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含有绝对值的不等式问题之探究


含有绝对值的不等式问题之探究
祁东县第二中学 谭雪峰

不等式在高中数学中不是孤立存在的,在函数、数列、解析几何、平面向量??, 几乎所有的章节都有不等式的知识, 可以说不等式贯穿了整个高中数学, 由此可见不等 式的重要性.而含有绝对值符号的不等式的问题又是不等式问题的一个难点. 解含有绝对值符号的不等式的问题的基础,解题的基本思想就是去掉绝对值符号

, 使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式, 而后, 其解法就与一般不等式相同. 因此, 掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解含绝对值不等式的关键. 去掉绝对值符号的方法 有很多,其中常用的方法有: (1)等价转化法去掉绝对值符号; (2)平方法去掉绝对值 符号; (3)零点分段法去掉绝对值符号; (4)利用绝对值的几何意义去掉绝对值符号; (5)构造函数法.这些方法主要依据是绝对值定义和由定义推出的下述同解关系:设
a ? 0 ,则

⑴. x < a ? x 2 ? a 2 ? ?a ? x ? a ; ⑵. x > a ? x 2 ? a 2 ? x ? ?a 或 x ? a . 本文从不同类型的含绝对值符号的不等式问题讨论了它们的解法, 以及含绝对值不 等式的综合应用,为大家在解题的过程中快速准确地选择适当的方法提供帮助.

类型一:含一个绝对值符号的不等式的解法
含一个绝对值符号的不等式的一般形式为 f ? x ? ? g ? x ? 或 f ? x ? ? g ? x ? ,解这种 不等式我们最常用的方法是等价转化法,有时也可用分类讨论法. 绝对值不等式的两类同解变形: 不等式 f ( x) ? g ( x) 同解变形

f ( x) ? g ( x)或f ( x) ? ? g ( x)

f ( x) ? g ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x)

例 1.解不等式 | x2 ? 5x ? 5|? 1 . [分析]利用|f(x)|<a(a>0) ? -a<f(x)<a 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一 元二次不等式组. 解:原不等式等价于 ?1 ? x2 ? 5 x ? 5 ? 1 ,
? x2 ? 5x ? 5 ? 1 ? 即? 2 ? x ? 5 x ? 5 ? ?1 ? (1) (2)

由 (1) 1 ? x ? 4 ; (2) 得: 由 得:x ? 2 或 x ? 3 , 所以, 原不等式的解集为 {x |1 ? x ? 2 或 3 ? x ? 4} . [注]本题也可用数形结合法来求解.在同一坐标系中画出函数

1

y ? x 2 ? 5 x ? 5 与y ? 1 的图象,解方程 x 2 ? 5 x ? 5 ? 1 ,再对照图形写出此不等式的解集.

例 2. 解不等式 4x ? 3 ? 2 x ?1 . [分析] 利用|f(x)|<g(x) ? -g(x)<f(x)<g(x)和|f(x)|>g(x) ? f(x)>g(x) 或 f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理或 用分类讨论法解之. 方法一:原不等式转化为 4 x ? 3 ? 2 x ? 1 或 4 x ? 3 ? ?(2 x ? 1) ,解之得原不等式的解 1? ? 集为 ? x x ? 2或x ? ? . 3? ? 3 ? ?4 x ? 3 ? 0 ?4 x ? 3 ? 0 ?x ? 方法二:原不等式等价于 ? 或? .解之得 ? 4 ?4 x ? 3 ? 2 x ? 1 ??(4 x ? 3) ? 2 x ? 1 ?x ? 2 ?
3 ? ?x ? 4 1 1? ? ? 或? ,即 x ? 2 或 x ? .所以原不等式的解集为 ? x x ? 2或x ? ? . 3 3? ? ?x ? 1 ? 3 ? [注]⑴.通过例 2 可以发现:形如 f ( x) ? g ( x) , f ( x) ? g ( x) 型不等式,这类不

等式如果用分类讨论的方法求解,显得比较繁琐,用同解变形法则更为简洁. ⑵.分类讨论法也可讨论 g ( x) ? 0或g ( x) ? 0 而解之,这实际上是同解变形法的推 导依据.

