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江西省南昌市八一中学2014-2015学年高一数学文理分科考试试题


2014—2015 学年度高一年级文理分科考试数学试卷
第Ⅰ卷 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的一项. 1.若集合 M ? ? x y ? lg A

? 0, 2 ?

? ?

B

2? x? ? , N

? ? x x ? 1? ,则 M ? ?R N ? ( x ? ? 0, 2 ? C ?1, 2? D ? 0, ?? ?

)

2.△ABC 中,若 c ? 2a cos B ,则△ABC 的形状为( A.直角三角形 B.等腰三角形 3.已知 a ? 2 ,b ? ( )
1.2

) C.等边三角形

D.锐角三角形 ) D. b ? c ? a

1 2

? 0.8

,c ? 2 log 5 2 ,则 a,b,c 的大小关系为(
C. b ? a ? c )

A. c ? b ? a

B. c ? a ? b

4.函数 f ( x) ? e x ? x ? 2 的零点所在的一个区 间是( (A) ? -2,-1? (B) ? -1,0?

(C) ? 0,1?

(D) ?1,2 ? )

5.已知函数 f ( x) ? log 2 x ,若在 [1,8] 上任取一个实数 x0 ,则不等式 1 ? f ( x0 ) ? 2 成立的概率是( 1 2 1 1 A. B. C. D. 4 7 2 3 (0,1) 6.在区间 上单调递减的函数是( )
1

(A) y=x 2

(B) y=log2(x+1)

(C) y ? 2 x?1

(D) y ? x ? 1

x 7. 现有四个函数:① y ? x ? sin x ;② y ? x ? cos x ;③ y ? x ? cos x ;④ y ? x ? 2 的图象(部分)如下:

y

y

y

y

x x X X X X 则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( ) A.①④③② B.①④②③ C.④①②③ o

x

x x

D.③④②①

8.某校在“创新素质实践行”活动中,组织学生进行社会调查,并对学生的调查报告进行了评比,如图 是将某年级 60 篇学生调查报告的成绩进行整理,分成 5 组画出的频率分布直方图.已知从左往右 4 个小 组的频率分别是 0.05,0.15,0.35,0.30,那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有(分数大于等于 80 分 为优秀,且分数为整数)( )

1

A .18 篇 C.25 篇

B.24 篇 D.27 篇

9.偶函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) (? 为正整数,| ? | < 可能是( A. 2? ) B. ? C.

?
2

? ? ) ,且 f ( x) 在 ( , ) 上递减,则 f ( x) 的周期不 6 3

? 2? D. 2 3 10.某班有 24 名男生和 26 名女生,数据 a1 , a2 , ? , a50 是该班 50 名学生

在一次数学学业水平模拟考试中的成绩 (成绩不为 0) , 如图所示的程序用 来同时统计全班成绩的平均数: A ,男生平均分:M ,女生平均分:?W . 为了便于区别性别, 输入时, 男生的成绩用正数, 女生的成绩用其相反数, 那么在图中空白的判断框和处理框中,应分别填入( ) M ?W A. T ? 0? ,A? 50 M ?W B. T ? 0?, A ? 50 M ?W C. T ? 0?, A ? 50 M ?W D. T ? 0?, A ? 50

11.已知等差数列 ?an ? 的等差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a13 成等比数列,若 a1 ? 1 , Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,则

2 S n ? 16 的最小值为( an ? 3
A. 4 B. 3

) C. 2 3 ? 2 D.

9 2


1 12.设向量 a,b 满足 | a |?| b |? 1, a ? b ? ? , 2(a ? c)(b ? c) ?| a ? c || b ? c | ,则 | c | 的 最大值为( 2 A.2 B. 3 C. 2 D.1

第Ⅱ卷 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分。共 20 分) 13.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验. 根 ? ? 0.67 x ? 54.9 . 据收集到的数据(如下表) ,由最小二乘法示得回归直线方程为 y 零件数 x (个) 加工时间 y (min) 10 62 20 30 75 40 81 50 89
2

表中有一个数据模糊不清,经推断,该数据的值为 14. 函数 y ? lg(12 ? x ? x 2 ) 的单调递增区间是

.

15 在 ?ABC 中, A ? 600 , BC ? 10, D 是 AB 边上的一点, CD ? 长为 . 16.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表.
1 2 3 6 9 4 5 8 11 7 10 13 18 12 15 20 17 22 24

2 , ?BCD 的面积为 1,则 AC 的

14 16

a ? 11 .则 a87 ? 是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数,如 52 . 。 三、解答题:(共6小题,70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)
设 已知全集 U ? {x ? N | 0 ? x ? 6} ,集合 A ? {x ? N |1 ? x ? 5} , 集合 B ? {x ? N | 2 ? x ? 6} . 求(1) (CU A) ? B ; 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ? 1) ? log m
2

aij ? i, j ? N ? ?

