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对数函数学案


对数函数学案
学习目的:使学生理解对数函数的概念,掌握对数函数的图象和性:对于函数 x y= log a 当 0<a<1 时,在(0,+∞)上是减函数;a>1 时在(0,+∞)上是增函数。 学习重点:对数函数的定义、图象和性质。 学习难点:对数函数图象和性质的理解。 过程 一、复习提问
?1? 把指数函数 y=2 和 y= ? ? 写成对数式。 ?2? 二、新课 x 一般地,我们把函数 y= log a ( a> 0,且 a≠1 )叫对数函数( logarithmic
x
x

function) 其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) 。 x x 研究函数 y= log 2 和函数 y= log 1 的图象和性质。
2

y= log 1 =- log 2 ,设点(x,y)在 y= log 2 的图象上,则点(x,-y)在图象
2

x

x

x

y= log 1
2

x

上,而点(x,y)与(x,-y)关于 x 轴对称,所以 y= log 2 的图象和 y= log 1 的
2

x

x

图 象关于 x 轴对称。 (把 x=2 分别代入两个函数,可得 1 和-1) x 函数 y= log a (a>0,且 a≠1)的图象和性质: (1)定义域: (0,+∞) ; (2)值域:R; (3)过定点(1,0)即 x=1 时,y=0; (4)当 0<a<1 时,在(0,+∞)上是减函数;a>1 时在(0,+∞)上是增 函数。 *对比指数函数的图象和性质。 例 7、求下列函数的定义域: (1)y= log a (2)y= log a
x2

定义域为:{x∣x≠0} 定义域为:{x∣x<4}

( 4? x )

1

例 8、比较下列各组数中两个值的大小: 3.4 8.5 (1) log 2 , log 2 (<) (2) log 0.3 , log 0.3
5.1 5.9

1 .8

2.7

(>)

(3) log a , log a (a>0,且 a≠1) (a>1 时,<,0<a<1 时,>) 分析:本题利用对数函数的性质来解决。注意(3)的分类讨论。 例 9、溶液酸碱度的测量。 溶液酸碱度是通过 PH 画的。PH 的计算公式为 PH=-lg[H+] ,其中[H+] 表 示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升。 (1)根据对数函数性质及上述 PH 的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中 氢离子 的浓度之间的变化关系; (2)已知纯净水中氢离子的浓度为[ H+]=10-7 摩尔/升,计算纯净水的 PH。 解: (1)根据对数的运算性质,有 1 PH=-lg[H+]=lg[H+]-1== lg [H ? ] 1 1 在(0,∞)上,随着[H+]的增大, ? 减小,相应地, lg 也减小,即 [H ] [H ? ] PH 减 小。所以随着[H+]的增大,PH 值减小,即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的 酸度 就越小。 (2)当[H+]=10-7 时,PH=-lg10-7=7,所以纯净水的 PH 是 7。 纯净水的 PH 应该在 5.0――7.0 之间。 x y=2 中, x 是自变量, y 是因变量。 若 y 是自变量, x 是因变量,x 是 y 的函数吗? y x 把 y=2 由指数式写成对数式:x= log 2 ?,对于 y∈(0,+∞)时,通过 式子 y x= log 2 可知,x 在 R 中有唯一确定的值和它对应,因此,可以说若 y 是自变量, x 是因变量,x 是 y 的函数,这时我们说 y x= log 2 (y∈(0,+∞) )是函数 y=2x(x∈R)的反函数(inverse function). x= log 2 习惯写成 y= log 2
x y x

对数函数 y= log 2 (x∈(0,+∞) )是指数函数 y=2x(x∈R)的反函数。 它们是互为反函数。 x 对数函数 y ? log a (a>0,且 a≠1)和指数函数 y ? a x (a>0,且 a≠1)互为 反函数。

2


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