ) ? ? ? ?r ? r (t

? ?t ) ? r (t )
y P ?s ? r P?

? ? ?r dr ? v ? lim ? 瞬时速度: dt ?t ?0 ?t
dx ? v ? ? ? x dt ? ? v y ? dy ? dt ?
v? ? 瞬时速度的大小:

? ?r ?t

y

P

?s ? r P?

r (t )
r (t ? ?t )
O x

r (t )
r (t ? ?t )
O x

?

? 位移与路程: ?r ? ?s

ds ——瞬时速率 dt

? 瞬时速度的方向:沿轨道切线方向

1.3 加速度
? ? ?v a? ?t

? ? v ? v (t ) 平均加速度:

2.抛体运动
y P
v (t )

r (t )

P?v (t ? ?t )
r (t ? ?t )

速度:

y

瞬时加速度:

? ?vx ? v0 cos ? ? ? ?v y ? v0 sin ? ? gt
运动方程:
? x ? v0 cos ? t ? ? 1 y ? v0 sin ? t ? gt 2 ? ? 2
g

v0

? ? ? ? v dv d 2 r ? a ? lim ? ? 2 ?t ?0 ?t dt dt

O
(a)

x

?
O x

? dv d2x ax ? x ? 2 ? ? dt dt ? 2 d v d y y ?a ? ? 2 y ? dt dt ?

v (t )

?v ? v (t ? ?t ) ? v (t ) v (t ? ?t )
(b)

轨道方程:
y ? x tan ? ? g x2 2 2v0 cos 2 ?

? 加速度与速度的方向一般不同。

讨论:
1)飞行时间:
y t ?T

y v0 H g O
v sin ? 2g
2 0 2

2v sin ? ? 0 ?T ? 0 g

?
s x

甲、乙两小孩在做游戏,甲在树上,乙在地上用枪描 准甲, 乙一开枪, 甲就从树上跳下 (初速度为零) 。 问: 甲是否被击中?若被击中, 求出被击中的时间和地点。


2)上升高度:
H ? y t ?T / 2 ?

3)射程:
s ? x t ?T ?
2 v0 sin 2? g



v0

h

?
s

? x ? v0 cos? t ? ? 1 y ? v0 sin ? t ? gt 2 ? ? 2

y ? x tan ? ?

g x2 2 2v0 cos 2 ?

2

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3.圆周运动
3.1 圆周运动的加速度

? ? ? a ? at et ? an en

et v at a an O en R

dv ? at ? ? ? dt ? 2 ?a ? v n ? ? R

?

P s P0

?a ? a 2 ? a 2 n t ? ? an ? tan ? ? at ?

3.2 圆周运动的角量描述 角位置: ? ? ? (t ) 角速度: ? ? lim
P s

4.相对运动
4.1 运动描述与参照系 对物体运动的描述与参照系有关——位移、速度、 加速度的测量与参照系有关。

?? d? ? dt ?t?0 ?t ?? d? ? 角加速度: ? ? lim dt ?t ?0 ?t

?
O R

P0

3.3 角量和线量的关系

v ? R?

2 ? ? an ? R? ? ? ? at ? R?

4.2 不同参照系间位移、速度和加速度的变换
观察者 S 运动物体P

观察者 S'(相对于 S运动)

? ? ? ?r ? ?r0 ? ?r ?

t=0时刻: S、S'、P重合

? ? ? v ? v0 ? v?

? ? ? a ? a0 ? a ?

?r ?r0 任意 t 时刻

?r ?

? 不同参照系间的变换的本质是运动的合成。

3

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1.自然坐标系下的速度和加速度
1.1 自然坐标系 自然坐标: s ? s(t )
P s O en ?s et

1.2 自然坐标系下的速度和加速度
? en

et at a v

P?

?s ? s(t ? ?t ) ? s(t )
切向与法向:

e? t

s ? s (t ) ? ? ds ? v ? vet ? et dt ? ? dv ? v 2 ? ? a ? at et ? an en ? et ? en dt ?

?
an

P s O

切向:沿轨道切向并指向速度方向,单位矢量为 e t

?

? 法向:沿轨道法向并指向凹侧,单位矢量为 e n
? ? et ? et (t ) ? ? en ? en (t )

dv ? at ? : 切向加速度 ? dt ? ? 2 ? a ? v : 法向加速度 n ? ? ?

en

?a ? a 2 ? a 2 n t ? ? an ? tan ? ? at ?

1.3 曲率半径的物理求法

y

v2 ??? an ? an ?

v2

椭圆的曲率半径: 轨道方程:

B
2

方法: 1) 构造与轨道方程对应的运动方程:
? x ? x (t ) f ( x, y ) ? 0 ? ? ? y ? y (t )

x y ? ?1 a 2 b2

2

v
b a O

an
A

x

? x ? a cos ?t 对应运动方程:? ? y ? b sin ?t
A点:v ? vy ,max ? b? ,

an ? ax ,max ? a? 2
同理:? B ?

2) 求质点在轨道上特定点的v 和 an。 3) 根据? =v2/an求曲率半径。

?A ?

v2 b2 ? an a

a2 b

抛物线的曲率半径:
2 轨道方程: y ? Ax

??
y

v2 an

对应运动方程: ?
a 其中: 2 ? A 2 v0

? x ? v0t ? 1 y ? at 2 ? ? 2
O

vy
an
v
( x, y )
?

v

题 1.1 一光滑钢丝弯成一条抛物线轨道,该轨道恰好 与一以初速 v0 ,抛射角 ? 上抛的质点的运动轨道重叠。 一小圆环穿在钢丝上。小圆环从轨道最高处下滑(初 速为零)。求当下滑高度为 h 时,钢丝对小圆环的作 用力。

a
x a n ?

vx at

2 ?v 2 ? v0 ? a 2t 2 ?vx ? v0 ? ? v0 ?? ? cos ? ? ? ? 2 2 2 ?v y ? at v 0 ?a t ?

an ? a cos ? ?

av0
2 v0 ? a 2t 2

h
v0

??

2 2 v2 (v0 a2 x2 ? a 2t 2 )3/ 2 v0 (1 ? 4 A2 x 2 ) 3/ 2 ? ? (1 ? 4 )3 / 2 ? ? a v0 an av0 2A

?

4

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cos ? ? ?, ? ? ?
考察斜抛质点的运动: v0
h

解:
考察小圆环的运动:
1 mgh ? mv?2 2

vx ? cos ? , v y ? 2 gh

?

an ?
g

?
vy

vx

h
v?
2

2 v ? 2 gh ? v0 cos 2 ?

v

P

N

mg cos ? ? N ? m

?

?

2mgh

?

?
v?
mg

cos ? ?

v0 cos ? v0 cos ? ? 2 v 2 gh ? v0 cos 2 ?
v2

?

an ? g cos ? ?

N ? mg cos ? ?

2mgh

?

???

2 v2 (2 gh ? v0 cos 2 ? )3/ 2 ? g cos ? gv0 cos ?

?
N ? mg cos ? ?

2mgh

?

? (

mg 2 gh ? 1)3/ 2 2 cos 2 ? v0

N ? mg cos ? ?

2 mgh

?

2.连体运动问题
解题方法一:运动的分解 情形1: 杆、绳连接的物体系 两物体通过刚性细杆或不可伸长的绳子相连,他们在 连线方向的速度相等。
v2

题 1.2 如图,一人拉着绳子的一端在水平面上以速度 v0 匀速前进。求当绳子与水平面夹角为 ? 时,重物上升 的速度。

解:v ? v|| ? v0 cos ?

?
v1

h

? ?
v1 cos ? ? v2 cos ?

v0

?
v||

v0

题 1.3 如图示,一半径为 R 的半圆柱体沿水平方向 以速度 v0作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点P 情形2:刚性接触的物体系 两刚性物体接触点的速度沿法向分量相等。
v1

的角位置为? 时竖直杆运动的速度。
vP

解: vP cos ? ? v0 sin ?
? ?
v2

v1 cos ? ? v2 cos ?

vP ? v0 tan ?

?
P

v0 v0

? R
O

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情形3:相互交叉的线形物体系 两直线相交点的运动等于各直线沿对方直线 方向运动的合运动: v2 v2

题1.4 水平直杆 AB在半径为R的固定圆圈上以匀速 v0竖直下落,如图所示,试求套在该直线和圆圈的 交点处小环M的速度。

? ? ? ? ? v2 ? vP ? v1

v? 2 ? v1

P

v 解:vM ? v1 ? 0 sin ?
v1

v2

M v0

?
v0 O

R v0

v1 ? 以上结论也适用于两曲线的相交点。

? v 1

题 1.5 (课后练习)如图,一平面内有两根夹角为 ? 细杆 l1和 l2,两细杆各自以垂直于自己的速度 v1和 v2 在该平面内运动,试求两细杆交点P的速率。
v1 P

解:
?? v1 v1 v ?? 2 , , v2 sin ? sin ?
2 2 2

? v1 v? 2

v1 P

v1

? cos ? vP ? v1? ? v? ? 2v1? v2
?

?
v2 v2

?
v2

1 2 ? 2v1 v2 cos ? v12 ? v2 sin ?

情形4:连体的加速度 选择一适当的中间参照物(B),把所研究的物体(A) 对地的运动视为它相对于中间参照物的运动和中间 参照物对地的运动的叠加。

题1.6 续题1.2,求重物上升的加速度。

? ? ? ? ? ? ? ? ? rA ? rAB ? rB、vA ? vAB ? vB、aA ? aAB ? aB
求连体运动加速度时,常把其中某一物体的运动视 为圆周运动(其向心加速度 an ? v / R )与另一种加
2

h

l

B

?
A

v0

速度已知(或容易计算)的运动的合成。

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解:
以绳子上某点 O为参照系, 则绳子末端 A相对于 O作圆周运动。 当 O点在滑轮上时:

题1.7 续题1.3,求竖直杆运动的加速度。
解: 以 O为参照系, P点作圆周运动。

v? ? v? ? v0 sin ? A对 O的速度:
A对 O的向心加速度:a||? ? A对地的加速度:

v v sin ? v sin ? ? ? h / sin ? l h
2 0 2

2 ?

