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高中数学综合题


1. 已知 D 为 ?ABC 的边 BC 中点,E 为中线 AD 的中点,BE 的延长线交 AC 于 F , 1 1 求证 AF ? AC , FE ? EB 3 3 2. O 是平面上一定点, A 、 B 、 C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

? AB AC ? ?, 则 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的__________ ? ??0, ???

, OP ? OA? ? ? ? ? AB AC ? ? ?
1 ? ?? 3. ①存在 ? ? ? 0, ? 使 sin ? ? cos ? ? 3 ? 2?

②存在区间 ? a, b ? 使 y ? cos x 为减函数而 sin x ? 0 ③ y ? tan x 在其定义域内为增函数
?? ? ④ y ? cos 2 x ? sin ? ? x ? 既有最大,最小值又是偶函数 ?2 ?

⑤ y ? sin 2 x ?

?
6

最小正周期为 ?

以上错误的是_______________ 4. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 y ? f ? x? 存 在 零 点 , 且 对 任 意 m 、 n ? R 都 满 足
f? f m n若关于 x 方程 f ? (a ? 0且 ? ? f? n ?? ?? ? f ? x ?? ? ? 3 ? 1 ? log a x ? mf ? m ?? ? ? ? ? ? 。
2

? 1 )恰有三个不同的实数根,则 a 的范围__________
A. 1 ? a ? 3 B. a ? 3 C.
1 ? a ?1 3

D. 1 ? a ? 3

5. 已知 f ? n ? ? 1 ? x ? 1 ? x ⑴判断增减性
5? x ? ⑵ a ? 0 且 a ? 1 ,解关于不等式 f ? ?log a ? 2 ? 1? ? ? 2 cos 12 ? 0

6. 设 a 是已知单位向量且 a ? 0 ,关于向量 a 的分解,有如下命题: ①给定向量 b ,总存在向量 c ,使 a ? b ? c ②给定向量 b 、 c ,总存在实数 ? 和 ? ,使 a ? ?b ? ? c ③给定单位向量 b 和正数 ? ,总存在单位向量 c 和实数 ? ,使 a ? ?b ? ? c ④给定正数 ? 和 ? ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使 a ? ?b ? ? c
1

上述命题中, 真命题个数_______________ b、 c 和 a 在同一平面内且两两不共线, 7. f ? x ? ? 8. f ? x ? ? 9. 设
O

sin x ? 1 , x ??0, 2? ? ,求 f ? x ? 值域 3 ? 2sin x ? 2 cos x sin x ? 0 ? x ? 2x ? 的值域 5 ? 4cos x



?ABC

所 在 平 面 上 一 点 , 动 点

P

满 足

? O ?C A B A C ? ,其中 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三个内 ??? ? ? AB COSB AC COSC ? ? ? 角,则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的__________ OP ? O ? B 2
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

a sin
10. 已知非零实数 a 、 b 满足关系式: __________

?
5

5 ? tan 8 ? ,则 b 的值为 ? ? a 15 a cos ? b sin 5 5

? b cos

?

11. 两个不相等非零向量 a 、 b ,两组向量 x1 、 x2 、 x3 、 x4 、 x5 和 y1 、 y2 、 y3 、 设 S ? x1 y1 ? x2 y2 ? x3 y3 ? x4 y4 ? x5 y5 ,Smin y4 、y5 均由 2 个 a 和 3 个 b 排列构成, 表示 S 所可能取值中最小值,则下列命题正确的是_______________ ① S 有 5 个不同的值 ②若 a ? b 则 Smin 与 a 无关 ③若 a b 则 Smin 与无关 ④若 b ? 4 a ,则 Smin ? 0 ⑤若 b ? 2 a , Smin ? 8 a ,则 a 与 b 夹角为
2

? 4

12. 设 f ? x ? 满足 f ? ?x ? ? f ? x ? , f ? x ? ? f ? 2 ? x ? 且当 x ??0,1? 时, f ? x ? ? x3 ,又
? 1 3? g ? x ? ? x cos ?? x ? ,则 h ? x ? ? g ? x ? ? f ? x ? 在 ? ? , ? 上的零点个数__________ ? 2 2?

