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2016年1月崇明一模高三数学试卷


上海市崇明县 2016 届高三一模数学试卷
2015.12 一. 填空题(本大题共 14 题,每题 4 分,共 56 分)

sin x 2 的最小正周期是 ; ?1 cos x x?2 ? 0} ,则 A ? B ? 2. 若集合 A ? {x || x ?1| ? 2} , B ? {x | x?4
1. 函数 f ( x) ? 则a

?



3. 已知 z ? (a ? i)(1 ? i) (a ? R, i 为虚数单位 ) ,若复数 z 在复平面内对应的点在实轴上, ; ;

1 3? ? , 2? ) ,则 cos(? ? ) ? ,且 ? ? ( 4 2 2 5. 若 log a 2b ? ?1 ,则 a ? b 的最小值为 ;
4. 已知 cos ? ? 6. ( x ? a)10 的展开式中, x 的系数为 15 ,则 a ?
7
2

; (用数字填写答案)

7. 已知圆锥的母线长为 5cm ,侧面积为 15? cm ,则此圆锥的体积是

cm3 ;

8. 已知 f ( x ) 、 g ( x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f ( x) ? g ( x) ? 2x ? x ,则

f (1) ? g (1) ?



9. 在上海高考改革方案中,要求每位高中生必须在理科学科:物理、化学、生物;文科学 科:政治、历史、地理这 6 门学科中选择 3 门学科参加等级考试;小王同学对理科学科比较 感兴趣, 决定至少选择两门理科学科, 那么小王同学的选科方案有 种; (用数字填写)

10. 有一列球体, 半径组成以 1 为首项, 为公比的等比数列, 体积分别记为 V1 ,V2 ,...,Vn ,... , 则 lim(V1 ? V2 ? ... ? Vn ) ?
n ??

1 2



11. △ ABC 中,AB ? 4 ,BC ? 6 2 ,?CBA ? 则 ? 的焦距为 ;

?
4

, 若双曲线 ? 以 AB 为实轴, 且过点 C ,

12. 在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , AD ? 1 ,边 DC 上(包含点 D 、 C )的动点 P 与 CB 延 长线上(包含点 B )的动点 Q 满足 | DP | ? | BQ | ,则 PA ? PQ 的取值范围是

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?



?3an ? 5, an为奇数 ? 13. 已知数列 {an } 的各项均为正整数,对于 n ? 1, 2,3,... ,有 an ?1 ? ? an ,其 ? k , an为偶数 ?2
* 中 k 为使 an ?1 为奇数的正整数;若存在 m ? N ,当 n ? m 且 an 为奇数时, an 恒为常数 p ,

则 p 的值为



14. 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D , 如果存在非零常数 T , 对于任意 x ? D , 都有 f ( x ? T )

? T ? f ( x) , 则称函数 y ? f ( x) 是 “似周期函数” , 非零常数 T 为函数 y ? f ( x) 的 “似周期” ;

现有下面四个关于“似周期函数”的命题: ① 如果“似周期函数” y ? f ( x) 的“似周期”为 ?1 ,那么它是周期为 2 的周期函数; ② 函数 f ( x) ? x 是“似周期函数” ; ③ 函数 f ( x) ? 2? x 是“似周期函数” ; ④ 如果函数 f ( x) ? cos ? x 是“似周期函数” ,那么“ ? ? k? , k ? Z ” ; 其中是真命题的序号是 ; (写出所有满足条件的命题序号)

二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 15. “ a ? 2 ”是“实系数一元二次方程 x ? ax ? 1 ? 0 有虚根”的(
2



A. 必要不充分条件 C. 充要条件 16. 要得到函数 y ? sin(2 x ?

B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

?
3

) 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像(



? 个单位 3 ? C. 向右平移 个单位 3
A. 向左平移

? 个单位 6 ? D. 向右平移 个单位 6
B. 向左平移 )

17. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆 汽车在不同速度下的燃油效率情况,下列叙述中正确的是( A. 消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C. 甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D. 某城市机动车最高限速 80 千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油

2 18. 若 a , b 是函数 f ( x) ? x ? px ? q ( p ? 0, q ? 0) 的两个不同的零点,且 a, b, ?2 这三个

数排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p ? q 的值等于( A. 1 B. 4 C. 5 D. 9



三. 解答题(本大题共 5 题,共 12+14+14+16+18=74 分) 19. 如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, SA ? 平面 ABCD , AB ? 3 ,

SA ? 4 ;
(1)求异面直线 SC 与 AD 所成角; (2)求点 B 到平面 SCD 的距离;

20. 如图,旅客从某旅游区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径;一种是从 A 沿直线步行到

C ,另一种从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C ;现有甲、乙两位游客从 A
处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 米/分钟,在甲出发 2 分钟后,乙从 A 乘缆车到 B , 在 B 处停留 1 分钟后, 再从 B 匀速步行到 C ; 假设缆车匀速直线运动的速度为 130 米/分钟, 山路 AC 长 1260 米,经测量, cos A ? (1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

12 3 , cos C ? ; 13 5

21. 已知△ ABC 的顶点 A, B 在椭圆 x ? 3 y ? 4 上,C 在直线 l : y ? x ? 2 上, 且 AB ∥ l ;
2 2

(1)当 AB 边通过坐标原点 O 时,求 AB 的长及△ ABC 的面积; (2)当 ?ABC ? 90 ,且斜边 AC 的长最大时,求 AB 所在直线的方程;
?

22. 已知函数 f ( x) ? x | x ? a | ? b , x ? R ; (1)当 b ? 0 时,判断 f ( x ) 的奇偶性,并说明理由;

5 ,求 x 的值; 4 (3)若 ?1 ? b ? 0 ,且对任意 x ? [0,1] 不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围;
x (2)当 a ? 1 , b ? 1 时,若 f (2 ) ?

23. 设 m 个正数 a1 , a2 ,..., am (m ? 4, m ? N * ) 依次围成一个圆圈;其中 a1 , a2 , a3 ,..., ak ?1 , ak

(k ? m, k ? N * ) 是公差为 d 的等差数列,而 a1 , am , am?1 ,..., ak ?1, ak 是公比为 q 的等比数列;
(1)若 a1 ? d ? 1 , q ? 2 , k ? 8 ,求数列 a1 , a2 ,..., am 的所有项的和 Sm ; (2)若 a1 ? d ? q ? 3 , m ? 2015 ,求 m 的最大值; (3)当 q ? 2 时是否存在正整数 k ,满足 a1 ? a2 ? ... ? ak ?1 ? ak ? 3(ak ?1 ? ak ?2 ? ... ? am?1

? am ) ?若存在,求出 k 值;若不存在,请说明理由;


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