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2016年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(一)理科数学试题及答案


2016 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(一) 数 学(理)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 选择题 (共 40 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡 规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑; 参考公式: ·如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
?

柱体的体积公式 V ? Sh . 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 1. 已知全集错误!未找到引用源。,集合错误!未找到引用源。,则错误!未找到 引用源。为 A.错误!未找到引用源。 到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找

D.错误!未找到引用源。

?x ? 2 ? 0 ? 2. 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?

A .0

B.3

C.6

D.12

3. 如图所示的程序框图输出的所有点都在函数 A.y=x+1 的图象上 C.y=2x 的图象上 4. 下列说法正确的是 A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2=1,则 x≠ 1” B.若 a,b ?R ,则“ ab ? 0 ”是“ a ? 0 ”的充分不必要条件 B.y=2x 的图象上 D.y=2x-1 的图象上

2 C.命题“? x0∈R,x0 +x0+1<0”的否定是“? x∈R,x2+x+1>0”

D.若“ p且q ”为假,则 p , q 全是假命题 5. 已知双曲线 C:
y 2 x2 5 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率 e ? ,点 P 是抛物线 y 2 ? 4x 上 2 a b 2

的一动点,P 到双曲线 C 的上焦点 F1 (0, c) 的距离与到直线 x ? ?1 的距离之和的最小 值为 6 ,则该双曲线的方程为 A.
y 2 x2 ? ?1 2 3

B.

y2 ? x2 ? 1 4

C. y 2 ?

x2 ?1 4

D.

y 2 x2 ? ?1 3 2

6. 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 若 ?ABC 的 面 积 为 S , 且
2 6S ? (a ? b) ? c 2 ,则 tan C 等于

5 5 12 B. ? C. 12 5 12 7. 如图, PT 切 ? O 于点 T , PA 交 ? O 于 A, B 两

A.

D. ?

12 5

点 , 且 与 直 径 CT 交 于 点 D , CD ? 3, AD ? 4,
BD ? 6 ,则 PB =

C A D O B

A .6

B.8

C.10

D.14
T P

8. 已 知 f ( x) 为 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? m( x ? 2 ? x ? 4 ),(m ? 0) , 若 函 数

y ? f ? f ( x)? ? 4m 恰有 4 个零点,则实数 m 的取值范围
? 1? A. ? 0, ? ? 6? ? 1? ?5 5? B. ? 0, ? ? ? , ? ? 6? ?6 2? ? 1? ?5 5? C. ? 0, ? ? ? , ? ? 4? ?4 2? ? 1? D. ? 0, ? ? 4?

第Ⅱ卷 非选择题 (共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡中的相应 横线上. 9. i 是虚数单位,复数
2?i ? 1? i



? 3 ? ? 10. 在 ? ?x ? ? x? ?

5

的二项展开式中, x 2 的系数为



11. 已 知 曲 线 y ? x ?1 与 直 线 x ? 1, x ? 3, x 轴 围 成 的 封 闭 区 域 为 A , 直 线
x ? 1, x ? 3, y ? 0, y ? 1围成的封闭区域为 B,在区域 B 内任 取一点 P ,该点 P 落在区

域 A 的概率为



12. 一个机器零件的三视图如图所示,其中俯视图是一个半圆内 切于边长为 3 的正方形,则该机器零件的体积为 .

? x ? at ? 13.直线 l : ? ( t 为参数) ,圆 C : ? ? 2 2 cos(? ? ) (极轴与 x 轴的非负 4 ? y ? 1 ? 2t
半轴重合,且单位长度相同) ,若圆 C 上至少有三个点到直线 l 的距离恰为 实数 a 的取值范围为 .
2 ,则 2

14. 如图,在直角梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? 2, AD ? DC ? 1, P 是线段 BC 上

???? ???? ??? ? ??? ? 一 动 点 , Q 是 线 段 DC 上 一 动 点 , DQ ? ? DC, CP ? (1 ? ? )CB, 若 集 合
? ? a 2 ? b2 ? 1 ? ? , a ? b, ab ? 1? .则 M ? N ? M ? {x | x ? AP ? AQ}, N ? ? x x ? 3(a ? b) ? ? ? ?



三、解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或 演算步骤. 15. (本小题满分13分) 已知函数 f ( x) ? cos 2 x ? cos 2 ( x ?

?
6

), x?R

(Ⅰ)求 f ( x) 最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [ ?
, ] 上的最大值和最小值. 3 4 16. (本小题满分 13 分)

? ?

