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选修2-2 2.1 合情推理与演绎推理(1-3课时)教案


合情推理与演绎推理(3 课时) 选修 2-2 2.1 合情推理与演绎推理 课时
第一课时 2.1.1 合情推理( 合情推理(一) 教学要求: 教学要求:结合已学过的数学实例,了解归纳推理的含义,能利用归纳进行简单的推理,体会并认识归纳 推理在数学发现中的作用. 教学重点:能利用归纳进行简单的推理. 教学重点: 教学难点: 教学难点:用归纳进行推理,作出猜想. 教学过程: 教学过程: 一,新课引入: 新课引入: 1. 哥 德 巴 赫 猜 想 : 观 察 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97,猜测:任一偶数(除去 2,它本身是一素数)可以表示成两 个素数之和. 1742 年写信提出,欧拉及以后的数学家无人能解,成为数学史上举世闻名的猜想. 1973 年, 我国数学家陈景润,证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和,数学上把它称为 "1+2". 2. 费马猜想: 法国业余数学家之王—费马 (1601-1665) 1640 年通过对 F0 = 22 + 1 = 3 ,F1 = 22 + 1 = 5 , 在
0 1

F2 = 22 + 1 = 17 , F3 = 22 + 1 = 257 , F4 = 22 + 1 = 65 537 的观察,发现其结果都是素数,于是提出猜想:
2 3 4

对 所 有 的 自 然 数 n , 任 何 形 如 Fn = 22 + 1 的 数 都 是 素 数 . 后 来 瑞 士 数 学 家 欧 拉 , 发 现
n

F5 = 22 + 1 = 4 294 967 297 = 641 × 6 700 417 不是素数,推翻费马猜想.
5

3. 四色猜想:1852 年,毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时,发 现了一种有趣的现象: "每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家着上不同的颜色." ,四色 猜想成了世界数学界关注的问题.1976 年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电 子计算机上,用 1200 个小时,作了 100 亿逻辑判断,完成证明. 二,讲授新课: 讲授新课: 1. 教学概念: ① 概念:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者 由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理. 简言之,归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的 推理. ② 归纳练习:(i)由铜,铁,铝,金,银能导电,能归纳出什么结论? (ii)由直角三角形,等腰三角形,等边三角形内角和 180 度,能归纳出什么结论? (iii)观察等式: 1 + 3 = 4 = 22 , 1 + 3 + 5 = 9 = 32 , 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 16 = 42 ,能得出怎样的结论? ③ 讨论:(i)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,是否属归纳推理? (ii)归纳推理有何作用? (发现新事实,获得新结论,是做出科学发现的重要手段) (iii)归纳推理的结果是否正确?(不一定) 2. 教学例题: ① 出示例题:已知数列 {an } 的第 1 项 a1 = 2 ,且 an +1 =
an (n = 1, 2,) ,试归纳出通项公式. 1 + an

(分析思路:试值 n=1,2,3,4 → 猜想 an →如何证明:将递推公式变形,再构造新数列) -1-

② 思考:证得某命题在 n=n 0 时成立;又假设在 n=k 时命题成立,再证明 n=k+1 时命题也成立. 由 这两步,可以归纳出什么结论? (目的:渗透数学归纳法原理,即基础,递推关系) ③ 练习:已知 f (1) = 0, af (n) = bf ( n 1) = 1, n ≥ 2, a > 0, b > 0 ,推测 f (n) 的表达式. 3. 小结:①归纳推理的药店:由部分到整体,由个别到一般;②典型例子:哥德巴赫猜想的提出;数列通 项公式的归纳. 三,巩固练习: 巩固练习: 1. 练习:教材 P87 1,2 题. 2. 作业:教材 P93 习题 A 组 1,2,3 题.

第二课时 2.1.1

合情推理( 合情推理(二)

教学要求: 教学要求:结合已学过的数学实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并 认识合情推理在数学发现中的作用. 教学重点: 教学重点:了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理. 教学难点: 教学难点:用归纳和类比进行推理,作出猜想. 教学过程: 教学过程: 一,复习准备: 复习准备: 1. 练 习 : 已 知
(iii ) (a1 + a2 + a3 )(
ai > 0 (i = 1, 2, , n) , 考 察 下 列 式 子 : (i ) a1 1 1 1 ≥ 1 ; (ii ) ( a1 + a2 )( + ) ≥ 4 ; a1 a1 a2

1 1 1 + + ) ≥ 9 . 我们可以归纳出,对 a1 , a2 , , an 也成立的类似不等式为 a1 a2 a3

.

2. 猜想数列

1 1 1 1 , , , , 的通项公式是 1× 3 3 × 5 5 × 7 7 × 9

.