2 0

3

速度: v ? ? ? v? ? vP ? vO ? v? ? 0 cos ? 向心加速度:
2 v? 2 v0 ?? ? an R R cos 2 ?

v?

?

vP P

R

a? n
?
O

?

at? v 0

? ? ? a ? aO ? a?
? a|| ? aO|| ? a||
0 ? ? aB ?
2 v0 sin 3 ? h

O h l
B

v0
aP

a||? ?
A

v? v0 v||

以地为参照系, P点的加速度: ? ? ? ? ? ? aP ? a? ? aO ? a? ? at? ? an ?

aB ?

2 v0 sin3 ? h

aP ? ?

2 ? an v0 ?? R cos 3 ? cos ?

解题方法二:微元法
? 考察系统在 t 和 t ? ?t ( ?t ? 0 )时刻的运动状态。
? t 时刻的速度; ? t 和 t ? ?t ( ?t ? 0 )时刻的位置 ??

题1.8 用微元法求题1.2中重物上升的速度和加速度。

? t 时刻的加速度。 ? t 和 t ? ?t( ?t ? 0 ) 时刻的速度 ??

近似公式:
?x? 0 (1 ? ?x )n ??? ?1 ? n?x
?x ? 0 sin ?x ??? ? ?x

h

l

B

?
A

v0

cos ?x ??? ?1
? x ? 0, ? y ?0 ?y?x ????? ?0

?x? 0

解:
vB ? ?l ?t
h l
B

aB ? ?
? v v? ? v ?v aB ? B ? || ? || || ?t ?t ?t
?
A

h

l
B

?
A

v0

v0

?l ? v0 ?t cos(? ? ?? )
? v0 ?t cos ? vB ? v0 cos ?
h ?? l

v||? ? v|| ? v0 cos(? ? ?? ) ? v0 cos ? ? ?2v0 sin(? ?
v||? ? v|| ? v0 sin ???

?? ?? ) sin( ? ) 2 2

?? h l

l ?? ? v0 ?t sin(? ? ?? )

?

?l ? ? ??
v0 ?t

l ?? ?t ? v0 sin ?
2 sin 3 ? v 2 sin 2 ? v0 aB ? 0 ? l h

?
v||

v0

? ? ??
v?

v0 ? v?

v||?

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ar ?

题1.9(课后练习)如图,一圆盘以恒定角速度? 绕盘 心O转动,一质点沿径向槽以恒定速度u自盘心向外 运动,试求当质点距离盘心为r 时的加速度。
u
r O

?vr u cos ?? ? ? (r ? u ?t ) sin ?? ? u ? ?t ?t cos ?? ? 1 sin ?? ? ??

u

?

r O

ar ? ?

? ( r ? u ? t )? ?
?t

??

? r ??
?t
u

? ?? 2 r
a? ?

?

?v? ? ( r ? u?t ) cos ?? ? u sin ?? ? ?r ? ?t ?t ? (r ? u ?t ) cos ?? ? 1 sin ?? ? ?? e?

??

er
u

?r
r
??

a? ?

?u ?t ? u ??
?t

r ? u? t

? 2?u

?

O

题1.10 用微积分法求题1.2中重物上升的速度和加 速度。 解题方法三:微积分 关键:找出各物体间位移间的关系,进而得到速 度、加速度之间的关系。
h l

B

?
A

v0

解:
(1) y ? h ? x2 ? h2 ? L h y x

题1.11(课后练习)用微积分法求题1.3中竖直杆运 动的速度和加速度。
v0

v?

dy dy dy dx ? v0 ? dx dt dx dt v0 x ? ? v0 cos? x2 ? h 2

?
vP

(2)a ?

vh dv dv dx dv ? ? ? v0 dt dx dt dx ( x ? h )

2 2 0 2 2 3/ 2

?

v sin 3 ? h

2 0

P

? R
O A

v0

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解:y ? R 2 ? x 2 x dy dy dx dy ? v0 tan ? ? v0 vP ? ? ? ?v0 dt dx dt dx R2 ? x2 dv dv dx dv R 2v 2 aP ? P ? P ? ?v0 P ? ? 2 0 dt dx dt dx ( R ? x 2 )3/ 2 2 v0 ?? R cos3 ?
vP P

题1.12 (课后练习)用微积分法求题1.4中小环M的 速度和加速度。
M

?
v0 O

R

v0

? R y
x

v0

O

A

解: x ? R2 ? y2
vMx ? dx dx dy dx ? ? ?v0 dt dy dt dy y ? v0 ? v0 cot ? 2 R ? y2
A
y ?
x

M v0

v0

O

R

vMy ? v0
2 2 ? vM ? vMx ? vMy

v0 sin ?

aMx ?

2 R 2v 2 dvMx dvMx dy dv v0 ? ? ?v0 Mx ? ? 2 02 3/ 2 ? ? 3 R ? y ( ) cos ? R dt dy dt dy

aMy ?

dvMy dt

?0

1.牛顿运动定律 第一定律:定性反映了物体的运动与其受力之间 的关系,引入惯性参照系的概念。 第二定律:定量性反映了物体的运动与其受力之 间的关系:

? ? F ? ma

第三定律:反映了力的来源: 力来自物体间的相互作用。 ——正是由于物体间的相互作用使得物体的运动状 态不断发生改变,使得自然界不断地变化发展。

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2.自然界中的力 2.1 万有引力 任何物体之间都存在的相互吸引力:
m F r

2.2 重力:使物体产生重力加速度的力。

P ? mg
? 重力来源于地球对物体的引力,若忽略地球的 惯性离心力,则

? mM ? F ? ?G 2 er r
G ? 6.6726 ? 10?11 N ? m 2 ? kg -2

M

P?G
g ?G

mM ? mg R2
M R2

——重力加速度与物体质量无关

比萨铁塔落体实验

2.3 弹力:物体由于形变而对引起形变的物体产生 的作用力。 胡克定律: 在弹性范围内: F ? ? kx 弹簧的串联与并联:
k1 k2 F k1 F k2

1 1 1 ? ? k k1 k2

k ? k1 ? k2

弹力与形变的一般关系:

? ? k1 x N ? N ( x) ? ? k1 x ? k2 x 2 ? ? ?????
2.4 摩擦力:相互接触的物体间产生的一对阻止相 ——微小振动为简谐振动 弹力的方向: 弹力的方向总是与形变方向相反.
(a) 接触面:沿法线方向 (b) 绳子:沿绳子方向 (c) 轻杆:一般较复杂 (d) 二力轻杆:沿杆方向 (a) N T (b) T Tt (c) (d) F

微小形变

对运动或相对运动趋势的力。 滑动摩擦力: f k ? ? N ? 摩擦力总是阻止相对运动。
Tn T

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摩擦力总是阻止相对运动 1. 一人被困在冰面上(冰面水平光滑)无法离开。 请你替他想一个办法使他能够离开该冰面。 2. 自行车在粗糙的水平面上起动时,前轮和后轮所 受的摩擦力方向如何?

2.5.四种基本力

?万有引力 ? ?电磁力 ? ?强力 ? ?弱力
? 宏观世界里除了重力来源于万有引力外,其它的 力几乎都源于电磁力

1.关于摩擦力的进一步讨论
1.1 摩擦力的大小 无滑动:决定于物体的运动和所受的其他力:
N

题 2.1 如图所示,有一固定的斜面,其倾角?=300,一质 量为 m=0.5kg 的物体置于斜面上,它与斜面之间的摩擦系
f
M

? ? ? ? ? ? f s ? F其他 =ma ? f s ? ma ? F其他

数为?=0.8。起初物体静止在斜面上。现用一与斜面上边 缘平行的力 F 作用在物体上,F 从零逐渐增大。问: F 为 多大时,物体开始运动,开始运动的方向怎样?

F

m

?

有滑动:f k ? ? N ? 两接触物体相对滑动的条件: fs=?N 1.2 摩擦力的方向 f 摩擦力的方向总是沿接触面切线方向。 无滑动:决定于物体的运动和所受的其他力: N

解:f ? F 2 ? (mg sin ? ) 2
开始滑动:f ? f s ? ? N ? ? mg cos ?
F

F 2 ? ( mg sin ? ) 2 ? ? mg cos ?

?
f

? ? ? f s ? ma ? F其他

F ? mg ? 2 cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2.40( N )
mg sin ? tan ? sin ? ? ? ? 0.722 fs ?

F

?

有滑动:与相对运动速度方向相反。

? ? 46.2

0

mg sin ?

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题 2.2 如图所示, 有一质量为 m=20kg 的钢件,架在两根相 同的、平行的长直圆柱上。钢件的重心与两柱的轴线在同 一水平面内。圆柱的半径为 r=0.025m,钢件与圆柱间的动 摩擦因数 ?=0.20. 两圆柱各绕自己的轴线作转向相反的转 动,角速度 ?=40rad/s。若沿平行于柱轴的方向施力推着钢 件作速度 v0=0.050m/s 的匀速运动,推力为多大?设钢件左 右受光滑导槽限制(图中未画出),不发生横向运动。

解:f ?

1 ? mg 2
F

2 ? r 2? 2 v? ? v0

cos ? ?

v0
2 v0 ? r 2? 2

0 F ? 2 f cos ? r? ? mgv0 ? ? 2.0(N) 2 2 2 v0 ? r ?

v ? v?

v0
?
f f r? r?

?

解: f ? ? mg cos? ? mg sin ?
题 2.3 如图所示,有一固定的斜面,其倾角?,一质量为 m 的物体置于斜面上,它与斜面之间的摩擦系数为 ?=tan?。 起初物体静止在斜面上。现给物体一与斜面上边缘平行的 力冲力(力的作用时间很短),使之获得初速度 v0 。问: 物体在斜面上运动的稳定速度是多少?
v0

v : v0 ? v f

v0

vx : v0 ? 0 v y : 0 ? v f

? f sin ? ? ? g sin ? sin ? m mg sin ? ? f cos ? ay ? ? g sin ? (1 ? cos ? ) m mg sin ? cos ? ? f ? g sin ? (cos ? ? 1) at ? m at ? ?a y ax ?
?vt ? ??v y
y

?

v0
x

f

?

mg sin ?

