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一元二次方程根的判别式与韦达定理常见题型


一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项 一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项 根的判别式及韦达定理
一、一元二次方程跟的判别式的常见题型 题型 1:不解方程,判断一元二次方程根的情况 :不解方程,

二、一元二次方程根与系数的关系------韦达定理的常见题型 一元二次方程根与系数的关系 韦达定理的常见题型 题型 1:已知一元二次方程的一根,求另一根及未知系数 k 的值 :已知一元二次方程的一根, 已知 2 ? 3 是方程 x + kx + 1 = 0 的一根,则方程的另一根是
2

,k =



(1)5 x 2 ? 4 x ? 3 = 0;

(2)3 x 2 + 2 x + 1 = 0;

(3)2 x 2 + 3 = 2 6 x.

题型 2:求与一元二次方程根有关的代数式的值; :求与一元二次方程根有关的代数式的值; 1. 已知 x1 , x2 是方程 2 x ? 4 x ? 3 = 0 的两根, 计算: (1)x1 + x2 ; ⑵
2

2

2

1 1 + ;⑶ ( x1 ? x2 )2 x1 x2

题型 2:证明一元二次方程根的情况 : 求证:无论 k 取何实数,关于 x 的一元二次方程: x 2 ? ( k + 1) x + k ? 4 = 0 总有两个不等实根。

变式:已知 a, b 是方程 x ? 2012 x + 3 = 0 的两实根,求 ( a 2 ? 2010a + 3)(b 2 ? 2010b + 3) 的值 变式
2

题型 3:已知一元二次方程根的情况,求方程中未知系数的取值范围 :已知一元二次方程根的情况 求方程中未知系数的取值范围 .. 1. 2011·重庆)已知关于 x 的一元二次方程(a-1)x -2x+1=0 有两个不相等的实数根,则 a 的 . ( ...... ......
2

取值范围是( ) A.a<2 B,a>2 C.a<2 且 a≠1 D.a<-2· 2 (2010·安徽芜湖)关于 x 的方程(a -5)x -4x-1=0 有实数根,则 a 满足() 变式 1: .... .. A.a≥1 B.a>1 且 a≠5 C.a≥1 且 a≠5 D.a≠5

题型 3:已知一元二次方程两根的关系,求方程中未知系数的取值 :已知一元二次方程两根的关系 ..... 1. 关于 x 的一元二次方程 x 2 + (2k ? 1) x + k 2 ? 1 = 0 的两个实根的平方和等于 9,求 k 的值 .

注意: 即原方程是否“一定为一元二次方程 。 二次方程” 注意:要特别注意二次项系数是否为 0,即原方程是否“一定为一元二次方程” (2010 ·成都)若关于 x 的一元二次方程 x + 4 x + 2k = 0 有两个实数根,求 k 的取值 变式 2:
2

范围及 k 的非负整数值. ....
2 变式 1: (2011·荆州)关于 x 的方程 ax ? (3a + 1) x + 2( a + 1) = 0 有两个不相等的实根 x1 、 :

x 2 ,且有 x1 ? x1 x 2 + x 2 = 1 ? a ,则 a 的值是(
变式 3:已知关于 x 的一元二次方程 (1 ? 2k ) x ? k x ? 1 = 0 有两个实数根,求 k 的取值范围



A.1 B.-1 C.1 或-1 D. 2 注意:要特别注意应用韦达定理的前提条件是原方程有实根,即原方程:△≥0 应用韦达定理的前提条件是原方程有实根 注意:要特别注意应用韦达定理的前提条件是原方程有实根,即原方程:△≥0。故最后需验根 (2010·中山)已知一元二次方程 x ? 2 x + m = 0 . (1)若方程有两个实数根,求 m 的 变式 2:
2

范围; (2)若方程的两个实数根为 x1 , x 2 ,且 x1 +3 x 2 =3,求 m 的值。

三、综合练习 1. (2010· 贵州毕节) 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 + (2m ? 1) x + m 2 = 0 有两个实数根 x1 和 x2 . (1)求实数 m 的取值范围; (2)当 x ? x = 0 时,求 m 的值.
2 1 2 2

2 4. (2010·孝感)关于 x 的一元二次方程 x ? x + p ? 1 = 0有两实数根x1 、 x 2 .

(1)求 p 的取值范围;

(2)若 [2 + x1 (1 ? x1 )][2 + x 2 (1 ? x 2 )] = 9, 求p 的值.

2. (2011·四川南充市)关于的一元二次方程 x2+2x+k+1=0 的实数解是 x1 和 x2。 (1)求 k 的取值范围; (2)如果 x1+x2-x1x2<-1 且 k 为整数,求 k 的值。

5. (2011·四川乐山)已知关于 x 的方程 x 2 + 2( a ? 1) x + a 2 ? 7 a ? 4 = 0 的两根为 x1 、 x2 ,且 满足 x1 x2 ? 3 x1 ? 3 x2 ? 2 = 0 .求 (1 +

4 a+2 )? 的值。 a ?4 a
2

3. (2010·绵阳)已知关于 x 的一元二次方程 x2 = 2(1-m)x-m2 的两实数根为 x1,x2. (1)求 m 的取值范围; (2)设 y = x1 + x2,当 y 取得最小值时,求相应 m 的值,并求出最小值.

6. (2010·孝感)已知关于 x 的方程 x2-2(k-1)x+k2=0 有两个实数根 x1,x2. (1)求 k 的取值范围; (2)若 x1 + x2 = x1 x2 ? 1 ,求 k 的值.


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