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2010朝阳一模文科数学


许嘉志数学测试卷-4.27 (1)复数

(1 + i) 2 等于 i2
(B)-2 (C) - 2i (D) 2i

(A)2

(2)命题 p : ?x ? 0 ,都有 sin x ≥ - 1 ,则 (A) ?p : ?x ? 0 ,使得 sin x ? ?1 (C) ?p : ?x ? 0 ,使得 sin x ? ?1 (3)满足 ( ) (B) ?p : ?x ? 0 ,都有 sin x < - 1 (D) ?p : ?x ? 0 ,都有 sin x ≥ - 1

1 2

2 x- 7

> log 2 4 成立的 x 的取值范围是
B) {x | x < 3} (D) {x | x < - 1}

(A) {x | x > - 1} (C) {x | x > 3}

(4)下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ?

? 3 ? (C) y ? sin(2 x ? ) 6

(A) y ? sin(2 x ? )

? 6 x ? (D) y ? sin( ? ) 2 3

? 对称的是 3

(B) y ? sin(2 x ? )

(5)一只小蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞行,若蜜蜂在飞行过程中与正方体 玻璃容器 6 个表面中至少有一个的距离不大于 10,则就有可能撞到玻璃上而不安全;若始 终保持与正方体玻璃容器 6 个表面的距离均大于 10,则飞行是安全的,假设蜜蜂在正方体玻璃容器内 飞行到每一位置可能性相同,那么蜜蜂飞行是安全的概率是

(A)

1 8

(B)

1 16

(C)

1 27

(D)

3 8

(6)右图是某年青年歌手大奖赛中,七位评委为甲乙两名选手打出的分数的茎叶图 (其中 m 为数字 0~9 中的一个) ,去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得 分的平均数分别为 a1,a2,则一定有 (A)a1>a2 (C)a1=a2 (B)a1<a2 (D)a1,a2 的大小与 m 的值有关 甲 乙

07 9 5 4 5 5184 4 6 4 7 m9 3
第 6 题图

(7)设 min{ p, q } 表示 p , q 两者中的较小者,若函数 f ( x) = min{3 - x, log 2 x } , 则满足 f ( x) <

1 的 x 的集合为 2 5 (A) (0, 2) U ( , + ) 2 5 (C) (0, 2) U ( , + ) 2

(B) (0, + ? ) (D) ( 2, +

)

(8)如图,设平面 a I b = EF , AB ^ a , CD ^ a ,垂足分别为 B , D ,且 AB ? CD . 如果增加一个条件就能推出 BD ^ EF ,给出四个条件:① AC ^ b ;② AC ^ EF ; ③ AC 与 BD 在 b 内的正投影在同一条直线上 ;④ AC 与 BD 在平面 b 内的正投影所在的直线 交于一点. 那么这个条件不可能 是 ... (A)①② (C)③ (B)②③ (D)④ A

b
C F D E B

a

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9)函数 y = sin x cos x 的最大值是
2

. .

(10)在抛物线 y = 2 px 上,横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5,则 p 的值为 (11)左下程序框图的程序执行后输出的结果是
开始

.

n= 1 S= 0 n = n+ 1 S= S+ n n ≤ 10 ?
否 输出 S 是

正视图

侧视图

俯视图 12 题图

结束

11 题图

(12)如右上图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个 直径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为 .

(13)圆 x 2 ? y 2 ? 4 被直线 3 x ? y ? 2 3 ? 0 截得的劣弧所对的圆心角的大小为

.

(14)一个数字生成器,生成规则如下:第 1 次生成一个数 x ,以后每次生成的结果可将上一次 生成的每一个数 x 生成两个数,一个是 ? x ,另一个是 x ? 3 .设第 n 次生成的数的个数为 中 an ,则数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? _________________;若 x ? 1 ,前 n 次生成的所有数 ...

同的数的个数为 Tn ,则 T4 ? ______________________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分 13 分)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , 且C ?

5 3 . ? , sin A ? 5 4

(Ⅰ)求 cos A , sin B 的值; (Ⅱ)若 ab ? 2 2 ,求 a , b 的值.

(16) (本小题满分 13 分) 袋子中装有编号为 a,b 的 2 个黑球和编号为 c,d,e 的 3 个红球,从中任意摸出 2 个球. (Ⅰ)写出所有不同的结果; (Ⅱ)求恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球的概率; (Ⅲ) 求至少摸出 1 个黑球的概率.

(17) (本小题满分 13 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,每个侧面均为正方形, D 为底边 AB 的中点,

E 为侧棱 CC1 的中点, AB1 与 A1 B 的交点为 O .
(Ⅰ)求证: CD ∥平面 A1 EB ; (Ⅱ)求证: AB1 ? 平面 A1 EB .

A1 B1 O A D B

C1

E

C

(18) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? mx ? 3x ? 3x , m ? R .
3 2

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值,试求 m 的值,并求 f ( x) 在点 M (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)设 m ? 0 ,若函数 f ( x) 在 (2, ? ?) 上存在单调递增区间,求 m 的取值范围.