?

v f ? v0 ? ?(v f ? 0)

vf

v vf ? 0 2

1.3 摩擦角 摩擦角:

tan ? ?

f N
f

N

N
? F

题2.4 如图,一对绕固定等高的水平轴O和O?作同步
f

f tan ? s ? s 静摩擦角: N

转动的凸轮,带动传送装置的平板运动。设两凸轮 的半径均为 r,零件与平板之间的摩擦因子为 ?,平 板与凸轮间无相对滑动。问:为使放在平板上的零 件保持不滑动,凸轮允许的最大角速度是多少?

f 滑动摩擦角:tan ? k ? k ? ? N
? 静摩擦角 ?s 的大小与 N 和 fs 有关,当静摩擦角达到滑动摩 擦角时,物体产生滑动。 ? 滑动摩擦角的大小只与? 有关,而与 N 和 fk大小无关。 ? N和 fk大小变化时, N 和 fk合力的方向不变。

O

r

O? r

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解:
? f ? max ? mr? 2 cos ? ? ? 2 ? ? mg ? N ? ma y ? mr? sin ?
2 ? ? N ? m( g ? r? sin ? ) ? 2 ? ? f ? mr? cos?



f (? ) ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? ? 2 cos(? ? ? )
f max ? 1 ? ? 2

?
O
r
O? r

为使大、小环间始终无滑动,不等式(1)对任意? 都 要成立。因此
N

?

?
f

无滑动条件:f <?N
x

?
2 y a ? r?

??
mg

mr? 2 cos ? ? ? m( g ? r? 2 sin ? )

g ? r 1? ?2

??

?g

1 r cos ? ? ? sin ?

??

?g

1 r cos ? ? ? sin ?

(1)

另解: ? ? ? ? mg ? N ? f ? ma ? ? ? F?N? f ? ? FC ? ma ? FC ? ma ? mr? 2 ? ? ? ? F ? FC ? mg F r? 2 sin ? max ? C ? mg g
tan ? max ? r? 2 g 2 ? r 2? 4
??

?
O

r ?
N

O? r

题 2.5(课后练习)一小环 A 套在半径为 R 的竖直大 圆环上,小环与大环之间的摩擦系数为 ?,证明:当 大环以匀角速 ? 绕它自己水平轴 O 转动时,如果

?
f

?
a ? r? 2

? ? ( g / R)1/ 2 (1 ? 1/ ? 2 )1/ 4
mg

则小环与大环之间无相对运动。
A O R

?
mg
?

F
FC

O

??

g ? r 1? ?2

?

?为摩擦角

解: ? N ? mg cos ? ? mR? 2 ? ? f ? mg sin ? ? 0
? N ? m( R? 2 ? g cos ? ) ? ? f ? mg sin ?


f

f (? ) ?
N

sin ?

?

? cos? ? 1 ? 1

1

?2

cos(? ? ? )

R
mg

?
O

?

f max ? 1 ?

?2

为使大、小环间始终无滑动,以上不等式对任意? 都要成立。因此

无滑动条件:f <?N

mg sin ? ? ? ( mR? ? mg cos ? )

2

? ? ( )1/ 2 (1 ?
??? (

??? (

? g sin ? ? ? cos? ) ? ?R ? ?

1/ 2

g R

1

?2

)1/ 4

? g sin ? ? ? cos ? ) ? ?R ? ?

1/ 2

(1)

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另解: mg ? N ? f ? ma

?

?

?

?
f

? ? FC ? ma ? FC ? ma ? mR? 2 ? ? ? ? mg ? F ? FC
mg F ? C sin ? sin ? mg sin ? ? sin ? FC mg g sin ? max ? ? FC R? 2 g tan ? max ? ?? R 2? 4 ? g 2

? ? ? F?N? f

1.4 摩擦力的作用时间
N

R mg

?
O

?

可能有两种情况:?

? ?t f ? t N ? ?t f ? tN
m v

mg

?

FC

v0

? ?
F

V0=0

?

v0

?

M

? ? ( )1/ 2 (1 ?

g R

1

?2

)1/ 4

?为摩擦角

解: 题2.6 一质量为M的平板静止在光滑的水平面上。 质量为 m的物块(可视为质点)沿与水平线夹角为
情况 1:弹起时, vx>V, ?tf = ?tN
v y ? ?v0 y ? v0 sin ?
? ? ? ? ? ? ?

y m v0 x M

? 的方向以速度 v0落在平板上,与平板发生碰撞后
弹起。设物块碰撞前后沿竖直方向的速度大小不 变,物块与平板间的摩擦系数为 ?。求物块碰撞后 的速度与水平方向的夹角。

?

? f ?t f ? ? ? N ?t f ? mv x ? mv0 cos ? N ?t N ? mv y ? (? mv0 sin ? )

?t N ? ?t f

v

v x ? v0 cos ? ? 2 ? v0 sin ? v tan ? tan ? ? y ? vx 1 ? 2 ? tan ?

?

V

M

m

v

?

v0

mv0 cos ? ? MV ? mv x ? V ?

?

2? mv0 sin ? M

M

?tf = ?tN 的条件: vx?V,即
tan ? ? M 2 ? ( M ? m)

情况 2:弹起前, vx=V, ?tf < ?tN
v y ? ?v0 y ? v0 sin ?

y m

?v x ? V ? ?mv0 cos ? ? mvx ? MV
mv cos ? vx ? V ? 0 m?M v M tan ? ? y ? (1 ? ) tan ? vx m

?

v0

x M

题 2.7(课后练习)一物块(可视为质点)沿与水平 线夹角 ? =450 的方向以速度 v0= 10m/s落在水平地面 上,与地面发生碰撞后弹起。已知物块弹起时沿竖 直方向的分速度大小与碰撞前的大小相等,物块与 地面间的摩擦系数为? =0.2。问:在离第一次落地点 多远处物块与地面发生第5次碰撞?
m v0

v

?

V

M

?? ?t f M ? ? N ?t f ? mvx ? mv0 cos ? ? ? ? t N 2 ? (M ? m) tan ? ? N ? t ? mv ? ( ? mv sin ? ) ? N y 0 ?

?tf < ? tN的条件:
M ? 1 ? tan ? ? 2 ? ( M ? m) ?t N
?t f

?

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解:
考察第 n 次碰撞: vn, y ? vn ?1, y ? v0, y ? v0 sin ?
? N ?t ? mvn , y ? m(?vn ?1, y ) ? 2mv0 sin ? ? ?? f ?t ? ? ? N ?t ? mvn , x ? mvn ?1, x

m

y vn-1 vn x

2.力与加速度的瞬时关系

vn , x ? vn ?1, x ? 2v0 ? sin ?

v0, x ? v0 cos ?
vn , x ? v0 cos ? ? 2nv0 ? sin ? ? 5 2(1 ? 0.4n)

? ? F (t ) ? ma (t )

——求加速度时,只需考虑瞬间受力情况。

令 vn, x ? 0 ? n ? 2.5 ——表明第 3次碰撞后物块沿水平方向运动的速度为减零。 2v0 sin ? ? 2 v1, x ? 3 2 v2, x ? 2 ?t1 ? ?t 2 ? g S ? v1, x ?t1 ? v2, x ?t2 ? 4(m)

题 2.8 如图,物块 A、B 的质量分别为 m1 和 m2 ,盘 C 的质量为 m3 ,整个装置用一细线挂在天花板 O 处,并 处于静止状态。 现用火烧断细线, 则细线断开瞬间物块 A、B 和盘 C 的加速度分别是多少?
O

解: 剪断前:

O

F ? kx0 ? m1 g
剪断瞬间:
T ?0
弹簧的形变量仍为 x0 。
A C B
F

T

F ? kx0 ? m1 g
A C B

a1 ? 0
F ? m2 g ? m3 g a2 ? a3 ? m2 ? m3 m1 ? m2 ? m3 ? g m2 ? m3

A m1 g B

C m3 g

m2 g F

3.非惯性参照系的动力学问题 3.1 惯性参照系与非惯性参照系 惯性系: 牛顿第一定律成立的参考系。一切相对于惯性 系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。 非惯性系: 相对于惯性系作加速运动的参考系。在非惯性 系内牛顿第一、第二定律不成立。 为惯性力 其中 3.2 非惯性参照系中的牛顿第二定律
a0

? ? ? F ? FI ? ma?

N
m
a?

? ? FI ? ? ma0

mg

FI

mg ? FI ? N ? ma?

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例 2.9 若不考虑太阳和其他星体的作用,则地球-月球系 统可看成孤立系统。若把地球和月球都看作是质量均匀分 布的球体,它们的质量分别为 M 和 m,月心-地心间的距 离为 R,万有引力恒量为 G。学生甲以地心为参考系,利用 牛顿第二定律和万有引力定律,得到月球相对于地心参考 系的加速度为 a m ? G

解:
两者错误:地心和月心均为非惯性参考系,牛顿第二定律不 成立。 以地心为参照系解题:
FG ? FI ? ma? m

M R

M ;学生乙以月心为参考系,同样 R2 m 。这二位学生求出的地-月 R2
tt p ://hfwq.cersp.