某大学自主招生考试面试环节中,共设置两类考题,A 类题有 4 个不同的小题, B 类题有 6 个不同的小题, 某考生从中任抽取四道题解答. (Ⅰ)求该考生至少抽取到 2 道 B 类题的概率; (Ⅱ)设所抽取的四道题中 B 类题的个数为 X,求随机变量 X 的分布列与期望.

17. (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 A ? EFCB 中, △AEF 为等边三角形,平面 AEF ? 平面 EFCB ,
EF / / BC

,

BC ? 4



EF ? 2a



?EBC ? ?FCB ? 60? , O 为 EF 的中点.

C

(Ⅰ) 求证: AO ? BE ; (Ⅱ) 求二面角 F ? AE ? B 的余弦值; ( Ⅲ ) 若直线 CA 与平面 BEA 所成的角的正弦值
2 6 为 ,求实数 a 的值. 5

B O E

F

A

18. (本小题满分 13 分) 设椭圆 E 的方程为
x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为 a 2 b2

0 ? ,点 B 的坐标为 ? 0, b ? ,点 M 在线段 AB 上,满足 BM ? a,
斜率为
1 . 4

? 2 MA ,直线 OM 的

(Ⅰ)求椭圆 E 的离心率 e ; (Ⅱ) PQ 是圆 C : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 椭圆 E 的方程.
15 的一条直径,若椭圆 ? 经过 P , Q 两点,求 2

19. (本小题满分 14 分) 已 知 非 单 调 数 列 {an } 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 , 且 a1 ? ?
1 , a2 ? 16a4 , 记 4

bn ?

5an . 1 ? an

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若对任意正整数 n , | m ? 1|? 3bn 都成立,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)设数列 {b2 n } , {b2n?1} 的前 n 项和分别为 S n , Tn ,证明:对任意的正整数 n ,都有

2 S n ? 2Tn ? 3 .

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?
1 , g ( x) ? ax ? b . x

(Ⅰ)若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增 ,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若直线 g ( x) ? ax ? b 是函数 f ( x) ? ln x ?
1 图象的切线,求 a ? b 的最小值; x

(Ⅲ)当 b ? 0 时,若 f ( x) 与 g ( x) 的图象有两个交点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,试比较 x1 x2 与
2e 2 的大小. (取 e 为 2.8 ,取 ln 2 为 0.7 ,取 2 为 1.4 )

2016 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(一) 数学理科参考答案 一、选择题:每小题 5 分,满分 40 分 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 B 6 C 7 D 8 B

二、填空题: 每小题 5 分,共 30 分.
1 3 9. ? i ; 2 2

10. 90;

ln 3 11. ; 2

9 27 ? ? ; 12. 8

?2 ? 13. ,2 ; ? ?7 ? ?

?2 3 ? , 2? 14. ? ? 3 ?

三、解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 15. (本小题满分13分) 已知函数 f ( x) ? cos 2 x ? cos 2 ( x ?

?
6

), x?R

(I)求 f ( x) 最小正周期;(II)求 f ( x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 3 4

1 ? cos(2 x ? ) ? 1 ? cos 2 x 2 2 3 解: f ( x) ? cos x ? cos ( x ? ) ? ? 6 2 2
? 3 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 4 4 3 ? sin(2 x ? ) ? 1 2 3
2? ?? 2

?

??2 分 ??3 分

?

??5 分 ??6 分 ??8 分

1) 函数 f ( x) 的最小正周期 T ?

? ? ?? ?? ? ? 2) 函数 f ( x) 在 ? ? , ? 单调递增,在 ? , ? 单调递减。 ? 3 12 ? ?12 4 ?

? 1 ? 3 ? 3 ? f (? ) ? , f ( ) ? ? 1, f ( ) ? 1 ? . 3 4 12 2 4 4

??11 分

1 3 ? f ( x)min ? , f ( x)max ? ? 1. 4 2

??13 分

16. (本小题满分 13 分) 某大学自主招生考试面试环节中,共设置两类考题,A 类题有 4 个不同的小题, B 类题有 6 个不同的小题, 某考生从中任取四道题解答. (Ⅰ)求该考生至少取到 2 道 B 类题的概率; (Ⅱ)设所取四道题中 B 类题的个数为 X,求随机变量 X 的分布列与期望. 解:(Ⅰ)设事件 A: ” 该考生至少取到 2 道 B 类题”.
4 3 1 C4 ? C4 C6 37 P( A) ? 1 ? ? 4 C10 42

??4 分 ??5

(2)随机变量 X 的取值分别为 0,1,2,3,4, 分

? P ? X ? 0? ?

4 C4 1 ? 4 C10 210

P ? X ? 1? ?