(2) (CU A) ? (CU B) .

x2 2 ? x2

(1)求 f ( x ) 的解析式并判断 f ( x ) 的奇偶性; (2)解关于 x 的不等式 f ( x ) ? 0 19. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且满足

2c ? b cos B ? . a cos A

(1)求角 A 的大小;(2)若 a ? 2 5 ,求 ?ABC 面积的最大值。

20.(本小题满分 12 分) 数列{ an }的前 n 项和为 Sn , an 是 Sn 和 1 的等差中项,等差数列{ bn }满足 b1 ? S4 ? 0 , b9 ? a1 . (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)若 cn ?

1 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Wn . (bn ? 16) ? bn ? 18 ?

3

21. (本小题满分 12 分) 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在 10 个卖场的销售 (单位:台) ,并根据这 10 个卖场的销售情况,得到如图所 的茎叶图. 为了鼓励卖场,在同型号电视机的销售中,该厂商将销售量 于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”. (1) 求在这 10 个卖场中, 甲型号电视机的“星级卖场” 个数; (2)若在这 10 个卖场中,乙型号电视机销售量的平均 为 26.7,求 a>b 的概率;

量 示 高 的 数

(3)若 a=1,记乙型号电视机销售量的方差为 s 2 ,根据茎叶图推断 b 为何值时, s 2 达到最小值. (只 需写出结论) 22. (本小题满分 12 分) 已知:函数 f ( x ) 对一切实数 x,y 都有 f ( x ? y ) ? f ( y ) ? x( x ? 2 y ?1) 成立,且 f (1) ? 0 . (1)求 f (0) 的值; (2)求 f ( x ) 的解析式;

( 3 )已知 a ? R ,设 P :当 0 ? x ?

1 时,不等式 f ( x) ? 3 ? 2x ? a 恒成立; Q :当 x ? [?2, 2]时, 2

g ( x) ? f ( x) ? ax 是单调函数.如果满足 P 成立的 a 的集合记为 A, 满足 Q 成立的 a 的集合记为 B,
求 A ? C R B (R 为全集).

4

南昌市八一中学 2017 届分班考数学试卷参考答案 一、选择题 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分). 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 C 5 C 6 D 7 B 8 D 9 D 10 D 11 A 12 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13. 68 14. ? ? 3, ?

? ?

1? 2?

15.

2 3 3

16. 38

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.解: (Ⅰ)?U ? {1 , 2, 3, 4, 5, 6},A ? {2, 3, 4}, ?CU A ? {1 , 5, 6}.

又? B ? {3, 4, 5}, ? (CU A) ? A ? { 1 , 3, 4, 5, 6} . ?????5 分
(Ⅱ)? CU A ? {1 , 5, 6},CU B ? {1 , 2, 6}, ? (CU A) ? (CU B) ? {1 , 6}. ?????10 分
2 2 18.解:( 1)设 x ? 1 ? t (t ? ?1) ,则 x ? t ? 1, f (t ) ? log m

1? t , t ? ? ?1,1? , 1? t

? f ( x ) ? log m

1? x , x ? ? ?1,1? ?????3 分 1? x

设 x ? ? ?1,1? ,则 - x ? ? ?1,1? ,

1? (-x) 1? x ? ? log m ? ? f ( x ),? f ( x ) 为奇函数?????6 分 1? (-x) 1? x 1? x ? 0 ? ?? 可知 (2)由 log m 1? x 1? x x ? 1 ,化简得: ? 0 ,解得: 0 ? x ? 1 ;???9 分 当 m ? 1 时, ? ?? 可化为 1? x x ?1 1? x ? 1 ,此不等式等价于不等式组 当 0 ? m ? 1 时, ? ?? 可化为 0 ? 1? x ? f ( ? x ) ? log m

?1 ? x ?1 ? ? x ? 1或x ? 0 ?1 ? x , 解此不等式组得 ? ,??1 ? x ? 0 ? ??1 ? x ? 1 ?1 ? x ? 0 ?1 ? x ?
∴当 m ? 1 时,不等式组的解集为 x 0 ? x ? 1

?

? ?
??? ?12 分

当 0 ? m ? 1 时,不等式组的解集为 x ?1 ? x ? 0

?