13. f ? x ? ? 3sin x ? 2cos x ?1 ,若 a 、 b 、 c 使得 af ? x ? ? bf ? x ? c ? ? 1 ,对任意 x 恒 成立,则
b cos c 的值为__________ a

2

14. 在 ?ABC 中,有一点 I 满足 BC ? IA ? CA ? IB? AB ? IC?0 ,则 I 是 ?ABC 的 ______心 15. O 为 ?ABC 外心, AB ? 4, AC ? 6, BC ? 8 ,则 AO ? BC ? __________ 16. 若 a 、 b 、 c 为单位向量,且 a ? b ? 0 , a ? c ? b ? c ? 0 ,则 a ? b ? c 的最大 值为__________ 17. 如图, 在直角梯形 ABCD 中,AB ? AD, AD ? DC ? 1, AB ? 3 , 动点 P 在以点 C 为圆心,且直线 BP 相切的圆内运动。 AP ? X AD ? yAB ,?? , ? ? R ? ,则 ? ? ? 的

?

??

?

范围_________
? 4? A. ? 0, ? ? 3? ? 5? B. ? 0, ? ? 3? ? 4? C. ?1, ? ? 3? ? 5? D. ?1, ? ? 3?
? 2 满 足 O G

18. a ? b ? 1 ,

a ?b ? 0

, 点 Q

?

? a

?

b 曲 线 ,

C:
C

?? p ? O Pc ? ? oas ? ,0 sb i ?n2? 。区域 ? ? P 0 ? r ? PQ ? R , r ? R ,若

?

?

? 为两段分离曲线,则__________

A. 1 ? r ? R ? 3

B. 1 ? r ? 3 ? R

C. r ? 1 ? R ? 3

D. 1 ? r ? 3 ? R

19. A ? ?1,0? , B 0, 3 , C ? 3,0 ? , O 为 原 点 , 动 点 D 满 足 CD ? 1 , 则
O A? O B ? OD 的取值范围是____________

?

?

A. ? 4,6?

? B. ? ? 19 ? 1, 19 ? 1?

? C. ? ? 2 3, 2 7 ?

D.

?

7 ? 1, 7 ? 1? ?

20. ?ABC 三边分别为 2m ? 3 , m2 ? 2m , m2 ? 3m ? m ? m ? 0? ,则最大角度度数 ___________ A. 150? B. 120? C. 90 ? D. 135?

21. 已知 ?ABC 中, a 2 ? a ? 2b ? 2c ? 0 , a ? 2b ? 2c ? 3 ? 0 ,求 ?ABC 中最大角 22. 已 知 函 数 f ? x ? ? 2sin x ? cos x ? 2sin x ? cos x , ? x ? R? , 下 列 正 确 的 是
3

_______________ ① f ? x ? 的最小正周期是 ?
? ? 3? ? ④ x 在 ? , ? 上增 ?4 4 ?

② f ? x ? 是奇函数

?? ? ③关于 ? , 0 ? 中心对称 ?2 ?

? 4 5 4 5? , ⑤值域 ? ? ? 5 ? ? 5

⑥在 ?0, 2? ? 上 5 个顶点

23. ?ABC 三边 a3 ? b3 ? c3 ,则 c 是__________角 24. 点 P 、 Q 、 R 分别在正三棱台 A1B1C1 ? ABC 的侧棱 A1 A 、 B1B 、 C1C 上,且
A1 P ? 1 1 2 A1 A ,B1Q ? B1 B ,C1 R ? C1C , 平面 PQR 把正三棱台分成上下两部分, 3 2 3 1 v AB1 ,则 1 ? __________ 2 v2
11 14

两部分体积分别记为 v1 , v2 ,若 A1 B1 ? A.
5 14

B. 知

1 2
?ABC

C.

9 14

D. ,

25. 已



t

Ba ?

n

C? t

a

B n?

, C3 ?

t

a

n

3 tan A ? 3 tan B ?1 ? tan A ? tan B ,求 ?ABC 形状
26. 已知 P 为 ?ABC 内一点,且 3 AP ? 4BP ? 5CP ? 0 ,延长 AP 交 BC 于 D ,若

AB ? a , AC ? b ,用 a 、 b 表示 AP ? AD
27. ?ABC 中,点 M 是 BC 中点, N 在 AC 上, AN ? 2 NC , AM 与 BM 相交于 P , 求 AP : PM 28. a ? 2 , b ? 3 , a 、 b 夹角为 45 ? ,当 a ? ? b 与 ? a ? b 的夹角 ? 为锐角时, 求 ? 取值范围 29. 如图 l1 , l2 , l3 是同一平面内的三条平行线, 正 ?ABC l1 , l2 距离为 1, l2 , l3 距离为 2, 的三顶点分别在 l1 , l2 , l3 上,则 ?ABC 边长___________

4

A. 2 3

B.