3 1 C4 C6 24 ? 4 C10 210

P ? X ? 2? ?

2 2 C4 C6 90 ? 4 C10 210



1 3 C4 C 80 P ? X ? 3? ? 4 6 ? C10 210

4 C6 15 P ? X ? 4? ? 4 ? C10 210

??10 分

∴随机变量 X 的分布列为: X P 0
1 210

1
24 210

2
90 210

3
80 210

4
15 210

??11 分

∴随机变量 X 的期望为: EX ? 0 ?

1 24 90 80 15 12 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 210 210 210 210 210 5

?

?

13 分

17. (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 A ? EFCB 中, △AEF 为等边三角形,平面 AEF ? 平面 EFCB ,
EF ∥ BC

, BC ? 4 , EF ? 2a , ?EBC ? ?FCB ? 60? , O 为 EF 的中点.

(Ⅰ) 求证: AO ? BE ;(Ⅱ) 求二面角 F ? AE ? B 的余弦值; ( Ⅲ ) 若直线 CA 与平面 BEA 所成的角的正
2 6 弦值为 ,求实数 a 的值. 5

z

C

解: (Ⅰ)由于平面 AEF ? 平面 EFCB , △AEF 为等边三角形, O 为 EF 的中点,则

AO ? EF , 平面AEF ? 平面EFCB ? EF ,根

B E

F O x A

据面面垂直性质定理,所以 AO ? 平面 EFCB,又 BE ? 平面 EFCB ,则 AO ? BE .?3 分 (Ⅱ)取 CB 的中点 D,连接 OD,则 OD ? EF 以 O 为原点,分别以 OE 、OA 、OD 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系, ?4 分
O(0,0,0) , E (a,0,0) , F (?a,0,0) , A(0, 3a,0) , B(2,0, 3(2 ? a)) , C(?2,0, 3(2 ? a)) ,

BE ? (a ? 2,0, 3(a ? 2))
设平 面 AEB 的 法向量 m ? ( x. y, z)
? ? ?ax ? 3ay ? 0 ?m ? AE ? 0 ? 即? 令 y ? 1, x ? 3, z ? ?1 ? ? ?(a ? 2) x ? 3 (a ? 2) z ? 0 ?m ? E ? 0

? m ? ( 3,1,?1)
分 平面 AEF 的法向量为 n ? (0,0,1) , 分 二面角 F ? AE ? B 的余弦值 cos ? m , n ??

??6

??7

m?n mn

??

5 , 5

??8 分

由二面角 F ? AE ? B 为钝二面角,所以二面角 F ? AE ? B 的余弦值为 ? ( Ⅲ ) CA ? (2, 3a, 3(a ? 2)) 分 设直线 CA 与平面 BEA 所成角为 ? ,
sin ? ? CA ? m CA m

5 . ??9 分 5
?? 10

?

4 3 5 4 ? 3a 2 ? 3(a ? 2) 2

?

2 6 5

? 6a 2 ? 12a ? 16 ? 10
? a ? 1 ? (0,2) 满足题意
?a ?1

??12 分 ??13 分

18. (本小题满分 13 分) 设椭圆 E 的方程为
x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ? a, 0? , a 2 b2
1 . 4

点 B 的坐标为 ? 0, 点 M 在线段 AB 上, 满足 BM ? 2 MA , 直线 OM 的斜率为 b? , (Ⅰ)求椭圆 E 的离心率 e ; (Ⅱ) PQ 是圆 C : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 椭圆 E 的方程. ( I ) ? A

15 的一条直径,若椭圆 ? 经过 P , Q 两点,求 2

0? ? a,
2a b , ) 3 3 ?

B

b? ? 0,

点 M

在 线 段 AB 上 , 满 足 ??1 分

BM ? 2 MA ? M (
kOM ? b 1 ? 2a 4

b 1 ? a 2

?? 2



c b 3 ? ? 1 ? ( )2 ? a a 2

? 椭圆 E 的离心率 e 为

3 2

??4 分 ??

(II)解法一:由(I)知,椭圆 ? 的方程为 x2 + 4 y 2 = 4b2 . (1) 5分 依题意,圆心 C (?2,1) 是线段 PQ 的中点,且 PQ ? 30 . 分 易知, PQ 不与 x 轴垂直,设其直线方程为 y = k ( x + 2) +1 , 代入(1)得 (1 + 4k 2 ) x2 +8k (2k +1) x + 4(2k +1)2 - 4b2 = 0 设 P( x1, y1 ) , Q( x2 , y2 ) 则 x1 ? x2 ? ? 由 x1 + x2 = - 4 ,得 从而 x1x2 = 8 - 2b2 .
8k (2k ? 1) , 1 ? 4k 2

??6

??7 分 ??8 分

x1 x2 ?

