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浙江省六校联盟2012届高三第一次联考数学(文)试题


浙江省 2012 届六校联考高三数学(文科)试题
一、 选择题 (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题给出的四个选项, 只有一项符合题目要求) 1.若全集为实数集 R,集合 A= { x | x ? 4 } ,B= { x | 2 ? 1} ,则(? R A ) ? B ? (
2 x



A. { x | x ? 1或 x ? 2 } 2. 若 f ( x ) ? ?

B. { x | 0 ? x ? 2 }

C. { x | 0 ? x ? 2 }

D. ?

?1 ? ln x ( 0 ? x ? 2 ) ?x
2

( x ? 2)

,若 f ( m ) ? 2 ,则 m 的值为(
1 e 1 e

)
开始
i ? 1, su m ? 0, S ? 0

A. e

B. 2
a ?i 1? i

C.

D. 2 或

3.设 i 为虚数单位,若 A. a ? 0 , b ? 1 C. a ? 1, b ? 1

? b ? i ( a , b ? R ) ,则 a , b 的值为(




B. a ? 1, b ? 0 D. a ?
1 2


, b ? ?1 4 5
i ? i ?1

输出S 结束

4.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果是 应填入的条件是( ) A. i ? 5 B. i ? 6

,则判断框中

sum ? sum ? 1
S ? S ? 1 / ? su m ? i ?

C. i ? 7

D. i ? 8

5.若 { a n } 为首项为 1 的等比数列, S n 为其前 n 项和,已知 2 a 2 , S 3 , a 4 ? 2 三个数成等差数 列,则 数列 { a n } 的前 5 项和为( ) A.341 B.
1000 3
2

C.1023

D.1024

6.一个袋中装有大小相同的 5 个球,现将这 5 个球分别编号为 1,2,3,4,5,从袋中取出两个 球,每次只取出一个球,并且取出的球不放回.求取出的两个球上编号之积为奇数的概 率为( ) A.
1 2

B.

3 10
a

C.

7 20

D.

7 10

7.若 a ? 0 且 a ? 1 ,则“ log A.充分不必要条件 C.充要条件

b ? 0 ”是“ ( a ? 1)( b ? 1) ? 0 ”的(



B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

?x ? y ? 1 ? 8.已知点 ( x , y ) 满足 ? x ? y ? ? 1 ,目标函数 z ? ax ? 2 y 仅在点(1,0)处取得最小值,则 ?2 x ? y ? 2 ?

a 的范围为( )

A. ( ? 1, 2 )
2

B. ( ? 4 , 2 )
? ?
, 2 2

C. ( ? 2 ,1)
1 2

D. ( ? 2 , 4 )

9. 若 f ( x ) ? x ? cos x , x ? [ ? ( ) A.4 10.已知点 P 为双曲线 焦点, 且 | F1 F 2 |? 值为( ) A.
1? 2 2 2

] ,设 g ( x ) ? | f ( x ) | ?

,则函数 g ( x ) 的零点个数为

B.3
x a
2 2

C.2

D.1

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 右支上一点, F1 , F 2 分别为双曲线的左右

b

2

a

,I 为三角形 PF 1 F 2 的内心,若 S ? IPF ? S ? IPF ? ? S ? IF
1 2

1 F2

成立,则 ? 的

B. 2 3 ? 1

C. 2 ? 1

D. 2 ? 1

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人, 并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图) ,为 了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要 从这 10000 人中再用分层抽样的方法抽出 200 人作进一步 调查,其中低于 1500 元的称为低收入者,高于 3000 元的 称为高收入者,则应在低收入者和高收入者中抽取的人数 一共是____________. 12.若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示,则此多面体的表 面积是 . 第 11 题

13.已知函数 f ( x ) ?

x

2 2

1? x

,
1 1 1 1

第 12 题

则 f (1) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? f ( 4 ) ? f ( 5 ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) =_____.
2
? ?

3
? ?

4
?

5

14.不共线的两个向量 a , b ,且 a ? 2 b 与 2 a ? b 垂直, a ? b 与 a 垂直, a 与 b 的夹角的 余弦值为____. 15. 函数 f ( x ) ? sin x ? cos x ,设 x ? [ ? 围为_______. 16.如图正四面体 ABCD,E 为棱 BC 上的动点,则
?
6 ,

?
3

] ,若 f ( x ) ? a 恒成立,则实数 a 的取值范
2

A

B

D

异面直线 BD 和 AE 所成角的余弦值的范围为 _______. .... 17.设集合 A= [ 0 , ), B ? [ ,1] , 函
2 2
1 ? x? A ?x ? , 数 f (x) ? ? , 2 ? log ( 2 ? x ), x ? B 2 ?