类型二:含两个绝对值符号的不等式的解法
含 两个绝 对值符号 的不 等式 , 我们常见 的形 式为: a1x ? b1 ? a2 x ? b2 ? c 或

a1x ? b1 ? a2 x ? b2 ? c ? c ? 0? ,我们解这种不等式常用的方法有零点分段法和构造函数
的方法,有时候也可利用绝对值的几何意义和平方法. 例 3.解不等式 | x ? 1| ?|2 x ? 3| [分析]两边都含绝对值符号,所以都是非负,故可两边平方,通过移项,使其转 化为: “两式和”与“两式差”的积的方法进行,即: | f ( x) |<| g ( x) | ? f 2 ( x) ? g 2 ( x) ? [ f ( x) ? g ( x)][ f ( x) ? g ( x)] <0 解:原不等式 ?| x ? 1 |2 ?| 2x ? 3 |2 ? ( x ? 1) 2 ? (2x ? 3) 2 ? (2x ? 3) 2 ? ( x ? 1) 2 ? 0
4 4 解得 x ? ?2 或x ? ? ,故原不等式的解集为 {x| x ? ?2 或x ? ? } 3 3

例 4.解不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 7 . [分析]解法一 利用绝对值的几何意义(体现了数形结合的思想) . 不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 7 的几何意义是表示数轴上与 A ? ?1? 、 B ? 2 ? 两点距离之和大 于等于 7 的点,而 A 、 B 的距离之和为 3,因此线段 AB 上每一点到 A 、 B 的距离
2

之和都等于 3,A 左侧的点到 A 、B 的距离之和等于这点到 A 点距离的 2 倍加 3,B 右侧的点到 A 、 B 的距离之和等于这点到 B 点距离的 2 倍加 3.

x
-3

A

B

4

图1 由图 1 可知:原不等式的解集为 ? x x ? ?3 或 x ? 4? . 解法二 利用 x ? 1 ? 0, ? 2 ? 0 的零点,把数轴分为三段,然后分段考虑.把原不 x 等式化为不含绝对值符号的不等式求解(零点分段讨论法) .

? x ? ?1, (1)当 x ? ?1 时,原不等式同解于 ? ? x ? ?3 ; ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 7, ??1 ? x ? 2, (2)当 ?1 ? x ? 2 时,原不等式同解于 ? ? 无解; ? x ? 1 ? x ? 2 ? 7, ? x ? 2, (3)当 x ? 2 时,原不等式同解于 ? ? x?4. x ? 1 ? x ? 2 ? 7, ?
综上知,原不等式的解集为 ? x x ? ?3或x ? 4? . 解法三 通过构造函数,利用函数图像(体现了函数与方程的思想) . 原不等式可化为 x ?1 ? x ? 2 ? 7 ? 0 .令 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ? 7 ,则
??( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 7 ? f ( x) ? ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 7 ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 7 ? ( x ? ?1) (?1 ? x ? 2) ( x ? 2)

??2 x ? 6 ( x ? ?1), ? (?1 ? x ? 2), ? f ( x) ? ??4 ?2 x ? 8 ( x ? 2), ?

可解得原不等式的解集为 ? x x ? ?3 或 x ? 4? . 例 5 解关于 x 的不等式 |log a ax 2 | ?|log a x|?2 [分析] 原不等式可化为 |1 ? 2 log a x| ?|log a x|?2 , 一般会分类讨论去绝对值号解题,
1 1 即:通常分 loga x ? ? , ? ? loga x ? 0 , log a x ? 0 三种情况去绝对值符号,再分 2 2

a ? 1或0 ? a ? 1 进行讨论,这样做过程冗长,极易出错根据此题特点,不妨改变一下操
作程序,即原不等式两边平方,再由定义去绝对值号,则分析将十分清晰,过程也简洁

3

得多. 解:原不等式可化为 |1 ? 2 log a x| ?|log a x|?2 ,将两边平方可得:

4(log a x) 2 ? 4 log a x ? 1 ? (log a x) 2 ? 4|log a x|?4 ,则有:

?log a x ? 0, (1) ? ? 0 ? log a x ? 1 ; 2 ?(log a x) ? 1
?log a x ? 0, ? ?3 ? log a x ? 0 . (2) ? 2 ?3 log a x ? 8 log a x ? 3 ? 0