FG m FI ? am

利用牛顿第二定律和万有引力定律,得到地球相对于月心 参考系的加速度为 ae ? G

G

间的相对加速度明显矛盾,请指出其中的错误,并分别以 地心、月心和两者的质心为参照系求出正确结果。
M R m

mM ? ? mae0 ? mam ? R2 ?? mM FG ? G 2 ? Mae0 ? R m?M ? ?G am R2

M FG R ae0

m

? ?G 以月心为参照系解题:同理可得:ae

m? M R2

题 2.10 如图,一双摆系统由长度分别为 l1 和 l2 的轻绳
( 2)以两者质心为参照系解题:
mM M G 2 ? mam ? am ? G 2 R R mM m G 2 ? Mae ? ae ? G 2 R R m?M ? ? ? ? ? am ? ae ? a? am m ? am ? ae ? G R2 m?M ? ? ? ? ? ae ? am ? G ? ? ae ? am ? ae ae R2

M FG C ae

FG m am

和质量分别为 m1 和 m2 的两质点组成。开始时系统悬挂 于固定点 O 并处于静止状态。 现给 m1 一瞬间的冲击力, 使之获得水平速度 v0 。求此时两段绳子中的张力。
O

l1
m1

v0

l2 m2

解:
m1:以地面为参照系。
v2 T1 ? T2 ? m1g ? m1a1 ? m1 0 l1 (1)

O

l1 m1 v0

m2:以 m1为参照系。 ? ? m2 T2 ? m2 g ? FI ? m2 a2 FI ? m2a1 ? m2
2 v0 l1 2 v0 l2

(2) T1 a1 v0 m1 g T2

l2 m2
T2

(3)

联立(1) ? (3)得:
T1 =(m1 ? m2 )( g ? T2 =m2 ( g ?
2 v0 v2 ) ? m2 0 l1 l2

v0

? a2

2 v0 v2 ) ? m2 0 l1 l2

m2 g F I

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解:
f1max ? 4? ? 5mg ? 20 ? mg

5m 3m m

题 2.11 质量分别为 5m 、 B 和C 3m 和 m 的三个物块 A 、 堆放在水平桌面上。 已知 A 、 B 之间、 B、C 之间以及 C 和桌面之间的摩擦系数分别为 4 ? 、2 ? 和 ? 。今以一水 平力 F 施加在物块 B 上,试求各物块的加速度。
5m 3m m
A B

A B
C

4? 2? ?

F

f 2max ? 2? ? 8mg ? 16? mg
f3max ? ? ? 9mg ? 9? mg

第一种情况: F较小,A、B、C 与均保持静止。
aA ? aB ? aC ? 0

5m A
f1

f1
3m B

F
f2

F

f1 ? 0

f 2 ? f3 ? F

f2 f3
m C

C

出现这种情况的的条件:
? f 2 ? F ? 20? mg ? F ? 9? mg ? ? f3 ? F ? 9 ? mg

第二种情况:F ? 9 ? mg ,使得 C 相对于 B、 C 之间无相对滑动。 桌面滑动,但 A、
F ? f 3max F ? ? ?g 9m 9m 5F f1 ? 5maA ? ? 5? mg 9 F f 2 ? f 3max ? maC ? f 2 ? ? 8? mg 9 条件: aA ? aB ? aC ?

5m 3m m

A B

F

第三种情况: F ? 45 ? mg ,使得 C 与桌 面、A 与 B 之间相对滑动,但 B、C 之间 无相对滑动。 f aA ? 1max ? ? g 5m

5m 3m m

A B
C

F

C

5m A

f1
3m B

f1

aB ? aC ?

F ? f1max ? f3max F 29 ? ? ?g 4m 4m 4

5m A

f1
3m B

f1

F
f2
f 2 ? f 3 ? maC ? f 2 ?

5F ? f ? ? 5? mg ? 20? mg ? ? 1 9 ? ? f ? F ? 8? mg ? 16 ? mg 2 ? ? 9
? F ? 45? mg ? ? F ? 72? mg
? F ? 45? mg

f2
f3

F 7 ? mg ? 4 4

F
f2

f2
f3

m C
条件:
? f1max ? 20? mg ? ? f 2max ? 16 ? mg ?f ? 3max ? 9? mg

m C

f2 ?

F 7 ? mg ? ? 16 ? mg ? F ? 57 ? mg 4 4

5m
第四种情况: F ? 57 ? mg ,使得 A、B、 C 之间以及 C 与桌面之间均相对滑动。

3m m

A B

F

5m

C

结论:
? aA ? ? aA ? ? ? ? aA ? ?a A ? ? ? aB ? aC ? 0 ( F ? 9? mg )

3m m

A B
C

F

aA ?

f1max ? ?g 5m

5m A

F ? f1max ? f 2max F aB ? ? ? 12 ? g 3m 3m f ? f3max aC ? 2max ? 7? g m

f1
3m B
f2

f1

F
f2

f3

m C

F ? ? g (9 ? mg ? F ? 45? mg ) 9m F 29 ? ? g , aB ? aC ? ? ? g (45? mg ? F ? 57? mg ) 4m 4 F ? ? g , aB ? ? 12? g , aC ? 7? g ( F ? 57 ? mg ) 3m ? aB ? aC ?

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解:第一种情况:A、B与小车间均无相对滑动。 题 2.11 (课后练习)在光滑的水平桌面上有质量为 m 的小车 C ,车上有质量为 4m 和 m 的立方块 A和 B , 它们与小车表面之间的摩擦系数?=0.5。今用一恒力 F 沿水平方向作用在滑轮上。求 A、B 、C 的加速度。
4m m C B F A fA F 1 ? f A ? maA ? f A ? F 2 3 fB B F 1 ? f B ? 4maB ? f B ? ? F 2 6 A、B与小车间无相对滑动的条件: 1 1 ? f ? F ? ? mg ? mg ? 3 ? A 3 2 ? F ? mg ? 2 1 ? f B ? F ? 4 ? mg ? 2mg ? 6 ?
4m m C B m A F

aA ? aB ? aC ?

F 6m

F/2 F/2

m A

第二种情况:F 大于 3mg/2,使得 A 相对于小车滑动,但 B 与小车间无相对滑动。
F / 2 ? ? mg F 1 aA ? ? ? g m 2m 2 F / 2 ? ? mg F 1 aB ? aC ? ? ? g 5m 10m 10 F 1 2 B ? f B ? 4maB ? f B ? F ? mg fB 2 10 5 B 与小车间无相对滑动的条件 1 2 f B ? F ? mg ? 4 ? mg ? 2mg ? F ? 24 mg 10 5

第三种情况:F 大于 24mg,A、B 与小车间均相对滑动。
aA ? F / 2 ? ? mg F 1 ? ? g m 2m 2

aB ?
F/2

F / 2 ? 4 ? mg F 1 ? ? g 4m 8m 2

aC ?

4 ? mg ? ? mg 5 ? g m 2
4m B C m A F

m 4m m C B m A F

题 2.12 在光滑水平面上有一倾角为 ? 的斜面,斜面顶端有 一定滑轮,其质量可忽略不计,轴上无摩擦。一跨过定滑轮 的轻线,两端连着滑块 A 和 B, A 放在斜面上,B 放在光滑

结论:
F 3 ? ? aA ? aB ? aC ? 6 m ( F ? 2 mg ) ? F 1 F 1 3 ? ? g , aB ? aC ? ? g ( mg ? F ? 24 mg ) ? aA ? 2m 2 10m 10 2 ? ? F 1 F 1 5 ? aA ? 2m ? 2 g , aB ? 8m ? 2 g , aC ? 2 g ( F ? 24mg ) ?

的水平台上, 连接 B 的轻线平行于水平面。 已知斜面和物块 A、B 的质量均为 m,开始时维持系统不动,后放开,此时 滑块 A 沿斜面滑动。 (1)求斜面的加速度; (2) 为保证滑块 A 在斜面上滑动, 对斜面倾角 ? 有何限制?
m B

m A
m

?

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解:

(1) ? ? mg sin ? ? ma0 cos ? ? T ? ma1
?N ? ma sin ? ? mg cos ? ? 0 1 0 ? ? ?T ? ma2 ? ? N1 sin ? ? T ? T cos ? ? ma0 ? ? ? a0 ? a2 ?a1

m a2 B

题 2.13 一根不可伸长的细轻绳,穿上一粒质量为 m 的珠子(视 为质点) ,绳的下端固定在 A 点,上端系在轻质小环上,小环可
a0
M

m A

沿固定的水平细杆滑动(小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不
? a1

?
N2
T
N1

计) ,细杆与 A 在同一竖直平面内。开始时,珠子紧靠小环,绳 被拉直,如图所示,已知,绳长为 l , A 点到杆的距离为 h ,绳 能承受的最大张力为 Td , 珠子下滑过程中到达最低点前绳子被拉
ma0

(1 ? cos ? ) sin ? a0 ? g 5 ? 2 cos ? ? cos 2 ? ?1 ? 4cos ? ? cos 2 ? N1 ? mg 5 ? 2 cos ? ? cos 2 ?
(2) N1 ? 0 ?1 ? 4 cos ? ? cos ? ? 0
2

T mg
N3

断,求细绳被拉断时珠子的位置(珠子与绳子之间无摩擦) 。

?
mg

环 珠子 h l 细杆

T

cos ? ? 2 ? 3

?
N1
Mg

T

?

A

注:质点在平面内做曲线运动时,它在任一点的加速度沿该点轨道 法线方向的分量称为法向加速度 an ,可以证明,an ? v 2 / ? ,v 为质 ,所谓 点在该点时速度的大小, ? 为轨道曲线在该点的“曲率半径” 平面曲线上某点的曲率半径,就是在曲线上取包含该点在内的一段 弧,当这段弧极小时,可以把它看做是某个“圆”的弧,则此圆的 半径就是曲线在该点的曲率半径.如图中曲线在 A 点的曲率半径为

解:
珠子运动的轨道:

环 珠子 h A y C
T

细杆

OA ? OB ? p / 2 ? (l ? h) / 2

l

x 2 ? 2 py ? 2(l ? h) y
牛顿第二定律:
2T cos ? ? mg cos ? ? m v2

(1)

? A ,在 B 点的曲率半径为 ? B 。

?

(2)

机械能守恒:

B

y?

l?h 2

A

?B
B

mg (

l?h 1 ? y ) ? mv 2 2 2

(3)

h A O B
T

?

?
(x, y)
mg
l

?A

由( 2)、( 3)得

x
y ?? l?h 2

T?

? l ? h ? 2y ? 1 mg ?1 ? ? 2 2 ? cos ? ? (4) ?

D

? ? ? ? 设想一质点以初速度 v ? v0 i ,加速度 a ? aj 作匀变速运动。
2 ? x ? v0t 2v0 2 ? ? 1 2 ?x ? a y y ? at ? ? 2

? cos ? ? ?

x 2 ? 2(l ? h) y

y

x 2 ? 2(l ? h) y

? cos ? ? ? (高数求法)
??
(1 ? y ?2 ) 3/ 2 y??
1 1 ? y? 2

C

(5)
C a

y a v an ? at (x, y) x

?

?
(x, y) x

比较式(5)和(1),可知 v ? l ?h a
2 0

tan ? ? y? ? cos ? ?

(6)

O

? cos ? ?
y?

