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算法 排列组合 概率统计测试


π π 1 3.在区间[- , ]上随机取一个数 x,cosx 的值介 于 0 到 之间的概率为( 2 2 2 1 A. 3 1 C. 2 2 B. π 2 D. 3

)

π π 1 π π π π 解析:当- ≤x≤ 时,由 0≤cosx≤ ,得- ≤x≤- 或 ≤x≤ , 2 2 2 2 3 3 2 1 根据几何概型概率公式得所求概率为 . 3 答案:A
2 2 6 5.若 C17x ? C17x?1 ? C18 ,则 x 的值为

( C.3 或 6 D.2 或 4



A.2

B.3

10.从不同颜色的 5 双手套中任取 4 只,其中恰好有一双同色的取法种数为 A.240 B.120 C.180 D.60





13. 【2010 ?四川文数】由 1、2、3、4、5 组成没有重复数字且 1、2 都不与 5 相邻的五位 数的个数是( ) (A)36 【答案】A
2 2 【解析】如果 5 在两端,则 1、2 有三个位置可选,排法为 2× A3 A2 =24 种 2 2 如果 5 不在两端,则 1、2 只有两个位置可选,3× A2 A2 =12 种

(B)32

(C)28

(D)24

共计 12+24=36 种 18.【2010· 山东省淄博市一模】若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同, 则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为 y=x2 ,值域为{1,4}的“同族函数”共有 ( ) A.7 个 B.8 个 C. 9 个 D.10 【答案】C 【解析】由题意,问题的关键在于确定函数定义域的个数:第一步先确定函数值 1 的原象: 因为 y=x2,当 y=1 时,x=1 或 x=-1,为此有三种情况:即{1},{-1},{1,-1};第二步, 确定函数值 4 的原象,因为 y=4 时,x=2 或 x=-2,为此也有三种情况:{2},{-2},{2, -2}。由分步计数原理,得到:3× 3=9 个。选 C。 2. (2011 年安徽高考文 9)从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则以它们作为顶点 的四边形是矩形的概率等于 (A)

? ??

(B)

? ?

(C)

? ?

(D)

? ?

答案:D 解析: 通过画树状图可知从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点, 以它们作为顶点的四

边形共有 15 个,其中能构成矩形 3 个,所以是矩形的概率为

3 1 ? .故选 D. 15 5

2.有 20 位同学,编号从 1~20,现在从中抽取 4 人的作文卷进行调查,用系统抽样方 法确定所抽的编号为 A.5,10,15,20 C.2,4,6,8 B.2,6,10,14 D.5,8,11,14 ( )

3.某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品的数量之比依次为 3∶4∶7,现在 用分层抽样的方法抽出容量为 n 的样本,样本中 A 型产品有 15 件,那么样本容量 n为 A.50 C.70 B.60 D.80 ( )

4.商场在国庆黄金周的促销活动中,对 10 月 2 日 9 时至 14 时的销售额进行统计,其 频率分布直方图如图所示,已知 9 时至 10 时的销售额为 2.5 万元,则 11 时至 12 时的销售额为 ( )

A.6 万元 C.10 万元

B.8 万元 D.12 万元

9. 【2010?天津理数】阅读右边的程序框图,若输出 s 的值为-7,则判断框内可填写( ) (A)i<3? (C)i<5? 【答案】 D 【解析】 本题 主要考查条件语句与循环语句的基 本应用,属于容易题。 (B)i<4? (D)i<6?

第一次执行循环体时 S=1,i=3;第二次执行循环时 s=-2,i=5;第三次执行循环体时 s=-7.i=7,所以判断框内可填写“i<6?”,选 D. 3. 一组数据的每一个数据都减去 80,得一组新数据.若求得新数据的平均数是 1.2,方 差是 4.4,则原来的数据的平均数和方差分别是( ) A. 81.2,4.4 B. 78.8,4.4 C. 81.2,84.4 D. 78.8,75.6
[来源:学科网]

3. 解析:设原来的平均数为 x ,则 x -80=1.2, ∴ x =81.2,方差不变. 答案:A
?1? 5. (原创题)已知程序框图如下图所示, 该程序框图的功能是“求数列?2n?(n∈N*)的前 10 ? ?

项和”,则判断框内应填写(

)

A. m<10?

B. m≤20?

C. m≤10?

D. m<20?

7.

若如图所示的程序框图输出的 S 是 126,则①处应填( A.n≤5 B.n≤6 C.n≤7 D.n≤8 答案 B 解析 因 S=2+22+?+26=126,故①处应填 n≤6.

