当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学必修一知识点总结人教版


第一章 集合与函数概念
一:集合的含义与表示 1、集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东 西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称为集。 2、集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确定的:属于或不属 于。 (2)元素的互异性:一

个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。 (3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合

3、集合的表示:{…}
(1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 a、列举法:将集合中的元素一一列举出来 b、描述法: ①区间法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。 {x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ②语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ③Venn 图:画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合。 {a,b,c……}

4、集合的分类:
(1)有限集:含有有限个元素的集合 (2)无限集:含有无限个元素的集合 (3)空集:不含任何元素的集合

5、元素与集合的关系:
(1)元素在集合里,则元素属于集合,即:a?A (2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:a¢A ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N

正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

6、集合间的基本关系 (1).“包含”关系(1)—子集
定义:如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个集合有包含 关系,称集合 A 是集合 B 的子集。记作: A ? B (或 B ? A) 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分; (2)A 与 B 是同一集合。
? B 或 B? ?A 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ?

(2).“包含”关系(2)—真子集 如果集合 A ? B ,但存在元素 x?B 且 x¢A,则集合 A 是集合 B 的真子集 如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A)读作 A 真 含与 B

(3).“相等”关系:A=B
“元素相同则两集合相等” 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B

(4). 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 (5)集合的性质 ① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②如果 A?B, B?C ,那么 A?C ③如果 A B 且 B C,那么 A C ④有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集

7、集合的运算
运算类型 交 集 并 集 补 集





由所有属于 A 且属于 B 由所有属于集合 A 或属 的元素所组成的集合,叫 于集合 B 的元素所组成 做 A,B 的 交 集 . 记 作 的集合,叫做 A,B 的并 A ? B(读作‘A 交 B’), 集. 记作: A? B (读作‘A 即 A ? B={ x|x ? A ,且 并 B ’ ) , 即 A ? B x ? B}. ={x|x ? A,或 x ? B}).

全集:一般,若一个集合汉语我们 所研究问题中这几道的所有元素, 我们就称这个集合为全集,记作:U 设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子 集,由 S 中所有不属于 A 的元素组 成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集 (或余集)记作 C S A , CSA= {x | x ? S , 且x ? A}

韦恩图示

A

B

A

B

S

A

图1

图2



质 A ∩ A=A A ∩Φ=Φ A ∩B=B ? A A ∩B ? A B?B

A U A=A A U Φ=A A U B=B U A A ∩ A U B?A A U B?B

(CuA)∩(CuB)= Cu(AUB) (CuA) U (CuB)= Cu(A∩B) AU(CuA)=U A∩(CuA)=Φ.

二、函数的概念 1. 函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使 对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对 应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x), x∈A. (1)其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域; (2)与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函 数的值域.

2. 函数的三要素:定义域、值域、对应法则 3. 函数的表示方法:(1)解析法:明确函数的定义域 (2)图想像:确定函数图像是否连线,函数的图像可 以是连续的曲线、直线、折线、离散的点 等等。 (3)列表法:选取的自变量要有代表性,可以反应定 义域的特征。 4、函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数 值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图 象.C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以 满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点(x, y), 均在 C 上 . (2) 画法 A、描点法: 移。 (3)函数图像平移变换的特点: 1)加左减右——————只对 x 2)上减下加——————只对 y 3)函数 y=f(x) 关于 X 轴对称得函数 y=-f(x) 4)函数 y=f(x) 关于 Y 轴对称得函数 y=f(-x) 5)函数 y=f(x) 关于原点对称得函数 y=-f(-x) 6)函数 y=f(x) 将 x 轴下面图像翻到 x 轴上面去,x 轴上面图像不动得 函数 y=| f(x)| 7) 函数 y=f(x) 三、函数的基本性质 1、函数解析式子的求法 (1)、函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系 时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. 先作 x≥0 的图像, 然后作关于 y 轴对称的图像得函数 f(|x|) B、图象变换法:平移变换;伸缩变换;对称变换,即平

(2)、求函数的解析式的主要方法有: 1)代入法: 2)待定系数法: 3)换元法: 4)拼凑法: 2.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是 使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3、相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关); ②定义域一致 (两点必须同时具备) 4、区间的概念: (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示 5、值域 (先考虑其定义域) (1)观察法:直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域; (2)反表示法:针对分式的类型,把 Y 关于 X 的函数关系式化成 X 关于 Y 的函数关系式,由 X 的范围类似求 Y 的范围。 (3)配方法:针对二次函数的类型,根据二次函数图像的性质来确定函数的 值域,注意定义域的范围。 (4)代换法(换元法):作变量代换,针对根式的题型,转化成二次函数的类 型。