? ?vx ? v0 2 ? v2 ? v0 ? 2 ay (7) ? ? ?vy ? 2 ay

O

v0

1 ? y? y??

2

x2 2(l ? h)

? y? ?

an ? a cos ? ?
? cos ? ?

v2

x l?h

y?? ?

1 l?h

?
(8)

? cos ? ?

2 v 2 v0 ? ? 2y ? l ? h ? 2 y a a

1 ? y? 2 ? l ? h ? 2y y ??

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动量守恒定律

y

T?

? l ? h ? 2y ? 1 mgl C mg ?1 ? ?? 2 ? l ? h ? 2y ? l ? h ? 2y

B
T

y?

l?h 2

T ? Td ? y ?

mgl l ? h ? 2Td 2

h A O B
T

?

?
(x, y)
mg
l

x
y ?? l?h 2

x?

mgl (l ? h) ? (l ? h )2 Td

D

T?

1 ? l ? h? 2y ? 2 mg ? 1 ? ? , ? cos ? ? l ? h ? 2 y, x ? 2(l ? h ) y 2 2 ? cos ? ? ?

1.质点的动量定理 1.1 牛顿第二定律的普遍形式

? ? ? ?p dp F? ? ?t dt
? dp ? ? ? F ? ma 与 F ? : ? dt ? ? F ? ma : m 不变时成立 ? ? dp F? : 普遍成立 dt

1.2 质点的动量定理

? ? t ? ?I ? ? F (t ? t0 ) ? ?t0 Fdt ?? ? ? ? ? ? p0 ? mv0 , p ? mv
? 动量定理反映了力对时间的积累效应

? ? ? I ? p ? p0

2.质点系的动量定理
F

F1

m

?I ? ? p ?? p

?

?

?

m1 F3 m3 m2 F2

0

? ? ? t ? I ? ? Fi (t ? t0 ) ? ? ( ? Fi )dt t0 ?? i i ? ? ? ? ? ?? p0 ? ? mi v0i , ? p ? ? mi vi ? i i

? 内力只是使系统内各质点产生动量的交换, 但不改变质点系的总动量

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3.动量守恒定律 ? ? ? ? p ? ? p0 (? I ? 0)
m3

m1

? ? ? px ? ? p x 0 (? I x ? 0) ? p ? p ( I ? 0) ? ?? y ? y 0 ? y

m2

? 若系统在某一方向所受的合力的冲量为零,则 该方向动量守恒

1.变力的冲量
F ? F (t )

2.动量定理、定理守恒定律与参照系
F

ti ? ti ? ?ti : ?I i ? Fi ?ti
t0 ? t : I ? ? Fi ?ti
i

动量定理、动量守恒定律只适用于惯性参照系。 在非惯性参照系中使用动量定理,需计入惯性力 的冲量。
?S

I ? lim ? Fi ?ti ? ?S
?ti ? 0 i

I ? ? Fdt ? F ?t
t0

t

O t0

t i t i +? t i

t

t

在非惯性参照系中,动量守恒定律的适用条件为 外力与惯性力的合力为零。

3.碰撞问题 3.1 正碰 正碰的物理过程:

1)接近过程:
u1 ? v1 , u2 ? v2 (v1 ? v2 ) ?? ? u1 ?, u2 ? ?? ? u1 ? u2

2)分离过程:
? , u2 ? v 2 ? (v1 ? ? v2 ?) u1 ? u2 ?? ? u1 ?, u2 ? ?? ? u1 ? v1
m1

v1

m2

v2

? v1

? v2

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一般正碰:
? ? m2v? 动量守恒: m1v1 ? m2v2 ? m1v1 2
恢复系数: e ?
m1 v1 v1?

m2

完全弹性碰撞:
v2 ? v2

e ?1
?Ek ? 0

?v1? ? v2 1)m1 ? m2 ? ? ? ? v1 ?v2 v1 v2 ?v1? ? ?v1 2)m1 ?? m2且v2 ? 0 ? ? ? ?v2 ? 0 v1 ? ? v1 ?v1 3) m1 ?? m2且v2 ? 0 ? ?v? ? 2v ?2 1 v1

? ? v1 ? v2 v1 ? v2 (1 ? e )m2 (v1 ? v2 ) ? ?v1? ? v1 ? m1 ? m2 ? ? (1 ? e )m1 (v2 ? v1 ) ?v ? ? v ? 2 2 ? m2 ? m1 ?

(m1 ? m2 )v1 ? 2m2v2 ? ?v1? ? m1 ? m2 ? ? m ? m1 )v2 ? 2m1v1 ( 2 ?v? ? 2 ? m2 ? m1 ?

1 1 1 1 2 ?2 ) ?Ek ? ( m1v12 ? m2 v2 ) ? ( m1v1?2 ? m2 v2 2 2 2 2

1 mm ? (1 ? e2 ) 1 2 (v1 ? v2 )2 2 m1 ? m2

1 mm ?Ek ? (1 ? e 2 ) 1 2 (v1 ? v2 ) 2 2 m1 ? m2

(1 ? e)m2 (v1 ? v2 ) ? ?v1? ? v1 ? m1 ? m2 ? ? (1 ? e ) m1 (v2 ? v1 ) ?v ? ? v ? 2 2 ? m2 ? m1 ?

完全非弹性碰撞:
e?0
? ? v2 ?? v1 m1v1 ? m2v2 m1 ? m2
v1 v2 ? ? v2 ? v1

1 mm ?Ek ? ? 1 2 (v1 ? v2 )2 2 m1 ? m2

(1 ? e)m2 (v1 ? v2 ) ? ?v1? ? v1 ? 1 mm m1 ? m2 ?Ek ? (1 ? e 2 ) 1 2 (v1 ? v2 ) 2 ? ? 2 m1 ? m2 (1 ? e ) m1 (v2 ? v1 ) ?v ? ? v ? 2 2 ? m 2 ? m1 ?

3.2 斜碰
设碰撞时无摩擦,且 v2= 0

v1t

? ? m2 v2 ? 动量守恒:m1v1 ? m1v1
?t ? m1v1t ? m1v1 sin ? 切向:m1v1
m1

?

?

?

?
v1n v1

v1 m2

v2 ? 0

题 3.1 小球 A以初速 v1与同质量的静止小球B发生碰 撞。 A 的初速度方向与两球相碰时的球心连线成 ? 角。设两球面光滑,两球碰撞的回复系数为 e。问

?n ? m2 v2 ? ? m1v1n ? m1v1 cos ? 法向:m1v1

e? 恢复系数:

? n ? v1 ?n v? v2 ? v? ? 2n 1n v1n v1 cos ? ?t ? v1 sin ? ? v1 ? m ? em2 ? v1 ? ? 1 v cos ? ? n m1 ? m2 1 ? (1 ? e)m1 ? ?? v1 cos? ? v2 m1 ? m2

v1?t v1?

当 ?为何何值时, A 球的偏向角最大?并求此最大
v1?

偏向角。

v1?n

? ?
? v2

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解:

?mv? ? mv? ? mv cos? ? v? ? v? ?e ?
1n 2 1
2n 1n

mv1?t ? mv1 sin ?

v1t

?
v1n
m

v1

tan ? ?
m

1? e 2 tan ? ? 1? e tan ?
m1
v1

m2

v2 ? 0

v1 cos?

v1

?t ? v1 sin ? ?v1 ? ?v? ? 1 (1 ? e)v cos ? 1 ? 1n 2 ? 1 ? ? ? (1 ? e)v1 cos ? ?v2 2 v1?y v1 ? cos ? ? v1 ?n sin ? ? t tan ? ? ?t sin ? ? v1?n cos ? v1?x v1
(1 ? e)sin ? cos ? ? 2sin 2 ? ? (1 ? e) cos2 ?

v2 ? 0

2 tan ?m ? (1 ? e) / tan ?m

v1?t

tan ?m ?
v1?

1? e 2

v1?

y
x

? ?
? v2

?
v1?n

v1?

tan ?max
y
x

1? e ? 2 2(1 ? e)

? ?
? v2

tan ? ?

(1 ? e) sin ? cos ? 2sin 2 ? ? (1 ? e) cos 2 ?

题 3.2 如图所示,两根长度均为 l 的刚性细杆, 一端用质量 为 m 的球形铰链相连,两杆的另一端分别安装质量为 m 和 2m 的小球。开始时两杆并拢,铰链球朝上,竖直放置在光 滑桌面上。系统从静止释放后,下面两球开始向两边滑动, 且在运动过程中两杆始终保持在同一铅直面内。设三球本 身的大小、轻杆的质量及各种摩擦均可忽略不计。试求 (1)铰链球碰桌面时的速度。 (2)当两杆与水平线夹角为? 时,铰链球的速度。
m 3 m

l

l
m

l 2m

m 2m 1 2

(1) 解: ? 系统在水平方向动量守恒,因此铰链球碰桌面时,三球的 总动量为零。 ? 刚性杆不伸缩,铰链球碰桌面时,三球沿水平方向的速度 (大小和方向)相等。 ? 铰链球碰桌面时,三球沿水平方向的速度均为零。 ? 铰链球碰桌面时,球 1、2的竖直方向速度为零,只有球 3 有沿竖直方向的速度 v3。 1 2 mgl ? mv3 ? v3 ? 2 gl 2 m 3
l
m 2m 1 2 m

(2)
2mv2 ? mv1 ? mv3 x ? 0 ? ?1 1 1 2 2 2 2 ? ? 2 mv1 ? 2 (2m )v2 ? 2 m (v3 x ? v3 y ) ? mgl ? mgl sin ? ? ? v cos ? ? v cos ? ? v sin ? 3x 3y ? 1 m ? 1 ? v2 cos ? ? ?v3 x cos ? ? v3 y sin ?

m 3

l 2m 2

v3 x
1 2 gl (1 ? sin ? ) v3x ? tan ? 2 4 ? 11tan 2 ?

m

?
l

?
v3 y

l

v3 m

v3 y ? 2
2m

2 gl (1 ? sin ? ) 4 ? 11tan 2 ?

v1

m ?

