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组合(二)


组合(二)
复习概括, 创造新情境 发现新结 论

性质一

问题思考 二 本课小结

思考三

作业:课本 P A 组第 17 题 33

上节课,我们认识了组合的意义,并注意到排列与组 合的联系: 从 n 个不同元素中取出 m 个不同元素的排列可 两步来做: 第一步

: 从 n 个不同元素中取 m 个元素的一个组合; 第二步: 把所取的 m 个元素按一定顺序排成一列( m 个元素的全排列 ). 正是运用该联系 ,根据分步计数原理我们得到组合数 m An 的计算公式. n! m

组合(二)

Cn ?
3 10

A

m m

?

m !( n ? m )!

练习 1.计算 C ; C

7 10

.

198 2 C C 练习 2.比较 200 与 200 的大小.两数相等

10 ? 9 ? 8 ? 120 3? 2?1

不难发现 C

3 10

=C

7 10

, C

198 200

=C

2 200

思考一:为何上面两个不同的组合数其结果相同? 这一结果的组合的意义是什么?

从10个元素中取出7个元素后,还剩下 3个元素,就是说,从10个元素中每次取 出7个元素的一个组合,与剩下的3个元素 的组合是一一对应的.因此,从10个元素 中取7个元素的组合,与从这10个元素中 取出3个元素的组合是相等的.

即:C ? C
7 10

3 10

又如:在5个元素a、b、c、d、e中 abc abd abe acd ace bcd bce cde bde ade 取3个元 素的组合:

取2个元 素的组合:de ce cd be bd ae ad ab ac bc
从5个不同元素中每次取出3个元素的一个 组合,总与剩下的二个元素的组合之间构成一 一对应。因此从5个不同元素中每次取出3个元 素的组合数,与从中取出剩余2个元素的组 合数是相等的. 即C 3 ? C 2
5 5

一般地,从n个不同元素中取出 m个元素后,剩下 n? m个元素.因为从n个不同元素中取出m个元素的每 一个组合,与剩下的 n ? m 个元素的每一个组合一一 对应,所以从n个不同元素中取出 m个元素的组合数, 等于从这n个元素中取出n ? m个元素的组合数. 即 m n? m n n

n! 另一证明:根据组合数公式有C ? m !(n ? m )! n! n! n? m Cn ? ? (n ? m )!? n ? ( n ? m )? ! m !( n ? m )!
m n

C

?C

?C ? C
m n

n? m n

练习3,4,5

组合数性质一:C m ? C n ? m n n m n n? m 注: C (1) 当m> 时, 计算 n 可改为计算 C n 2
(2) 规定

C ?1
0 n

快速反应:

练习3.计算

C

97 100

161700
2x 25

练习 4. 已知:C
14 t

?C
4 t

x?7 25

,求x 的值.
t 20

x ? 6或7

练习 5. 已知C ? C , 求C . 190

思考二:(自学课本第 28 页例 2、例 3) 例 2.一位教练的足球队共有 17 名初级球员, 他们中 以前没有一人参加过比赛,按照中足球比赛规则, 比赛是一个足球队上场队员是 11 人,问: ⑵如果在选出 11 名上场队员时,还要确定其中的守 门员,那么教练员有多少种方式做这件事情. 第二问有没有第二种方法 ⑵法二:C 1 C 10
17 16

补充思考: 一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球. 2 3 ⑴从口袋内取出 3 个球,共有多少种取法? 7 8 ⑵从口袋内取出 3 个球,使其中含有 1 个黑球,有多少种取法? ⑶从口袋内取出 3 个球,使其中不含黑球,有多少种取法? 3 7 (第⑴问用两种方法解答)

C

C C

点评

证明猜想

补充思考: 一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球. ⑴从口袋内取出 3 个球,共有多少种取法? (用两种方法解答 ) ⑵从口袋内取出 3 个球,使其中含有 1 个黑球,有多少种取法? ⑶从口袋内取出 3 个球,使其中不含黑球,有多少种取法?
从(1)中可以发现一个结论: C
3 8

?C ?C
2 7

3 7

对上面的发现(等式)一般性结论应怎样?证明你的猜想?