)

6.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为 n 的 样本,其频率分布直方图如图所示,

其中支出在[50,60)的同学有 30 人,则 n 的值为( A.100 B.1000 C.90 D.900 答案 A 解析

)

30 支出在[50,60)的同学的频率为 0.03×10=0.3,因此 n=0.3=100.

2. 【2010?全国卷 2 文数】将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中, 若每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有( ) A. 12 种 【答案】B 【解析】∵先从 3 个信封中选一个放 1,2 有 3 种不同的选法,再从剩下的 4 个数中选两个 放一个信封有
2 2 C4 ? 6 ,余下放入最后一个信封,∴共有 3C4 ? 18

B.18 种

C.36 种

D. 54 种

3.(2012 年丰台二模文 12)执行如右图所示的程序框图,则输出的结果是______. 答案:63。

开始

S ? 0 , n ?1,a ? 3 S ? S ?a n ? n ?1

a ?a?2 n?6
是 输出 S 结束 否

13. 某单位为了了解用电量 之间的关系,随机统计了某 4

y 度与气温 x℃ 天的用电量与

当天气温,并制作了对照表: 气温(℃) 用电量(度)
^

18 24

13 34

10 38

-1 64

由表中数据得线性回归方程y=bx+a 中 b=-2,预测当气温为-4℃时,用 电量的度数约为________. 答案 68 解析 x =10, y =40,回归方程过点( x , y ), ∴40=-2×10+a. ∴a=60. ∴y=-2x+60. 令 x=-4,∴y=(-2)×(-4)+60=68. 22.从 1,2,3,?,30 这 30 个自然数中,每次取不同的三个数,使这三个数成 等差数列,则不同的等差数列有 420 个
^ ^

1.掷两颗骰子得两数,则事件“两数之和大于 4 ”的概率为____________. 5. (理) 8 名同学排成前后两排,每排 4 人.如果甲、乙两同学必须排在前排,丙同学必须 排在后排那么不同的排法共有_____________种(用数字作答) . 9. (理)从书架上顺序排列的 7 本书中取出 3 本书,那么这 3 本书恰好是从互不相邻的位置 上取出的概率为 . (结果用分数表示)

13.四位同学各自制作了一张贺卡,分别装入 4 个空白信封内,这四位同学每人随机地抽取 一封,则恰好有一人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是 .

7. 向面积为 9 的△ABC 内任投一点 P, 那么△PBC 的面积小于 3 的概率是__________. 解析:如图,由题意,△PBC 的面积小于 3,则点 P 应落在梯形 BCED 内, ∵ S△ADE ? 1?2 = 1- , S△ABC ? 3?

5 ∴S△ADE=4,∴S 梯形 BCED=5,∴P= . 9 答案: 5 9

20.某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有编号为 0,1,2,3 四个相同小球 的抽奖箱中,每次取出一球记下编号后放回,连续取两次,若取出的两个小球号码相加 之和等于 6,则中一等奖,等于 5 中二等奖,等于 4 或 3 中三等奖。

(1)求中三等奖的概率; (2)求中奖的概率。 10.(2009· 福建卷)袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现依次有放回地随机摸取 3 次,每次摸取一个球. (1)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果; (2)若摸到红球时得 2 分,摸到黑球时得 1 分,求 3 次摸球所得总分为 5 的概率. 解:(1)一共有 8 种不同的结果,列举如下: (红、红、红)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、 黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑). (2)记“3 次摸球所得总分为 5”为事件 A. 事件 A 包含的基本事件为:(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红),事件 A 包含 的基本事件数为 3. 由(1)可知,基本事件总数为 8, 3 所以事件 A 的概率为 P(A)= . 8 12. (2010· 陕西卷)为了解学生身高情况, 某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进 行分层抽样调查,测得身高情况的统计图如下:

(1)估计该校男生的人数; (2)估计该校学生身高在 170~185 cm 之间的概率; (3)从样本中身高在 180~190 cm 之间的男生中任选 2 人, 求至少有 1 人身高在 185~190 cm 之间的概率. 解:(1)样本中男生人数为 40,由分层抽样比例为 10%估计全校男生人数为 400. (2)由统计图知,样本中身高在 170~185 cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35 人, 35 样本容量为 70,所以样本中学生身高在 170~185 cm 之间的频率 f= =0.5,故由 f 估计该 70 校学生身高在 170~185 cm 之间的概率 p1=0.5.

