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圆锥曲线公式大全


1、椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的性质 椭圆的图象和性质 椭圆定义 焦点位置 若 M 为椭圆上任意一点,则有|MF1|+|MF2|=2a x轴
y y

y轴

图形

o

x

o

x

标准方程 焦点坐标 焦距 顶点坐标

x2 y2 ? ?1 a2 b2

y2 x2 ? ?1 a2 b2

F1(?c, 0 ), F2( c, 0 ) (?a, 0 ), ( 0, ?b )

F1(0, ?c, ), F2( 0, c ) (0, ?a ), ( ?b, 0 )

|F1F2| = 2c

a, b, c 的关系
式 长、短轴 对称轴 离心率 范围
e?

a2 = b2 + c2
长轴长=2a, 短轴长=2b,长半轴长=a, 短半轴长=b 无论椭圆是 x 型还是 y 型,椭圆的焦点总是落在长轴上 关于 x 轴、y 轴和原点对称
c ( 0 < e < 1),离心率越大,椭圆越扁,反之, a

越圆
?a ? x ? a, ?b ? y ? b
?b ? x ? b , ? a ? y ? a

2、 判断椭圆是 x 型还是 y 型只要看 x 2 对应的分母大还是 y 2 对应的分母大, 若 x2 对应的分母大则 x 型,若 y 2 对应的分母大则 y 型. 3、求椭圆方程一般先判定椭圆是 x 型还是 y 型,若为 x 型则可设为
x2 y2 ? ?1, a2 b2

若为 y 型则可设为

y2 x2 ? ?1, 若不知什么型且椭圆过两点, 则设为稀里糊涂型: a2 b2

mx2 ? ny 2 ? 1

4、双曲线的定义、双曲线的标准方程、椭圆的性质 双曲线的图象和性质 若 M 为 双 曲 线 上 任 意 一 点 , 则 有

MF1 ? MF2 ? 2a (2a<2c)

双曲线定义

若 MF1 ? MF2 ? 2a =2c,则点 M 的轨迹为两条射线 若 MF1 ? MF2 ? 2a >2c, 则点 M 无轨迹

焦点位置

x轴

y轴

图形

标准方程 焦点坐标 焦距 顶点坐标

x2 y2 ? ?1 a2 b2

y2 x2 ? ?1 a2 b2

F1(?c, 0 ), F2( c, 0 ) (?a, 0 )

F1(0, ?c, ), F2( 0, c ) (0, ?a )

|F1F2| = 2c 椭圆形状长的像 a,所以 a 是老大,a2 = b2 + c2; 双曲线形状长的像 c,所以 c 是老大,c2 = a2 + b2 实轴长=2a, 虚轴长=2b,实半轴长=a, 虚半轴长=b 无论双曲线是 x 型还是 y 型,双曲线的焦点总是落在实 轴上 关于 x 轴、y 轴和原点对称
e? c ( e >1) a

a, b, c 的关系
式 实轴、虚轴 对称轴 离心率 范围 渐近线

a ? x或x ? ?a, y ? R
y?? b x a

a ? y或y ? ?a , x ? R
y?? a x b

5、判断双曲线是 x 型还是 y 型只要看 x 2 前的符号是正还是 y 2 前的符号是正, 若 x 2 前的符号为正则 x 型,若 y 2 前的符号为正则 y 型,同样的,哪个分母前的 符号为正,则哪个分母就为 a 2 6 、求双曲线方程一般先判定双曲线是 x 型还是 y 型,若为 x 型则可设为
x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1,若不知什么型且双曲线过两点, ,若为 y 型则可设为 a2 b2 a2 b2

则设为稀里糊涂型: mx2 ? ny 2 ? 1(mn ? 0) 7 、 若 已 知 双 曲 线 一 点 坐 标 和 渐 近 线 方 程 y ? mx , 则 可 设 双 曲 线 方 程 为

y 2 ? m2 x2 ? ? (? ? 0) ,而后把点坐标代入求解
8 、 椭 圆 、 双 曲 线 、 抛 物 线 与 直 线 l : y?
k ?x 的 b弦 长 公 式 :

A B? ( 2k ? 1 )1 ( x? 2 2 x )?