综 上 知 ?3 ? l oga x ? 1 , 故 当 a ? 1 时 , 解 为 a ?3 ? x ? a ; 当 0 ? a ? 1 时 , 解 为
a ? x ? a ?3

[注]形如 ax ? b1 ? ax ? b2 ? c

?c ? 0? 和 ax ? b1 ? ax ? b2

?c

?c ? 0? 的含两个绝对

值符号的不等式用平方法并不是很麻烦, 可以通过两次平方去掉绝对值化为一般的不等 式,所以我们在解题的过程中要选择一个合适的方法进行求解. 例 6 解不等式 x 2 ? 3 x ? 3 ? 1 [分析]解含有双层绝对值符号的不等式的基本思想就是一层一层的去掉绝对值, 使不等式化为不含绝对值的一般不等式. 常用的方法有等价转化法、 零点分段法和平方 法, 当然利用绝对值不等式的性质求解不等式是一种比较简单的方法, 但这种方法比较 抽象,一般不容易想到.但本题不可以采用零点分段法,也不能采用平方法,因为平方 后既含有 x 的项,又含有 x 的项,所以我们先把不等式进行等价转化,然后把它看成有 关 x 的一元二次不等式组进行求解.
? x 2 ? 3 x ? 2 ? 0, ? 解: x ? 3 x ? 3 ? 1 ? ?1 ? x ? 3 x ? 3 ? 1 ? ? 2 ? x ? 3 x ? 4 ? 0, ?
2

2

? x 2 ? 3 x ? 2 ? 0, ? ? ? 2 ? ? x ? 3 x ? 4 ? 0, ?

? 3 ? 17 , ?x ? ? 2 ? ? x ? 4, ?

? 3 ? 17 3 ? 17 或x? , ?x ? ? ? 2 2 ??4 ? x ? 4, ?

? ? 3 ? 17 ? 3 ? 17 ? ? ,? . 4 ∴原不等式的解集为 ? ?4, ? ? ? 2 ? ? ? 2 ?

类型三:含参数的绝对值不等式的解法
解含参数的绝对值不等式的思想就是首先要对参数的情况进行分情况讨论, 然后分 别在各种情况下对不等式进行求解, 最后把各种结果综合在一起就可以得到原不等式的

4

解.另外,有一些题也可通过转化,不进行讨论就可以轻松的解答出来. 例 7 解关于 x 的不等式

x 2 ? 4mx ? 4m2 ? m ? 3

[分析]本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解,运算理较大. 若化简成 | x ? 2m |? m ? 3 ,则解题过程更简单.在解题过程中需根据绝对值定义对 m ? 3 的正负进行讨论. 解:原不等式等价于 | x ? 2m |? m ? 3 当 m ? 3 ? 0 即 m ? ?3 时, x ? 2m ? m ? 3或x ? 2m ? ?(m ? 3) ∴ x ? 3m ? 3或x ? m ? 3 当 m ? 3 ? 0 即 m ? ?3 时, 当 m ? 3 ? 0 即 m ? ?3 时,
| x ? 6 |? 0

∴x??6

x?R
f ( x) ? a
f ( x) ? a或f ( x) ? ?a f ( x) ? R R

[注]形如| f ( x) |< a ,| f ( x) |> a ( a ? R )型不等式,简捷解法是等价命题法,即:

f ( x) ? a
a?0
a?0 a?0

f ( x) ? a或f ( x) ? ?a f ( x) ? 0 R

f ( x) ? a ?a ? f ( x) ? a
? ?

f ( x) ? a ?a ? f ( x) ? a f ( x) ? 0
?

例 8 (2004 年海南卷)解关于 x 的不等式

x x ?1? a ? ?1? a x ?1 x ?1

[分析]利用 f ( x) ? f ( x) ,无解或 f ( x) ? f ( x) ? f ( x) ? 0 ,即利用绝对值的定 义法求解. 解:
1 1 x x x ?a?0? ? ?a ?1? a ? ?1? a ? ?1? a ? 0 ? x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 1 ? 0 ? x ?1 x ?1

(1) 当 a ? 0 时,原不等式等价于:

(2) 当 a ? 0 时,原不等式等价于: ?