? 2m v 2

1

3

2

23

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例 3.3(课后练习)将质量为 m1=0.1kg 的小球用很长的轻绳 吊在天花板上,再把质量为 m2=0.05kg 的小球用长为 l= 0.2m 的轻绳固定在球 m1 上,如图所示。今给下小球一冲力, 使之瞬间获得一水平速度 v0。问:当 v0 为多大时,两小球可 能到达同一高度。

解: ? 由于挂绳很长,所以在系统运动过程中,挂绳近似保持在 竖直方向。?系统在水平方向动量守恒。 ? 系统的机械能守恒。 ? 球 m1沿水平方向运动, m2 相对于 m1 作圆周运动。两小球 刚好能到达同一高度的条件为: m2 与 m1 等高时, m2沿竖直 方向的速度为零。 ? m2 和 m1 沿绳子方向的速度分量相等。 m v ? (m1 ? m2 )v ? 2 0 ?1 1 2 ? m2 v0 ? (m1 ? m2 )v2 ? m2 gl 2 2

m1

l
m2

m1
l

v

v

v0

v0 ? 2 gl (1 ?

m2 ) ? 2.4m/s m1

m2

v0

解: 题3.4 如图所示,有一列N节(含机车)的火车, 机车与每节车厢的质量均为 m ,机车与每节车厢 所受的阻力均为自身重量的 ?倍,车厢之间由完 全非弹性的车钩相连接,火车以恒定牵引力启动。 ( 1 )若启动时各节间的车钩已拉紧,求启动火 车所需的最小牵引力。 ( 2)若启动前每一车钩间隙等于L,则启动火车 所需的最小牵引力为多少?
…… F (1) Fmin ? N ? mg (2) N (a) …… …… k+1 k vk …… 1 F

v? k
k+1 k …… vk+1 …… k+2 k+1 …… 1 F 1 F

N (b)

N

N-1

2

1

N (c)

L
k ?1

vk 1、、 2 ?k
F

v12 ? 0

? ? v?2 ? v 2 ? 2a L k k ? k ? ? kmvk ? ? ( k ? 1) mvk ?1

ak ?

F ? k ? mg F ? ? ?g km km

? vk

( NvN )2 ? 2(1 ? 2 ? ? ? N ? 1)
F

FL ? 2[12 ? 22 ? ? ? ( N ? 1) 2 ]? gL m

k ?1

1、、 2 ?k

vk ?1
k?2 1、、 2 ?k ?1
F

? FL 2 N ? 1 ? ? N ( N ? 1) ? ? ? gL ? 3 ?m ?
2 vN ?0? F ?

2N ?1 ? mg 3

N ?1

vk2?1

k 2 2 k 2 FL k 2 ?( ) vk ? ? 2( ) ? gL k ?1 ( k ? 1) 2 m k ?1

2N ?1 ? ? Fmin ? mg ? Fmin 3

?k
k ?1

2

?

1 N ( N ? 1)(2 N ? 1) 6

[(k ? 1)vk ?1 ]2 ? (kvk )2 ?

2kFL ? 2k 2 ? gL m
[(k ? 1)vk ?1 ]2 ? ( kvk ) 2 ?

2kFL ? 2k 2 ? gL m

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例 3.5 图为一种名为 astroblaster 的玩具, 它由 4 个大小不同的弹性小球构成,其中 最下方的球上面固定有 1 根光滑的细杆。 其余 3 个小球的中心都钻有一个圆孔,孔 的直径略大于细杆的直径。将 3 个带孔的 小球穿进细杆,用手抓住杆的上端,将体 系移至特定的高度,然后松手使它竖直下 落。当落到平整的硬地上后,可以发现最 上面的小球高高弹起,远超过初始下落的 位置。下表为一组实测数据,其中 m1、m2、m3 和 m4 为从下到上 4 个小球的质量,h0 为初始下落的高度, h 为最上面的小球弹起后达 到的最大高度。 m1(g) 62.7 m2(g) 28.7 m3(g) 10.9 m4(g) 3.8 h/h0 10.4

若忽略空气阻力以及小球与杆的摩擦力。请解答以下问题: ( 1)假设小球与地面以及小球之间碰撞的恢复系数都等于
e 。根据实测数据计算恢复系数 e 。

(2)如果恢复系数 e 取第(1)问的数值,在 m4 与 m1 保持不 变的条件下,调节 m 2 与 m3 到何值时 h / h0 能够达到最大?最 大值是多少?

解:
( 1)系统落地时的速度 :

最上面的小球(m4)碰撞后的速度:

v0 ? 2 gh
在以速度 v0 向下运动的参考系中观测: 碰撞前四个小球都处 于静止状态,而地球(设质量为 m0)以速度 v0 向上与最下 面的小球碰撞,然后依次引起小球之间的 3 次碰撞。
考虑如图的两体碰撞:
m4 m3 m2 m1

v0 ? 2 gh0
v4 ? (1 ? e)4 m0 m1m2 m3 2 gh0 (m0 ? m1 )(m1 ? m2 )(m2 ? m3 )(m3 ? m4 )

m4 m3 m2 m1 m0 地球
v0

m0 ?? m1 ?
v4 ? (1 ? e)4 m1m2 m3 2 gh0 ( m1 ? m2 )( m2 ? m3 )( m3 ? m4 )

mi ?1
v?0

mi ?1

? mi vi ? mi ?1vi ?1 ? mi ui ? ? vi ?1 ? ui ?e ? v i ? (1 ? e)mi ? vi ?1 ? vi mi ?1 ? mi

vi ?1 ui

m4 相对于地面的速度:
v0

vi mi
碰前

m0 地球

mi
碰后

? ? (1 ? e)4 m1m2 m3 ? ? v4 ? v0 ? ? ? 1? 2 gh0 v4 ? (m1 ? m2 )(m2 ? m3 )(m3 ? m4 ) ?
v0 ? 2 gh , vi ?1 ? (1 ? e) mi vi mi ?1 ? mi

(2)? (m2 , m3 ) ?

m1m2 m3 ( m1 ? m2 )( m2 ? m3 )( m3 ? m4 )
?1

m4 上升的高度
h? ? ? ? (1 ? e) 4 m1m2 m3 v4 ?? ? 1? h0 2 g ? (m1 ? m2 )(m2 ? m3 )( m3 ? m4 ) ?
2

? m m m ? ? ?(1 ? 2 )(1 ? 3 )(1 ? 4 ) ? m1 m2 m3 ? ?

恢复系数

?m m m m m m m ? m ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 1 ( 1 ? 2 ? 3 ) ? 4 ? 1? m1 ? ? m1 m2 m3 m4 m2 m3 m4
1/ 4

?1

? h (m ? m2 )(m2 ? m3 )(m3 ? m4 ) ? e ? ?[( )1/ 2 ? 1] 1 ? m1m2 m3 ? h0 ?

? (m2 , m3 ) 有极大值的条件为:

? 1 ? 0.84

m2 m3 m4 ? ? ,即 m1 m2 m3

2 1/ 3 m2 ? (m12 m4 )1/ 3 ? 24.6(g) , m3 ? (m1m4 ) ? 9.7(g)

? ? (1 ? e) 4 m1m2 m3 ? 1? h0 h?? ? (m1 ? m2 )(m2 ? m3 )(m3 ? m4 ) ?

2

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第( 2)问另解:微积分解法

? (m2 , m3 ) ?

m1m2 m3 (m1 ? m2 )(m2 ? m3 )(m3 ? m4 )

对应的极大值
? max ? m ? ? ? ( 4 )1/ 3 ? 1? ? m1 ?
?3

(

?3 ? ? ? m ? h ? ? )max ? ?(1 ? e)4 ?( 4 )1/ 3 ? 1? ? 1? ? 10.5 h0 m 1 ? ? ? ? ? ?

2

1 1 ?1 ? ?? ? ?m ? 0 ?m ? m ? m ? m ? m ? 0 ? 2 ? 2 1 2 2 3 ?m2 ? (m12 m4 )1/ 3 ? ?? ? ?? ?? 1 1 1 2 1/3 ? ? ? ? ?0 ? ?0 ?m3 ? ( m1m4 ) ?? ? ? m3 ? m3 m2 ? m3 m3 ? m4

? m ? ? max ? ? ( 4 )1/ 3 ? 1? ? m1 ?

?3

(

?3 ? ? ? m ? h ? ? ) max ? ?(1 ? e)4 ?( 4 )1/3 ? 1? ? 1? h0 m ? 1 ? ? ? ? ?

2

? ? (1 ? e) 4 m1m2 m3 h?? ? 1? h0 ( )( )( ) m ? m m ? m m ? m 1 2 2 3 3 4 ? ?

2

解: 题3.6(课后练习)N个相同的质量均为m的小滑块 排成一行,静止在光滑的水平面上,各滑块间有 间距。现有一质量为M(M>m)的的大滑块以速度 v0 从左方沿N个滑块的连线射向滑块,并与之正碰。 假设滑块间的碰撞为完全弹性碰撞,试求所有滑 块的最终速度。
M

M与第 N 个小滑块第一次碰撞: M
? MV ? MV1 ? mu1 ? ? e ? u1 ? V1 ? 1 V0 M ?m V1 ? V0 M ?m 2M u1 ? V0 M ?m

V0 m N m

……
2

m
1

M

V0

M

V1

m u 1

V0 m

……
2

m

N

1

此后各小滑块依次与其后的滑块发生弹性碰撞,碰撞后相 邻两滑块交换速度,最后第 1个小滑块获得速度: 2M v1 ? u1 ? V0 M ?m 第 2~N个小滑块速度为零。

M与第 N 个滑块第二次碰撞:
M

以此类推,M与第 N 个滑块第 i次碰撞:
V1 m
N

碰撞后 M 的速度:
V2 ? M ?m M ?m 2 V ?( )V M ?m 1 M ?m 0

……

m
3

m
2

碰撞后 M 的速度:
Vi ? M ?m M ?m i Vi ?1 ? ( ) V0 M ?m M ?m

M

Vi ?1 m
N

……

m
i ?1

m
i

第 2个小滑块获得速度:
v2 ? 2M M ? m 2M V ?( ) V M ?m 1 M ?m M ?m 0

第 i个小滑块获得速度:
vi ? 2M M ? m i ?1 2M ) Vi ?1 ? ( V0 M ?m M ?m M ?m

第 3~N个小滑块速度为零。

第 i+1~N个小滑块速度为零。

V1 ?

