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直线的倾斜角和斜


教 学 设 计

直线的倾斜角和斜率

西安高级中学

高 一 数 学







普通高中课程标准实验教科书(北京师范大学出版社) 数学 2(必修) 第二章解析几何初步 §1.1 直线的倾斜角和斜率(教学设计 ) 西安高级中学李秋侠 一、设计思想:学生在初中阶段学习过函数的图像,了解在坐标系中点与实数对 ? x, y ? 的对应,这正是解析几何的研究方法,
而直线是解析几何中最基本最简单的研究对象,它既能为进一步的学习做好知识上的准备,又能为后面灵活运用解析几何的基 本思想和方法打好坚实的基础。所以本节课在设计时特别重视知识的形成,过程的感悟,概念的辨析,引导学生注重倾斜角、 斜率的相互关系,掌握过两已知点的直线的斜率公式,并能根据直线的斜率求倾斜角,利用斜率判定三点共线;充分利用多媒 体形象展示,使学生全面地、多角度、多层次地认知新概念,特别是利用几何画板的动态演示,透彻理解倾斜角、斜率的概念、 取值范围、及变化规律,强化“数”与“形”的结合与转化;另外斜率公式的推导采取逐步递进,发展到用直线上的两点的坐 标表示斜率,体现新课标的递进、螺旋式认知理念;通过图片展示使学生了解解析几何及其在生活科学等方面的应用,激发学 生的学习热情,引导学生树立远大理想,崇尚科学。在引导学生用倾斜角的正切值表示直线的斜率时,由于学生毫无三角函数 基础,只要求给出会用即可,不能用知识的联系性、思维的连贯性的传统理念,去增加补充三角函数知识,否则就与新课程理 念相背离了。 二.三维目标 1.通过具体图形理解确定直线的几何要素,理解直线倾斜角、斜率的概念,感受直线的方向与倾斜角 及斜率之间的对应关系。掌握过两点的直线斜率的计算公式,初步感受解析几何的本质,用代数的 方法解决几何的问题,在教学中培养学生数形结合的数学思想。 2.培养和提高学生联系、对应、转化等辨证思维能力,形成严谨的学习态度。 3.营造轻松、和谐的学习氛围,培养学生的探究能力、合作意识及语言表述能力。

三、内容和内容分析
本课是北师大版数学必修 2 第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时,是高中解析几何第一节课, 主要知识点是直线倾斜角和斜率,它是解析几何的最基本的、也是重要的概念之一,也是刻画直线倾斜程度的几何要素,是用 坐标法研究几何图形的解析方法的初次体现。通过本节课对直线倾斜角与斜率的研究能够使学生初步感受到解析几何的本质, 步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。因而本节课的数学思想和方法尤显重要 四.教学重点:直线的倾斜角和斜率的概念,用代数的方法刻画直线斜率的过程及过两点的直线的斜率公式; 教学难点:斜率概念的理解和斜率公式的推导。 教学方法:通过实例创设教学环境,让学生感悟到知识的生成。

五.学情分析
初中学生已在平面坐标系中对一次函数借助几何图形研究了性质,图形非常熟悉。学生对三角函数的认识相对浅得多,对斜 率用倾斜角的正切值表示困难较大,但也要求学生掌握特殊角度正切值。

六.现代信息技术使用
为了有效实现教学目标,考虑到学生的知识水平和理解能力,借助计算机工具和现实生活中的相关实物图片,从激励学生 探究入手,讲练结合,直观演示能使教学更富趣味性和生动性。 1.利用图片介绍解析几何。 2.幻灯展示设问问题、例题、引入中的课件(一,二) ,利用几何画板演示倾斜角的大小与直线斜率的关系; 3. 幻灯展示课堂小结、课后作业及探究。 4.新知识学习过程中的探究设问:

七.导学流程
1.利用图片介绍解析几何。 2.幻灯展示设问问题、例题、引入中的课件(一,二) ,利用几何画板演示倾斜角的大小与直线斜率的关系; 3. 利用课件演示,引出直线斜率公式 4.新知应用

5.知识延伸 6.幻灯展示课堂小结、课后作业及探究。

八.新知识学习过程中的探究设问:
①确定一条直线的位置需要什么条件? ②用什么量描述直线的倾斜程度呢? ③倾斜角概念中的要点有哪些? ④倾斜角的取值范围?能为 0 ?90 ?180 ? 大于180 ? ⑤任何直线都有倾斜角吗?唯一吗? ⑥除了倾斜角还有什么能表示直线的“倾斜程度”? ⑦任何直线都有斜率吗? ⑧不与 x 轴垂直的直线的斜率除了用 tan ? 外,用直线上的两点的坐标怎样表示呢? ⑨用斜率公式求直线的斜率 k ? y2 ? y1 应注意什么? x2 ? x1 ⑩三点共线的实质是什么?
0 0 0 0

