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数学卷·2017届辽宁省锦州市高一上学期期末考试(2015.1)扫描版


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2014-2015 年度第一学期期末考试

高一数学参考答案及评分标准
第Ⅰ卷(选择题
一、选择题: CBBCB CAADC BD

共 60 分)

第Ⅱ卷(非选择题
(13) p(?4 , 0 , 0) (14)3∶2 (15)-1

共 90 分)
(16) (1,2)或(2,-1)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

三、解答题:本大题共 6 道题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 10 分) 计算下列各式的值

(1) (2) 解:(1)原式= 1 ? 2
3

1 2 ? 3 3

? 4 ? 1? 2 ? 2 ? 5

1 2

……………5 分 ……………10 分

(2)原式= log3 3 2 ? lg100 ? (18)(本小题满分 12 分)

3 7 ?2? 2 2

设全集为 R, A ? ?x | 3 ? x ? 7?, B ? ?x | 4 ? x ? 10?, (1)求 CR ( A

B) 及 ? CR A? B .
C ? A ,求 a 的取值范围.
……………3 分

(2) C ? {x | a ? 4 ? x ? a ? 4} ,且 A 解: (1) CR ( A ? B)

? {x | x ? 3或x ? 10}

(CR A) ? B ? {x | 7 ? x ? 10} ……………6 分
(2)∵ A ? C ,∴ ?

?a ? 4 ? 7 即 3 ? a ? 7 ………………12 分 ?a ? 4 ? 3

(19)(本小题满分 12 分)
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某出租公司拥有汽车 80 辆,当每辆车的月租金为 2500 元时,可全部租出。当每辆车的 月租金每增加 50 元时, 未租出的车将会增加一辆。 出租公司每月每辆车平均需要维护费 100 元。 (1)当每辆车的月租金定为 2900 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 解:(1)租金增加了 400 元,所以未出租的车有 8 辆,一共出租了 72 辆。…………4 分 (2)设每辆车的月租金为 x 元,(x≥2500),租赁公司的月收益为 y 元。

…………………………10 分 答 : 当 每 辆 车 的 月 租 金 定 为 3300 元 时 , 租 赁 公 司 的 月 收 益 最 大 , 最 大 月 收 益 是 204800……………………12 分 (20)(本小题满分 12 分) 如图, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, AA1⊥底面 ABC, 且△ABC 为正三角形, AA1=AB=6, D 为 AC 的中点. (1)求证:直线 AB1∥平面 BC1D; (2)求证:平面 BC1D⊥平面 ACC1A; (3)求三棱锥 C﹣BC1D 的体积. 【解析】 (1)证明:连接 B1C 交 BC1 于点 O,连接 OD,则点 O 为 B1C 的中点. ∵D 为 AC 中点,得 DO 为△AB1C 中位线,∴A1B∥OD.

? OD ? 平面AB1C, A1 B ? 平面AB1C
∴直线 AB1∥平面 BC1D; …………………………4 分

(2)证明:∵AA1⊥底面 ABC,∴AA1⊥BD, ∵底面 ABC 正三角形,D 是 AC 的中点 ∴BD⊥AC ∵AA1∩AC=A,∴BD⊥平面 ACC1A1,

? BD ? 平面BC1 D ,?平面BC1D ? 平面ACC1 A1 ;
(3)由(2)知,△ABC 中,BD⊥AC,BD=BCsin60° =3 ∴S△BCD= = , ?6=9 .

…………………………8 分



∴VC﹣BC1D=VC1﹣BCD= ?

………………………12 分

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(21)(本小题满分 12 分) 已知圆 C 的方程为:x2+y2-2mx-2y+4m-4=0(m∈R). (1)试求 m 的值,使圆 C 的面积最小; (2)求与满足(1)中条件的圆 C 相切,且过点(1,-2)的直线方程. 【解】 圆 C 的方程:(x-m)2+(y-1)2=(m-2)2+1. (1)当 m=2 时,圆的半径有最小值 1,此时圆的面积最小. …………………………4 分 (2)当 m=2 时,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1, 设所求的直线方程为 y+2=k(x-1), 即 kx-y-k-2=0, |2k-1-k-2| 4 由直线与圆相切,得 =1,k= , 2 3 k +1 4 所以切线方程为 y+2= (x-1),即 4x-3y-10=0, 3 又因为过点(1,-2)且与 x 轴垂直的直线 x=1 与圆也相切, 所以所求的切线方程为 x=1 或 4x-3y-10=0. …………………………12 分 (22) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) 的值满足 f ( x) ? 0(当x ? 0时) ,对任意实数 x、y 都有 f(xy)=f(x) ·f (y) ,且 f(-1)=1,f(27)=9,当 0<x<1 时, f ( x) ? ?0,1? 。 (1)求 f (1) 的值,判断 f ( x) 的奇偶性并证明; (2)判断 f ( x) 在(0,+∞)上的单调性,并给出证明; (3)若 a ? 0 且 f (a ? 1) ? 3 9 ,求 a 的取值范围。 解: (1)令 x=y= -1,f(1)=1…… 2 分 令 y=-1,则 f(-x)=f(x) ·f(-1) ,∵f(-1)=1,∴ f(-x)=f(x) ,f(x)为偶函数。 …… 4 分 (2)f(x)在(0,+∞)上是增函数。 证明:设 0 ? x1 ? x2 ,∴ 0 ?

x1 ? 1, x2



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?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 1, f ( x2 ) ? 0 x2

x1 x ) f ( x2 ) ? f ( x2 )(1 ? f ( 1 )) x2 x2

?0 ? f (

∴f(x1)<f(x2) , 故 f(x)在(0,+∞)上是增函数。 ……8 分 (3)∵f(27)=9, 又 ∴ ∵
∵a 又

, , , ∴ ∴
∴ 12 分

, ,


? 0, a ? 1, ,3
, 故

都大于 0,

。 ……

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