1 1 ? x ?1 ? 0 ? 1? ? x ? 1 a a
1 1 ? x ? 1或 x ? 1 ? a a

(3) 当 a ? 0 时,原不等式等价于: x ? 1 ? 0 或 x ? 1 ? ? 综上所述:

(1) 当 a ? 0 时,原不等式的解集为: ?x x ? 1?
1 ? ? (2) 当 a ? 0 时,原不等式的解集为: ? x 1 ? ? x ? 1? a ? ?

5

1? ? (3) 当 a ? 0 时,原不等式的解集为: ? x x ? 1或x ? 1 ? ? a? ?

类型四:含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题
例 9 (2010 高考安徽卷)不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? a 2 ? 3a 对任意的实数恒成立,则实数 a 的取值范围是( C. ?1,2?
2

) B. ?? ?,?2? ? ?5,??? D. ?? ?,?1? ? ?2,???

A. ?? ?,?1? ? ?4,???

[分析]要使 x ? 3 ? x ? 1 ? a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,只要| x +3|-| x -1|的 最大值小于或等于 a2 ? 3a . 方法一:形如使 x ? m ? x ? n ? c, x ? m ? x ? n ? c 恒成立型不等式.可利用绝对值 三角不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b ,结合极端性原理即可解得,即:
c ? x?m ? x?n ? c ?? x?m ? x?n ? ? ? x ? m? ? ? x ? n? ? n ? m ;

max

解:设函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ? 1 ? ?x ? 3? ? ?x ? 1? ? 4 ,所以 f ( x) max ? 4 而不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? a 2 ? 3a 对任意的实数 x 恒成立. 故 a 2 ? 3a ? 4 ? a ? ?1或a ? 4 ,故选择 A

c ? x ? m ? x ? n ? c ? ? x ? m ? x ? n ?min ? ?x ? m? ? ?x ? n? ? n ? m ;

方法二:因| x +3|的几何意义为数轴上点 x 到-3 的距离,| x -1|的几何意义为数 轴上点 x 到 1 的距离,| x +3|-| x -1|的几何意义为数轴上点 x 到-3 与 1 的距离 的差,其最大值可求. 解:根据绝对值的几何意义,设数 x ,-3,1 在数轴上对应的点分别为 P、A、B, 则原不等式即求|PA|-|PB| ? a2 ? 3a 成立 ∵|AB|=4,即| x +3|-| x -1| ? 4 故当 a2 ? 3a ? 4 时,即 a 2 ? 3a ? 4 ? a ? ?1或a ? 4 原不等式恒成立 [注] ⑴. 此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数, 通过画出 图象,观察 k 的取值范围,但过程较繁. ⑵. 转化思想在解中有很重要的作用,比如:恒成立问题、定义域为 R、有解或解 集为空等问题都可转化为求最大、最小值问题. [变式] (2012 陕西文理) 若存在实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 成立,则实数 a 的取值 范围是___________. [解析]: a ?1 ?| x ? a | ? | x ?1|? 3 ,解得: ?2 ? a ? 4 例 10(2012 课标文理)已知函数 f ( x) = | x ? a | ? | x ? 2 | .
6

(Ⅰ)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ≥3 的解集; (Ⅱ) 若 f ( x) ≤ | x ? 4 | 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围. [分析]本题(Ⅱ)有些同学可能会去解 f ( x) ≤ | x ? 4 | 这个不等式,再分析该不等 式的解集与 [1, 2] 的集合关系,结果将问题复杂化.这个问题实际上可转化为不等式
f ( x) ≤ | x ? 4 | 在 [1, 2] 恒成立的问题而解之.