九.教学过程设计 教学环 节 教师活动
在初中学习一次函数、二次函数时,我们建立了坐标系,使平面内的点和实数对 (x,y)建立起了一一对应的关系。 初步学会用代数方法描述几何问题 (直线、 抛物线) , 把几何问题转化成了代数问题并研究它的性质。用这种方法研究几何学,通常就叫做

学生活动

技术支持

导 入 本 章 内 容

解析法。从而形成了数学的一个分支-----解析几何。高中主要学习平面解析几何。 平面解析几何除了研究直线及直线的有关性质外, 主要研究圆锥曲线 (圆、 椭圆、 抛物线、双曲线)的有关性质。它不仅是高中数学的重要内容之一,在生产或生活中 也被广泛应用。如行星运动轨迹。

学生观察图 片,了解解析 几何的起源以

利 用 powerpoint 放图片

学生观察图 比如探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用 片,了解平面 解析几何研究 抛物线的原理制成的。 的内容和重要 在科技迅猛发展的今天,有多少发明创造有待我们去完成?! 性。 今天我们就开始进入平面解析几何这个新领域。研究非常重要的,又 非常基础的直线的有关概念-----直线的倾斜角和斜率。 学生观察图 在初中学习了一次函数 y ? ax ? b ? a ? 0? ,大家知道它的图像是一条直线。 片,感悟生活 中的数学美。 一.确定一条直线位置的几何要素: 问:观察所给直线,如何确定直线的位置呢? 答: “两点定一线” 。 问:除此之外还可以用什么来确定呢? 学生思考. 若 a 为已知常数,b 为变化值, 则直线可视为由 y ? ax 平移而来的一系列 平行直线,直线的方向是相同的; (课件一) 引导学生在 若 b 为已知常数,a 为变化值, 则直线可视为过定点 ? 0, b ? 的一系列直线, 直角坐标系中 研究直线。探
y

激发学生求知 利 用 欲,培养学生 powerpoint 爱科学的态 度。 演示,教师讲 解,引导学生 发现生活中 的美妙曲线。

直线的方向是变化的;

究确定直线位 置的几个要 素。

学生观察得 出:直线的倾 斜程度与斜线 和 x 轴所成的 角度有关 由上述情形可看出:确定一条直线的位置还有一个方法: 一个点和一个方向; 二.倾斜角

导 入 本 节 内 容

读教材,明确 倾斜角的定 由(课件二)可看出:直线的方向与直线的倾斜程度有关,直线的倾斜 利用几何画 义。 程度和直线与 x 轴所成的角度有关,对于任意一条与 x 轴相交的直线,把 板,演示平面 这个角的顶点放在交点处,规定角的方向为逆时针,即可产生一个能够描 直角坐标系 述直线倾斜程度的角叫倾斜角。 中的不同位 置的直线。 1.倾斜角的定义:对于任意一条与 的直线 l ,把 x 轴(正方向 )按 .x 轴相交 ... ..... 逆时针 方向绕着交点 旋转到和直线 时所成的角, ... .... ..l 重合 .. 叫作直线 l 的倾斜角 。记为 ? ,则 00 ? ? ? 1800 ; ... 特殊地:当直线 l 与 x 轴平行或重合 时,规定 直线 l 的倾斜角为 00 ; ..... .. 准确理解概 念,发现数学 量。

2. 倾斜角的取值范围: 00 ? ? ? 1800 ; 三.直线的斜率: 问:直线的倾斜角可以刻画直线的倾斜程度,除此之外生活中,还可以用 什么来刻画直线的“倾斜程度”呢? 教师通过图例引导: 还可以用“坡度”来刻 画道路、楼梯的“倾斜 程度”

培养学生分类 讨论的能力

直 线 的 倾 斜 角 概

d d 1单位 1单位

学生互相议 论,探讨。

培养学生研 究归纳能力。


坡度=

铅直高度 水平长度

,相当于在水平方向移动一个单位,在铅直方向上升或下降的数值 d ;

展示道路、楼 梯的图片,观 察倾斜程度

类似地定义可以得到直线的斜率的概念,不妨先设直线过原点, (1)当 00 ? ? ? 900 时,当点从 O 到 P 时,横坐标增加一个单位,纵坐标 从 0 增加到 k ,称 k 为这条直线的斜率; 引 出 直 线 的 斜 率
? ?POQ ? ?BAC ,?