4 6 3

C.

4 17 3

D.

2 21 3

30. x2 ? y 2 ? 1,则 u ?

1 2y ? 的值域_________________ x2 x

31. 已知 O 是锐角三角形 ABC 处接圆圆心, ?A ?

?

4

,外接圆半径为 R ,若

cosB cos C 1 ? AB ? ? AC ? m ? AO ,则 m ? ____________ c b 2R

1 ? sin ? ? ?? ? ?? 32. 设 ? ? ? 0, ? , ? ? ? 0, ? 且 tan ? ? ,则___________ cos ? ? 2? ? 2?

A. 3? ? ? ?

?
2

B. 2? ? ? ?

?
2

C. 3? ? ? ?

?
2

D. 2? ? ? ?

?
2

33. cos x ? cos y ? 1 ,则 sin x ? sin y 的取值范围_________ A. ??1,1? B. ? ?2, 2?
? C. ? ?0, 3 ?

? D. ? ? ? 3, 3 ?

1 P ?A B 34. A ? ?1,6? , 使A B ? 3,0 ? 在 AB 上求一点 P , 3

, 则 P 的坐标___________

35. 称 d a, b ? a ? b 为两个向量 a 、 b 间距离,若 a 、 b 满足⑴ b ? 1 ⑵ a ? b 对 任意 t ? R 恒有 d a, tb ? d a, b ,则__________ A. a ? b B. b ? a ? b

? ?

?

?

? ? ?

?

C. a ? a ? b

?

?

D.

? a ? b? ? ? a ? b?

36. 在 ?ABC 中,A 、B 均为锐角, 且 cos A ? sin B , 则 ?ABC 的形状是__________ A. 直角 B. 锐角 C. 钝角 D. 等腰三角形 37. 已知 A 、 B 、 C 为直线 l 上不同的三个点,点 O ? 直线 l ,实数 x 满足关系式

x2 OA ? 2 xOB ? OC ? 0 ,下列结论中正确的个数有_______________
① OB ? OA ? OC ? 0 ④ x 的值有两个
2

② OB ? OA ? OC ? 0 ⑤点 B 是线段 AC 的中点

2

③ x 的值有且只有一个

38. ?ABC 中, BC ? 5 , C1 、 O 分别为 ?ABC 的重心和外心,且 OC1 ? BC ? 5 ,则
?ABC 形状________________

39. 在 ?ABC 中 , B ? 60? , 最 大边 与最小 边 之比 为 __________

?

3 ? 1 : 2 , 则 最大角 为

?

40. 已知 ?ABC , a ? c ? 2b , a ? b ? c ? 15 ,且最大角是最小角的 2 倍,求 S?ABC 41. 顶点在坐标原点,始边在 x 轴的非负半轴上的两个锐角 ? 、? ?
5

?
4

,其终边上

分别有点 ? 3, t ? 、 ? 2t, 4? ,则 t 的值为___________ A. 6 或-1 B. -6 或 1 C. 1 D. 6

42. ?ABC 中, 2b ? a ? c 且 sin B ? cos B ? 2 ,则 cos A ? cos C ? __________ 43. 锐 角 ?ABC 中 , ? ?

?
3

的 终 边 过 点 P ?s i n B ?

co As

? ,B cos A s i n ?且

?? 2 2 ? 2015? ? ? ,则 sin ? ? ? ? 的值 sin ? ? ? ? ? ? 3? 3 ? 2 ? ?
44. A, B 是半径为 1 的圆 O 上两点, M 是弦 AB 上的动点,若 ?ABC 为直三角形, 则 OM ? AM 的最小值_________
B 两点) 45. 已知扇形 AOB , 点 C 在弧 AB 上 (异于 A 、 , 线段 AB 与 OC 交于点 M ,