1 ( ? 11 y ) ( ?2 2 y 2 k

)

9、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题出现弦的中点往往考虑用点差法 10、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题的解题步骤: (1)假化成整(把分式型的椭圆方程化为整式型的椭圆方程),联立消 y 或 x (2)求出判别式,并设点使用伟大定理 (3)使用弦长公式 11、抛物线的定义:平面内有一定点 F 及一定直线 l (F 不在 l 上)P 点是该平面 内一动点, 当且仅当点 P 到 F 的距离与点 P 到直线 l 距离相等时,那么 P 的轨迹 是以 F 为焦点,l 为准线的一条抛物线.————见距离想定义! ! ! 12、 (1)抛物线标准方程左边一定是 x 或 y 的平方(系数为 1) ,右边一定是关 于 x 和 y 的一次项,如果抛物线方程不标准,立即化为标准方程! (2)抛物线的一次项为 x 即为 x 型,一次项为 y 即为 y 型! (3)抛物线的焦点坐标为一次项系数的四分之一,准线与焦点坐标互为相反 数!一次项为 x,则准线为”x=多少” , 一次项为 y,则准线为”y=多少”! (4)抛物线的开口看一次项的符号,一次项为正,则开口朝着正半轴,一次项 为负,则开口朝着负半轴! (5)抛物线的题目强烈建议画图,有图有真相,无图无真相! 13、求抛物线方程,如果只知 x 型,则设它为 y 2 ? ax (a ? 0) ,a>o,开口朝右; a<0,开口朝左; 如果只知 y 型,则设它为 x2 ? ay(a ? 0) ,a>o,开口朝上;a<0,开口朝下。

14、抛物线简单的几何性质:

(尤其对称性的性质要认真研究应用,经常由线对称挖掘出点对称,从而推出垂 直平分等潜在条件! ) 15 抛物线的焦点弦,设 P(x1, y1 ),Q(x2, y2 ) ,且 P,Q 为抛物线 y 2 ? 2 px 经过焦点的 一条弦: (1) P(x1, y1 ),Q(x2, y2 ) 两点坐标的关系: y1 y2 ? ? p 2 , x1 x2 ? (2)焦点弦长公式: PQ ? ( x1 ? x2 ) ? p =
p2 4

2p (其中 ? 为直线 PQ 的倾斜角大 sin 2 ?

小) (3)垂直于对称轴的焦点弦称为是通径,通径长为 2p 16、 (1)直线与椭圆一个交点,则直线与椭圆相切。 (2)直线与双曲线一个交点,则考虑两种情况:第一种是直线与双曲线相切; 第二种是直线与双曲线的渐近线平行。 (3)直线与抛物线一个交点,则考虑两种情况:第一种是直线与抛物线相切; 第二种是直线与抛物线的对称轴平行。 (4)直线与抛物线的位置关系,理论上由直线方程与抛物线方程的联立方程 组实解的情况来确定,实践中往往归纳为对相关一元二次方程的判别式△的考 察:直线与抛物线交于不同两点 ? ? >0 ;直线与抛物线交于一点 ? ? ? 0 (相 切)或直线平行于抛物线的对称轴; 直线与抛物线不相交 ? ? ? 0 17、判断点与抛物线、椭圆位置关系:先把方程化为标准式,而后把点代入,若 大于,线外,等于线上,小于线内。 18、在研究直线与双曲线,直线与椭圆,直线与抛物线位置关系时,若已知直线 过一个点 ( x0 , y0 ) 时,往往设为点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,但是尤其要注意讨论 斜率不存在的情况! ! !斜率不存在则设为 x ? x0 .

19、 用点差法解决双曲线的弦的中点问题,一定要记得把所求出的直线方程与双 曲线方程联立消去 y 求出判别式,检验判别式如果小于 0,则直线不存在! ! ! 1、椭圆上的一点到椭圆焦点的最大距离为 a ? c ,最小距离为 a ? c ,椭圆上 取得最大距离和最小距离的点分别为椭圆长轴的两个顶点。 2、判断过已知点的直线与抛物线一个交点直线条数: (1) 若已知点在抛物线外,则过该点的直线与抛物线一个交点的直线有 三条:相切两条,与对称轴平行一条。 (2) 若已知点在抛物线上,则过该点的直线与抛物线一个交点的直线有 两条:相切一条,与对称轴平行一条。 (3) 若已知点在抛物线内,则过该点的直线与抛物线一个交点的直线有 一条:相切 0 条,与对称轴平行一条。 (1) 动点的轨迹方程。 3、求点的轨迹的五个步骤: (1) 建立直角坐标系(在不知点坐标的情况下) 。 (2) 设点:求什么点的轨迹就只能把该点设为(x,y),不能设为其它形 式的坐标! ! ! (3) 根据直接法、代入法、定义法列出 x 和 y 的关系式。 (4) 化简关系式。 (5) 看看题目有没有什么限制条件, 根据限制条件写出 x 或 y 的范围! ! ! 易错! ! ! 7、过椭圆内部的一个点的直线必与椭圆相交,过双曲线或抛物线内部的一 个点的直线与双曲线或抛物线至少有一个交点: 与双曲线的渐近线平行, 一个交点;不平行,两个交点;与抛物线的对称轴平行,一个交点;不 平行,两个交点。


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