CB CB QP 来计算。 ? ? k ,直线的斜率也可用 AC AC OQ

公式 1: k ? tan ?
由于三角函数的知识还不到位, 此公式暂属了解阶段, 但也应熟记特殊 角的正切值: (2)当 900 ? ? ? 1800 时,当点从 O 到 P 时,横坐标增加一个单位,纵坐 标从 0 减少了 k ? k ? 0? ,称 ? k 为这条直线的斜率; (3)当 ? ? 900 时,这条直线的斜率不存在;

引导学生讨论 得出:过原点 的直线的斜率 可以用倾斜角 的正切值来表 示

培养学生归 纳,提炼知识 的能力。

由于三角函数 的知识还不到 位,这种情况 问:若直线不过原点怎么办呢? 下的斜率直接 答:若直线不过原点,则总可以过原点做一条与此直线平行的直线,这两 给出,有待以 直线的倾斜角是相等的,斜率即可用过原点的这条直线的斜率来表示, 后解决。 方法同上;
y A P(1,K) C
?

y P(1,K) O A(1,0) X

B

y

O ? Q(1,0)

A(1,0) X P(1,-K)

O
X

斜 率 公 式 可以看出:当 ? ? 00 时,直线的斜率是 0; 当 00 ? ? ? 900 时,直线的斜率是正的; 倾斜角越大,直线的斜率就越



大; 引导学生得 出:斜率的正 负及大小与倾 斜角的关系, 当 900 ? ? ? 1800 时,直线的斜率是负的; 倾斜角越大,直线的斜率就 培养学生分类 越大; 讨论能力。 当 ? ? 900 时,直线的斜率不存在;

问:用倾斜角的正切值可以表示直线的斜率,用直线上点的坐标能表示斜 率吗? 观察:过原点的直线上的点(1,k)的纵坐标 k 就是直线的斜率,任取异 于原点的点 P ? x, y ? ,则其斜率可以用 横坐标之比
y 表示。 x
O y P(2,3)

其纵坐标与

问:看下图,直线的斜率是多少呢? 答:直线的斜率是
3 ; 2

X

问:直线不过原点时,斜率是否还能用直线上点的坐标表示呢?

学生讨论得出 结论:过原点 的直线的斜率 可以用其上一 点的纵坐标与 横坐标之比表 示。 培养数形结思 想

几何画板演 示,观察斜率 的正负及大 小与倾斜角 的关系

斜率 与倾 斜角 的关 系

四.斜率公式 在直线 l 上任取两点

P 1 ? x1 , y1 ? , P 2 ? x2 , y2 ? ,设
x1 ? x2 , ?x ? x2 ? x1, ?y ? y2 ? y1 ,
?y y2 ? y1 ? ? x1 ? x2 ? ?x x2 ? x1

则: k ?

讨论得出任意 直线的斜率可 以用其上两点 的坐标表示。
k ? y2 ? y1 x2 ? x1

问:这个公式是不是任何时候都成立呢? 问:任何直线都有斜率吗? 问:公式的特点有哪些 1. x1 ? x2 时公式才成立,x1 ? x2 时不能用此公式, 此时直线的斜率不存在。 2. 当 x1 ? x2 时,直线与 x 轴垂直,斜率不存在。

思考这个公式 成立的条件, 分析不成立的 直线位置。培 养严谨的数学 思维。

3. P 1, P 2 是直线上的任意两点; 3. 公式中的分子分母的下标应是一致的; 4.斜率与 P 1, P 2 的顺序无关; 5.当直线与 x 平行时,公式依然成立,此时 y1 ? y2 , k ? 0 ; 五.应用示例: 例 1:已知直线的倾斜角,求斜率。
(1)? ? 00 ;(2)? ? 300 ;(3)? ? 450 ;(4)? ? 600 ;(5)? ? 900

口答。熟记特 殊角的正切 值。

解: (1) tan 00 ? 0;(2) tan 300 ?

3 ; 3

( 3) tan 450 ? 1; (4) tan 600 ? 3; ( 5) tan900 不存在;

斜 率 公 式 二 例 2.下图中能表示直线倾斜角 ? 的是 (1) (3) ;

板演:推到斜 率公式,分析 成立条件,揭 示不成立的 时的位置特 征,学生作笔 记。

例 3:求过已知两点的直线斜率 (1) P(2,3), Q(6,5).(2) A(?3,5), B(4, ?2) 解: (1)直线 PQ 的斜率为: k ? 5 ? 3 ? 2 ? 1 ;
6?2 4 2