6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. (4)常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数 7.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使 对于集合 A 中的任意一个元素 x, 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应, 那么就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f(对应关系): A(原象) ? B(象)” 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 注意: 映射是针对自然界中的所有事物而言的, 而函数仅仅是针对数字来说的。 所以函数是映射,而映射不一定的函数 8、函数的单调性(局部性质)及最值 (1)、增减函数 (1)设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任 意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区 间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间. (2)如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的 单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质;函数的单调性还有单调不增,和单 调不减两种 (2)、 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数 y=f(x)在这一区间

上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数 的图象从左到右是下降的. (3)、函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○ 2 作差 f(x1)-f(x2); ○ 3 变形(通常是因式分解和配方); ○ 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负); ○ 5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性). ○ (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数: 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 的复合函数。 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u)的单调性密切相关, 其规律:“同增异减” 注意: 函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一 起写成其并集. 9:函数的奇偶性(整体性质) (1)、偶函数 一般地, 对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 那么 f(x) 就叫做偶函数. (2)、奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. (3)、具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: a、首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;若是不对称,则 称为 f、 g

是非奇非偶的函数;若对称,则进行下面判断; b、确定 f(-x)与 f(x)的关系; c、作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. (4)利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性 a、在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数; 奇函数的加减仍为奇函数; 奇数个奇函数的乘除认为奇函数; 偶数个奇函数的乘除为偶函数; 一奇一偶的乘积是奇函数; a、复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇。 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数 的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称, (1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 10、函数最值及性质的应用 (1)、函数的最值 a 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 b 利用图象求函数的最大(小)值 c 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最小值 f(b); (2)、函数的奇偶性与单调性 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;

偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。 (3)、判断含糊单调性时也可以用作商法,过程与作差法类似,区别在于作差法 是与 0 作比较,作商法是与 1 作比较。 (4)、绝对值函数求最值,先分段,再通过各段的单调性,或图像求最值。 (5) 、 在判断函数的奇偶性时候, 若已知是奇函数可以直接用 f(0)=0, 但是 f(0)=0 并不一定可以判断函数为奇函数。(高一阶段可以利用奇函数 f(0)=0)。

第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数 1、 指数与指数幂的运算: 复习初中整数指数幂的运算性质: am*an=am+n (am)n=amn (a*b)n=anbn 2、 根式的概念: 一般地, 若 xn 此时,a 的 n 次方根用符号 的正的 n 次方根用符号
? a, 那么 x 叫做 a 的 n 次方根, 其中 n >1, 且n∈ N
*.

当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数。 表示。 表示,负的 n 的次方根用符号 表示。正的 n 次 当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数。此时正数 a

方根与负的 n 次方根可以合并成 当 n 是奇数时, n 式子 n a

(a>0)。

注意:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。
?a (a ? 0) a n ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? ?? a (a ? 0)

叫做根式,这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数。

3、 分数指数幂 正数的分数指数幂的
a ? a (a ? 0, m, n ? N , n ? 1) , a
n m * m n
? m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 4、 有理数指数米的运算性质 (1) a · a
r

r

? a r ?s

(a ? 0, r, s ? R) ; (a ? 0, r, s ? R) ;

(2) (a

r

) s ? a rs
r

(3) (ab)

? ar as

(a ? 0, r, s ? R) .

5、无理数指数幂 一般的,无理数指数幂 aa(a>0,a 是无理数)是一个确定的实数。有理数指数 幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。 (二)、指数函数的性质及其特点
1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变 量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1.为什么?