解:(1)当 a ? ?3 时, f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3

x?2 x?3 ? ? 2? x?3 ? 或? ? 或? ? ?? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ?x ? 3 ? x ? 2 ? 3
? x ? 1或 x ? 4

(2)原命题 ? f ( x) ? x ? 4 在 [1, 2] 上恒成立 ? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 [1, 2] 上恒成立
? ?2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2] 上恒成立 ? ?3 ? a ? 0

例 11(2010 全国卷)设函数 f (x) = 2 x ? 4 + 1. (Ⅰ)画出函数 y= f (x) 的图像: (Ⅱ)若不等式 f (x) ≤ax 的解集非空,求 a 的取值范围

??2 x ? 5, x ? 2 解: (Ⅰ)由于 f ( x) ? ? 则函 ?2 x ? 3, x ? 2
数 y ? f ( x) 的图像如图所示. (Ⅱ) 由函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ax 的图 像可知,当且仅当 a ?
1 或 a ? ?2 时,函 2

数 y ? f ( x) 与函数 y ? ax 的图像有交点.

a 故不等式 f (x) ≤a 的解集非空时, 的取
?1 ? 值范围为 ? ??, ?2 ? ? ? , ? ? ?2 ?
[注]㈠.此题巧用构造函数法利用数形结合法解第二问,比参变分离法转化为最值 问题求解更为简洁,避免了分类讨论的麻烦. ㈡.含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题的等价转换(函数法) : 补. f ? x ? ? a 恒成立 ? a ? f ? x ?max . ⑴ . f ? x ? ? a 有解 ? a ? f ? x?mi n ; f ? x ? ? a 解集为空集 ? a ? f ? x?mi n ;这两者 互

7

补. f ? x ? ? a 恒成立 ? a ? f ? x ?max . 补. f ? x ? ? a 恒成立 ? a ? f ? x ?min . 补. f ? x ? ? a 恒成立 ? a ? f ? x ?min .

⑵ . f ? x ? ? a 有解 ? a ? f ? x?mi n ; f ? x ? ? a 解集为空集 ? a ? f ? x?mi n ;这两者 互 ⑶. f ? x ? ? a 有解 ? a ? f ? x?ma x ; f ? x ? ? a 解集为空集 ? a ? f ? x ?max ;这两者互 ⑷. f ? x ? ? a 有解 ? a ? f ? x?ma x ; f ? x ? ? a 解集为空集 ? a ? f ? x ?max ;这两者互

类型五 绝对值三角不等式问题
例 12 已知 f ( x) ? x 2 ? x ? 13 , x ? a ? 1 ,求证: f ( x) ? f (a) ? 2( a ? 1) [分析]本题中给定函数 f (x) 和条件 x ? a ? 1 ,注意到要证的式子右边不含 x ,因 此对条件 x ? a ? 1 的使用可有几种选择:(1)直接用;(2)打开绝对值用 a ? 1 ? x ? a ? 1 ,替 出 x ;(3)用绝对值的性质 x ? a ? x ? a ? 1 ? x ? a ? 1进行替换. 证明:∵ f ( x) ? x 2 ? x ? 13 ,∴ f (a) ? a 2 ? a ? 13 , ∵ x ? a ? 1 ,∴ x ? a ? x ? a ? 1 .∴ x ? a ? 1, ∴ f ( x) ? f (a) ? x 2 ? a 2 ? a ? x ? ( x ? a)( x ? a) ? ( x ? a) ? ( x ? a)( x ? a ? 1) ? x ? a ? x ? a ? 1
? x ? a ? 1 ? x ? a ? 1 ? a ? 1 ? a ? 1 ? 2( a ? 1) ,

即 f ( x) ? f (a) ? 2( a ? 1) . [注]这是绝对值和函数的综合题,这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性 质等综合知识的运用.分析中对条件 x ? a ? 1 使用时出现的三种可能是经常碰到的,要 结合求证,灵活选用. 例 13 已知函数 f(x)= 1 ? x 2 ,a,b ? R,且 a ? b ,求证|f(a)-f(b)|<|a-b|. [分析]要证 | 1 ? a 2 ? 1 ? b 2 |?| a ? b | ,考察左边,是否能产生|a-b|. 证明:|f(a)-f(b)|= | 1 ? a 2 ? 1 ? b 2 |?
? |a|?|b| ? | a ? b |?| a ? b | |a|?|b|

| a2 ? b2 | 1 ? a2 ? 1 ? b2

?

| a ? b |?| a ? b | |a|?|b|

(其中 1 ? a 2 ? a 2 ?| a | ,同理 1 ? b 2 ?| b |,∴

1 1 ? a2 ? 1 ? b2

?