? ? (2c ? b) cos A ? a cos B 19.解:(1)? a cos A (2sinC- sin B) ? cos A ? sin A ? cos B 由正弦定理:
2 sin C ? cos A ? sin B ? cos A ? cos A ? sin A

2c ? b

cos B

2 sin C ? cos A ? sin( A ? B)
又? A ? B ? C ? ?
5

? 1 (0,?) ? A ? ???6 分 而A? 3 2 2 2 2 b ?c ?a 1 ? ,又 a ? 2 5 (2)由(1)与余弦定理知: cos A ? 2bc 2
? 2 sin C ? cos A ? sin C ? sin C ? 0 ? cos A ?
? b2 ? c 2 ? 20 ? bc ? 2bc ? 20 即 bc ? 20 当且仅当 b ? c 时取“=”号
1 ? S?ABC ? bc sin A ? 5 3 ? ?ABC 面积的最大值为 5 3 2 20. (1)∵ a n 是S n 和1的等差中项, ? S n ? 2a n ? 1
?????12 分

当 n ? 2时,a n ? S n ? S n ?1 ? (2a n ? 1) ? (2a n ?1 ? 1) ? 2a n ? 2a n ?1 ,

? an ? 2an ?1,
当 n ? 1时,a1 ? S1 ? 2a1 ? 1,? a1 ? 1 ∴ an ? 0(n ? N ? ), ?

an ?2 an ?1

?数列?an?是以a1 ? 1为首项, 2为公比的等比数列, ?an ? 2n?1 ???3 分
设 ?bn ? 的公差为 d , b1 ? ?S4 ? ?15, b9 ? ?15 ? 8d ? 1 ? d ? 2

Sn ? a1 ? a2 ???? an ? 2n ? 1

?bn ? ?15 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 17 ???6 分
(2) c n ?

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

?Wn ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 1 1 ? 1 ? ? . ??12 分 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ?? 2 4n ? 2 2n ? 1
10 ? 10 ? 14 ? 18 ? 22 ? 25 ? 27 ? 30 ? 41 ? 43 ? 24 , ??4 分 10

21(1)解:根据茎叶图, 得甲组数据的平均数 为

由茎叶图,知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为 5 . (2)解:记事件 A 为“a>b”, 因为乙组数据的平均数为 26.7, 10 ? 18 ? 20 ? 22 ? 23 ? 31 ? 32 ? (30 ? a) ? (30 ? b) ? 43 所以 ? 26.7 , 10 解得 a ? b ? 8 . 所以 a 和 b 取值共有 9 种情况,它们是: (0,8) , (1,7) , (2, 6) , (3,5) , (4, 4) , (5,3) , (6, 2) , (7,1) , (8,0) , 其中 a>b 有 4 种情况,它们是: (5,3) , (6, 2) , (7,1) , (8,0) , ??10 分 (3)解:当 b=0 时, s 2 达到最小值. (2)由(1)与余弦定理知: cos A ? ??12 分 所以 a>b 的概率 P( A) ?
4 . 9

b2 ? c2 ? a 2 1 ? ,又 a ? 2 5 2bc 2

? b2 ? c 2 ? 20 ? bc ? 2bc ? 20 即 bc ? 20 当且仅当 b ? c 时取“=”号
6

1 ? S?ABC ? bc sin A ? 5 3 ? ?ABC 面积的最大值为 5 3 2
22. 解: (1) f ( x ? y) ? f ( y) ? x( x ? 2 y ? 1) , f (1) ? 0 . 令 x ? ?1 ,y ? 1得 f (0) ? f (1) ? ?(?1 ? 2 ? 1), ? f (0) ? ?2. ??2 分

( 2 ) 令 y?0 得

f ( x) ? f (0) ? x( x ? 1), ? f ( x) ? x 2 ? x ? 2. 所 以 f ( x) 的 解 析 式 为

f ( x) ? x 2 ? x ? 2. ??4 分
1 时,由不等式 f ( x) ? 3 ? 2 x ? a 得 x 2 ? x ? 2 ? 3 ? 2 x ? a ,即 x 2 ? x ? 1 ? a. 2 1 1 3 3 ,h( ) ? . 所以 ? h( x) ? 1. 记 h( x) ? x 2 ? x ? 1 ,对称轴为 x ? ,从而 h(0) ? 1 2 2 4 4
(3)①当 0 ? x ?

? A ? {a | a ? 1}. ??7 分
② g ( x) ? x 2 ? x ? 2 ? ax ? x 2 ? (1 ? a) x ? 2 ,对称轴为 x ? 根据题意得 x ?

a ?1 , 2

a ?1 a ?1 ? ?2,或 x ? ? 2 ,解之得 a ? ?3,或a ? 5. ??10 分 2 2

? B ? {a | a ? ?3,或a ? 5}.
从而 C R B ? {a | ?3 ? a ? 5}. 故 A ? CR B ? {a | 1 ? a ? 5}. ??12 分

7


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