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正切函数的图象和性质


§4.10 正切函数的图象和性质 (一)
我们的目标

1、掌握利用正切线画正切函数图象的方法
2、能够利用正切函数图象准确归纳其性质 并能简单地应用

1、利用正切函数的定义,说出正切函数的定义域; y tan ? ? ? x ? 0 ? ?的终边不在y轴上 x

?? ? k? ?

?

2、利用周期函数的定义及诱导公式,推导正切函数 的最小正周期; 一方面: tan(? ? x) ? tan x ? ? 是y ? tan x的周期;
另一方面: 若0 ? T ? ? , T 是y ? tan x的周期 ? tan(T ? x) ? tan x

2

?k ? z?

取x ? 0, 那么tan T ? tan 0 ? 0 但T ? (0,?)
故T不存在

? ? ?? 1、画出正切函数在一个周期 ? ? , ? 内的图象 ? 2 2?
动画
y

?

?
2

0

? 2

x

2、利用正切函数的周期性,把上述图象向x轴两边扩 展,得到正切曲线;
y

?

3? 2

??

?

?
2

0

? 2

?

3? 2

x

三、观察正切函数的图象,获得其性质:
1、定义域 2、值域 3、单调性 4、奇偶性 5、周期性

? ? ? x ? ? x | x ? R且x ? k? ? ,k ? Z ? 2 ? ? y?R

? ?? ? 在x ? ? k? ? , k? ? ? 上是增函数; 2 2? ?
f (? x) ? tan(? x) ? ? tan x ? f ( x)奇函数
f ( x ? ? ) ? tan( x ? ? ) ? tan x ? f ( x) 最小正周期是?

例题1

? ? 13? ? ? 17? tan ? ? 解: ? tan ? ? ? ? ? tan 4 ? 5 ? 4 ? ? 2? ? 0? ? ? 4 5 2 ? ?? 又: y ? tan x在 ? 0, ? 内单调递增, ? 2? ? 2? ? tan ? tan , 4 5
?? tan

13? 17 比较 tan(? ) 与 tan(? ? ) 的大小. 4 5

2? ? ? ? ? tan 5 ?

?
4

? ? tan

2? ? 13 ? ? 17 ? ,即 tan ? ? ? ? ? tan ? ? ? ? 5 ? 4 ? ? 5 ?

练习

不查表比较大小:

(1) tan167? 与 tan173? (2) tan 470? 与 tan822?

例题2

?? ? 讨论函数 y ? tan ? x ? ? 的性质; 4? ?

1、定义域 2、值域

3、单调性
4、奇偶性

5、周期性

? ? ? x ? ? x | x ? R且x ? k? ? ,k ? Z ? 4 ? ? y?R 3? ?? ? 在x ? ? k? ? , k? ? ? 上是增函数; 4 4? ? ? ? f (? x) ? tan(? x ? ) ? ? tan( x ? ) ? f ( x) 4 4 且f (? x) ? ? f ( x)是非奇非偶函数 ? ? f ( x ? ? ) ? tan( x ? ? ? ) ? tan( x ? ) ? f ( x) 4 4 最小正周期是?

练习

讨论函数 y ? tan 2 x 的性质;

1、 P72

1、 2、 3、 4

2、

《ABC》同步完成


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