(3)样本中身高在 180~185 cm 之间的男生有 4 人,设其编号为①,②,③,④,样本 中身高在 185~190 cm 之间的男生有 2 人,设其编号为⑤,⑥,从上述 6 人中任取 2 人的树 状图为:

故从样本中身高在 180~190 cm 之间的男生中任选 2 人的所有可能结果数为 15, 至少有 1 人身高在 185~190 cm 之间的可能结果数为 9, 9 3 因此,所求概率 p2= = . 15 5

1 1 1 21. (本小题满分 12 分)设计算法求 1+3+5+??+19的值, 画出程序框图, 并编写程序. 解析 程序框图

程序:

S=0 n=1 i=1 WHILE i<=10 S=S+1/n n=n+2 i=i+1 WEND PRINIS END

例 4.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元 素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几 个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是: A 7 / A 3 7 3 4 (空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A 7 种方
4 法,其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法,则共有 A 7 种

方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有 1 种排法,再把其余 4 四人依次

插入共有

方法

定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插 空模型处理

练习题:10 人身高各不相等,排成前后排,每排 5 人,要求从左至右身 高逐渐增加,共有多少排法?
5 C10

五.重排问题求幂策略 例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把 第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推,由分步计数原理 共有 76 种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素 的位置,一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为 m 种
n

练习题: 1. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单, 开演前又增加 了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法 的种数为 42 2. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯, 下电梯的方法 78 六.环排问题线排策略 例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法? 解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所 以固定一人 A 4 并从此位置把圆形展成直线其余 7 人共有(8-1) ! 4 种排法即 7 !
C D E F G H B A A B C D E F G H A

一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆 形排列共有

1 m An n

练习题:6 颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈 120 七.多排问题直排策略

例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多 少排法 解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排. 个特殊元素有 A 2 种,再排后 4 个位置上的特殊元素丙有 A14 种, 4 其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有 A 5 种,则共有 A 2 A1 A5 种 5 4 4 5

前 排

后 排

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研 究.

练习题:有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人 就座规定前排中间的 3 个座位不能坐, 并且这 2 人不左右相 邻,那么不同排法的种数是 346 八.排列组合混合问题先选后排策略 例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共 有多少不同的装法. 解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有 C52 种方法.再把 4 个元素(包含一个复合元素)装入 4 个不同的盒内有 A 4 种方法, 4 根据分步计数原理装球的方法共有 C52 A 4 4
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?

练习题:一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成 四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有 192 种 九.小集团问题先整体后局部策略 例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1,5在两个奇数之间,这样的五位数有多少个? 解:把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有 A 2 种排法,再 2 排小集团内部共有 A 2 A 2 种排法,由分步计数原理共有 A 2 A 2 A 2 2 2 2 2 2 种排法.
1524
小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理。

练习题:

1.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画,4幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起,并且水彩 画不在两端,那么共有陈列方式的种数为 A 2 A 5 A 4 2 5 4 2. 5 男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有 A 2 A5 A5 种 2 5 5 十.元素相同问题隔板策略 例 10.有 10 个运动员名额,分给 7 个班,每班至少一个,有多少种分 配方案? 解:因为 10 个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形 成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额 分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种 分法共有 C96 种分法。

一 班

二 班

三 班

四 班

五 班

六 班

七 班

将 n 个相同的元素分成 m 份(n,m 为正整数),每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板,
m 插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中,所有分法数为 Cn??1 1

练习题: 1. 10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法? C94 3 2 . x ? y ? z ? w ? 100 求这个方程组的自然数解的组数 C103 十一.正难则反总体淘汰策略 例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数,使其和为 不小于 10 的偶数,不同的 取法有多少种? 解:这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰 法。这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数,所取的三个数含有 3 个 1 偶数的取法有 C53 ,只含有 1 个偶数的取法有 C5C52 ,和为偶数的取法
1 共有 C5C52 ? C53 。再淘汰和小于 10 的偶数共 9 种,符合条件的取法 1 共有 C5C52 ? C53 ? 9

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出 它的反面,再从整体中淘汰.

练习题:我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部 书记至少有一人在内的 抽法有多少种? 十二.平均分组问题除法策略 例 12. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法? 解: 分三步取书得 C62C42C22 种方法,但这里出现重复计数的现象,不 妨记 6 本书为 ABCDEF,若第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取 EF 该 分 法 记 为 (AB,CD,EF), 则 C62C42C22 中 还 有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD) 共有 A 3 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共 3 2 2 2 有 C6 C4 C2 / A 3 种分法。 3 二十一:住店法策略 组数)避免重复计数。 解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素:一类元素可以重 复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素 看作“店”,再利用乘法原理直接求解. 例 21.七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军 的可能的种数有 .
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 A n ( n 为均分的 n

分析:因同一学生可以同时夺得 n 项冠军,故学生可重复排列,将七 名学生看作 7 家“店”,五项冠军看作 5 名“客”,每个“客”有 7 种住宿法,由乘法原理得 7 5 种.


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