OC ? tOA ? 3tOB , AM ? mAB ,则 m ? __________
46. 设 ?ABC 内角 A 、 B 、 C 所对边 a 、 b 、 c ,已知 a ? c ? 2b ,则 ____________________ 47. 已知函数 f ? x ? 的定义域为全体实数,对任意 x ? R 都存在非零常数 T ,有
a 的范围 c

f ? x ? T ? ? Tf ? x? 成立,把这样的函数叫 T 阶周期伸缩函数,下列属于 T 阶周期
伸缩函数的有_______________ ① f ? x? ? x ② sin x ③2
x

?1? ④? ? ?2?

x

48. 已知定义在 R 上 f ? x ? 满足 ⑴ f ? x1 ? x2 ? ? f ? x1 ? x2 ? ? 2 f ? x1 ? cos2x2 ? 4a sin2 x2 , ( x1, x2 ? R , a 为 常 数 )
?? ? ⑵ f ? 0? ? f ? ? ? 1 ?4? ? ?? ⑶ x ? ?0, ? 时 ? f ? x ?? ? 2 ? 4?

⑴求 f ? x ? 解析式 ⑵常数 a 的范围

6

49. 已 知 ?ABC 中 , cos A ?

2 5 3 10 , cos B ? , O 为 ?ABC 内 心 , 5 10

2

5 OA ?

10 OB ? ? m ? ,则 0 m ? _________

B C D 50. 已知凸四边形 ABCD ,AB ? a, BC ? b, CD ? c, DA ? d , ?A ? ?C ? ? , 若A

存在内切圆,则 S ABCD ? _______________(用 a 、 b 、 c 、 d 表示,表达式中每 个字母出现的次数不超过 2 次) 51. 最上层是水平圆环, r ? 2m ,通过 BC, CA1 , CA2 , CA3 支撑于 B 处, A1 , A2 , A3 三 等分,环与地面距 10m,设 CA1 , CA2 , CA3 与水平成角 ? ⑴当 BC, CA1 , CA2 , CA3 总长最短时, ? 为何值 ⑵在圆环上 n 个等分点,按上述方法连接,总长最短,C 点上移还是下移 52. m ? ? 2sin ? ,sin ? ? cos ? ? , n ? ? cos? , ?2 ? m? ,函数 f(①)= m ? n 的最小值为

g ? m?
⑴当 m ? 1 时,求 g ? m? 的值 ⑵求 g ? m? ⑶已知函数 h ? n ? 为定义在 R 上的增函数,且对任意 x 都满足 h ? x ? ? h ? ?x ? ? 0
4 ? ? 问:是否存在这样的实数 m ,使 h ? f ?? ? ? ? ? h ? 3 ? 2 m? ? 0 对所有① sin? ? cos? ? ?
? a? ? ?0, ? 恒成立,若存在求出 m 范围 ? 2?

n n ?1 n?2 0 ?0? ?1? ?2? ?n? 53. g ? x ? ? Cn 0 f ? ? x 0 ?1 ? x ? ? Cn1 f ? ? x1 ?1 ? x ? ? Cn 2 f ? ? x 2 ?1 ? x ? ? ...... ? Cn n f ? ? x n ?1 ? x ? ?n? ?n? ?n? ?n?

若 f ? x ? ? x ,求 g ? x ? 54. 一个晚会 8 个节目,其中歌唱节目 3 个,小品节目 3 个,舞蹈节目 2 个,现 要列一个节目单,分别满足下列条件的排列:⑴3 个小品节目的顺序固定不变 ⑵2 个舞蹈节目的顺序也不变 55. f ? x ? ? x3 ? 3bx2 ? 3cx 有两个极值点 x1 、 x2 ,且 x1 ?? ?1,0? , x2 ??1,2? 则
7

1 2 7 B. C. 0 ? f ? x1 ? ? 2

A. ?10 ? f ? x1 ? ? ?

B. ? D.

1 ? f ? x1 ? ? 0 2

7 ? f ? x1 ? ? 10 2

56. eax ?1? x ? ? 1? x ,在 ? 0,1? 恒成立,则 a ?_________ A. ? ??,1? B. ?0,1? C. ?0, 2? D.

? ??, 2?