1

1

若 x 0 ? A , 且 f [ f ( x 0 )] ? A ,则 x 0 的取值范围是_________. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题满分 14 分) 等比数列 { a n } 为递增数列,且 a 4 ? (1)求数列 { b n } 的前 n 项和 S n ; (2) T n ? b 1 ? b 2 ? b 2 ? ? ? b 2
2 n ?1

2 3

, a3 ? a5 ?

20 9

,数列 b n ? log

an
3

(n∈N )



2

,求使 T n ? 0 成立的最小值 n .

19. (本题满分 14 分) 在锐角三角形 ABC 中, A, C 所对的边分别为 a , b , c , 角 B, 且 (1)求角 A; (2)若 a ?
2 ,求 bc 的取值范围.
b
2

?a

2

?c

2

?

cos( A ? C ) sin A cos A

ac

20. (本题满分 14 分) 如下图(图 1)等腰梯形 PBCD,A 为 PD 上一点,且 AB⊥PD,AB=BC,AD=2BC,沿着 AB 折叠使得二面角 P-AB-D 为 60 的二面角, 连结 PC、 在 AD 上取一点 E 使得 3AE=ED, PD, 连结 PE 得到如下图(图 2)的一个几何体. (1)求证:平面 PAB ? 平面 PCD; (2)求 PE 与平面 PBC 所成角的正弦值.
?

P

P

A

D A
图1

E
图2

D

B

C

B

C

21. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 2 x
2

? a ln x

(a ? R )

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)设 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 x ,若 g ( x ) 在 [1, e ] 上不单调且仅在 x ? e 处取得最大值,求 a 的 取值范围.

22. (本题满分 15 分) 设抛物线 M 方程为 y ? 2 px ( p ? 0 ) ,其焦点为 F,P( a , b ) ( a ? 0 ) 为直线 y ? x 与
2

抛物线 M 的 一个交点, | PF |? 5 (1)求抛物线的方程; (2)过焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,试问在抛物线 M 的准线上是否存在一点 Q,使得 ? QAB 为等边三角形,若存在求出 Q 点的坐标,若不存在请说明理 由. Q B

O

y

F

x

A

参考答案和评分标准
一、选择题(每小题 5 分,每题只有一个正确的选项)
1 B 2 C 3 B 4 A 5 A 6 B 7 A 8 B 9 A 10 D

二、填空题(每小题 4 分) 11.60 人 12. 12cm2 13.
9 2 3 2

14.

10 5

15. a ? 1 ? 三、解答题

3 2

16. [ 0 , )
2

1

17. (

?

2,

1 2

)

2 ? 3 a q ? ? 1 q 3 ? 3 ? 18.解: (1)? { a n } 是等比数列,? ? ,两式相除得: 2 10 1? q ? a q 2 ? a q 4 ? 20 1 1 ? 9 ?

q ? 3 或者 q ? ? a n ? a1q
n ?1

1 3 ?

,? { a n } 为增数列,? q ? 3 , a 1 ?
2 81 ?3
n ?1

2 81

-------4 分

? 2 ?3

n?5

--------6 分
n (?4 ? n ? 5) 2 1 2

? b n ? l o g3

an 2

? n ? 5 ,数列 { b n } 的前 n 项和 S n ?

?

(n

2

? 9 n ) ---8 分

T (2) n ? b1 ? b 2 ? b 2 ? ? b 2
2

n ?1

= (1 ? 5 ) ? ( 2 ? 5 ) ? ( 2 ? 5 ) ? ? ( 2
2

n ?1

? 5) =

1? 2

n

1? 2

? 5n ? 0

即: 2 ? 5 n ? 1 -------12 分
n

? 2 ? 5 ? 4 ? 1, 2 ? 5 ? 4 ? 1 ? n min ? 5 --------14 分
4 5

(只要给出正确结果,不要求严格证明) 19 . 解 :( 1 ) ?
b
2

? a

2

?c

2

?

cos( A ? C ) sin A cos A

, ?

? 2 ac cos B ac

?

? cos B sin A cos A



ac
? ? ABC 为锐角三角形

? c o sB ? 0 ? 2 s i nA c o sA ? 1 , 即 sin 2 A ? 1 ,? 2 A ?

?
2

,A ?

?
4

-----------------6 分

(2)正根据弦定理可得:
C ? 3? 4
? bc ? 4 sin B sin( 3? 4

a sin A

?

b sin B

?

c sin C

,? bc ? 4 sin B sin C -----------8 分 ,

? B

? B ) = 4 sin B (

2 2

cos B ?

2 2

sin B ) ?

2 sin 2 B ?