M ?m V0 M ?m

v1 ?

2M V0 M ?m

V1 ?

M ?m V0 M ?m

v1 ?

2M V0 M ?m

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M与第 N 个滑块发生 N次碰撞后,第 1~N小滑块和滑块M 的 速度分别为:
v1 ? 2M V M ?m 0

M

M ? m 2M ) v2 ? ( V M ?m M ?m 0
??

V0 m N

m ……
2

m
1

vN ? (

M ? m N ?1 2M ) V0 M ?m M ?m

M ?m N ) V0 M ?m 由于: v1 ? v2 ? ? ? vN ? VN , 之后不可能在发生碰撞,上述速度 VN ? (

即为最终速度
Vi ? ( M ?m i ) V0 M ?m vi ? ( M ? m i ?1 2 M ) V0 M ?m M ?m

1.质点的动能定理

W ? Ek ? Ek 0
? ? ? r ? ? ?W ? F ? ?r ? ?? F ? dr r0 ? ? 1 2 1 ? Ek 0 ? mv0 , Ek ? mv 2 ? 2 2

F
m

? 动能定理反映了力对空间的积累效应

2.质点系的动能定理

F1
k0

? 内力所做的总功一般不为零,即内力一般要改 变系统的总动能。 例:
mv0 ? ( m ? M )V ? V ?

?W ? ? E ? ? E
k

m1 F3 m3 m2 F2

mv0 m? M

?? W ? ? W外 ? ? W内 ? ? 1 1 2 2 ?? Ek ? ? 2 mi vi , ? Ek 0 ? ? 2 miv0i i i ?

?p ? 0 1 1 2 1 2 M ?Ek ? ( m ? M )V 2 ? mv0 ? ? mv0 2 2 2 m?M
v0 V0 ? 0

V

m

M

m+M

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3.势能 3.1 保守力:做功只与物体的始、末位置有关,而 与物体的运动路径无关。 3.2 势能:若质点从空间某一点P0沿任一路径移动 到P,保守力对质点所做的功可表为

? ? W保 ? ?[? ( r ) ? ? (r0 )]


P0 r0 O r P m

? E p=E p (r )

F保

内力可以改变系统的总动能

? 称为质点在 r 处的势能。

3.3 几种常见保守力的势能: 重力势能:
m

? 势能是位置的函数: Ep ? Ep (r )
h

?

E p ? mgh
弹力势能:

? 势能只有相对值: Ep 的值与零势能参考位置选择有关
? 势能为系统共有:通过保守力产生相互作用的质点

Ep ?
引力势能:

1 2 kx 2
mM r
M

k

x

系所共有
m1 m 保守力 m2

O

E p ? ?G

r

4.功能原理 机械能守恒定律 4.1 功能原理

F1 m1
F2

4.2 机械能守恒定律 封闭保守系统: ?

?W



? ? W非保内 ? ? E ? ? E0

m2

?封闭: ?W外 ? 0 ? ? ?保守: ?W非保内 ? 0
0

? m3 ? F3 ?? W外 : 所有外力对系统做功的和 ? ?? W非保内 : 所有非保守内力对系统做功的和 ? ? Ek : 系统总动能 ? E? E ? E ? ? k ? p ? E : 系统的势能 ?? ? ? p ?

?E ? ?E
m1 m2 m3

保守力

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1.变力做功
F ? F ( x)
F

xi ? xi ? ?xi :
i

?Wi ? Fi ?xi

x0 ? x : W ? ? Fi ?xi W ? lim
x
?xi ? 0

? Fi ?xi ? ?S
i

?S

W ? ? Fdx
x0

O

x0

xi xi+?xi

x

t

2.功、能与参照系
? 动能定理、机械能守恒定律只适用于惯性参照系。在非 惯性参照系中使用动能定理,需计入惯性力所做的功;在 非惯性参照系中,机械能守恒定律的适用条件为外力、非 保守内力及惯性力所做的总功为零。 ? 力做功一般与参照系(即使是惯性系)有关,但一对相互 作用力所做总功与参照系无关(题 4.6)。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? f21 1 P ? f12 ? v1 ? f 21 ? v2 ? f12 ? (v1 ? v2 ) ? f12 ? v12 2 f12 ? ? ? ? ?
v1

一质量为 m 的小球与一劲度系数为 k 的弹簧相连组 成一体系,置于光滑水平桌面上,弹簧的另一端与 固定墙面相连,小球做一维自由振动。试问:若视 弹簧和物体m 为一个体系,则在一沿此弹簧长度方 向以速度 u 作匀速运动的参考系里观察,此体系的 机械能是否守恒,并说明理由。
k O m x u x

?W ? f12 ? (?r1 ? ?r2 ) ? f12 ? ?r12

v2

? 在某一过程中,动能的增量一般与参照系(即使是惯性系) 有关,但势能的增量(与成对保守力做功相联系)与参照系 无关。所以相同的过程对某一参照系机械能守恒,但对另一 参照系却可能不守恒。 (源于做功与参照系有关)

AA1 和 BB1 是两根沿竖直方向固定于天花板 题 4.1 如图所示, 上的光滑直杆, A、B 之间的距离为 L。一长度为 2L 的绳子, 其一端固定于 B 点,另一端拴在套于 AA1 杆中的珠子 1 上。 开始时, 珠子 1 位于杆 BB1 另有一个珠子 2 穿过绳子及杆 BB1 。

的顶端 B,绳子处于拉直状态。现将珠子 1、2 同时从静止释 放。求:珠子 1 滑落距离为 h1 ? 2(1 ? 3 / 3) L 时,两珠子的速 度。
A
2L A? 2 L

1 B
h1
B?

A1

B1

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解:

A

B

题 4.2 一质量为 M 的圆环用线悬挂着,两质量为 m
h1

1 2 1 2 mv1 ? mv2 ? mgh1 ? mgh2 ? ? mgh0 (1) h2 2 2 h0 v
h0 ? (2 L )2 ? L2 ? 3L

的有孔小珠套在此环上,小珠可在环上无摩擦滑动, 如图所示。今将两小珠从环的顶部释放,使之沿相反 方向自由滑下。

2 L 1 B? 2 v1 2 C A? L

h2 ? h1 ? (2 L ? h1 )2 ? L2

(1)证明:为使小珠下滑过程
B1

A1

v2 ? ?

2L ? h1 dh2 dh dh dh ? 1) ? ? 2 1 ? ?v1 2 ? v1 ( dt dh1 dt dh1 (2 L ? h1 ) 2 ? L2

中大环能升起, m 和 M 必须满 足: m ?

h1 ? 2(1 ?

3 3 ) L ? h2 ? (2 ? ) L, v2 ? v1 3 3

3 M; 2

m

m

?
O M

(2)在满足上述条件下,求大 环开始升起时小珠与环中心连 线与竖直线的夹角。

将 h0、h1、h2和 v2= v1代入(1)式解得:

v1 ? v2 ? 2(2 ? 3) gL

分析:

解:
(1) ?mgR(1 ? cos ? ) ? 1 mv 2 ? N N

m N mg

m

? 2 ? N ? mg (2 ? 3cos ? ) ? 2 mv ?mg cos ? ? N ? ? ? R 上升条件: 2 N cos ? ? Mg ,即
2mg (2 ? 3cos ? ) cos ? ? Mg
m N mg m

?
O M

?
O M

2 M cos2 ? ? cos ? ? ?0 3 6m
以上不等式有解: Mg

?
O M

??

4 4M 3 ? ?0?m ? M 9 6m 2

(2)当m ?

3 M 时,不等式的解为: 2

题4.3 两个相同的正方体放在光滑的水平面上,它 们相对的面几乎相接触。一圆柱体对称地侧放在 它们上面,如图所示。在重力作用下,圆柱体开 始沿竖直方向向下运动,同时两立方体向两边滑 动。设圆柱体底半径为 R ,正方体边长为 2R ,圆 柱体的质量为正方体质量的2倍。求圆柱体碰到水 平面时的速度。
R 2m m
M

1 3M 1 3M (1 ? 1 ? ) ? cos? ? (1 ? 1 ? ) 3 2m 3 2m
? 1 3M 1? )? ? ? 0 ? (1 ? 1 ? 3 2m 3? ? ?1 1 3M 2? )? ? ? ? (1 ? 1 ? 2m 3? ?3 3

即开始上升时,

m N

m

?1 3M ? ? ? cos? ?1 ? (1 ? 1 ? )? 3 2m ? ?
2 M cos ? ? cos ? ? ?0 3 6m
2

?
O

mg

m

2R

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解:
圆柱体下落到任意位置? 时的速度:
2 2 ? 2 (2m)v1 ? 2 ? 2 mv2 ? 2mgR (1 ? cos ? ) ? ?v1 cos? ? v2 sin ?

圆柱体脱离正方体时的速度:
2m

1

1

C v2 R v1 ? O
m

5 sin ? ? 3
v2
m

C v2 R v1 ?

2m

v2

m

v2 v1

?v1 ? 2 gR (1 ? cos ? ) sin ? ? ? ? ?v2 ? 2 gR(1 ? cos ? ) cos ?

v2

v1

v1 ?

2 mg

10 gR 3

m

圆柱体碰到水平面时的速度:

圆柱体脱离正方体的位置: C相对于 O 作圆周运动圆柱体运动, 其速度:
? ? ? 2 ? ? v12 ? v2 ? 2 gR (1 ? cos ? ) v1? ? v1 ? v2 ? v1

1 1 (2m)v 2 ? (2 m)v12 ? 2 mg (2 R ? R cos ? ) 2 2

v?

刚好脱离时,正方体对圆柱体的弹力为零,则
2mg cos ? ? 2m ?2 2 v1 ? 4 mg (1 ? cos ? ) ? cos ? ? 3 R

58 gR 3
脱离位置:cos ? ?
2 3

v1 ? 2 gR(1 ? cos ? ) sin ?

