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概率易错点


概率易错知识点总结(原创) 郭兆凯总结
1、 “非等可能”与“等可能”的区别 如果一次随机实验中可能出现的结果有 N 个, 而且所有结果出现 的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是 1/N;如果其中某 个事件 A 包含的结果有 M 个,则事件 A 的概率为 M/N。 2、互斥与对立 对立一定互斥,但是互斥不一定对立。不可能同时发生的两个事 件叫做互斥事件,如果 A,B 互斥则 P(A+B)=P(A)+P(B) ,必有 一个发生的互斥事件叫做对立事件,如果 A,B 对立则满足两个条件 (1)P(AB)=空集; (2)P(A+B)=1。 3、互斥与独立 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件,如果 A,B 互斥则 P (A+B)=P(A)+P(B) ,事件 A(或者 B)是否发生不影响事件 B(或 者 A)发生的概率,则 A 和 B 独立。此时 P(AB)=P(A)p(B) ;概 率为 0 或者 1 的事件与任何事件都独立, 如果两个事件存在包含关系, 则两个事件不独立;如果 0〈P(A) 〈1,0〈P(B) 〈1,如果 A,B 互 斥则不独立,如果 A,B 独立则不互斥(注意条件) 。 4、排列与组合 这一点还是比较简单的,不过还是有部分同学不太清楚。排列与 顺序有关,组合与顺序无关。还有一点要注意;同类相乘有序,不同

类相乘无序。

5、不可能事件与概率为 0 的随机事件 这两者之间的关系为:不可能事件的概率 P(Ф )=0,但是反过来, 概率为零的随机事件 A 未必是不可能事件,也就是说,由 P(A)=0 推 不出 A=Ф ,例如连续型随机变量在任何一点的概率都为 0。 6、必然事件 Ω 与概率为 1 的事件 即必然事件的概率为 1,但是概率为 1 的事件未必是必然事件, 即由 P(A)=1 推不出 A=Ω ,对于一般情形,由 P(A)=P(B)同样不能推 得 A=B 即 A=B 仅仅是(A)=P(B)的充分条件。 7、有关条件概率, 一般记为 P(A|B)表示 B 事件的发生条件下 A 发生的概率,这里 我要说明的是如果"B 是 A 的子集"那么 P(B|A)=P(B)是不对的,按推 导 P(B|A)=P(AB)/P(A)只有当 P(A)=1 时原式才等于 P(B);同样可以理 解 P(A|B)=1 如果我写出 P(A|B)=1 那么会有一半多的朋友会认为 B 是 A 的真子集,其实这是一道 93 年的真题,事实上这是一道错题,错 就错在“B 是 A 的真子集”是 P(A|B)=1 的充分条件,而不是必要条 件, 举个例子 P(A|B)=P(AB)/P(B)(这里 P(AB)是服从 0~1 分布的在区 间为(0,1/2)的概率,P(B)是服从 0~1 分布的在区间为[0,1/2] 概 率,他们的比也是 1 但是 A 不是 B 的真子集


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