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2013华约自主招生


2013 年“华约”自主招生试题
1. (本小题满分 10 分) 本试卷满分 100 分,考试用时 90 分钟 3. (本小题满分 15 分) 点 A 在 y ? kx 上, 点 B 在 y ? ? kx 上, 其中 k ? 0 ,

设 A ? ? x | x ? 10, x ? N? , B ? A ,且 B 中元素 满足:①任意一个元素的各位数的数字互不相同; ②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等 于 9. (1)求 B 中的两位数和三位数的个数; (2)B 中是否存在五位数?六位数呢? (3)若从小到大排列 B 中元素,求第 1081 个元素.

| OA |? | OB |? k 2 ? 1 ,且 A, B 在 y 轴同侧.
(1)求 AB 中点 M 的轨迹 C; (2)曲线 C 与抛物线 x 2 ? 2 py ? p ? 0? 相切,求证: 切点分别在两条定直线上,并求切线方程.

2. (本小题满分 15 分)
1 ? sin x ? sin y ? , ? 3 求 cos 已知 ? ? ? cos x ? cos y ? 1 , ? 5 ?

? x ? y ? ,sin ? x ? y ? .

4. (本小题满分 15 分) 7 个红球,8 个黑球,一次取出 4 个. (1)求恰有一个红球的概率; (2)取出黑球的个数为 X,求 X 的分布列和 EX; (3)取出 4 个球同色,求权威黑色的概率.

5. (本小题满分 15 分) 数列 an 的各项为整数,且对任意 n ? N ,满足
*

? ?

7. (本小题满分 15 分) 已知 f ( x ) ? (1 ? x)e x ? 1 . (1)求证:当 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 ; (2)数列 xn 满足 xne

2 an?1 ? an ? can (c ? 0为常数) .
? (1)求证: 对任意正数 M, 存在 N ? N , 当n ? N 时,有 an ? M ;

1 (2)设 bn ? , S 是 ?bn ? 的前 n 项和,求证: 1 ? can n
? 对任意 d ,存在 N ?N ,当 n? N 时,有

? ?

xn ?1

? e xn ? 1, x1 ? 1,求证:

数列 xn 递减且 xn ?

? ?

0 ?| Sn ?

1 |? d . ca1

1 . 2n

6. (本小题满分 15 分) 已 知 x, y, z 是 互 不 相 等 的 正 整 数 ,

xyz | ( xy ? 1)( yz ? 1)( zx ? 1) ,求 x , y , z .


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