2、指数函数的图象和性质 a>1
6 5 4

0<a<1
6 5 4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1)

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1)

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上,值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ; (2)若 x ? 0 ,则 f (x ) ? 1; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; (4)当 a>1 时,若 X1<X2 ,则有 f(X1)<f(X2)。

二、对数函数 (一)对数 1. 对数的概念: 一般地, 如果 a x 那么数 x 叫做以 ? N (a ? 0, a ? 1) , .a 为底 ..N 的对数,

记作: x ? log a N ( a — 底数, N — 真数, log a N — 对数式) 说明:○ 1 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 2 ○
a x ? N ? log a N ? x ;

3 注意对数的书写格式: loga N ○ 两个重要对数: 1 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; ○ 2 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ?为底的对数的对数 ln N . ○

(二)对数的运算性质
如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 ○ 2 ○ 3 ○
log a ( M · N ) ? log a M

+ log a N ;

log a

M ? log a M N

- log a N ;
(n ? R) .

log a M n ? n log a M

注意:换底公式

log a b ?

log c b log c a

( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ).

利用换底公式推导下面的结论 (1) loga
m

bn ?

1 n log a b ;(2) log a b ? log b a m



(二)对数函数 1、 对数函数的概念: 函数 y ? log a x(a ? 0 , 且 a ? 1) 叫做对数函数, 其中 x 是自变量, 函数的定义域是(0,+∞). 注意: ○ 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:
y ? 2 log 2 x , y ? log 5 x
5

都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.

2 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . ○ 2、对数函数的性质: a>1
3 2.5 2 1.5

0<a<1
3 2.5 2 1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过定点(1, 0) 三、幂函数

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点(1,0)

1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x? (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1); (2)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地, 当 ? ? 1时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸;

(3)? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右 边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图 象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.

第三章 函数的应用 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 ,把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义:函数 的零点就是方程 实数根,亦即函数 的图象与 轴交点 的横坐标。即:方程有实数根,函数的图象与坐标轴有交点,函数有零点. 3、函数零点的求法: (1)(代数法)求方程 的实数根; (2)(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来, 并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: (1)△>0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点,二次函数有 两个零点. (2)△=0,方程 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与 轴有一个交点, 二次函数有一个二重零点或二阶零点. (3)△<0,方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无零点.
( 二 次 函 数 、 二 次 方 程 及 二 次 不 等 式 可 见 文 库 http://wenku.baidu.com/view/4c660d9a51e79b8968022616.html)


相关文章:
新课标人教A版高一数学必修1知识点总结
新课标人教A版高一数学必修1知识点总结_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修 1 知识点第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念: 1、集合的含义:某些指定的...
2014人教版高中数学必修1知识点总结
2014人教版高中数学必修1知识点总结_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义...
人教版高一数学必修一各章知识点总结_测试题组全套(含答案)
人教版高一数学必修一各章知识点总结_测试题组全套(含答案)_数学_高中教育_教育专区。高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念...
高一数学必修一知识点总结
高一数学必修一知识点总结_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学必修一知识...新课标人教A版高一数学必... 10页 免费 高一数学必修一测试题[1... 9页...
人教版高一数学必修1各章知识点总结
人教版高一数学必修1各章知识点总结_数学_高中教育_教育专区。知识点总结高一数学必修 1 各章知识点总结第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义...
人教版高一数学必修一各章知识点总结
人教版高一数学必修一各章知识点总结 一、集合与简易逻辑: 一、理解集合中的有关概念 (1)集合中元素的特征: 确定性 , 互异性 , 无序性 。(2)集合与元素的...
高中数学必修一至必修五知识点总结人教版
高中数学必修 1 至必修 5 知识点总结(复习专用) 人教版 富宁一中 必修 1 第一章 集合与函数概念一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就...
高中数学必修一知识归纳整理
高中数学必修一知识点基本概念 高中数学必修一知识...公式总结 §1 算法初步秦九韶算法是一种将一元 n...高中数学人教版必修一知... 8页 免费 高中数学必修...
人教版高中数学 必修1(函数)知识点总结
人教版高中数学 必修1(函数)知识点总结_数学_高中教育_教育专区。覆盖知识点较为全面,也欢迎大家补充...高中数学 必修 1(函数)知识点第一章 集合与函数概念 【...
高一数学必修一函数知识点总结
高一数学必修一函数知识点总结_数学_高中教育_教育专区。二、函数的有关概念 1...新课标人教A版高一数学必... 10页 免费 高一数学必修1各章知识点... 10页...
更多相关标签:
高中必修一知识点总结 | 历史必修一知识点总结 | 高中生物必修一知识点 | 生物必修二知识点总结 | 地理必修一知识点总结 | 物理必修一知识点总结 | 地理必修三知识点总结 | 政治必修一知识点总结 |