(19) (本小题满分 13 分) 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为

1 3 ,且经过点 M (1, ) , 2 2

过点 P (2, 1) 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A, B . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存直线 l ,满足 PA ? PB ? PM ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理 由.
2

(20) (本小题满分 14 分) 若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.
* n?1 n? 2 已知数列 {an } 是调和数列,对于各项都是正数的数列 {xn } ,满足 xn n ? xn ? 1 ? xn ? 2 (n ? N ) .
a a a

(Ⅰ)求证:数列 {xn } 是等比数列; (Ⅱ)把数列 {xn } 中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表, 当 x3 ? 8, x7 ? 128 时,求第 m 行各数的和; (Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列 {xn } ,若数列 {bn } 满足

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10

4b1 ?1 ? 4b2 ?1 ? 4b3 ?1 ?

? 4bn ?1 ? xnbn (n ? N* ) ,求证:数列 {bn } 为等差数列.

(考生务必将第Ⅱ卷所有题目的答案写在答题卡上,在试卷上作答无效) 朝阳区 2009~2010 学年度高三年级第二学期统一考试(一) 数学测试(文史类)答案 2010.4 一、选择题 (1) C 二、填空题 题号 答案 (9) (10) 2 (11) 55 (12) (13) (14) (2) A ( 3) B (4) B (5) C (6) B (7) A (8) D

1 2

3 π 2

? 3

2n ? 1

10

三、解答题 (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 C ?

5 3 , ? , sin A ? 5 4
2

所以 cos A ? 1 ? sin A ? 由已知得 B ?

2 5 . 5

?
4

? A.

则 sin B ? sin(

?
4

? A) ? sin

?
4

cos A ? cos

?
4

sin A
??????????????7 分

?

2 2 5 2 5 10 . ? ? ? ? 2 5 2 5 10

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin B ?

10 b a ,根据正弦定理 ,得 a ? 2b . ? 10 sin B sin A
?????????????13 分 ?????????3 分

又因为 a ? b ? 2 2 ,所以 a ? 2 , b ? 2 .

(16) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)ab,ac,ad,ae, bc,bd,be,cd,ce,de.

(Ⅱ) 记“恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球”为事件 A, 则事件 A 包含的基本事件为 ac,ad,ae, bc,bd,be,共 6 个基本事件. 所以 P( A) ?

6 ? 0.6 . 10

答:恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球的概率为 0.6. ????????????8 分 (Ⅲ)记“至少摸出 1 个黑球”为事件 B,则事件 B 包含的基本事件为 ab,ac,ad,ae, bc,bd,

be,共 7 个基本事件, 所以 P( B) ?

7 ? 0.7 . 10
??????????????13 分

答:至少摸出 1 个黑球的概率为 0.7 . (17) (本小题满分 13 分)

证明: (Ⅰ)设 AB1和A1B 的交点为 O,连接 EO ,连接 OD . 因为 O 为 AB1 的中点, D 为 AB 的中点,所以 OD ∥ BB1 且 OD ? 又 E 是 CC1 中点,

1 BB1 . 2

1 BB1 ,即 EC ∥ OD 且 EC ? OD , 2 则四边形 ECOD 为平行四边形.所以 EO ∥ CD .
则 EC ∥ BB1 且 EC ? 又 CD ? 平面 A1 BE , EO ? 平面 A1 BE ,则 CD ∥平面 A1 BE . (Ⅱ) 因为三棱柱各侧面都是正方形,所以 BB1 ? AB , BB1 ? BC , 所以 BB1 ? 平面 ABC . A1 因为 CD ? 平面 ABC ,所以 BB1 ? CD . 由已知得 AB ? BC ? AC ,所以 CD ? AB . 所以 CD ? 平面 A1 ABB1 . 由(Ⅰ)可知 EO ∥ CD ,所以 EO ? 平面 A1 ABB1 . 所以 EO ? AB1 . 因为侧面是正方形,所以 AB1 ? A1 B . 又 EO A O C B B1 C1 ?????7 分

E

D

A1B ? O , EO ? 平面 A1EB , A1 B ? 平面 A1EB ,
????????????????????13 分

所以 AB1 ? 平面 A1 BE . (18) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) = 3mx ? 6 x ? 3 .
2

因为函数 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值,所以 f ?(?1) ? 0 ,解得 m ? 3 . 于是函数 f ( x) ? 3x ? 3x ? 3x , f (1) ? 3 , f ?( x) ? 9 x ? 6 x ? 3 .
3 2 2

函数 f ( x) 在点 M (1,3) 处的切线的斜率 k ? f ?(1) ? 12 ,

则 f ( x) 在点 M 处的切线方程为 12 x ? y ? 9 ? 0 .