3. 导入:鲁班由带齿的草发明锯;人类仿照鱼类外形及沉浮原理,发明潜水艇;地球上有生命,火星与地 球有许多相似点,如都是绕太阳运行,扰轴自转的行星,有大气层,也有季节变更,温度也适合生物生存, 科学家猜测:火星上有生命存在. 以上都是类比思维,即类比推理. 二,讲授新课: 讲授新课: 1. 教学概念: 教学概念: ① 概念:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特 征的推理. 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. ② 类比练习: (i)圆有切线,切线与圆只交于一点,切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体? (ii)平面内不共线的三点确定一个圆,由此结论如何类比得到空间的结论? (iii)由圆的一些特征,类比得到球体的相应特征. (教材 P81 探究 填表) 小结:平面→空间,圆→球,线→面. ③ 讨论:以平面向量为基础学习空间向量,试举例其中的一些类比思维. 2. 教学例题: 教学例题: ① 出示例 1:类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质. (得到如下表格) 类比角度 实数的加法 实数的乘法

-2-

运算结果 运算律

若 a , b ∈ R, 则 a + b ∈ R
a+b =b+a (a + b) + c = a + (b + c)

若 a, b ∈ R, 则 ab ∈ R
ab = ba (ab)c = a (bc)

逆运算

加法的逆运算是减法, 使得方 程 a + x = 0 有唯一解 x = a
a+0=a

乘法的逆运算是除法,使得 方程 ax = 1 有唯一解 x =
a 1 = 1 1 a

单位元

② 出示例 2:类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想. 思维:直角三角形中, ∠C = 900 ,3 条边的长度 a, b, c ,2 条直角边 a, b 和 1 条斜边 c ; →3 个面两两垂直的四面体中, ∠PDF = ∠PDE = ∠EDF = 900 ,4 个面的面积 S1 , S2 , S3 和 S 3 个"直角面" S1 , S2 , S3 和 1 个"斜面" S . → 拓展:三角形到四面体的类比. 3. 小结:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察,分析,比较,联想,再进行归纳,类比, 然后提出猜想的推理,统称为合情推理. 三,巩固练习:1. 练习:教材 P87 3 题. 巩固练习: 2. 探究:教材 P84 例 4 3.作业:P93 4,5 题.

第三课时 2.1.2

演绎推理

教学要求: 教学要求:结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本方法, 并能运用它们进行一些简单的推理.. 教学重点: 教学重点:了解演绎推理的含义,能利用"三段论"进行简单的推理. 教学难点: 教学难点:分析证明过程中包含的"三段论"形式. 教学过程: 教学过程: 一,复习准备: 复习准备: 1. 练习: ① 对于任意正整数 n,猜想(2n-1)与(n+1)2 的大小关系? ②在平面内, a ⊥ c, b ⊥ c , a // b . 类比到空间, 若 则 你会得到什么结论? (结论: 在空间中, a ⊥ c, b ⊥ c , 若 则 a // b ;或在空间中,若 α ⊥ γ , β ⊥ γ , 则α // β . 2. 讨论:以上推理属于什么推理,结论正确吗?
合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明,有什么能使结论正确的推理形式呢?

3. 导入:① 所有的金属都能够导电,铜是金属,所以

; ;

② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,冥王星是太阳系的大行星,因此 ③ 奇数都不能被 2 整除,2007 是奇数,所以

.

(填空→讨论:上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗?→课题:演绎推理) 二,讲授新课: 讲授新课:

1. 教学概念: 教学概念:
① 概念:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理. 要点:由一般到特殊的推理. ② 讨论:演绎推理与合情推理有什么区别?

-3-

归纳推理:由特殊到一般 合情推理 ;演绎推理:由一般到特殊. 类比推理:由特殊到特殊 ③ 提问:观察教材 P88 引例,它们都由几部分组成,各部分有什么特点? 所有的金属都导电 已知的一般原理 大前提 铜是金属 特殊情况 小前提 铜能导电 根据原理,对特殊情况做出的判断 结论

"三段论"是演绎推理的一般模式:第一段:大前提——已知的一般原理;第二段:小前提——所研究的 特殊情况;第三段:结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. ④ 举例:举出一些用"三段论"推理的例子.

2. 教学例题: 教学例题:
① 出示例 1:证明函数 f ( x) = x 2 + 2 x 在 ( ∞, 1] 上是增函数. 板演:证明方法(定义法,导数法) → 指出:大前题,小前题,结论. ② 出示例 2:在锐角三角形 ABC 中, AD ⊥ BC , BE ⊥ AC ,D,E 是垂足. 求证:AB 的中点 M 到 D,E 的距离相等. 分析:证明思路 →板演:证明过程 → 指出:大前题,小前题,结论.
1 ③ 讨论:因为指数函数 y = a x 是增函数, y = ( ) x 是指数函数,则结论是什么? 2

(结论→指出:大前提,小前提 → 讨论:结论是否正确,为什么?) ④ 讨论:演绎推理怎样才结论正确?(只要前提和推理形式正确,结论必定正确)

3. 比较:合情推理与演绎推理的区别与联系?(从推理形式,结论正确性等角度比较;演绎推理可以验证
合情推理的结论,合情推理为演绎推理提供方向和思路.) 三,巩固练习:1. 练习:P91 2,3 题 2. 探究:P91 阅读与思考 3.作业:P93 6 题,B 组 1 题. 巩固练习:

-4-

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