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椭圆的简单几何性质


河北饶阳中学 2-1 限时训练椭圆的简单几何性质

课时训练 8 椭圆的简单几何性质
一、综合题 1.已知点(3,2)在椭圆=1 上,则( ).

A.点(-3,-2)不在椭圆上 B.点(3,-2)不在椭圆上 C.点(-3,2)在椭圆上 D.无法判断以上各点是否在椭圆上
答案:C 解析:由椭圆的对称性知(-3,2)必在椭

圆上. 2.椭圆=1 与椭圆=1 有( ).

A.相同短轴 C.相同离心率
答案:D

B.相同长轴 D.以上都不对

解析:由于椭圆=1 中,焦点可能在 x 轴上,也可能在 y 轴上,所以无法确定两个椭圆的长轴长、 短轴长的关系,且离心率也不一定相同. 3.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18,焦距为 6,则椭圆的方程为( ).

A.=1 B.=1 C.=1 和=1 D.=1 和=1
答案:D 解析:依题意 2a+2b=18,2c=6,所以 a+b=9,c=3.而 c =a -b ,所以 a -b =9,于是 a-b=1,解得 a=5,b=4,故方程为=1 或=1. 4.椭圆=1 的离心率为,则 k 的值为( ).
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A. C.或-3
答案:C

B.-3 D.-3 或

解析:若焦点在 x 轴上,则=1-, ∴k=;若焦点在 y 轴上,则,∴k=-3.

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5.中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率为,且过点(2,0)的椭圆的方程是(

).

A.+y2=1 B.+y2=1 或 x2+=1 C.x2+4y2=1 D.x2+4y2=4 或 4x2+y2=16
答案:D 解析:若焦点在 x 轴上,则 a=2.又 e=,∴c=.∴b =a -c =1,∴方程为+y =1,即 x +4y =4;若焦点 在 y 轴上,则 b=2.又 e=,∴=1-,∴a =4b =16,∴方程为=1,即 4x +y =16. 6.若点 O 和点 F 分别为椭圆=1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则的最大值为 ( ).
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A.2
答案:C

B.3

C.6

D.8

解析:由题意得 F(-1,0),设点 P(x0,y0), 则=3(-2≤x0≤2), ·=x0(x0+1)++x0++x0+3(x0+2) +2, 当 x0=2 时,·取得最大值为 6. 7.已知椭圆 E 的短轴长为 6,焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9,则椭圆 E 的离心率等 于 答案: 解析:根据题意得 2b=6,a+c=9 或 a-c=9(舍去). 所以 a=5,c=4,故 e=. 8. 若 AB 为 过 椭 圆 =1 的 中 心 的 线 段 ,F1 为 椭 圆 的 焦 点 , 则 △F1AB 的 面 积 的 最 大 值 为 答案:12 解析:如图,=2. . .
2

又∵OF1=c=3 为定值, ∴点 A 与(0,4)重合时,OF1 边上的高最大.

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此时的最大值为×4×3=6. ∴的最大值为 12. 9.椭圆=1(a>b>0)的两个焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上,且 PF1⊥F1F2,|PF1|=,|PF2|=. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 过圆 x +y +4x-2y=0 的圆心 M 交椭圆于 A,B 两点,且 A,B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程. 解:(1)∵点 P 在椭圆 C 上, ∴2a=|PF1|+|PF2|=6,即 a=3. 在 Rt△PF1F2 中, |F1F2|==2, 故椭圆的半焦距 c=,从而 b =a -b =4, 即椭圆 C 的方程为=1. (2)已知圆的方程为(x+2) +(y-1) =5, 因此,圆心 M 的坐标为(-2,1). 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 由题意 x1≠x2,且=1,① =1,② 由①-②得 =0,③ ∵A,B 关于点 M 对称, ∴x1+x2=-4,y1+y2=2. 代入③得,即直线的斜率为, 故直线 l 的方程为 y-1=(x+2), 即 8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意) 10.如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左、右焦点分别为 F1,F2,线段 OF1,OF2 的中点分别为 B1,B2,且△AB1B2 是面积为 4 的直角三角形.
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(1)求该椭圆的离心率和标准方程; (2)过 B1 作直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2⊥QB2,求直线 l 的方程. 解:(1)如题图所示,设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0),右焦点为 F2(c,0). 因△AB1B2 是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2 为直角,因此|OA|=|OB2|,得 b=,结合 c =a -b 得 4b =a -b , 故 a =5b ,c =4b ,所以离心率 e=. 在 Rt△AB1B2 中,OA⊥B1B2,故 =·|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|=·b=b . 由题设条件=4 得 b =4,从而 a =5b =20, 因此所求椭圆的标准方程为=1. (2)由(1)知 B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线 l 的倾斜角不为 0,故可设直线 l 的方程为 x=my-2.代入椭圆方程得(m +5)y -4my-16=0, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1,y2 是上面方程的两根,因此 y1+y2=,y1·y2=-, 又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2), 所以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m +1)y1y2-4m(y1+y2)+16=-+16=-. 由 PB2⊥QB2,得·=0,即 16m -64=0,解得 m=±2. 所以满足条件的直线有两条,其方程分别为 x+2y+2=0 和 x-2y+2=0.
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