2 (1 ? cos 2 B )

? bc ? 2 sin( 2 B ?

?
4

)?

2 ---------------------------------12 分

又 ? ABC 为锐角三角形

? ? 0 ? B ? ? ? ? ? 2 ,? ? ,得到 B 的范围: ( , ) ----13 分 4 2 ? 0 ? 3? ? B ? ? ? 4 2 ?
2 ,2 ? 2 ] ----14 分

? 2B ?

?
4

?(

?
4

,

3? 4

) ,则 bc 范围: (2

20.解: (1)证明:? AB ? PA , AB ? AD ,又二面角 P-AB-D 为 60
? ? PAD ? 60 ,又 AD=2PA
?

?

? AP ? P D

有平面图形易知:AB ? 平面 APD,又 PD ? 平面 APD ,? AB ? PD ,
? AP , AB ? 平面 ABP ,且 AP ? AB ? A
? PD ? 平面 PAB ,又 PD ? 平面 PCD ,? 平面 PAB ? 平面 PCD---------7 分

(2)设 E 到平面 PBC 的距离为 h ,? AE//平面 PBC 所以 A 到平面 PBC 的距离亦为 h 连结 AC,则 V P ? ABC ? V A ? PBC ,设 PA=2
?
1 3
?h ?

P A E
图2

?

1 2
2

?2?2?

3=

1 3

?

1 2

?2?

7 ?h

D

21 7

, PE 与平面 PBC 所成角为 ? 设

2 3

B
? 2 7 7

C

? sin ? ?

h PE

?

7 3

---------------14

分 21.解: (1) f ( x ) ? x ?
'

a x

?

x

2

? a x

( x ? 0 ) ---------2 分

若 a ? 0 ,则 f ( x ) ? 0 ,所以此时只有递增区间( 0 , ?? ) ---------4 分
'

若 a ? 0 ,当 f ( x ) ? 0时,得 x ?
' '

a a

当 f ( x ) ? 0时,得 0 ? x ?

所以此时递增区间为: a ,?? ) ,递减区间为: ( (0, a ) -------------6 分
a x x ? 2x ? a
2

(2) g ( x ) ? x ?
'

? 2 ?

( x ? 0 ) ,设 h ( x ) ? x ? 2 x ? a ( x ? 0 )
2

x
2

若 g ( x ) 在 [1, e ] 上不单调,则 h (1) h ( e ) ? 0 ,? ( 3 ? a )( e ? 2 e ? a ) ? 0
? 3 ? a ? e ? 2 e -------------10 分
2

同时 g ( x ) 仅在 x ? e 处取得最大值,? 只要 g ( e ) ? g (1) 即可
e
2

得出:a ?

? 2e ?

5 2

2

----------14 分

? a 的范围:( 3 ,

e

2

? 2e ?

5 2

2

) ---15

分 22.解: (1) ?
?y ? x ?y
2

?x ? 2 p ?x ? 0 ? ? 或? (舍去) ? 2 px ?y ? 2 p ?x ? 0
?| PF | ? 5

? P ( 2 p ,2 p )

?2p ?

p 2

? 5

? p ? 2

? 抛 物 线 的 方 程 为 y ? 4 x --5 分
2

(2)若直线 l 的斜率不存在,则 Q 只可能为 ( ? 1, 0 ) ,此时 ? QAB 不是等边三角 形,舍去,--7 分 若直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ( k ? 0 ) ,设直线 l 与 抛物线的交点坐标为 A( x1 , y 1 ) 、B( x 2 , y 2 )
? y ? k ( x ? 1) 4 2 2 2 2 ? k x ? ( 2 k ? 4 ) x ? k ? 0 , x1 ? x 2 ? 2 ? 2 ? 2 k ?y ? 4x

设存在 Q ( ? 1, m ) , AB 的中点为 M (1 ? 有题意可知:

2 k
2

,

2 k

) ,设 Q 到直线 l 的距离为 d

? 2 ?m ? k 1 ? ? ?? ① ? 2 k ? ? 2 ---10 分 ? k2 ? 3 | 2k ? m | 3 4 ? d ? | AB |? ? | 4 ? 2 |?? ② ? 2 2 2 k k ?1 ?

由①可得: m ?

2 k
3

? 4 / k ------③
4 k (k
2

③代入②得: ( 2 k ?

2 k
3

?

) ? (k
2

2

? 1) ?

3 16 ( k ? 1) ? , 4 4 k
2 2

化简得:

4(k

2

? 1)
6

4

? 12

? 1) k
4

3

? k

2

?

1 2

k

----14 分,? m ? ? 8 2

? Q ( ? 1, ? 8 2 ) 为所求点-----15 分


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