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(03)平面向量基本定理公开课用


平面向量基本定理

(1)一人从A到B,再从B到C,则两次的位移之和是: ??? ? ??? ? ??? ? D AB ? BC ? AC C ??? ? ??? ? ??? ? AB ? AD ? AC (2)向量共线定理: A B

若a ? 0, b ? ? a, 则a ? b ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? 若a ? 0

, a ? b, 则b ? ? a

??

? ? ??

??

? ?? ?

本质:向量的分解
?? ?? ? 如果e1, e2是同一平面内的两个 ?? ? 不共线的向量,a是这一平面内 ? ?? ?? ? 的任一向量,那么a与e1, e2之间 有什么关系呢?

F1

F

F2

? v

C

M

? ? e1

? a

A

?? ? e2

??? ? ???? ? ???? ?如图 OC ? OM ? ON ???? ? ??? ? ? ? ???? ??? ? ? ? ? ?OM ? ?1OA ? ?1 e1 ON ? ?2 OB ? ?2 e2

O

N

B

??? ? ? ? ? ? ? ?OC ? ?1 e1 ? ?2 e2 ? ? ? ? ? ? 即 a ? ?1 e1 +?2 e2

M

? ? e1

? b

C

A

?? ? e2

??? ? ???? ? ???? ?如图 OC ? OM ? ON ???? ? ??? ? ? ? ???? ??? ? ? ? ? ?OM ? ?1OA ? ?1 e1 ON ? ?2 OB ? ?2 e2

O

N

B

??? ? ? ? ? ? ? ?OC ? ?1 e1 ? ?2 e2 ? ? ? ? ? ? 即 b ? ?1 e1 +?2 e2

平面向量基本定理:
?? ?? ? 如果e1、是同一平面内的两个 e2 不共线的向量, ? 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对 ? ?? ?? ? 实数?1、?2,可使 a ? ?1 e1 +?2 e2

?? ?? ? 这里不共线的向量e1、叫做表示这一平面内 e2

所有向量的一组基底.

?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ?   一个平面向量用一组基底e1 ,e2 表示成 a=λ 1 e1 +λ 2 e2 ?? ? ?? ? 的形式,我们称它为向量的分解。当e1 ,e2互相垂直时, 就称为向量的正交分解。

(1)一个平面向量的基底有

无数 对。

(2)设O是? ABCD两对角线的交点, ????? ? ?????? 已知下列向量组: ?1? AB与AD;

? 2?

????? ? ????? ? DA与BC ;

? 3?

????? ?????? CA与DC ;

? 4? OD与OB,

????? ? ????? ?

其中可作为这个平行四边形所在 平面的基底的有 (1)(3)

D
O

C

A

B

???? ?

例1 如图, ? ABCD的对角线AC和BD交于点M ,
?? ????? ?? ?? ?? ????? ? ????? ?????

????? ? AB ? a, AD ? b, 试用基底a, b表示MC , MA, MB, 和MD. D C
M A B

解:

例2 如图,质量为m的物体静止地放在斜面上, 斜面与水平面的夹角为?,求斜面对物体的摩擦 P 力f。
因物体静止,所以重力,斜面支 持力,摩擦力三个力平衡,即有

则-f=G+P,则 -f ? G sin ? ? mg sin ? ( N )

?? ? ? ?? ? f ? ?? 0 ?G ?? ?P ? ?

f -f

?

?

G

答:斜面对于物体的摩擦力f的大小为 mg sin? , 方向与斜面平行向上。

例3 ABCD中,E、F分别是DC和AB 的中点,试判断AE,CF是否平行?
? a

D

E

C

A

? bF

B

1.设D是? ABC的BC边上的中点,若 AB ? a,
????? ? ?? ?? ???? AC ? b, 试用a, b表示 AD。

???? ? ??

A

B ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2. 如图, OA、 OB不共线, AP ? t AB(t ? R), ??? ? ??? ? ??? ? 用OA、 OB表示OP.

D P B

C

O

A

1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解
(1)基底不唯一,关键是不共线

(2)实数对 ?1、?2 的存在性和唯一性
3、应用定理的关键是掌握向量的加 法法则和向量共线定理

谢谢大家

???? ? ???? ? ???? ? 探究题:设OA, OB不共线, OP=? OA+? OB且?+?=1,

证明:A,P,B三点共线。
P A O B


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