试证明: C

m n ?1

?C ?C
m n

m ?1 n

证明:从n+1个元素中取出m个元素的组合,可以看成 从n+1个元素中分两类抽取,其中一类是含元素 a1 时 m ?1 抽取m-1个即 C n ,另一类是不含元素 a1 时抽取m m m m m ?1 个即 C n ,由分类计数原理有: . C ?C ?C
n ?1 n n

组合数性质2: C ? C ? C n! n! m m ?1 证明: Cn ? Cn ? ? m !(n ? m )! ( m ? 1)!? n ? ( m ? 1)?! n !( n ? m ? 1) ? n ! m (n ? m ? 1 ? m )n ! ( n ? 1)! ? ? ? ? C nm?1 m !( n ? m ? 1)! m !(n ? 1 ? m )! m !? ( n ? 1) ? m ? ! m m m ?1 ? Cn ? C ? C ?1 n n 快速反应: 98 97 6.计算 C100 +C100 166650
m n ?1 m n

m ?1 n

7.若C
2 3

7 n?1

14 ? C ? C , 则 n=____.
7 n 8 n

8. C +C +C +? ? ? +C
2 4 2 5

166649 ? _______ . 0 1 2 9 2002 . 9.计算 C4+C5+C6+ ? ? ? +C13 ? ______
2 100

思考三:课本第 29 页例

例4在100件产品中,有98件合格品,2件次品,从这 100件产品中任意抽出3件. (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? (4)抽出的3件中至多有2件是正品的抽法有多少种?

100 ? 99 ? 98 解: (1)C ? ? 161700(种) 3? 2?1 答:共有161700种抽法. 98 ? 97 1 2 ( 2)C 2 ? C 98 ? 2 ? ? 9506(种) 2?1 答 : 共有9506种抽法.
3 100

(3)(4)答案

小结

例4在100件产品中,有98件合格品,2件次品,从这 100件产品中任意抽出3件. (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? (4)抽出的3件中至多有2件是正品的抽法有多少种?

(3)解法一:C ? C ? C ? C ? 9506 ? 98 ? 9604 (种)
1 2 2 98 2 2 1 98

解法二:C

3 100

? C ? 161700 ? 152096 ? 9604 (种)
3 98

答 : 共有9604种抽法.
2 2

(4)解法一:C

? C ? C ? C ? 9604(种 )
1 98 1 2 2 98

3 3 ? C98 ? 161700 ? 152096 ? 9604 解法二: C100 (种 ) 答 : 共有 9604 种抽法 .

注:分步取是有顺序的,分析问题时要小心.

学习小结: 1.组合数的两个重要性质:

2.解组合应用题的一般有两种思路: 直接解法与间接解法
选做作业:

C

m n

?C

n? m n

C

m n ?1

?C ?C
m n

m ?1 n

1.有13名医生,其中男医生7人,女医生6人, 现抽出5人前往灾区,若至少2名男医生,至多 3名女医生,则不同的选法总数为___________.

作业:课本 P A 组第 17 题 ,本周学习内容 33 至二项式定理 ,星期六大练习 .

选做作业:

1.有13名医生,其中男医生7人,女医生6人, 现抽出5人前往灾区,若至少2名男医生,至多 3名女医生,则不同的选法总数为___________.

C ?C + C ?C + C ?C + C
2 7 3 6 3 7 2 6 4 7 1 6 5 13 1 7 4 6 5 6

5 7

或 C -C ?C -C

2.平面内有12个点,其中有6点共线,此外再无3点 共线,从这12个点中取3个点作三角形,一共可以 1 2 3 作出多少个三角形 .

2C6 ? C6 ? C6

作业:课本 P A 组第 17 题 ,本周学习内容 33 至二项式定理 ,星期六大练习 .


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