4(2k ? 1) 2 ? 4b 2 1 ? 4k 2

??9 分 ??10 分

1 8k (2k +1) = - 4, 解得 k = . 2 2 1 + 4k

1 5 于是 PQ ? 1 ? ( )2 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1x2 ? 5 2b2 ? 4 2 2
由 PQ ? 30 ,得 5 2b2 ? 4 ? 30 , 2b2 ? 4 ? 6 解得 b2 ? 5
x2 y 2 ? ? 1. 故椭圆 ? 的方程为 20 5

??11 分 . ??12 分 ??

13 分 解法二:由(I)知,椭圆 ? 的方程为 x2 + 4 y 2 = 4b2 .(1) 分 依题意点 P、Q 关于圆 C (?2,1) 对称且 PQ ? 30 分
2 2 2 ? ? x1 ? 4 y1 ? 4b P( x1, y1 ) , Q( x2 , y2 ) 则 ? 2 2 2 ? ? x2 ? 4 y2 ? 4b

??5

??6

??7 分

两式相减得 ? 4( x1 ? x2 ) ? 8( y1 ? y2 ) ? 0 易知 PQ 不与 x 轴垂直,则 x1 ? x2 ,
y1 ? y2 1 ? x1 ? x2 2

??8 分

1 1 1 ? PQ 的斜率为 ,设其直线方程为 y ? ( x ? 2) ? 1 ? x ? 2 ,代入(1)得 2 2 2

x 2 ? 4 x ? 8 ? 2b2 ? 0

? x1 + x2 = - 4

x1x2 = 8 - 2b2 .

??1 0 分 ??11 分 ??12 分 ??13

1 5 于是 PQ ? 1 ? ( )2 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1x2 ? 5 2b2 ? 4 2 2
由 PQ ? 30 ,得 5 2b2 ? 4 ? 30 , 2b2 ? 4 ? 6 解得 b2 ? 5 . 故椭圆 ? 的方程为 分 19. (本小题满分 14 分)
x2 y 2 ? ? 1. 20 5

5an 1 已知非单调数列 {an } 是公比为 q 的等比数列,且 a1 ? ? , a2 ? 16a4 ,记 bn ? ; 4 1 ? an

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式;(Ⅱ)若对任意正整数 n , | m ? 1|? 3bn 都成立,求实数 m 的 取值范围;(Ⅲ)设数列 {b2 n },{b2 n ?1} 的前 n 项和分别为 S n , Tn ,证明:对任意的正整数

n ,都有 2 S n ? 2Tn ? 3 .
1 1 解: 1) ? a1 ? ? , a2 ? 16a4 ,? q 2 ? 4 16
1 ? ?an ? 为非单调数列? q ? ? 4

? 1? ? an ? ? ? ? , n ? N ? . ? 4?

n

??3 分

2) ? bn ?

5an 5 5 ? ? ,n? N? n 1 1 ? an ? 1 (?4) ? 1 an
bn ? 5
n

??4 分

,? bn ? 0. ?4 ? 1 5 当 n 偶数, bn ? n ,? bn ? 0. 且 ?bn ? 为递减数列 4 ?1 1 ? ? bn ?max ? b2 ? ,? m ?1 ? 1,?m ? 2 或 m ? 0 3

当 n 奇数,

??5 分 ?? 6 分 ??8 分 ??9 分

3) b2 n ? b2 n?1 ?

5 5 5(42 n?1 ? 42 n ) ? ? 42 n ? 1 42 n?1 ? 1 (42 n ? 1)(42 n?1 ? 1)

?

25 5(42 n?1 ? 42 n ) 5(42 n ?1 ? 42 n ) 25 ? 2n = ? n < 4 n ?1 2n 2 n ?1 4 n ?1 4 16 4 ? 4 ? 4 ?1 4

??11 分 ??12 分

? Sn ? Tn ? (b2 ? b1 ) ? (b4 ? b3 ) ? ... ? (b2n ? b2n?1 )

5 5 1 1 1 ? ( ? ) ? 25( 2 ? 3 ? ... ? n ) 15 5 16 16 16 4 5 69 3 4 5 1 ? .? 2Sn ? 2Tn ? 3 ? 2Sn ? 2Tn ? 3 ? ? (1 ? n ) ? ? = 3 48 48 2 3 48 16