??????????6 分

(Ⅱ)当 m ? 0 时, f ?( x) ? 3mx 2 ? 6 x ? 3 是开口向下的抛物线,要使 f ?( x) 在 (2, ? ?) 上存在

? m ? 0, ? m ? 0, ? 1 ? ?? ≥ 2, ? 1 ? 子区间使 f ( x) ? 0 ,应满足 ? m 或 ?? ? 2, ? ? m 1 ? f ?(? ) ? 0, ? ? f ?(2) ? 0. m ?
解得 ?

1 3 1 ? 3 ? ≤ m ? 0 ,或 ? ? m ? ? ,所以 m 的取值范围是 ? ? , 0 ? .??14 分 2 4 2 ? 4 ?

(19) (本小题满分 13 分)

9 ?1 ? a 2 ? 4b 2 ? 1, ? x2 y 2 解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,由题意得 ? c 1 ? , a b ?a 2 ? 2 2 2 ?a ?b ?c .
解得 a ? 4 , b ? 3 ,故椭圆 C 的方程为
2 2

x2 y 2 ? ? 1 . ????????5 分 4 3

(Ⅱ)若存在直线 l 满足条件,由题意可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ? 1 ,

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 2 由? 4 得 (3 ? 4k ) x ? 8k (2k ? 1) x ? 16k ? 16k ? 8 ? 0 . 3 ? y ? k ( x ? 2) ? 1, ?
因为直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A, B ,设 A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) , 所以 ? ? [?8k (2k ? 1)] ? 4 ? (3 ? 4k ) ? (16k ? 16k ? 8) ? 0 .
2 2 2

整理得 32(6k ? 3) ? 0 . 解得 k ? ?

1 . 2

8k (2k ? 1) 16k 2 ? 16k ? 8 又 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
且 PA ? PB ? PM ,即 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1) ?
2

5 , 4

所以 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)(1 ? k 2 ) ?| PM |2 ? 所以 [

5 5 . 即 [ x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4](1 ? k 2 ) ? . 4 4

1 16k 2 ? 16k ? 8 8k (2k ? 1) 4 ? 4k 2 5 2 ? 2 ? 4](1 ? k ) ? ? ,解得 k ? ? . 2 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 4

所以 k ?

1 1 .于是存在直线 l 满足条件,其的方程为 y ? x . 2 2
a a a

??????13 分

(20) (本小题满分 14 分)
n?1 n? 2 解: (Ⅰ)证明:因为 xn n ? xn ? 1 ? xn ? 2 ,且数列 { xn } 中各项都是正数,

所以 an lg xn ? an?1 lg xn?1 ? an? 2 lg xn? 2 . 设 an lg xn ? an?1 lg xn?1 ? an?2 lg xn?2 ? p , 因为数列 {an } 是调和数列,故 an ? 0 , ①

2 1 1 . ? ? an ?1 an an ? 2


所以

2p p p . ? ? an ?1 an an ? 2

由①得

p p p ? lg xn , ? lg xn ?1 , ? lg xn ? 2 , an an ?1 an ? 2
2

代入②式得 2lg xn?1 ? lg xn ? lg xn? 2 ,即 lg xn ?1 ? lg( xn xn ? 2 ) . 故 xn ?1 ? xn xn ? 2 . 所以数列 {xn } 是等比数列.
2 4

????????????5 分

4 (Ⅱ)设 {xn } 的公比为 q ,则 x3 q ? x7 ,即 8q ? 128 .由于 xn ? 0 ,故 q ? 2 .

于是 xn ? x3q

n ?3

? 8 ? 2 n ?3 ? 2 n .

注意到第 n (n ? 1, 2,3,

) 行共有 n 个数,

所以三角形数表中第 1 行至第 m ? 1 行共含有 1 ? 2 ? 3 ?

? (m ? 1) ?

m(m ? 1) 个数. 2

因此第 m 行第 1 个数是数列 {xn } 中的第
m2 ? m ? 2 2

m(m ? 1) m2 ? m ? 2 项. ?1 ? 2 2

故第 m 行第 1 个数是 x m2 ? m ? 2 ? 2
2



所以第 m 行各数的和为 Sm ?

2

m2 ? m ? 2 2

m (2m ? 1) ?2 2 ?1

2

?m? 2 2

(2m ? 1) . ????10 分

(Ⅲ)由 4 1 ? 4 2 ? 4 3 ? 即 22[
(b1 ? b2 ? b3 ? ?bn ) ?n ]

b ?1

b ?1

b ?1

? 4bn ?1 ? xnbn ,得 4(b1 ?b2 ?b3 ?

? bn ) ? n

? (2n )bn ,
① ②

? 2nbn ,所以 2[(b1 ? b2 ?

? bn ) ? n] ? nbn ,

2[(b1 ? b2 ?

? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1

②—① 得 2bn?1 ? 2 ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , 即 (n ? 1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0 , ③ ④

nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0 ,

④-③ 得 nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0 ,即 bn? 2 ? bn ? 2bn ?1 . 所以 {bn } 为等差数列. ??????????????????14 分

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