题 4.4 (课后练习)缓冲器是用来减小车辆间冲击的装置,如图是 一种常见的摩擦缓冲器的横截面。楔块 C、D 与图中所有接触面的 摩擦系数都是 ? ? 0.25 ,楔块的斜面与水平面的夹角 ? ? 22? ,弹簧 A 和 B 的劲度系数分别为 k1 ? 1.2 ? 107 N/m 和 k 2 ? 1.5 ? 106 N/m 。安 装时各弹簧已处于压缩状态,弹簧 A 和 B 的初始压缩量分别为 ?x10 ? 1.0 ?10?3 m 和 ?x20 ? 1.0 ?10?3 m 。在外力 F 作用下,弹簧 B 再压缩的最大量 ?xm ? 6.3 ?10?2 m 。工程上用吸收率来表示缓冲器 的性能优劣。测定吸收率时,先用外力 F 作用在左边的滑块 P,使 弹簧 B 被缓慢压缩到最大 程度,而后使系统缓慢恢 N 复到初始位置。设压缩过 C? k2 程外力 F 所做的功为 W , F 恢复过程中缓冲器反抗外 A k1 力 所 做 的 功 为 W? , 则 P Q B ? ? ? 1 ? W / W 称为吸收率。 D? 试求根据上述数据求这台 缓冲器的吸收率。

解:压缩阶段: FP ? FQ ? f N cos ? ? FN sin ? ? 0

fP
FP

fN

FA ? f P ? f Q ? FN cos ? ? f N sin ? ? 0

FN

FA

FP ? F / 2 FA ? k1 ( x10 ? ?x1 )
FQ ? k2 ( x20 ? ?x2 ) / 2

? FQ

fQ

N C?

k2 k1

f P ? ? FP f Q ? ? FQ f N ? ? FN ?x1 tan ? ? 2?x2
F?

F A
P

D?

Q

B

2k1x10 (tan ? ? ? ) ? k2 x20 (1 ? ? 2 ) 4k1 tan ? (tan ? ? ? ) ? k 2 (1 ? ? 2 ) ? ?x2 1 ? ? 2 ? 2? tan ? 1 ? ? 2 ? 2? tan ?

? F0 ? K ?x2

恢复阶段: FP ? FQ ? f N cos ? ? FN sin ? ? 0

fN fP
N C?

F
? FQ

FA ? f P ? f Q ? FN cos ? ? f N sin ? ? 0

FP

FN

FP ? F ? / 2 FA ? k1 ( x10 ? ?x1 ) FQ ? k2 ( x20 ? ?x2 ) / 2
f P ? ? FP f Q ? ? FQ
F

FA

?x2 : 0 ? ?xm
fQ

W ? F0 ?xm ?

1 2 K ?xm 2
1 2 K ??xm 2

F0
O
N C?

k2 k1

?x2 : ?xm ? 0
W ? ? F0??xm ?

?x2

A
P

f N ? ? FN ?x1 tan ? ? 2?x2
F? ?

D?

Q

B

k2
k1
Q

2 F ? ? K ??xm W? ? 1? 0 ? ? 1? 2 F0? ? K ??xm W

F A P D? B

2k1 x10 (tan ? ? ? ) ? k 2 x20 (1 ? ? 2 ) 4k1 tan ? (tan ? ? ? ) ? k 2 (1 ? ? 2 ) ? ?x2 1 ? ? 2 ? 2? tan ? 1 ? ? 2 ? 2 ? tan ?

? 0.74

? F0? ? K ??x2

F ? F0 ? K ?x2 , F ? ? F0? ? K ??x2

31

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解:
题 4.5 如图所示,有一固定的斜面,其倾角? =450。一劲度 系数 k=18.0N/m 的弹簧一端固定在斜面顶端, 另一端连着一 质量 m=2.0kg 的物体,该物体置于斜面上,与斜面之间的 摩擦系数为?=0.05。先扶住物体,使其保持静止,且此时弹 簧无形变,然后放开。问: (1)物体最终停止在什么位置? (2)物体从开始运动到最终停止 所经历的路程是多少? (3)物体从开始运动到最终停止 所经历的时间是多少?

(1)考察物体第 n次来回运动: ? ? xn ?1 xn ? xn

?: xn ? xn
? ? xn ) ? ? ? mg cos ? ( xn

1 2 1 2 ? ? kxn ? mg ( xn ? ? xn ) sin ? kxn 2 2 1 2 1 2 ? ? mg ( xn ? ? xn ?1 ) sin ? kxn ?1 ? kxn 2 2

? ? xn?1 : xn
? ? xn?1 ) ? ? ? mg cos ? ( xn

m

?

2mg (sin ? ? ? cos ? ) k 2mg x? (sin ? ? ? cos ? ) n ? x n ?1 ? k ? ? xn ? xn

O

xn

xn

+1

4? mg cos? xn ?1 ? xn ? k

x?

n

?

x1 ? 0
4( n ? 1) ? mg cos ? k 2mg ? xn ? [sin ? ? (2 n ? 1) ? cos ? ] k 物体停止在位置 x? n的条件: xn ?

物体停止在位置 xn的条件:

f n ? mg sin ? ? kxn ? ? mg cos ?
xn
xn

+1

1 tan ? n? ( ? 3) 4 ?
x?

O

O

xn

x

n ? 5.75

n+ 1

? ? mg sin ? ? ? mg cos ? f n? ? kxn
1 tan ? n? ( ? 1) 4 ?

n

?

x?

n

n?6
? 位置, 由于物体先经过 xn,后经过 xn 由此物体最终停止的位置为:

?

n ? 5.25

n?6
xn ?1 ? xn ? 4 ? mg cos ? 2mg ? ? xn ? , xn (sin ? ? ? cos ? ) k k

x6 ?
xn ?

20? mg cos ? ? 0.79(m) k
4(n ? 1) ? mg cos ? 2mg ?? , xn [sin ? ? (2n ? 1) ? cos ? ] k k

( 2)根据功能原理: 1 2 ? ? mgs cos ? ? kx6 ? mgx6 sin ? 2 2 / 2 20mg (sin ? ? 10? cos ? ) ? 7.9(m) mgx6 sin ? ? kx6 ? s? k ? mg cos ? ( 3)物体来回一次的时间:

题 4.6 图示为一利用 传输带输送货物的装 置. 物块(视为质点) 自平台经斜面滑到一 以恒定速度 V 运动的 水平长传输带上,再 由传输带输送到远处 目的地. 已知斜面高 h=2.0m, 水平边长 L=4.0m, 传输带宽 d =2.0m,
h V

?
L d

T ? 2?

m 2? ? (s) 3 k

O

物体从开始运动到最终停止所经历的时间:

xn

x

n+ 1

传输带的运动速度 V=3.0m/s, 物块与斜面间的摩擦系数?1=0.30, 物

10? ?t ? 5 ? T ? ? 10.5(s) 3
x6 ? 20 ? mg cos ? k

x? n

块自斜面顶端下滑的初速度为零,沿斜面下滑的速度方向与传输带

?

运动方向垂直. 设物块通过斜面与传输带交界处时无动能损失 . 重 力加速度 g=10m/s2.

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(1)为使物块滑到传输带上后不会从传输带边缘脱离,物块 与传输带之间的摩擦系数 ?2 至少为多少? (2)假设传输带由一带有稳速装置的电机驱动,传输带空载 (无输送货物)时,电机的输出功率为 100W,则当货物的平 均流量(单位时间里输送的货物质量)稳定在?=40kg/s 时,电 机的输出功率时多少?假设除了货物与传输带之间的摩擦损 耗外,其它部分的能耗与传送带上的货物量无关。
V

解:
( 1) 物块在斜面上滑动的加速度:

a?

mg sin ? ? ?1 mg cos ? ? g (sin ? ? ?1 cos ? ) m

物块滑到斜面底端的速度:

v0 ? 2ah / sin ? ? 2 gh(1 ? ?1 cot ? ) ? 4.0m/s
a

h

?
L d

h

?

v0

以传输带为参照系,物块滑到传输带的初速度 :

? ? ? ? ? v0 ? V , v0

V

? ? v0 2 ? V 2 ? 5.0m/s 大小 : v0 V 4 方向 : tan ? ? ? v0 3 物块在传输带上作减速运动,加速度: ?? mg a? ? 2 ? ??2 g m
v?2 v?2 0 ? v? ? 2 a?s? ? s? ? 0 ? 0 ? 2a 2? 2 g
2 0

( 2)物块从滑上传送带到与传送带相对静止所历经时间: V ? v0 v? ? 0 ? v? ? 0 0 + a Δt ? Δt ? ? a? ? 2 g 传输带上与传送带间存在相对滑动的货物质量 :
m? ? ? ? Δt ?

v0 ? ? ? s? V v0 ? v0
d d

? ? v0 ?2 g

v0 ? ? ? s? V v0 ? v0 d d
V

物块对传输带的摩擦力大小 :
? ?(方向与 v F ? ? 2 ? m?g ? ? v0 ? 0 一致)

当物块与传输带相对静止时在传输带上运动的距离:

单位时间里摩擦力对传输带所做的功 :
2 ? ? FV cos(? / 2 ? ? ) ? ?? v? W 0 sin ? V ? ??V

物块不超过传输带宽的边缘对应的最小摩擦系数? 2 应满足 : 2 v? v? 2 cos ? 0 cos ? ? 0.5 s? cos ? ? 0 ? d ?2 ? 2 gd 2? 2 g

电机的输出功率 :

v0
d

? ) ? P0 ? ?V 2 ? 460(W) P ? P0 ? ( ?W

? 力做功一般与参照系(即使是惯性系)有关,但一对相 互作用力所做总功与参照系无关。 V 以地面为参照系,单位时间内摩擦力 ? ? ??V 2 对传输带所做的功:W ? ? ? 1 ?V 2 ? 1 ? v 2 W 对物块所做的功 : 0 2 2 ? ?W ? ? ? ? 1 ? (V 2 ? v 2 ) 所做的总功 : W 0 2 以传送带为参照系,单位时间内摩擦力
v0

d
V

? ?0 对传输带所做的功:W
对物块所做的功 : 所做的总功 :
? ? ? ? 1 ? v?2 ? ? 1 ? (V 2 ? v 2 ) W 0 0 2 2 1 ? ?W ? ? ? ? ? (V 2 ? v 2 ) W 0 2

? s? V v0 ? v0
d d

0 ? ?

v

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