? ? 14 分

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?
1 , g ( x) ? ax ? b . x

(Ⅰ)若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 若直线 g ( x) ? ax ? b 是函数 f ( x) ? ln x ?
1 图象的切线,求 a ? b 的最小值; x

(Ⅲ)当 b ? 0 时,若 f ( x) 与 g ( x) 的图象有两个交点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,试比较 x1 x2 与
2e 2 的大小. (取 e 为 2.8 ,取 ln 2 为 0.7 ,取 2 为 1.4 )

1 1 1 解:(Ⅰ) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? ? ax ? b, ,则 h?( x ) ? ? 2 ? a , x x x

??1 分

∵ h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,∴对 ?x ? 0 ,都有 h?( x) ? ??2 分 即对 ?x ? 0 ,都有 a ?
1 1 1 1 ? 2 ,∵ ? 2 ? 0 ,∴ a ? 0 , x x x x

1 1 ? ?a ?0, x x2

故实数 a 的取值范围是 (??, 0] . 分 ( Ⅱ) 设切点 ( x0 , ln x0 ?

??4

1 1 1 1 ) ,则切线方程为 y ? (ln x0 ? ) ? ( ? 2 )( x ? x0 ) , x0 x0 x0 x0

即y?(

1 1 1 1 1 1 1 2 ? 2 ) x ? ( ? 2 ) x0 ? (ln x0 ? ) ,亦即 y ? ( ? 2 ) x ? (ln x0 ? ? 1) , x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0

??5 分 令
1 1 1 2 ? t ? 0 ,由题意得 a ? ? 2 ? t ? t 2 , b ? ln x0 ? ? 1 ? ? ln t ? 2t ? 1 , ?6 分 x0 x0 x0 x0

1 (2t ? 1)(t ? 1) 令 a ? b ? ? (t ) ? ? ln t ? t 2 ? t ?1 ,则 ? ?(t ) ? ? ? 2t ? 1 ? , t t

??7 分

当 t ? (0,1) 时 , ? ?(t ) ? 0 , ? (t ) 在 (0,1) 上单调递减; 当 t ? (1, ??) 时, ? ?(t ) ? 0 , ? (t ) 在 (1, ??) 上单调递增, ∴ a ? b ? ? (t ) ? ? (1) ? ?1 ,故 a ? b 的最小值为 ?1. ??9 分

(Ⅲ)由题意知 ln x1 ? 两式相加得 ln x1 x2 ?
ln

1 1 ? ax1 , ln x2 ? ? ax2 , x1 x2

x1 ? x2 ? a( x1 ? x2 ) ,两式相减得 x1 x2

x2 x1 ? x2 ? ? a( x2 ? x1 ) , x1 x1 x2

??10


x2 x ln 2 x1 1 x ?x x1 1 即 , ? ? a ,∴ ln x1 x2 ? 1 2 ? ( ? )( x1 ? x2 ) x2 ? x1 x1 x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 x2 ln

即 ln x1 x2 ? 分

2( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x2 ? ln , x1 x2 x2 ? x1 x1

??11

不妨令 0 ? x1 ? x2 ,记 t ?

x2 2(t ? 1) ? 1 ,令 F (t ) ? ln t ? (t ? 1) ,则 x1 t ?1

F ?(t ) ?


(t ? 1) 2 ? 0, t (t ? 1)

??12

∴ F (t ) ? ln t ? ∴ ln t ?

2(t ? 1) 2(t ? 1) ? F (1) ? 0 , 在 (1, ??) 上单调递增,则 F (t ) ? ln t ? t ?1 t ?1

x2 2( x2 ? x1 ) 2( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x2 2(t ? 1) ? ln ? 2 , ,则 ln ? ,∴ ln x1 x2 ? x1 x1 ? x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 t ?1
4 x1 x2 2( x1 ? x2 ) 4 4 ? ln x1 x2 ? ? ln x1 x2 ? ? 2 ln x1 x2 ? , x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2

又 ln x1 x2 ?

∴ 2ln x1 x2 ? 令 G ( x) ? ln x ? 又 ln 2e ?

4 2 ? 2 ,即 ln x1 x2 ? ? 1, x1 x2 x1 x2

??13 分

2 1 2 ,则 x ? 0 时, G?( x) ? ? 2 ? 0 ,∴ G ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, x x x

2 1 2 ? ln 2 ? 1 ? ? 0.85 ? 1 , e 2e 2

∴ G( x1 x2 ) ? ln x1 x2 ?

2 2 ,则 x1 x2 ? 2e ,即 ? 1 ? ln 2e ? x1 x2 2e
??14

x1 x2 ? 2e2 .



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