57. ⑴ g ? x ? ? ?1 ? x 2 ? ln x ? 2 x ? 2 , ? x ? 0 ? ,求 g ? x ? 最小值 ⑵ ln b ? ln a ?
2a ? b ? a ? a 2 ? b2

b 的夹角, 58. ? 为非零向量 a 、 已知对任意实数 t ,b ? ta 的最小值为 1, ________
A. 若 ? 确定,则 a 唯一确定 C. 若 a 确定,则 ? 唯一确定 B. 若 ? 确定,则 b 唯一确定 D. 若 b 确定,则 ? 唯一确定

, x? y y , x? y 59. 设 max : ? x, y? ? ? x y , x ? y , min : ? x, y? ? ? x , x ? y ,设 a 、 b 为平面向量,则

A. min a ? b , a ? b ? min a , b C. max a ? b , a ? b ? a ? b
2 2 2 2

B. min a ? b , a ? b ? min a , b D. max a ? b , a ? b ? a ? b
2 2 2 2

AB 上一定点,满足 P0 B ? 60. 设 ?ABC , P 0 是边

1 AB 且对于边 AB 上任一点 P , 4

恒有 PB ? PC ? P 0 B ? PC 0 ,则__________ A. ?ABC ? 90? B. ?BAC ? 90? C. AB ? AC D. AC ? BC
1 ,则 OA 的取值范围 2

61. AB1 ? AB2 , OB1 ? OB2 ? 1, AP ? AB1 ? AB2 ,若 OP ? 是__________
? 5? 0, A. ? ? 2 ? ? ?

? 5 7? B. ? ? 2 , 2 ? ? ?

? 5 ? , 2 C. ? ? ? 2 ? ?

? 7 ? , 2 D. ? ? ? 2 ? ?

B ?3 ,A C 62. AB 与 AC 夹角为 120? , 且A

? 2 , P ?? A B A C ? 若A

P ? B C , 且A



则 ? ? ___________ 63. 如图,一单位圆的圆心初始位置在 ? 0,1? ,此时圆上一点 P 的位置在 ? 0, 0 ? , 圆在 x 轴上沿正向滚动, 当圆滚动到圆心位于 ? 2,1? 时,OP 的坐标_____________

8

64. 自平面上一点 O 引两条射线 OA, OB , 点 P 在 OA 上运动, 点 Q 在 OB 上运动且 保 持 PQ 为 定 值 a ( 点 P 、 Q 不 与 O 重 合 ) , ?AOB ?

?
3

, a ? 7 ,则

P Q? P O 3 Q ? P QO 范围__________ ? PO QO
?1 ? A. ? , 7 ? ?2 ?
? 7 ? B. ? ? 2 , 7? ? ?

? 1 ? C. ? ? , 7 ? ? 2 ?

? 7 ? ? D. ? ? 2 , 7? ? ?

65. ?A ? 120? , AB ? AC ? ?1 ,则 BC 的最小值是___________ A.

2

B. 2

C.

6

D. 6

66. A?1,0? , B ?1,1? 点 C 在第二象限, 且 ?AOC ? 135? , 设O C ?O ? A 则 ? 的值_________

O ? B?

R ?? ?

?,

67. 点 ? 0, 0 ? , A0 ? 0,1? , An ? 6,7 ? ,点 A1, A2 .......An?1 ? n ? N , n ? 2? 是线段 A0 An 的 n 等分点,则 OA0 ? OA1 ? ....... ? OAn ?1 ? OAn ? _________ A. 5n B. 10n C. 5(n+1) D. 10(n+1)

68. 下列正确的个数____________ ① f ? x ? ? sin 2x cos 2x 的图像关于 x ? ? 对称
1 1 ? cos x x ② y ? ln 与 y ? ln tan 是同一函数 2 1 ? cos x 2

③在 ?ABC 中,若

AB ? BC BC ? CA CA ? AB ? ? ,则 tan A : tan B : tan C ? 3 : 2 :1 3 2 1

69. C 为 线 段 AB 上 一 点 , P 为 直 线 AB 外 一 点 , 满 足

P A ?

P ?4 B

5 , ? P A ?

P A ? P C ? P B P C P2 B 5 , ? ?? , P A P B

P? I

? ?, I? C ? ?

?A C A B ? I ?B A ? m , A C? A P ?

则 ? ? _________
9

A. 1

B.

1 2

C.

2 3 3

D. 2

函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 的图象,关于直线 x ? ?

b 对称,据此可推测,对 2a
2

任意的非零实数 a 、 b 、 c 、 m 、 n 、 p 关于 x 的方程 m ? ? f ? x ?? ? ? nf ? x ? ? p 的解 集都不可能是() A. ?1, 2? B. ?1, 4? C. ?1,2,3,4? D. ?1,4,16,64?

10


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