1 ) |a|?|b|

[注]⑴.证题时,应注意式子两边代数式的联系,找出它们的共同点是证题成功 的第一步.此外, 综合运用不等式的性质是证题成功的关键.如在本例中, 用到了不等式

8

的传递性,倒数性质,以及“三角形不等式”等等. ⑵.本题的背景知识与解析几何有关.函数 y ? 1 ? x 2 是双曲线, y 2 ? x 2 ? 1 的上 支,而 |
y1 ? y 2 f (a) ? f (b) |(即 | ,则表示该图象上任意两点连线的斜率的绝对值,很 |) x1 ? x 2 a ?b

显然这一斜率的范围是在(-1,1)之间.

类型六 含有绝对值的不等式的应用
含绝对值的不等式常用来解决一些有关集合、函数、数列、平面向量、解析几何的 问题, 也用来解决一些实际问题, 通常解决这些问题就是根据题意列出含有绝对值符号 的不等式, 然后解出这个不等式就可以得到问题的答案, 解这些不等式的常用的方法就 是我们上面所总结的方法. 例 14
q:
2

( 2004 届 湖 北 省 黄 冈 中 学 综 合 测 试 题 ) 已 知 条 件 p :| 5 x ? 1 |? a 和 条 件

1 ? 0 ,请选取适当的实数 a 的值,分别利用所给的两个条件作为 A、B 构造 2 x ? 3x ? 1

命题: “若 A 则 B” ,并使得构造的原命题为真命题,而其逆命题为假命题.则这样的一 个原命题可以是什么?并说明为什么这一命题是符合要求的命题. [分析]本题为一开放性命题,由于能得到的答案不唯一,使得本题的求解没有固 定的模式,考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的 a ,也能先猜后证,所找到 的实数 a 只需满足
1? a 1 1? a ? ,且 ? 1 即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性,同 5 2 5

时也是对于四个命题考查的一种新尝试, 如此命题可以考查学生探究问题、 解决问题的 能力,符合当今倡导研究性学习的教学方向. 解:已知条件 p 即 5 x ? 1 ? ? a ,或 5 x ? 1 ? a ,∴ x ? 已知条件 q 即 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 ,∴ x ? ,或 x ? 1 ; 令 a ? 4 ,则 p 即 x ? ? ,或 x ? 1 ,此时必有 p ? q 成立,反之不然. 故可以选取的一个实数是 a ? 4 ,A 为 p ,B 为 q ,对应的命题是若 p 则 q , 由以上过程可知这一命题的原命题为真命题,但它的逆命题为假命题. 例 15 已知数列通项公式 an ?
sin a sin 2a sin 3a sin na ? ? ??? 对于正整数 m 、n , m ? n 当 2 3 2 2 2 2n

1? a 1? a ,或 x ? , 5 5

1 2

3 5

9

时,求证: am ? an ?

1 . 2n

[分析]已知数列的通项公式是数列的前 n 项和,它的任意两项差还是某个数列的 和,再利用不等式 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? an ,问题便可解决. 证明:∵ m ? n ∴ am ? an ?
sin(n ? 1)a sin(n ? 2)a sin ma ? ??? n ?1 n?2 2 2 2m

1 1 (1 ? m ? n ) n ?1 1 1 1 sin(n ? 1)a sin(n ? 2)a sin ma 2 ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? m ? 2 ? ? ??? 1 2 2 2 2 n ?1 2n?2 2m 1? 2
? 1 1 1 1 (1 ? m ? n ) ? n (0 ? 1 ? m ? n ? 1) . 2n 2 2 2 1 2
n ?1

[注]⑴.以

为首项,以 为公比,共有 m ? n 项的等比数列的和,误认为共有

1 2

m ? n ? 1 项是常见错误.

⑵.弦函数的值域,即 sin ? ? 1 , cos ? ? 1 ,是解本题的关键. ⑶.把不等式、三角函数、数列、 n 个变量的绝对值不等式问题连在一起,是一个 较为典型的综合题目.如果将本题中的正弦改为余弦,不等式同样成立.

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含有绝对值的不等式习题
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