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银川一中第二次模拟数学(理科)试卷


绝密★启用前

2013 年普通高等学校招生全国统一考试

3. 已知某随机变量 X 的概率密度函数为 P(x)= ? 内的概率为( A.e +e
2

?0, x ? 0
?x ?e , x ? 0

,则随机变量 X 落在区间(1,2)

理 科 数 学

r />(银川一中第二次模拟考试)

) B.

e ?1 e2

C.e -e

2

D.

e ?1 e2
2

4.某校在模块考试中约有 1000 人参加考试,其数学考试成绩ξ~N(90,a )(a>0,试卷 满分 150 分),统计结果显示数学考试成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无 效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形 码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的 标号;非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔 迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应 的题号涂黑。 的

3 ,则此次数学考试成绩不低于 110 分的学生人数约为( 5
B.400 C.300 D.200

)

A.600

5. 已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R, x 2 ? 0 ,则( A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? (?q) 是真命题 B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? (?q) 是假命题

)

6.若函数 f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,且 a≠1)在 R 上既是奇函数,又是减函数,则 g(x)=loga(x+k)的图象是( )

A

B

C

D

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合 A={x|x +3x+2≤0},B={y|y=2x-1,x∈R},则 A∩CRB=( A. ? 2.若复数 A.3 B.{-1} C.[-2,-1] D.[-2,-1) )
2

7.已知 F 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点,E 是该双曲线的右顶点,过点 a2 b2
) C.(1,1+ 2 ) D.(2,1+ 2 ) )

F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若ΔABE 是锐角三角形,则该双曲 线的离心率 e 的取值范围为(

)

A.(1,+≦)

B.(1,2)

1 ? bi 的实部与虚部相等,则实数 b 等于( 2?i
B. 1

? 2 sin 2 ? ? sin 2? ? ? k ,0 ? ? ? , 则 sin(? ? ) 的值( 8.已知 4 1 ? tan? 4
A.随着 k 的增大而增大 B.有时随着 k 的增大而增大,有时随着 k 的增大而减小 C.随着 k 的增大而减小 D.是一个与 k 无关的常数

1 C. 3

1 D. ? 2

理科数学试卷 第 1 页(共 6 页)

理科数学试卷 第 2 页(共 6 页)

9.已知正数 x,y 满足 ? A.1

?2 x ? y ? 0 1 y ?x ,则 z ? 4 ? ( ) 的最小值为( 2 ?x ? 3 y ? 5 ? 0
1 C. 16 1 D. 32

)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 已知 k 为如图所 示的程序框图输出的结果,二项式

1 B. 3 2 4

a, a ? b ? 1, 10.对实数 a 和 b ,定义运算“ ? ” a ? b ? ? : .设函数 ? ?b, a ? b ? 1.

f ? x ? ? ? x 2 ? 2 ? ? ? x ? 1? ,x ? R . 若函数 y ? f ? x ? ? c 的图象与 x 轴恰有两个公
共点,则实数 c 的取值范围是( A. ? ?1,1? ? ? 2, ??? C. ? ??, ?2? ? ?1, 2? ) B. ? ?2, ?1? ? ?1,2? D. ? ?2, ?1?

? k 1? ? x ? ? 的展开式中含有非零常数项,则正整数 x? ?
n 的最小值为_________. 14.把一个半径为 53 2 cm 的金属球熔成一个圆 锥,使圆锥的侧面积为底面积的 3 倍,则这 个圆锥的高为__________. 15.P 为抛物线 y 2 ? 4 x 上任意一点,P 在 y 轴上
2 2

n

11.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的增函数,函数 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称, 若任意的 x,y∈R,不等式 f(x -6x+21)+f(y -8y)<0 恒成立,则当 x>3 时,x +y 的取值 范围是( A.(3,7) ) B. (9,25) C. (13,49) D. (9,49)
2 2

的射影为 Q,点 M(4,5) ,则 PQ 与 PM 长度之和的最小值为



12. 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长均为 1,棱 BB1 所在直线上的动点 M 满足

? 2 ? , 2 ? ,则 ? 的取值 BM ? ? BB1 ,AM 与侧面 BB1C1C 所成的角为 ? ,若 ? ? ? ? 2 ?
范围是( )

16.已知 AD 是ΔABC 的中线,若∠A=120°, AB ? AC ? ?2 ,则 | AD | 的最小值是 ______.