考察学生新知 识掌握能力及 公式的正确 性。

(2)直线 AB 的斜率为 k ? ?2 ? 5 ? ?7 ? ?1 ;
4 ? ? ?3? 7

考察学生应用 知识的灵活 性。

? 1, 2, 3, ? 3 的直线。 例 4.在平面直角坐标系中画出经过原点且斜率为 1,

解:只须找出点 ?11 ,,, ? ?1 ?1?,, ?1 2?,,,, ?13? ?1 ? 3? ,然后分别与原点连成直线

即可。

y

o

x

例 5.直线 l1 的倾斜角为 ?1 ? 300, 直线 l1 与 l2 垂直,求 l1 , l2 的斜率。 解:如图: l2 的倾斜角为 900 ? 300 ? 1200 ,

指导学生积极 老师板演,学 研究,互相合 生口述。 作,培养积极 的学习热情好 探究能力。

新知 应用

l1 , l2 的斜率分别为:

3 ,? 3 3

学生板演

独立思考,知 识拓展、 巩固。

例 6.已知点 M ? 2m ? 3, m? , N ? m ? 2,1? ,当 m ?

时,直线 MN 的倾斜 时,

角为锐角;当 m ? 时,直线 MN 的倾斜角为直角;当 m ? 直线 MN 的倾斜角为钝角;

知 识 目 标 检 测

解:当 2m ? 3 ? m ? 2 即 m ? ?5 时,直线 MN 与 y 轴平行,倾斜角为直角;
1? m 1? m ? 2m ? 3 ? m ? 2 m ? 5

当 2m ? 3 ? m ? 2 即 m ? ?5 时, k ?

若 k ? 0 即 ?5 ? m ? 1 时,直线 MN 的倾斜角为锐角; m ? ?5 或 m ? 1 时,直 线 MN 的倾斜角为钝角; 例 7.已知三点 A? a,2? , B ?5,1? , C ? ?4,2a ? 在同一条直线上,求 a 的值。 解:? A, B, C 三点共线,? k AB ? kBC ? 六.知识小结: 一.本节课所学基本知识点有: 1.确定直线的要素:由两点或一点和方向确定。 2.直线的倾斜角和倾斜角的取值范围; 3.直线的斜率的概念,求斜率的三种途径; 1)用 x ? 1 截直线所得的纵坐标; 2) k ? tan ? ? 00 ? ? ? 1800 , ? ? 900 ? ;
y2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

2 ? 1 2a ? 1 7 ? ?a ? 2或 a ? a ? 5 ?4 ? 5 2

知识延伸,考 察学生综合能 力。

感受数学丰 富内涵。

3)公式 k ?

二.感受到的数学思想与数学方法: 数形结合 能 力 三.情感态度 目 标 检测 热爱生活,善于发现,用于研究和探讨。 七.作业
y

1.课后探究: (分组讨论) 1) 经过两点 A?3, ?2? , B ? a,1? ? a ??0,6?? 率和倾斜角的变化。 2) P63 2; 2.书面作业:
P(0,1) M(3,1) Q(6,1)

的直线 l 的斜

O A(3,-2)

x

P76?77 习题 2-1A 组 1,2,3,4;

练习: P63 1,3,4,5;

十.课后反思: 本节课设计的教学目标在同学们的配合下完成的很好。这节课在以下几个方面比较成功: 1)利用多媒体形象展示,使学生真切感受到生活中的数学模型,达到了全面地、多角度、多层次地认知新概念的目的;激 发了学生的学习兴趣、探知欲望,培养了学生热爱生活、热爱科学的情感,很好地体现了新课标的三维目标,注重知识的形成, 过程的感悟,情感价值观的培养; 2)新知导学设问很好,问题设置合理有层次,使整个教学既有层次感,又流畅自然,学生清楚自己每个阶段的学习目标, 对所要学习的新知识关注点相对集中,目的性强; 3)直线倾斜角、斜率的相互关系及变化规律,一直以来都是学生的难点和易错点,又是本节课的难点,即便是学习了三角 函数知识, 这个难点总是很难突破, 何况新教材中的三角函数现在还没有学, 我利用直线 x ? 1与直线 l 交点 (1 , k ) 的纵坐标 k 的 值的变化使其得到很好的化解和突破,并且非常有利于学生理解和记忆;特别是对水平与竖直两种特殊位置的直线的斜率给出 了很好的合情合理的解释,同时还培养了学生分类讨论的思想,这应该是本节课的亮点所在。 4)斜率公式的推导由过原点的直线到不过原点的直线,由直线上的一点到直线上的两点,逐步递进,升级自然,学生理解 起来容易,难度分散,符合学生的认知规律,证实了新课标的递进、螺旋式认知理念是正确的; 5)通过直线的倾斜角和斜率的学习,培养了学生的数形结合、分类讨论思想; 本节课不足之处是:本节课的容量略大,留给学生活动的时间还不够充分,这一点我还是不太满意,课后探究问题的内 容还不够丰富,增加一个趣味性强的探究题,对激发学生的研究热情更有利。


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