?? ? ? A. ? , ? ?12 6 ?

?? ? ? B. ? , ? ?6 4?

?? ? ? C. ? , ? ?4 3?

? ? 5? ? D. ? , ? ? 3 12 ?

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分)
2 2 已知各项均为正数的数列{an}满足 an?1 ? an?1an ? 2an ? 0, n ? N * , a3+2 是 a2、 且

a4 的等差中项. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? an log 1 an , S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 求使 S n ? n ? 2
2

n?1

? 50 成立的 n 的

最小值.

理科数学试卷 第 3 页(共 6 页)

理科数学试卷 第 4 页(共 6 页)

k0 18. (本小题满分 12 分) 如图,一个几何体是由圆柱 OO'和三棱锥 E-ABC 组合而成,点 A、B、C 在圆 O 的圆周上,其正(主)视图、侧(左)视图的面积分别为 10 和 12,EA⊥平面 ABC,AB⊥ AC,AB=AC,AE=2 (Ⅰ)求证:AC⊥BD; (Ⅱ)求二面角 A-BD-C 的大小.

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

理科数学试卷 第 5 页(共 6 页) 20. (本小题满分 12 分) 已知两点 F1 (?1,0) 及 F2 (1,0) ,点 P 在以 F1 、 F2 为焦点的椭圆 C 上,且 PF1 、 y l M F1 F2 、 PF2 构成等差数列. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)如图,动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且仅 有一个公共点,点 M , N 是直线 l 上的两点,且 F1 M ? l , F1 O F2 N x

F2 N ? l . 求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值.
21.(本小题满分 12 分) 已知函数 g ? x ? ?

(Ⅰ)求函数 g ? x ? 的单调区间;
正(主)视图 侧(左)视图

x , f ? x ? ? g ? x ? ? ax . ln x

(Ⅱ)若函数 f ? x ? 在?1, ??? 上是减函数,求实数 a 的最小值;
2 (Ⅲ)若 ?x1 , x2 ? ? e, e ? ,使 f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? a ( a ? 0 )成立,求实数 a 的取 ? ?

19. (本小题满分 12 分) 某学校为了研究学情,从高三年级中抽取了 20 名学生三次测试的数学成绩和物理 成绩,计算出了他们三次成绩的平均名次如下表:
学生序号 数学平均名次 物理平均名次 学生序号 数学平均名次 物理平均名次

值范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲. 如图,在 RtΔABC 中,∠C=90°,BE 平分∠ABC,交 AC 于点 E, 点 D 在 AB 上,DE⊥EB. (Ⅰ)求证:AC 是ΔBDE 的外接圆的切线; (Ⅱ)若 AD= 2 3 ,AE=6,求 EC 的长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 为参数,0≤ ? < ? ). (Ⅰ)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线 C 的形状; (Ⅱ)若直线 l 经过点(1,0),求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 设函数 f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R (Ⅰ)解不等式 f(x)≤5;

1
1.3 2.3

2
12.3 9.7

3
25.7 31.0

4
36.7 22.3

5
50.3 40.0

6
67.7 58.0

7
49.0 39.0

8
52.0 60.7

9
40.0 63.3

10
34.3 42.7

11
78.3 49.7

12
50.0 46.7

13
65.7 83.3

14
66.3 59.7

15
68.0 50.0

16
95.0 101.3

17
90.7 76.7

18
87.7 86.0

19
103.7 99.7

20
86.7 99.0

学校规定:平均名次小于或等于 40.0 者为优秀,大于 40.0 者为不优秀. (Ⅰ)对名次优秀赋分 2,对名次不优秀赋分 1.从这 20 名学生中随机抽取 2 名学生, 若用 ? 表示这 2 名学生两科名次赋分的和,求 ? 的分布列和数学期望; (Ⅱ)根据这次抽查数据,列出 2×2 列联表,能否在犯错误的概率不超过 0.025 的 前提下认为物理成绩与数学成绩有关? 附: K ?
2

? x ? t cos? 4 cos ? ,直线 l 的参数方程为 ? (t sin 2 ? ? y ? 1 ? t sin ?

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

P(K ≥k0)

2

0.50

(Ⅱ)若 g ( x) ?

1 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围. f ( x) ? m


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